第4章数列 基础测试（1）-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册章节复习

人教A版选择性必修第二册第四章数列基础测试1

一、单选题

1．在等差数列{an}中，已知a5=3，a9=6，则a13=（    ）

A．9 B．12 C．15 D．18

2．已知数列为等比数列，，且，则的值为（    ）

A．1或 B．1 C．2或 D．2

3．已知数列的前项和，，则（    ）

A．20 B．17 C．18 D．19

4．在等差数列中，若为其前项和，，则的值是（    ）

A．60 B．11 C．50 D．55

5．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（    ）尺

A． B． C． D．

6．正项等比数列满足，则（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

7．设等差数列的前项和为，若，则（    ）

A．60 B．120 C．160 D．240

8．公差不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

9．已知等比数列的前n项和为，且，，则（    ）

A． B．

C． D．

10．数列，…的通项公式可能是（    ）

A． B． C． D．

11．已知数列满足，，则（   ）

A． B． C． D．

12．等差数列中，，则此数列的前项和等于（    ）

A．160 B．180 C．200 D．220

二、填空题

13．设为等比数列，且，则______.

14．已知是递增的等差数列，是方程的根．则=_________.

15．若是等差数列的前项和，，则______．

16．等差数列中，为的前项和，若，则_________.

三、解答题

17．已知等差数列中，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

18．已知数列的前n项和为

（1）当取最小值时，求n的值；

（2）求出的通项公式.

19．设，数列的前n项和为，已知，，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项的和.

20．已知点是函数图象上一点，等比数列的前项和为.数列的首项为，前项和满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列的前项和为，问使的最小正整数是多少？

21．已知数列（）是公差不为0的等差数列，若，且，，成等比数列.

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和.

22．设是等比数列，其前项的和为，且，.

（1）求的通项公式；

（2）若，求的最小值.

参考答案

1．A

【分析】

在等差数列{an}中，利用等差中项由求解.

【详解】

在等差数列{an}中，a5=3，a9=6，

所以，

所以，

故选：A

2．C

【分析】

根据等比数列的通项公式，由题中条件，求出公比，进而可得出结果.

【详解】

设等比数列的公比为，

因为，且，所以，解得，

所以.

故选：C.

3．C

【分析】

根据题中条件，由，即可得出结果．

【详解】

因为数列的前项和，

所以．

故选：C．

4．D

【分析】

根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果.

【详解】

因为在等差数列中，若为其前项和，，

所以.

故选：D.

5．D

【分析】

设该妇子织布每天增加尺，由等差数列的前项和公式即可求出结果

【详解】

设该妇子织布每天增加尺，

由题意知，

解得．

故该女子织布每天增加尺．

故选：D

6．C

【分析】

利用等比数列的性质运算求解即可.

【详解】

根据题意，等比数列满足，

则有，即，

又由数列为正项等比数列，故．

故选：C．

7．B

【分析】

根据等差数列的性质可知，结合题意，可得出，最后根据等差数列的前项和公式和等差数列的性质，得出，从而可得出结果.

【详解】

解：由题可知，，

由等差数列的性质可知，则，

故.

故选：B.

8．D

【分析】

根据等差数列的性质得到，数列是等比数列，故=16.

【详解】

等差数列中,,故原式等价于解得或

各项不为0的等差数列,故得到，

数列是等比数列，故=16.

故选：D.

9．D

【分析】

根据题中条件，先求出等比数列的公比，再由等比数列的求和公式与通项公式，即可求出结果.

【详解】

因为等比数列的前n项和为，且，，

所以，

因此.

故选：D.

10．D

【分析】

根据观察法，即可得出数列的通项公式.

【详解】

因为数列可写成

，

所以其通项公式为.

故选：D.

11．D

【分析】

根据题意可得，先求，，，，…，所以猜测，经验证即可得解.

【详解】

因为，所以，

因为，所以，，，…，

所以猜测，

代入，

所以满足题意，所以，

故选：D.

【点睛】

本题考查了通过数列的递推关系求通项公式，考查了利用规律对通项公式的猜想和验算，属于中档题.解本类问题有两个关键点：

（1）当数列无法直接得出通项公式时，可观察前几项的规律；

（2）通过前几项的规律进行猜想；

（3）最后验算，必须带入原等式进行验算.

12．B

【分析】

把已知的两式相加得到，再求得解.

【详解】

由题得，

所以.

所以.

故选：B

13．10

【分析】

根据题中条件，由等比数列的性质，可直接得出结果.

【详解】

因为为等比数列，且，

所以.

故答案为：.

14．

【分析】

先求得方程的根，根据是递增的等差数列，可求得的值，代入等差数列的通项公式，即可求得公差d和首项，进而可求得.

【详解】

方程的两根为2,3，由题意得

设数列的公差为d，则，解得，从而，

所以数列的通项公式为.

故答案为：

15．0

【分析】

根据题意，利用等差数列的前项和公式列方程组，求得首项和公差，再利用等差数列的前项和公式即可得解．

【详解】

设的公差为，则由，得，解得

故．

故答案为： 0

16．2

【分析】

直接利用等差数列求和公式求解即可.

【详解】

因为，

所以，

所以.

故答案为：2.

17．（1）；（2）.

【分析】

（1）根据题中条件，先得出公差，进而可求出通项公式；

（2）根据（1）的结果，由等差数列的求和公式，即可求出结果.

【详解】

（1）因为等差数列中，首项为，公差为，

所以其通项公式为；

（2）由（1）可得，数列的前项和.

18．（1）或；（2）

【分析】

（1）直接对进行配方，由可求出其最小值

（2）由求解的通项公式

【详解】

解：（1），

因为，

所以当或时，取最小值，

（2）当时，，

当时，，

当时，满足上式，

所以

【点睛】

此题考查由数列的递推公式求通项公式，考查的关系，属于基础题

19．（1）；（2）.

【分析】

（1）由，得，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，再由已知条件可得：，即可得解；

（2）由（1）得，所以,

分组求和即可得解.

【详解】

（1）由，得，

所以数列是以为首项，2为公差的等差数列.

由，，成等比数列可得，

即，解得，

所以.

（2）由（1）得，所以

所以

.

【点睛】

本题考查了数列的基本量的运算和数列的分组求和法，是常规的计算题，属于基础题.

20．（1）；（2）59.

【分析】

（1）由已知求得，，，，得公比，即可写出通项；

（2）由题意可得可得是首项为1，公差为1的等差数列.所以，所以，由，作差可得：，时也满足上式，根据裂项相消法求和即可得解.

【详解】

（1）解：.，

，则等比数列的前项和为

，，

由为等比数列，得公比

，则，

；

（2）：由，得，

当时，，则是首项为1，公差为1的等差数列，

，

则，作差可得.

当时，满足上式

由，得，则最小正整数为.

【点睛】

本题考查了数列与函数，考查了求等比数列的通项公式以及裂项求和法，有一定的计算量，属于中档题.

21．（1）；（2）.

【分析】

（1）设的公差为d，由，，成等比数列，得，从而解方程可求出公差，进而可求得的通项公式；

（2）由（1）得，然后利用裂项相消法可求得

【详解】

解：（1）设的公差为d，因为，，成等比数列，所以.

即，即又，且，解得

所以有.

（2）由（1）知：

则.即.

【点睛】

此题考查等差数列基本量计算，考查裂项相消法求和，考查计算能力，属于基础题

22．（1）；（2）.

【分析】

（1）由题意易得，根据等比数列的定义，可求出的公比为，由此即可求出的通项公式；

（2）由（1）可求，进而求出的表达式，再根据，列出关于不等式，解不等式，即可求出结果.

【详解】

（1）设的公比为q，因为，所以，所以，

又，所以，所以.

（2）因为，所以，

由，得，即，解得，

所以n的最小值为6.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和的求法和应用，属于基础题.