专题5.1 导数的概念及其意义、导数的运算（A卷基础篇）

专题5.1导数的概念及其意义、导数的运算（A卷基础篇）

（人教A版第二册,浙江专用）

参考答案与试题解析

第Ⅰ卷（选择题）

一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）

1．（2020·全国高二课时练习）甲、乙两厂污水的排放量W与时间的关系如图所示，则治污效果较好的是（    ）

A．甲厂 B．乙厂 C．两厂一样 D．不确定

【答案】B

【解析】

在处，虽然有，但，

所以在相同时间内，甲厂比乙厂的平均治污率小，所以乙厂治污效果较好．

故选：B.

2．（2020·全国高二课时练习）若（m为常数），则等于（    ）

A． B．1 C．m D．

【答案】D

【解析】

由题意，根据导数的概念可得，

，

所以.

故选：D.

3．（2020·全国高二课时练习）某质点的运动规律为，则在时间内，质点的位移增量等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

位移增量.

故选：A.

4．（2020·全国高二课时练习）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由题意，得，则，

故选：D．

5．（2020·河南高三月考（理））设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

因为，

所以，则曲线在点处的切线斜率为，

故所求切线的倾斜角为.

故选：C

6．（2020·北京高二期末）已知函数在处的导数为1，则（    ）

A．0 B． C．1 D．2

【答案】B

【解析】

因为函数在处的导数为1，

则.

故选：B.

7．（2020·安徽省蚌埠第三中学高二月考（理））过原点作曲线的切线，则切线的斜率为（    ）

A．e B． C．1 D．

【答案】B

【解析】

设切点坐标为，

由，得，所以切线的斜率为，

所以切线方程为，

因为切线过原点，所以，得，

因为切点在曲线上，所以，解得，

所以切线的斜率为，

故选：B

8．（2018·广东高二期末（理））曲线在点处切线的斜率为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

的导数为，

可得曲线在点处切线的斜率为.

故选：C.

9．（2020·全国高二单元测试）下列导数运算正确的是（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】B

【解析】

对于A，，A错误；

对于B，，B正确；

对于C，，C错误；

对于D，，D错误．

故选：B．

10．（2020·北京海淀区·人大附中高二期末）曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为（    ）

A． B．6 C．12 D．

【答案】A

【解析】

由，得，

则曲线在点处的切线斜率为，得.

故选：A.

第Ⅱ卷（非选择题）

二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）

11．（2020·贵溪市实验中学高三月考（文））曲线在点（1，2）处的切线方程为_________.

【答案】

【解析】

，，

，

切线的方程是，

即，

故答案为．

12．（2020·广东广州市·华南师大附中高三月考（文））曲线在点处的切线方程为_____.

【答案】

【解析】

由得，

则曲线在点处的切线斜率为，

因此所求切线方程为，即.

故答案为：.

13．（2020·安徽淮北市·淮北一中高二期中）已知，则等于__________.（用数字作答）

【答案】-2

【解析】

，

，

，解得.

故答案为：.

14．（2020·全国高二单元测试）已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．

【答案】5    4.1   

【解析】

当Δx＝1时，割线AB的斜率

k1＝

当Δx＝0.1时，割线AB的斜率

k2＝＝4.1.

15．（2012·全国高二课时练习）函数的导数_______________________，___________.

【答案】    31   

【解析】

函数的导数

16．（2020·宁波市北仑中学高二期中）已知函数，则__________，设，则_________．

【答案】       

【解析】

，求导得，，

，求导得，

，解得.

故答案为：；.

17．（2020·浙江高三其他模拟）德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时，他将切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”，这也正是导数定义的内涵之一．现已知直线是函数的切线，也是函数的切线，则实数____，_____．

【答案】-1    -2   

【解析】

由题意可知，故，则函数的切点为，代入，得；又，故，则函数的切点为，代入，得．

故答案为：－1；－2．

三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）

18．（2020·日喀则市第三高级中学高二期末（文））（1）求导：

（2）求函数在处的导数.

【答案】（1）；（2）1；

【解析】

（1）；

（2）；

19．（2020·北京市房山区房山中学高二期中），且，，，；求的值．

【答案】

【解析】

 ,

由,可得;由,可得;，；可得,解得: ,则,即.

20．（2020·全国高三专题练习（文））已知P（﹣1，1），Q（2，4）是曲线y=x2上的两点，求与直线PQ平行且与曲线相切的切线方程．

【答案】4x﹣4y﹣1=0．

【解析】

设切点坐标为M（x0，y0），则切线斜率为2x0，

又直线PQ的斜率为kPQ==1，

∵切线与直线PQ平行，

∴2x0=1，∴x0=，

∴切点为（，），切线斜率为1．

∴切线方程为y﹣=x﹣即4x﹣4y﹣1=0．

21．（2020·海林市朝鲜族中学高二期末（文））已知函数的图像在处的切线方程是，求a，b的值；

【答案】

【解析】

由，得，

因为函数的图像在处的切线方程是，

所以，即，得，

所以，则，

所以切点坐标为，

所以，得，

综上

22．（2020·全国高二课时练习）求曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积.

【答案】

【解析】

依题意得，，

故曲线在点处的切线方程是，即.

直线与的交点坐标是，

直线与x轴的交点坐标是，

故直线和所围成的三角形的面积等于.