第12讲 因式分解（9大考点）2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略（人教版）

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第12讲 因式分解（9大考点）
考点考向

一．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：

3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
二．公因式
1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．
2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
三．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
　　（1）找出公因式；
　　（2）提公因式并确定另一个因式：
　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
四．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
　　平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
　　完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
　2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
五．因式分解-分组分解法
1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．
例如：①ax+ay+bx+by
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy﹣x2+1﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1
＝1﹣（x﹣y）2
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）
六．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
七．实数范围内分解因式
实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），
一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．
例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解
x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣）
八．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
考点精讲

一．因式分解的意义（共1小题）
1．（2022秋•西城区校级期中）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2 B．x2y﹣xy2﹣1＝xy（x﹣y）﹣1
C．a2﹣4ax+4x2＝（a﹣2x）2 D．ax+ay+a＝（ax+y）
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．等式的右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．等式的的左右两边不相等，应改为ax+ay+a＝a（x+y+1），故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
二．公因式（共2小题）
2．（2022秋•莱州市期中）多项式12m3n2+8m2n﹣20m2n3的公因式是（　　）
A．4m2n B．4m2n2 C．2mn D．8m2n
【分析】根据找公因式的方法得出答案即可．
【解答】解：多项式12m3n2+8m2n﹣20m2n3的公因式是4m2n，
故选：A．
【点评】本题考查了公因式，能熟记找公因式的方法是解此题的关键，注意：找多项式的公因式的方法是：①系数找多项式各项系数的最大公因式，②相同字母找字母的最低次幂．
3．（2022秋•宛城区校级月考）4a2b3与2ab4c的公因式是 　2ab3　．
【分析】根据公因式的定义（各个单项式中公共的因式）解决此题．
【解答】解：4a2b3与2ab4c的公因式是2ab3．
故答案为：2ab3．
【点评】本题主要考查公因式，熟练掌握公因式的定义是解决本题的关键．
三．因式分解-提公因式法（共2小题）
4．（2022秋•高昌区校级期中）下列多项式中，能在有理数范围内分解因式的是（　　）
A．e2+16 B．x2﹣2 C．j2﹣2j D．c2+c+1
【分析】根据提公因式法分解因式，结合“在有理数范围内”的意义进行判断即可．
【解答】解：A．e2+16，没有公因式，也不能利用公式法进行因式分解，因此选项A不符合题意；
B．x2﹣2，可以利用平方差公式分解为（x+）（x﹣），但不是在有理数范围内而是在实数范围内进行的因式分解，因此选项B不符合题意；
C．j2﹣2j＝j（j﹣2），能在有理数范围内分解因式，因此选项C符合题意；
D．c2+c+1，没有公因式，也不能利用公式法，不能在有理数范围内进行因式分解，所以选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查提公因式法分解因式，掌握因式分解的定义以及提公因式法是正确解答的前提．
5．（2022秋•如皋市期中）已知x2y+xy2＝42，xy＝7，则x+y＝　6　．
【分析】直接将已知提取公因式xy，进而分解因式得出答案．
【解答】解：∵x2y+xy2＝42，xy＝7，
∴xy（x+y）＝42，
∴x+y＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确将已知变形是解题关键．
四．因式分解-运用公式法（共3小题）
6．（2022秋•农安县期中）下列多项式不能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．1﹣a2 B．x2﹣25 C．a2b2﹣m2n2 D．﹣a2﹣9b2
【分析】利用平方差公式判断即可得到正确的选项．
【解答】解：A、1﹣a2＝（1﹣a）（1+a），本选项不合题意；
B、x2﹣25＝（x+5）（x﹣5），本选项不合题意；
C、a2b2﹣m2n2＝（ab﹣mn）（ab+mn），本选项不合题意；
D、﹣a2﹣9b2不能分解因式，本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
7．（2022秋•南山区校级期中）分解因式：a2+8a+16＝　（a+4）2　．
【分析】根据公式法因式分解即可．
【解答】解：a2+8a+16＝（a+4）2．
故答案为：（a+4）2．
【点评】本题考查了运用公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
8．（2022秋•宛城区校级月考）已知多项式9x2﹣（m+6）x+4可以按完全平方公式进行因式分解，则m＝　﹣18或6　．
【分析】利用完全平方公式可分解为（3x±2）2，然后去括号进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
9x2﹣（m+6）x+4＝（3x±2）2，
∴9x2﹣（m+6）x+4＝9x2±12x+4，
∴m＝﹣18或m＝6，
故答案为：﹣18或6．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
五．提公因式法与公式法的综合运用（共3小题）
9．（2022秋•朝阳区校级期中）因式分解：
（1）3a2﹣9ab；
（2）25x2﹣16y2．
【分析】（1）直接提取公因式3a，进而分解因式得出答案；
（2）直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）原式＝3a（a﹣3b）；

（2）原式＝（5x﹣4y）（5x+4y）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
10．（2022秋•农安县期中）分解因式：3x3﹣12xy2＝　3x（x+2y）（x﹣2y）　．
【分析】先提公因式，再逆用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：3x3﹣12xy2＝3x（x2﹣4y2）＝3x（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：3x（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键．
11．（2022秋•莱州市期中）因式分解：
（1）16a2﹣（a2+4）2
（2）3a2m2（x﹣y）+27b2n2（y﹣x）
【分析】（1）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行解答即可；
（2）先提公因式3（x﹣y），再利用平方差公式即可．
【解答】解：（1）原式＝（4a+a2+4）（4a﹣a2﹣4）
＝﹣（4a+a2+4）（﹣4a+a2+4）
＝﹣（a+2）2（a﹣2）2；
（2）原式＝3a2m2（x﹣y）﹣27b2n2（x﹣y）
＝3（x﹣y）（a2m2﹣9b2n2）
＝3（x﹣y）（am+3bn）（am﹣3bn）．
【点评】本题考查平方差公式、完全平方公式以及提公因式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
六．因式分解-分组分解法（共4小题）
12．（2022•成武县校级开学）因式分解：x3﹣6x2+11x﹣6＝　（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）　．
【分析】首先将11x拆项，进而利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案．
【解答】解：x3﹣6x2+11x﹣6
＝x3﹣6x2+9x+2x﹣6
＝x（x2﹣6x+9）+2（x﹣3）
＝x（x﹣3）2+2（x﹣3）
＝（x﹣3）[x（x﹣3）+2]
＝（x﹣3）（x2﹣3x+2）
＝（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）．
故答案为：（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）．
【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．
13．（2021秋•永吉县期末）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．
（1）利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝　（a+b+1）（a+b﹣1）　（直接写出结果）．
【分析】（1）①直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；
②直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；
（2）将前三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）①原式＝（3m﹣3y）+（am﹣ay）
＝3（m﹣y）+a（m﹣y）
＝（m﹣y）（3+a）；
②原式＝（a2x+a2y）+（b2x+b2y）
＝a2（x+y）+b2（x+y）
＝（x+y）（a2+b2）；

（2）a2+2ab+b2﹣1
＝（a+b）2﹣1
＝（a+b+1）（a+b﹣1）．
故答案为：（a+b+1）（a+b﹣1）．
【点评】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．
14．（2021秋•东莞市期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（2x﹣3y）+（2x﹣3y）2．
（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；
【分析】（1）将（2x﹣3y）看作一个整体，利用完全平方公式进行因式分解．
（2）令A＝a+b，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解．
【解答】解：（1）原式＝（1+2x﹣3y）2．

（2）令A＝a+b，则原式变为A（A﹣4）+4＝A2﹣4A+4＝（A﹣2）2，
故（a+b）（a+b﹣4）+4＝（a+b﹣2）2．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
15．（2021秋•方城县期末）下面是某同学对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程，
解：设x2﹣2x＝y
原式＝（y﹣1）（y+3）+4（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2﹣2x+1）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了　C　．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？　不彻底　（填“彻底”或者“不彻底”）
若不彻底．请直接写出因式分解的最后结果　（x﹣1）4　．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．
【分析】（1）根据完全平方公式得出即可；
（2）根据完全平方公式得出即可；
（3）先换元，再分解因式，再代入，最后求出即可．
【解答】解：（1）运用了两数和的完全平方公式，
故选：C；

（2）原式＝[（x﹣1）2]2＝（x﹣1）4，
故答案为：不彻底，（x﹣1）4；

（3）设x2﹣4x＝y，
原式＝y（y+8）+16
＝y2+8y+16
＝（y+4）2
＝（x2﹣4x+4）2
＝（x﹣2）4，
即（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16＝（x﹣2）4．
【点评】本题考查了分解因式，能正确运用完全平方公式进行分解因式是解此题的关键，注意：a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
七．因式分解-十字相乘法等（共5小题）
16．（2022春•东营期末）若x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），则m+n的值为（　　）
A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣1
【分析】先将（x﹣5）（x+n）展开，再根据已知条件可得﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5，求出m和n的值，进一步求解即可．
【解答】解：∵（x﹣5）（x+n）＝x2+（n﹣5）x﹣5n，
又∵x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），
∴﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5，
解得n＝2，m＝﹣3，
∴m+n＝﹣3+2＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的应用，根据已知条件得出m和n的关系式是解题的关键．
17．（2022秋•宽城区期中）若3x2﹣mx﹣2因式分解的结果为（3x+2）（x﹣n），则mn＝　1　．
【分析】先利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可求出所求．
【解答】解：由题意得：3x2﹣mx﹣2＝（3x+2）（x﹣n）＝3x2+（2﹣3n）x﹣2n，
∴﹣m＝2﹣3n，﹣2＝﹣2n，
∴m＝1，n＝1，
则mn＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键．
18．（2022秋•泰山区校级月考）已知x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），求n+m的值．
【分析】根据多项式乘多项式法则运算：（x+3）（x+n）＝x2+（3+n）x+3n，再由题意可得3+n＝m，3n＝﹣15，求出m、n即可．
【解答】解：∵（x+3）（x+n）＝x2+（3+n）x+3n，
∴3+n＝m，3n＝﹣15，
∴n＝﹣5，m＝﹣2，
∴m+n＝（﹣2）+（﹣5）＝﹣7．
【点评】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
19．（2022秋•宁阳县校级月考）在分解因式时x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+1）（x+9）；乙看错了b的值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣4）．那么x2+ax+b分解因式正确的结果是多少？为什么？
【分析】根据“甲看错了a的值，分解的结果是（x+1）（x+9）”可确定b的值，根据“乙看错了b的值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣4）”可确定a的值，进而确定x2+ax+b，再进行因式分解即可．
【解答】解：分解因式时x2+ax+b时，
由于甲看错了a的值，分解的结果是（x+1）（x+9）＝x2+10x+9，因此b＝9；
由于乙看错了b的值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣6x+8．因此a＝﹣6；
所以这个多项式为x2﹣6x+9，
x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，
答：正确的分解因式的结果为x2﹣6x+9＝（x﹣3）2．
【点评】本题考查因式分解，掌握十字相乘法是正确解答的前提，根据“甲看错了a的值，分解的结果是（x+1）（x+9）”确定b的值，根据“乙看错了b的值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣4）”确定a的值是正确解答的关键．
20．（2022•南谯区开学）探究题：
（1）问题情景：将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：x2+6x+9＝　（x+3）2　；x2﹣4x+4＝　（x﹣2）2　；4x2﹣20x+25＝　（2x﹣5）2　；
（2）探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现：62＝4×1×9；（﹣4）2＝4×1×4；（﹣20）2＝4×4×25；
归纳猜想：若多项式ax2+bx+c（a＞0，c＞0）是完全平方式，猜想：系数a，b，c之间存在的关系式为 　b2＝4ac　；
（3）验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论；
（4）解决问题：若多项式（n+1）x2﹣（2n+6）x+（n+6）是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出n的值．
【分析】（1）可用完全平方公式进行分解因式；
（2）根据问题情境式子中的系数关系，可猜想b2＝4ac；
（3）可用完全平方公式进行验证；
（4）多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，则系数a，b，c存在的关系为b2＝4ac，可得出[﹣（2n+6）]2＝4（n+1）（n+6），进而求出n的值．
【解答】（1）解：x2+6x+9＝（x+3）2；
x2﹣4x+4＝（x﹣2）2；
4x2﹣20x+25＝（2x﹣5）2．
故答案为：（x+3）2；（x﹣2）2；（2x﹣5）2．
（2）由情境中给的式子系数关系，可归纳猜想：b2＝4ac．
故答案为：b2＝4ac．
（3）验证结论：可用x2+4x+4，
验证：∵b2＝42＝16，4ac＝4×1×4＝16，
∴b2＝4ac．
（4）根据题意可得：[﹣（2n+6）]2＝4（n+1）（n+6），
4n2+24n+36＝4（n2+7n+6），
4n2+24n+36＝4n2+28n+24，
4n＝12，
解得n＝3．
【点评】本题考查了完全平方公式的综合应用以及对因式分解的理解和应用，解题的关键是掌握二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
八．实数范围内分解因式（共1小题）
21．（2022秋•二道区校级月考）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2﹣i）+（5+3i）＝（2+5）+（﹣1+3）i＝7+2i；
（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i；
根据以上伯息，完成下列问题：
（1）填空；i3＝　﹣i　；2i4＝　2　；
（2）计算：①（3+i）（3﹣i）；
②（3+i）2；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：
已知：（x+3y）+3i＝（1﹣x）﹣yi．（x，y为实数），求x，y的值；
（4）试一试：请你参照i2＝﹣1这一知识点，将m2+16（m为实数）因式分解成两个复数的积．
【分析】（1）根据题意解决此题．
（2）根据完全平方公式和平方差公式解决此题．
（3）根据虚数相等，得到方程﹣y＝3，x+3y＝1﹣x，进而求得x与y．
（4）运用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：（1）i3＝﹣i；2i4＝2；
故答案为：﹣i；2．
（2）①（3+i）（3﹣i）
＝9﹣i2
＝9+1
＝10．
②（3+i）2
＝9+i2+6i
＝9﹣1+6i
＝8+6i．
（3）∵（x+3y）+3i＝（1﹣x）﹣yi（x，y为实数），
∴﹣y＝3，x+3y＝1﹣x．
∴y＝﹣3，x＝5．
（4）∵i2＝﹣1，
∴m2+16
＝m2﹣16i2
＝（m+4i）（m﹣4i）．
【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握公式法进行因式分解是解决本题的关键．
九．因式分解的应用（共7小题）
22．（2022秋•莱州市期中）若m2+m﹣1＝0，则m3+3m2+m﹣2022＝　﹣2020　．
【分析】由已知可得，m2＝1﹣m，m3＝m﹣m2，所求式子可化为；m﹣m2+3m2+m﹣2022m﹣m2+3m2+m﹣2022，整理即可求解．
【解答】解：∵m2+m﹣1＝0，
∴m2＝1﹣m，m2+m＝1，
∴m3＝m﹣m2，
则m3+3m2+m﹣2022
＝；m﹣m2+3m2+m﹣2022m﹣m2+3m2+m﹣2022
＝2（m2+m）﹣2022
＝2﹣2022
＝﹣2020，
故答案为：﹣2020．
【点评】本题考查整式的运算，因式分解的应用；能够将m3进行变形处理为m3＝m﹣m2是解题的关键．
23．（2022秋•东平县校级月考）若a+b＝1，x﹣y＝2，则a2+2ab+b2﹣x+y＝　﹣1　．
【分析】对原式进行变形成与a+b和x﹣y有关即可．
【解答】解：原式＝（a+b）²﹣（x﹣y）
＝1²﹣2
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查因式分解的应用，能够准备记忆完全平方公式是解答本题的关键．
24．（2022秋•晋江市期中）如果3个数位相同的自然数m，n，k满足：m+n＝k，且k各数位上的数字全部相同，则称数m和数n是一对“黄金搭档数”．例如：因为25，63，88都是两位数，且25+63＝88，则25和63是一对“黄金搭档数”．再如：因为152，514，666都是三位数，且152+514＝666，则152和514是一对“黄金搭档数”．已知两位数s和两位数t的十位数字相同，若s和t是一对“黄金搭档数”，并且s与t的和能被5整除，则t的值 　26或27或t＝28或t＝2　．
【分析】根据题意可知s+t＝55，再由两位数s和两位数t的十位数字相同，可得t＝26或27或t＝28或t＝29．
【解答】解：∵s和t是一对“黄金搭档数”，s与t的和能被5整除，
∴s+t＝55，
∵两位数s和两位数t的十位数字相同，
∴s与t的十位数字是2，
∴t＝26或27或t＝28或t＝29，
故答案为：26或27或t＝28或t＝29．
【点评】本题考查因式分解的应用，理解定义，能够根据已知条件确定两数的和是55是解题的关键．
25．（2022秋•崇川区期中）一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：

（1）通过计算图2中阴影部分的面积可以得到的数学等式是 　（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2　；
（2）利用图3解决下面问题若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝32，则a2+b2+c2＝　36　．
（3）如图4，四边形ABCD，NGDH，MEDQ是正方形，四边形PQDH和EFGD是长方形，其中EFGD的面积是200，AE＝10，CG＝20，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据阴影部分的面积可以直接用正方形的面积求，也可以用大正方形的面积减去两个长方形的面积和一个小正方形的面积求，再根据面积相等即可得到等式；
（2）仿照（1）可得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，再将已知代入即可求解；
（3）设阴影部分的面积为S，AB＝x，则DE＝x﹣10，EF＝x﹣20，根据长方形的面积公式，得（x﹣10）（x﹣20）＝200，再由S＝MF•FN＝（x﹣20+x﹣10）2＝（x﹣20﹣x+10）2+4（x﹣20）（x﹣10），最后代入求值即可．
【解答】解：（1）阴影部分的面积＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
（2）由图可得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝32，
∴a2+b2+c2＝100﹣2×32＝36，
故答案为：36；
（3）设阴影部分的面积为S，AB＝x，
则DE＝x﹣10，EF＝x﹣20，
根据长方形的面积公式，得（x﹣10）（x﹣20）＝200，
∴S＝MF•FN
＝（x﹣20+x﹣10）（x﹣10+x﹣20）
＝（x﹣20+x﹣10）2
＝（x﹣20﹣x+10）2+4（x﹣20）（x﹣10）
＝100+800
＝900，
∴阴影部分的面积为900．
【点评】本题考查因式分解的应用，完全平方公式的几何意义，熟练掌握正方形、长方形面积的求法，灵活应用完全平方公式是解题的关键．
26．（2022秋•朝阳区期中）已知：a+b＝3，ab＝1．
（1）求a2+b2的值．
（2）当a＜b时，求a﹣b的值．
【分析】（1）根据完全平方公式和a+b＝3，ab＝1，可以求得a2+b2的值；
（2）根据完全平方公式和（1）中的结果，可以计算出a﹣b的值．
【解答】解：（1）∵a+b＝3，
∴（a+b）2＝9，
∴a2+2ab+b2＝9，
∵ab＝1．
∴a2+b2＝9＝2ab＝9﹣2×1＝9﹣2＝7；
（2）∵a＜b，
∴a﹣b＜0，
∵ab＝1．a2+b2＝7，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝（a2+b2）﹣2ab＝7﹣2×1＝7﹣2＝5，
∴a﹣b＝﹣．
【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，灵活运用完全平方公式解答．
27．（2022秋•奉贤区期中）根据所学我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：（a+m）（b+n）＝ab+an+bm+mn，请完成下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式：　（a+1）（a+2）＝a2+3a+2　．
（2）从图3可得（a+b）（a+b+c）＝　a2+2ab+b2+ac+bc　．
（3）结合图4，已知a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，求ab+bc+ac的值．

【分析】（1）（2）根据题意利用面积公式计算即可求解；
（3）首先根据面积公式得到（a+b+c）（a+b+c）＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，然后利用已知条件即可求解．
【解答】解：（1）（a+1）（a+2）＝a2+a+2a+2＝a2+3a+2；
故答案为：a2+3a+2；
（2）（a+b）（a+b+c）＝a2+b2+ab+ab+ac+bc＝a2+2ab+b2+ac+bc；
故答案为：a2+2ab+b2+ac+bc；
（3）根据题意得；（a+b+c）（a+b+c）＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
而a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14
∴6×6＝14+2ab+2ac+2bc，
∴ab+bc+ca＝11．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是正确理解题意，然后根据题意求解．
28．（2022秋•泉港区期中）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式：
x2﹣2x﹣3＝（x2﹣2x+1）﹣4＝（x﹣1）2﹣22＝（x﹣1+2）（x﹣1﹣2）＝（x+1）（x﹣3）
又例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值．
原式＝2（x2+2x﹣3）＝2（x2+2x+1﹣4）＝2（x+1）2﹣8．
可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）用配方法分解因式：x2﹣4x﹣5；
（2）试说明：无论x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数；
（3）当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+c2﹣6a﹣6b﹣10c+43＝0时，判断△ABC的形状并说明理由；
（4）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+20有最小值，并求出这个最小值．
【分析】（1）原式添加一个4，再减去一个4，配成完全平方式，再进行因式分解即可；
（2）先整理原式为x2﹣4x+4+y2+2y+1+1，再根据完全平方式公式写成（x﹣2）2+（y+1）2+1，然后利用非负数的性质解答即可；
（3）首先对a2+b2+c2﹣6a﹣6b﹣10c+43＝0进行整理变形，得到（a﹣3）2+（b﹣3）2+（c﹣5）2＝0，可得a＝3，b＝3，c＝5，即可判断△ABC的形状；
（4）先对原式进行整理变形，得到（a﹣b）2+（b﹣2）2﹣2a+16，再根据原式有最小值，得到a＝b＝2，算出最小值即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5
＝（x2﹣4x+4）﹣9
＝（x﹣2）2﹣32
＝（x﹣2+3）（x﹣2﹣3）
＝（x+1）（x﹣5）；
（2）x2+y2﹣4x+2y+6
＝x2﹣4x+4+y2+2y+1+1
＝（x﹣2）2+（y+1）2+1，
∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，
∴（x﹣2）2+（y+1）2+1≥1，
即多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数；
（3）a2+b2+c2﹣6a﹣6b﹣10c+43＝0，
a2﹣6a+9+b2﹣6b+9+c2﹣10c+25＝0，
（a﹣3）2+（b﹣3）2+（c﹣5）2＝0，
∴a＝3，b＝3，c＝5，
∴△ABC是等腰三角形；
（4）原式＝a2﹣2ab+b2+b2﹣4b+4﹣2a+16
＝（a﹣b）2+（b﹣2）2﹣2a+16，
∵多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+20有最小值，
∴a＝b，b＝2，a＝2，
∴（a﹣b）2+（b﹣2）2﹣2a+16＝（a﹣b）2+（b﹣2）2+12，
∴最小值为12，
综上，当a＝b＝2时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+20有最小值，最小值为12．
【点评】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质；解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值．
巩固提升

一、单选题
1．（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平方差公式逐项进行判断，即可求解．
【详解】解：A、，能用平方差公式分解因式，故本选项符合题意；
B、 ，不能用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意 ；
C、 ，不能用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意 ；
D、 ，不能用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意 ；
故选：A
【点睛】本题主要考查了用平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式 是解题的关键．
2．（2021·吉林·长春外国语学校八年级期中）计算的值是（　　）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】直接找出公因式进而提取公因式，进行分解因式即可．
【详解】解：．
故选：B
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
3．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学八年级期中）三角形的三边长分别为a、b、c，如果a、b、c满足，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】将等式因式分解为的形式，然后求得b=c，从而判断三角形的形状．
【详解】解：∵
∴
∴
∴，
∴
∴这个三角形是等边三角形
故选A．
【点睛】此题考查了因式分解的应用．注意掌握因式分解的步骤，分解要彻底．
4．（2021·海南·海师附中八年级期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直接利用因式分解的定义分别分析得出答案．
【详解】解：、，是因式分解，符合题意．
、，是整式的乘法运算，故此选项错误，不符合题意；
、，不符合因式分解的定义，故此选项错误，不符合题意；
、，不符合因式分解的定义，故此选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了因式分解的意义，解题的关键是正确把握分解因式的定义，即分解成几个式子相乘的形式．
5．（2021·山东临淄·八年级期中）当n为自然数时，（n+1）2﹣（n﹣3）2一定能（　　）
A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除
【答案】D
【分析】先把（n+1）2﹣（n﹣3）2分解因式可得结果为：从而可得答案.
【详解】解： （n+1）2﹣（n﹣3）2



n为自然数
所以（n+1）2﹣（n﹣3）2一定能被8整除，
故选D
【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“”是解题的关键
二、填空题
6．（2021·福建·大同中学八年级期中）因式分解：______；______．
【答案】
【分析】利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：；
．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了用公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解决本题的关键．
7．（2021·福建南安·八年级期中）分解因式：3ab﹣6a2＝__________．
【答案】
【分析】利用提公因式法进行因式分解即可得．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解（提公因式法），熟练掌握因式分解的各方法是解题关键．
8．（2021·福建·厦门市第五中学八年级期中）已知ab＝2，a﹣b＝﹣4，则a2b﹣ab2＝___．
【答案】-8
【分析】将提取公因式，在整体代入求值即可．
【详解】∵，，
∴．
故答案为：-8．
【点睛】本题考查代数式求值和因式分解，利用整体代入的思想是解答本题的关键．
9．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学八年级期中）把多项式分解因式的结果是______________．
【分析】直接提取公因式3x，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
=
=．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
10．（2021·上海杨浦·八年级期中）在实数范围内分解因式：x2﹣3xy﹣y2＝___．
【答案】．
【分析】先利用配方法，再利用平方差公式即可得．
【详解】解：
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用配方法和平方差公式法进行因式分解，因式分解的常用方法有：配方法、公式法、提取公因式法、十字相乘法等．
11．（2021·福建台江·八年级期中）若个自然数n减去59之后是一个完全平方数，加上30之后仍是一个完全平方数，则n＝____．
【答案】1995
【分析】设，，将两个式子进行运算可得，根据与奇偶性相同，将两个式子组成方程组求解即可确定a、b的值，从而确定n的值．
【详解】解：设，，
则，
即，
∵与奇偶性相同，
∴，，
组成方程组解得：，，
∴，
故答案为：1995．
【点睛】题目主要考查了完全平方数的应用、因式分解法求值及奇偶性的判定，理解题意，对题目设出相应的式子是解题关键．
12．（2021·河南·漯河市实验中学八年级期中）若实数x满足x2－2x－1＝0，则2x3－2x2－6x＋2020＝___________．
【答案】2022
【分析】先根据得到，再将要求的式子逐步变形，将整体代入降次，最后可化简求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴






，
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了因式分解在代数式化简求值中的应用，将已知条件恰当变形并将要求的式子进行因式分解，是解题的关键．
13．（2021·山东新泰·八年级期中）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法等，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．例如，分组分解法： ．仔细阅读以上内容，解决问题：已知：a、b、c为的三条边，，则的周长______．
【答案】7
【分析】根据拆项法将多项式变形为完全平方式的性质，利用平方的非负性求出a、b、c的值即可．
【详解】解：，
，
，
∴，
解得，
∴的周长为，
故答案为：7．
【点睛】此题考查多项式分解因式的方法，掌握分解因式的方法及能依据多项式的特点选择恰当的解法是解题的关键．
14．（2021·山东临淄·八年级期中）a、b、c是等腰△ABC的三边长，其中a、b满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则△ABC的周长为 _____．
【答案】12
【分析】先利用完全平方公式把a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0化为再利用非负数的性质求解 再分两种情况讨论：当为腰时，当为底时，结合三角形的三边关系，从而可得答案.
【详解】解： a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，




a、b、c是等腰△ABC的三边长，
当为腰时，则另一腰 此时 三角形不存在，舍去，
当为底时，则腰 此时 三角形存在，
△ABC的周长为
故答案为：12
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，三角形三边的关系，等腰三角形的定义，掌握以上基础知识是解题的关键.
三、解答题
15．（2021·江苏·苏州中学八年级期中）因式分解：
（1）x2﹣36； （2）﹣3a2＋6ab﹣3b2
（3）3x（a－b）－6y（b－a）； （4）
【答案】（1）（x﹣6）（x+6）；（2）-3（a-b）2；（3）3（x+2y）（a－b）；（4）
【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可；
（3）利用提取公因式法因式分解即可；
（4） 将看做一个整体，利用完全平方公式因式分解即可；
【详解】解：（1）x2﹣36
=（x﹣6）（x+6）
（2）﹣3a2＋6ab﹣3b2
=-3（a2-2ab+b2）
=-3（a-b）2
（3）3x（a－b）－6y（b－a）
=3x（a－b）+6y（a－b）
=（3x+6y）（a－b）
=3（x+2y）（a－b）
（4）
=
=
=
【点睛】本题综合考查了提取公因式法、公式法分解因式．掌握因式分解的方法是关键，注意分解要彻底．
16．（2021·山东新泰·八年级期中）因式分解：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先提取公因式，然后运用平方差公式因式分解即可；
（2）先提取公因式，然后运用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法因式分解以及公式法因式分解是解本题的关键．
17．（2021·湖南·衡阳市华新实验中学八年级期中）如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．

（1）请问用这两个图可以验证公式法因式分解中的哪个公式？试利用这个公式计算：．
（2）若图（1）中的阴影部分的面积是12，，求的值．
【答案】（1）a2-b2=（a+b）（a-b），264．（2）150
【分析】（1）根据两个图形的面积相等，即可写出公式a2-b2=（a+b）（a-b），从左到右依次利用平方差公式即可求解；
（2）根据a2-b2=（a+b）（a-b）=12，把a-b的值代入即可求得a+b的值，进而求出a，b的值，代入求值即可．
【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积是a2-b2，图2中阴影部分的面积是（a+b）（a-b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b），
∴
=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（28-1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（216-1）（216+1）（232+1）+1
=（232-1）（232+1）+1
=264-1+1
=264．
（2）依题意可得：a2-b2=12，（a+b）（a-b）=12，
∵a-b=3，
∴a+b=4．
联立方程组可得：
解得，，
∴．
【点睛】本题考查了平方差的几何背景以及平方差公式的应用，正确理解平方差公式的结构是关键．
18．（2021·湖南·衡阳市华新实验中学八年级期中）若一个两位正整数的个位数为8，则称为“好数”．
（1）若的十位上的数字为，则可以表示为：______；
（2）求证：对任意“好数”，一定为20的倍数；
（3）若，且、为正整数，则称数对为“友好数对”规定：，求的值．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据“好数”的含义及整数的意义即可得到结果；
（2）由（1）及平方差公式即可完成证明；
（3）根据，即可求得的值．
【详解】（1）因m的十位数字为a，个位数字为8，则这个两位数m可表示为：
故答案为：；
（2）设任意“好数”的十位数字为a，则由（1）知
∴
∵是20的倍数
∴为20的倍数
∴对任意“好数”，一定为20的倍数；
（3）∵
∴p=8，q=4
∴
【点睛】本题是新定义问题，考查了两位整数的表示，平方差公式，求代数式的值，关键是读懂材料提供的新定义，根据新定义灵活运用所学的知识来解决问题．
19．（2021·山东新泰·八年级期中）提出问题：你能把多项式因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设a，b为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
解决问题：．
运用结论：
（1）基础运用：把多项式进行因式分解．
（2）知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：
将二次项分解成如图2所示中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．

请用十字相乘法进行因式分解：①；②．
【答案】（1）；（2）①；②
【分析】（1）把多项式进行因式分解即可；
（2）用十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】解：（1）
＝
＝；
（2）①＝，
；
②＝，
．
【点睛】本题考查了因式分解－十字相乘法，解决本题的关键是掌握十字相乘法因式分解．