第13讲分式的性质与运算（16大考点）2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略（人教版）

这是一份第13讲分式的性质与运算（16大考点）2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略（人教版），文件包含第13讲分式的性质与运算16大考点解析版docx、第13讲分式的性质与运算16大考点原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共67页， 欢迎下载使用。

第13讲分式的性质与运算（16大考点）
考点考向

一、分式的定义
分式：一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
分式中，A叫做分子，B叫做分母．
注：①分式可以理解为两个整式相除的商，分母是除数，分子是被除数，分数线是除号。②整式B作为分母，则整式B0. ③只要最终能转化为形式即可.④B中若无字母，则变成系数乘A，为整式.
二、分式的相关概念
1）分式有意义的条件：分母不为0，即B0
2）分式的值为0的条件：分子为0，且分母不为0，即A=0且B0
3）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0
4）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0
三、分式的基本性质
1）分数的性质（特点）如下：
①分母不能为零;②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变;③分数的通分与约分（短除法）.
2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点）：
①分式分母也不能为零
②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变。即：
用式子表示为或，其中A，B，C均为整式．
③分式的通分与约分在知识点4中详细讲解.
四、分式的约分与通分
1）分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数）.
注：有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式。
2）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
注：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
3）分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。
步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数;③分子对应扩大相同倍数.
4）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
五、分式的混合运算
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
1）分式的加减
①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为：．
2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：．
3）分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为：．
4）分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，．
5）分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
六、整数指数幂（幂的运算的扩大）
1）前面已学习：
①，（m，n是正整数）； ②，（m，n是正整数）
③，（m是正整数）； ④，（a≠0，m、n是正整数，m>n）
⑤，（n是正整数）； ⑥
若按照④运算，当m 2）针对这种现象，我们规定，当n为正整数时，（a≠0） 注：无意义
3）幂的运算性质扩大
当a≠0时 ①，（m，n是整数）（公式1、4的扩展）
②，（m，n是整数）（公式2的扩展）
③，（m是正整数）（公式3与公式5的扩展）
4）利用负指数化除为乘，设m，n为正整数，a≠0，
根据定义 还可转化为乘法：
5）科学记数法的扩大
一般，一个小于1的数可以表示为a×的形式，其中
步骤：确定a值的大小。；确定n的值。原数变为a后，小数点向前移动x位，则原数相应扩大了10x倍。故n=-x
考点精讲

一．科学记数法—表示较小的数（共2小题）
1．（2022秋•临湘市期中）随着自主研发能力的增强，我国在制造芯片最重要也是最艰难的技术上有了新突破——光刻机，将在2021～2022年交付第一台28nm工艺的国产沉浸式光刻机．其中数据28nm（即0.000000028m）用科学记数法可表示为（　　）
A．2.8×10﹣6m B．2.8×10﹣7m C．2.8×10﹣8m D．2.8×10﹣9m
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：因为1nm＝10﹣9m，
所以28nm＝28×10﹣9m＝2.8×10﹣8m．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
2．（2021秋•西宁期末）叶绿体是植物进行光合作用的场所，叶绿体DNA最早发现于衣藻叶绿体，长约0.00005米．数0.00005用科学记数法表示为（　　）
A．5×10﹣5 B．0.5×10﹣5 C．5×10﹣4 D．0.5×10﹣4
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.00005＝5×10﹣5．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
二．分式的定义（共2小题）
3．（2022秋•莱阳市期中）下列各式：，x2+5x，x，，，其中分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据分式的定义即可得出答案．
【解答】解：分式有，，共2个，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式是解题的关键．
4．（2022秋•兴宁区校级期中）下列式子中，是分式的是（　　）
A． B． C．﹣ D．+y
【分析】由分式的概念即可判断．
【解答】解：A、是分式，故A符合题意；
B、是单项式，故B不符合题意；
C、﹣是单项式，故C不符合题意；
D、+y是多项式，，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查分式的概念，关键是掌握分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式．
三．分式有意义的条件（共3小题）
5．（2021秋•乳山市期末）不论x取何值，分式都有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的分母不为0判断即可．
【解答】解：A、当2x+1＝0，即x＝﹣时，分式无意义，本选项不符合题意；
B、当2x﹣1＝0，即x＝时，分式无意义，本选项不符合题意；
C、当x＝0时，分式无意义，本选项不符合题意；
D、∵2x2+1＞0，
∴不论x取何值，分式都有意义，本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
6．（2022秋•中山区期中）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≠2 D．x＝2
【分析】分式有意义时，分母不等于零．
【解答】解：依题意得：x﹣2≠0，
解得x≠2．
故选：C．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零．
7．（2022秋•安乡县期中）已知分式（a，b为常数）满足下列表格中的信息：
x的取值
﹣1
1
c
d
分式的取值
无意义
0
﹣1
1
其中选项错误的是（　　）
A．a＝1 B．b＝2 C．c＝ D．d＝3
【分析】将表格数据依次代入已知分式中，进行计算即可判断．
【解答】解：A．根据表格数据可知：
当x＝﹣1时，分式无意义，
即x+a＝0，
所以﹣1+a＝0，
解得a＝1．
所以A选项正确，不符合题意；
B．当x＝1时，分式的值为0，
即＝0，
解得b＝2，
所以B选项正确，不符合题意；
C．当x＝c时，分式的值为﹣1，
即＝﹣1，
解得c＝，
所以C选项错误，符合题意；
D．当x＝d时，分式的值为1，
即＝1，
解得d＝3，
所以D正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的值、分式有意义的条件，解决本题的关键是掌握分式相关知识．
四．分式的值为零的条件（共2小题）
8．（2022秋•芝罘区期中）若分式的值为0，则x的取值为（　　）
A．x＝1 B．x＝±1 C．x＝﹣1 D．x＝0
【分析】根据分式的值为0的条件（若分式＝0，则A＝0且B≠0）解决此题．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴2x+2≠0且x2﹣1＝0．
∴x＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0的条件是解决本题的关键．
9．（2022秋•文登区期中）若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或3
【分析】根据分式值为零的条件列出不等式组，解不等式组得到答案．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴|x|﹣2＝0且x2﹣5x+6≠0，
∴x＝2或﹣2且x≠2，x≠3，
解得x＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
五．分式的值（共3小题）
10．（2021秋•乳山市期末）若4x＝5y（y≠0），则＝（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
【分析】变形已知，用含y的代数式表示x，代入计算即可．
【解答】解：法一、∵4x＝5y，
∴x＝y．
∴＝
＝
＝．
故选：A．
法二、＝﹣1
＝（）2﹣1．
∵4x＝5y，
∴＝．
∴原式＝（）2﹣1
＝﹣1
＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
11．（2022秋•通州区期中）若xy＝﹣6，其中x＞y，则下列分式的值一定比的值大的是（　　）
A． B． C．﹣ D．
【分析】由题意可得出x＞0＞y，然后由作差法进行判断大小即可求出答案．
【解答】解：∵xy＝﹣6，x＞y，
∴y＜0＜x，
A、＝，故A不符合题意；
B、∵﹣＝＜0，
∴＜，故B不符合题意；
C、﹣＝＜0，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了分式的大小比较，掌握分式的大小比较的方法是解题的关键．
12．（2022秋•南皮县校级月考）已知x+y＝5，xy＝2，则的值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【分析】先利用完全平方公式和提公因式法进行变形，再代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝，
把x+y＝5，xy＝2代入得：
原式＝＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了分式的值．能够正确利用完全平方公式和提公因式法进行变形解题的关键．
六．分式的基本性质（共2小题）
13．（2022秋•中山区期中）如果把分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的9倍 D．保持不变
【分析】根据题意原分式变形为，然后利用分式的基本性质得到＝，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：把分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，原分式变形为，
而＝＝，
所以把分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，分式的值不变．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
14．（2022秋•芝罘区期中）如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大6倍
【分析】利用分式的基本性质，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
＝＝，
∴如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值扩大3倍，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
七．约分（共2小题）
15．（2022秋•信都区校级月考）小明计算了四个分式，其中有一个结果忘记了约分，是下面中的（　　）
①②③④
A．① B．② C．③ D．④
【分析】根据分式的约分法则计算，判断即可．
【解答】解：①②③中的分式是最简分式，
④＝＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查的是分式的约分，将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
16．（2021秋•藁城区期末）化简：＝（　　）
A．3x B．6x C．2 D．2x
【分析】直接利用分式的性质化简进而得出答案．
【解答】解：＝＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了约分，正确化简分式是解题关键．
八．通分（共2小题）
17．（2021秋•禹州市期末）将分式与分式通分后，的分母变为（1+a）（1﹣a）2，则的分子变为（　　）
A．1﹣a B．1+a C．﹣1﹣a D．﹣1+a
【分析】找出两分式分母的最简公分母，利用分式的性质判断即可．
【解答】解：两分式的最简公分母为（1+a）（1﹣a）2，
∴＝＝，
则的分子变为1﹣a．
故选：A．
【点评】此题考查了通分，通分的关键是找出各分母的最简公分母．
18．（2022秋•新化县校级期中）把，通分，则＝　　，＝　　．
【分析】把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
【解答】解：＝，＝．
故答案为：，．
【点评】本题考查通分，解题的关键是正确理解通分的概念，本题属于基础题型．
九．最简分式（共2小题）
19．（2022秋•德江县期中）下列各式中，属于最简分式的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式，从而进行约分．
【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；
B、是最简分式，符合题意；
C、＝，不是最简分式，不符合题意；
D、＝，不是最简分式，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了最简分式．一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．和分数不能化简一样，叫最简分数．
20．（2022秋•临武县校级月考）分式，，，中，最简分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用最简分式定义进行分析即可．
【解答】解：分式，，，中，最简分式有，，共2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
一十．最简公分母（共2小题）
21．（2022秋•张店区期中）分式与的最简公分母是（　　）
A．x（x+5） B．（x+5）（x﹣5）
C．x（x﹣5） D．x（x+5）（x﹣5）
【分析】根据最简公分母的定义即可求出答案．
【解答】解：分式与的最简公分母是x（x+5）（x﹣5）．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的最简公分母的确定方法，解题的关键是正确地对分母分解因式．
22．（2022秋•荣成市校级月考）分式，，的最简公分母是（　　）
A．2x B．2x﹣4 C．2x（2x﹣4） D．2x（x﹣2）
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：，，的最简公分母是2x（x﹣2），
故选：D．
【点评】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． ②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
一十一．分式的乘除法（共4小题）
23．（2022秋•青龙县期中）计算：•＝　　．
【分析】根据分式的乘法法则计算，得到答案．
【解答】解：•
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是分式的乘除法，分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
24．（2022秋•东城区校级期中）计算：÷•．
【分析】根据平方差公式、提公因式法把分式的分子、分母因式分解，再根据分式的乘除法法则计算即可．
【解答】解：原式＝•2（x﹣y）•
＝2．
【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．
25．（2022秋•临清市期中）计算：
（1）•（）2÷
（2）
【分析】（1）根据分式的乘除法运算法则计算即可；
（2）根据分式的乘法法则计算即可．
【解答】解：（1）•（）2÷
＝
＝6；
（2）
＝
＝．
【点评】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法则是解题的关键．
26．（2022秋•诸城市期中）如图，小琪的作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为．
（1）求被墨水污染的部分；
（2）该题化简的结果能等于吗？为什么？

【分析】（1）根据分式的乘除混合运算的法则计算即可；
（2）根据分式有意义的条件即可得到结论．
【解答】解：（1）设被墨水污染的部分是A，
由题意得：÷＝，
＝，
＝1，
解得：A＝x﹣4；
故被墨水污染的部分为x﹣4；
（2）解：不能，理由如下：
若＝，
则x＝4，
由分式，÷＝•，
当x＝4时，原分式无意义，
所以不能．
【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
一十二．分式的加减法（共5小题）
27．（2022秋•港南区期中）请仿照例子解题：
+＝恒成立，求M、N的值．
解：∵+＝
∴＝则＝

即＝，故，解得：
请你按照上面的方法解题：若+＝恒成立，求M、N的值．
【分析】根据题意给出的算法即可求出答案．
【解答】解：∵+＝＝，
∴M（x﹣2）+N（x+2）＝x+8，
∴（M+N）x﹣2M+2N＝x﹣8，
∴，
解得：．
【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
28．（2022秋•岳阳期中）观察下面的变形规律：
＝1﹣；
＝﹣；
＝﹣；……
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想＝　　．
（2）若n为正整数，请你用所学的知识证明﹣＝．
【分析】（1）根据所给的等式进行分析，不难得出结果；
（2）把等式的左边进行运算，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵＝1﹣；
＝﹣；
＝﹣；
…，
∴＝，
故答案为：；
（2）﹣
＝
＝，
∴﹣＝．
【点评】本题主要考查分式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
29．（2022秋•西城区校级月考）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．
（1）下列三组分式：
①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有 　②③　（只填序号）；
（2）若a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”求分式的值．
【分析】（1）根据给出的“友好分式组”定义把每一组的分式相减看结果来判断；
（2）根据分式与属于“友好分式组”，得||＝2，求出①a＝﹣4b，②ab＝4b2﹣2a2，分别把①②代入分式求出结果即可．
【解答】解：（1）①﹣＝≠2，
②﹣＝＝2，
③|﹣|＝||＝2，
∴属于“友好分式组”的有②③，
故答案为：②③．
（2）∵|﹣|
＝|﹣|
＝||
＝||，
∵与属于“友好分式组”，
∴||＝2，
∴2a2+2ab＝2（a2﹣4b2）或2a2+2ab＝﹣2（a2﹣4b2），
①a＝﹣4b，②ab＝4b2﹣2a2，
把①代入＝＝﹣，
把②代入＝＝﹣，
综上所述：的值为﹣或﹣．
【点评】本题考查了分式的加减法和实数的性质，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键．
30．（2022秋•安乡县期中）计算：+﹣．
【分析】先通分，再进行加减运算即可．
【解答】解：+﹣
＝+﹣
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
31．（2022秋•中山区期中）阅读下列材料：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效．
例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：设x+2＝t，则x＝t﹣2．
原式＝，
这样，分式就拆分成一个整式（x﹣5）与一个分式的和的形式．
根据以上阅读材料回答下列问题：
（1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为 　x+　；
（2）已知分式的值为整数，求整数x的值；
（3）拓展提升：若，则＝　　．
【分析】（1）设x+1＝t，则x＝t﹣1，将原式变形为含t的式子，再化简为一个整式与一个分式的和形式，再将t还原为x即可；
（2）先将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式，然后再根据结果是整数进行分析即可．
（3）先将式子进行化简，再将已知条件代入，即可求解．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
故答案为：x+．
（2）设2x﹣3＝t，则2x＝3+t
∴4x2＝（2x）2＝（3+t）2，
8x＝4（3+t），
∴原式＝
＝
＝，
＝，
＝，
当2x﹣3＝±1或±2或±4时，该分式的值为整数，
∵x是整数，2x﹣3一定为奇数
∴2x﹣3＝±1，
∴x＝2或1．
（3）．
【点评】本题考查分式的化简，解题的关键是正确理解题目给出的方法，熟练掌握运算法则．
一十三．分式的混合运算（共4小题）
32．（2022秋•任城区校级期中）计算下列各题：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先通分再化简即可；
（2）先将除法转化为乘法，再因式分解后计算即可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝c；
（2）
＝×
＝．
【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算方法，正确地因式分解是解题的关键．
33．（2022秋•蓬莱区期中）计算：
（1）；
（2）（+）．
【分析】（1）先把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式＝﹣，然后进行同分母的减法运算；
（2）先把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再约分后把括号内合并，然后再约分即可．
【解答】解：（1）原式＝•﹣
＝﹣
＝
＝
＝1；
（2）原式＝[+]•
＝（x+1+x﹣2）•
＝（2x﹣1）•
＝x+1．
【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
34．（2022秋•巨野县期中）化简：①；
②（x﹣3﹣）．
【分析】①利用异分母分式加减法法则，进行计算即可解答；
②先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：①
＝+﹣
＝
＝
＝
＝
＝﹣；
②（x﹣3﹣）
＝•
＝•
＝﹣．
【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．
35．（2022秋•晋州市期中）已知．
（1）求P，并将之化简；
（2）当x＝n时，记P的值为P（n）．如，当x＝2时，P的值为P（2）；当x＝3时，P的值为P（3）；…请直接写出关于t的不等式﹣≥P（2）+P（3）+P（4）+P（5）+P（6）+P（7）+P（8）的解集及最小整数解．
【分析】（1）根据除式等于被除式除以商列式计算，即可求出P；
（2）先求出P（2）+P（3）+P（4）+P（5）+P（6）+P（7）+P（8）的值，再解不等式即可．
【解答】解：（1）P＝÷（1+）
＝÷
＝•
＝；
（2）P（2）+P（3）+P（4）+P（5）+P（6）+P（7）+P（8）
＝++++++
＝1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣
＝1﹣
＝，
∴﹣≥，
∴2（t﹣2）﹣4（3﹣t）≥7，
解得t≥3，
∴解集为t≥3，最小整数解为3．
【点评】本题考查分式的混合运算和解一元一次不等式，解题的关键是掌握分式基本性质和不等式的基本性质．
一十四．分式的化简求值（共7小题）
36．（2022秋•西城区校级月考）先化简，再求值：，其中x＝6．
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：
＝•﹣
＝﹣
＝
＝，
当x＝6时，
原式＝
＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
37．（2022秋•龙口市期中）（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
【分析】（1）根据分式的减法法则进行计算即可；
（2）先根据分式的减法法则计算小括号里的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再算乘法，然后把x＝﹣1代入化简后的结果，即可求出答案．
【解答】解：（1）﹣＝＝＝；
（2）原式＝＝＝，
当x＝﹣1时，原式＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
38．（2022秋•任城区校级期中）先化简：，再任选一个合适的数x代入求值．
【分析】先化简分式为原式＝x+1，再根据x的取值情况，恰当的取x的值求解即可．
【解答】解：
＝[+]×
＝×+×
＝﹣
＝
＝
＝x+1，
∵x≠1，x≠﹣1，x≠2，
∴当x＝0时，原式＝1．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则，能够正确地化简分式，并根据x的取值情况，对x进行取值是解题的关键．
39．（2022秋•石阡县期中）请你阅读小明同学的解题过程，思考并完成下面的问题．
先化简，再求值：（）•，其中x＝﹣3．
解：原式＝[]•……第一步
＝……第二步
＝……第三步
＝……第四步
＝x+2……第五步
当x＝﹣3时，原式＝﹣3+2＝﹣1．
（1）以上解题过程中，第 　五　步是约分，其变形依据是 　等式的基本性质　；
（2）请你用更简便的方法，完成化简求值．
【分析】任务一：根据分式的基本性质判断即可；
任务二：根据乘法分配律、分式的约分法则计算．
【解答】解：任务一：第五步是约分，其变形依据是分式的基本性质，
故答案为：五，分式的基本性质；
任务二：原式＝•﹣•
＝﹣
＝
＝x+2，
当x＝﹣3时，原式＝﹣3+2＝﹣1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、分式的基本性质，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
40．（2022秋•德江县期中）先化简：，再从1、2、3、4中选一个合适的a的值代入求值．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝•+•
＝+
＝，
由题意得：a+3≠0，a﹣3≠0，a﹣2≠0，
则a≠﹣3、3、2，
当a＝1时，原式＝＝﹣6，
当a＝4时，原式＝＝15．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
41．（2022秋•任城区期中）先化简，再求值：（1﹣）÷，x取一个合适的值代入．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，再选取一个使得原分式有意义的x的值代入即可解答本题．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝，
由分式有意义的条件可知：x可取0，
∴原式＝＝﹣1．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
42．（2022秋•招远市期中）先化简，再求值：（），请选择一个合适的x的值代入求值．
【分析】先计算括号内的式子，然后计算括号外的除法，最后选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可．
【解答】解：（）
＝
＝
＝
＝，
当x＝0时，原式＝＝1．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．
一十五．负整数指数幂（共3小题）
43．（2022秋•德江县期中）＝　6　．
【分析】根据负整数指数幂的意义、零指数幂的意义以及乘方运算即可求出答案．
【解答】解：原式＝1﹣（﹣1）+4
＝1+1+4
＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查负整数指数幂的意义、零指数幂的意义以及乘方运算，本题属于基础题型．
44．（2022秋•安徽期中）计算：．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1×9+3+1
＝﹣9+3+1
＝﹣5．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键．
45．（2022秋•东阳市期中）．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝﹣4+9﹣5+1
＝1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
一十六．列代数式（分式）（共2小题）
46．（2022秋•房山区期中）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．用f，v表示物体到镜头的距离u，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用分式的基本性质，把等式＝+（v≠f）恒等变形，用含f、v的代数式表示u．
【解答】解：∵＝+，
∴＝﹣＝，
∴u＝，
故选：B．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是掌握分式的基本性质，把异分母通分．
47．（2021秋•巩义市期末）中国首列商用磁浮列车平均速度为akm/h，计划提速20km/h，已知从A地到B地路程为360km，那么提速后从A地到B地节约的时间为（　　）
A．h B．h
C．h D．h
【分析】直接根据题意表示出提速前和提速后所用时间，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：
﹣＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了列代数式（分式），正确表示出行驶时间是解题关键．

巩固提升

一、单选题
1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第一一三中学校八年级期中）若把分式中的x、y都扩大5倍，那么分式的值（　　）
A．扩大5倍 B．不变 C．缩小5倍 D．缩小倍
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质，即可求解．
【详解】解：∵把分式中的x、y都扩大5倍，
∴，
即分式的值不变．
故选：B
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分式的值不变．
2．（2021·山东临淄·八年级期中）在式子中，分式的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】形如：，都为整式，且B中含有字母，这样的代数式是分式，根据分式的定义逐一判断即可得到答案.
【详解】解：式子中，分式有：
一共3个，
故选B
【点睛】本题考查的是分式的定义，掌握“利用分式的定义判断代数式是否是分式”是解题的关键.
3．（2021·黑龙江·哈尔滨市第一一三中学校八年级期中）化简2x÷的结果是（　　）
A．2 B．2xy C． D．
【答案】C
【分析】先将除法转化为乘法，再计算，即可求解．
【详解】解：．
故选：C
【点睛】本题主要考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的乘除混合运算法则是解题的关键．
4．（2021·北京·八年级单元测试）下列分式中，是最简分式的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】最简分式是指分式的分子和分母没有公因式，不能再约分的分式，根据最简分式的概念即可求解．
【详解】解：A项，故不符合题意；
B项，故不符合题意；
C项，故不符合题意；
D项是最简分式，故符合题意。
故选：D．
【点睛】本题主要考查最简分式的概念，解决本题的关键是要熟练掌握最简分式的概念．
5．（2021·广东大埔·八年级期中）下列各数是无理数的是（　　）
A． B．（4﹣π）0 C．﹣π D．
【答案】C
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】解：A、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、（4﹣π）0＝1，1是有理数，故此选项不符合题意；
C、﹣π是无理数，故此选项符合题意；
D、＝2，2是有理数，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是无理数的定义，掌握“无限不循环的小数是无理数”是解题的关键.
6．（2021·山东新泰·八年级期中）甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格略有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次用去800元，乙每次购买1000千克，而不管购买多少饲料．设两次购买饲料的单价分别为m元/千克和n元千克（m，n是正数，且），那么甲、乙所购买的饲料的平均单价（ ）
A．甲所购买的饲料的平均单价低 B．乙所购买的饲料的平均单价低
C．甲、乙所购买的饲料的平均单价相同 D．不能比较
【答案】A
【分析】根据题意分别表示出甲、乙所购买的饲料的平均单价，然后作差求解即可判断．
【详解】解：甲两次购买饲料的平均单价为：（元/千克），
乙两次购买饲料的平均单价为（元/千克），
甲、乙两种饲料的平均单价的差是：，
由于m、n是正数，因为m≠n时，也是正数，
即，
因此甲的购货方式更合算．
故选：A．
【点睛】此题考查了分式在实际生活中的应用，分式的加减混合运算，解题的关键是根据题意列出分式分别表示出甲、乙所购买的饲料的平均单价．
7．（2021·山东巨野·八年级期中）下列等式成立的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质逐一判断即可得答案．
【详解】A.当a=1，b=2时，，故该选项不符合题意，
B.成立，故该选项符合题意，
C.当a=1，b=2时，，故该选项不符合题意，
D.当a=1，b=2时，，故该选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的基本性质．分式的分子分母同乘以或除以一个不等于0的数（或分式），分式的值不变．灵活运用性质是解题的关键．
二、填空题
8．（2021·北京·八年级期中）当 =_______时，式子的值为0．
【答案】
【分析】根据分式值为0的条件、分式的分母不能为0即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，
又因为，即，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的值为0、分式的分母不能为0，熟练掌握分式值为0的条件是解题关键．
9．（2021·黑龙江·哈尔滨市第一一三中学校八年级期中）用科学记数法表示：0.00002021＝___．
【答案】
【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为 ，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键．
10．（2021·北京·八年级单元测试）分式，的最简公分母是__________．
【答案】
【分析】根据最简公分母的定义，最简公分母是指，系数的最小公倍数，取相同字母的最高次幂，最后把他们相乘，即可求解．
【详解】解：最简公分母是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母是指，系数的最小公倍数，取相同字母的最高次幂，最后把他们相乘是解题的关键．
11．（2021·北京·八年级期中）若5，则的值为_____．
【答案】
【分析】在两边同时乘以xy，得到x-y=5xy，再变形利用等量代换计算即可．
【详解】解：两边同时乘以xy，
得到x-y=5xy，
整理，
再将x-y=5xy代入得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要是考查一个分式的变形以及等量代换的数学思想，解题的关键是通过等式的变形以及化简，利用等量代换巧解式子的值．
12．（2021·北京·八年级单元测试）对于正数例如则=__________
【答案】
【分析】观察式子特点，可发现，因此借助首尾相加，即可求出结果．
【详解】，
，
，
∴，，
∴原式=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减法，根据可得出是解题的关键．
13．（2021·北京·八年级单元测试）小明在学习分式运算过程中，计算的解答过程如下：
解：
= ①
= ②
= ③
= ④
李老师批阅小明的解答过程，并和小明交流了计算过程中出现的错误. 请你指出小明解答过程中的错误出现在第_____步（写出对应的序号即可），错误的原因是_______________，请将该步改写正确：_____________________
【答案】② 同分母分式加减时分母不变，分子相加减，而他把分母省略了
【分析】根据分式的加减运算法则解答即可．
【详解】解：分式加减法的重点是异分母加减，需要先通分化成同分母加减法，再将分母不变，分子相加减，因此第②步出错，
正确的结果应该是，
故答案为：故答案为：②；同分母分式加减时分母不变，分子相加减，而他把分母省略了，故错误；．
【点睛】本题考查了异分母分式相加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
三、解答题
14．（2021·黑龙江·哈尔滨市第一一三中学校八年级期中）计算：
（1）（16x5﹣10x4）÷（﹣2x）3； （2）．
【答案】（1）-2x2+x；（2）．
【分析】（1）先计算积的乘方，再根据整式的除法运算法则即可求出答案；
（2）通分并利用同分母分式的加减法法则计算即可求出答案．
【详解】解：（1）（16x5﹣10x4）÷（﹣2x）3
=（16x5﹣10x4）÷（﹣8x3）
=-2x2+x；
（2）



．
【点睛】本题考查了整式的混合运算以及分式的混合运算，解题的关键是熟练运用运算法则．
15．（2021·北京·八年级单元测试）已知互为相反数，求式子的值．
【答案】
【分析】根据相反数的定义，可以求出a，b的值，再将分式化简求值即可．
【详解】解：



原式=
=
=
把代入，原式=
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
16．（2021·北京·八年级单元测试）计算
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）直接利用分式混合运算法则进行化简；
（2）先分解因式再利用分式混合运算法则进行进行化简；
【详解】解：（1）原式=
=
=
（2）原式=
=
=
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（2021·山东巨野·八年级期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】
【分析】先通分，计算括号内的分式的加法运算，再把除法转化为乘法，再约分可得化简的结果，再把代入化简后的代数式中求值即可.
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握“分式的混合运算的运算顺序与运算法则”是解题的关键.
18．（2021·山东巨野·八年级期中）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先利用平方差公式得出最简公分母，再根据分式减法法则计算即可得答案；
（2）先利用完全平方公式及平方差公式把各分式的分子、分母因式分解，再根据分式除法法则计算即可得答案
【详解】（1）


．
（2）

．
【点睛】本题考查分式的减法及除法，熟练掌握运算法则是解题关键．
19．（2021·山东新泰·八年级期中）解答下列各题：
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，请从不等式组的整数解中选择一个合适的值代入求值．
【答案】（1）；（2）；，；，
【分析】（1）根据分式的加法运算法则即可；
（2）根据分式的混合运算法则将原式化简，求出不等式组的整数解，结合分式有意义的条件代入计算即可．
【详解】解：（1）
＝
＝
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝
＝；
不等式组，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的整数解为：，
∵，
∴当时，原式＝＝；
当时，原式＝＝．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，求不等式组的整数解，分式有意义的条件，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
20．（2021·全国·八年级单元测试）已知 为整数，且满足 ，求 的值．
【答案】x+y的值为0或±1.
【分析】根据平方差公式和约分法则把原式化简，根据取整法则解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
由，得，
由于 x，y 为整数，
当y=1时，x为整数-2，则x+y=-1；
当y=-1时，x为-，不是整数，不符合题意，舍去；
当y=2时，x为整数-1，则x+y=1；
当y=-2时，x为-，不是整数，不符合题意，舍去；
综上，x+y的值为0或±1．
【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握平方差公式是解题的关键．
21．（2021·江苏·南京玄武外国语学校八年级期中）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题新结论的重要方法．
阅读材料：
在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．
将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：
，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式的和的形式．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）假分式可化为带分式__________形式；
（2）利用分离常数法，求分式的取值范围；
（3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的最小值．
【答案】（1）﹔（2）；（3）27
【分析】（1）按照阅读材料方法，把变形即可；
（2）用分离常数法，把原式化为，由即可得答案；
（3）用分离常数法，把原式化为，根据已知用的代数式表示、和，配方即可得答案．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2），
，
，
∴，
；
（3），
∴
，，
，，
，，
∴，
，
，
当时，最小值是27．
【点睛】本题考查了分式的变形、运算，解题的关键是应用分离常数法，把所求分式变形．
22．（2021·全国·八年级专题练习）有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是；第二个数是；第三个数是；
对任何正整数，第个数与第个数的和等于
（1）经过探究，我们发现：，，
设这列数的第个数为，那么①；②，③，则 正确（填序号）．
（2）请你观察第个数、第个数、第个数，猜想这列数的第个数可表示 （用含的式子表示），并且证明：第个数与第个数的和等于；
（3）利用上述规律计算：的值．
【答案】（1）②；（2），证明见解析；（3）
【分析】（1）根据题干知道即可得到结果；
（2）根据题干中的规律总结出第 个数表示为，再分别表示出第n个和第n+1个数求和即可；
（3）根据题意发现每一项两分母之差为2，即通分后分子为2，故每一项乘以即可，再提取公因数合并各项计算即可．
【详解】解：（1）∵，
∴；
故填：
（2）第个数表示为：，
证明：第个数表示为：， 第个数表示为：





（3）原式




【点睛】此题考查了有理数运算的规律观察能力，从已知题干中提取规律解题运算是关键．
23．（2021·河南省淮滨县第一中学八年级期末）代数式求值是在已知字母的值或限制条件下，求出给定代数式的值．为了方便求值，我们常常将所求代数式化简或把限制条件进行变形，再将变形后的条件代入化简后的代数式求值．
例如：当时，求的值．
为解决本道题，若直接把代入所求式子进行计算，计算量较大，我们可以通过对条件和所求式子变形，对本题进行解答：
解：∵∴
∴，
∴．
方法一：∵，∴
∴原式





方法二：∵，∴
∴原式





…本题还有其它类似方法．
请参照以上解决问题的思路和方法，解决以下问题：
（1）当时，____________．
（2）当时，求的值．
（3）当时，求的值．
【答案】（1）6；（2）2019；（3）4．
【分析】（1）模仿方法一，利用对多项式进行逐渐降次计算即可；
（2）将、变形为，，先将代人化简可得原式，再将代人即可得出结果；
（3）利用已知变形出，，再模仿（1）进行计算即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴




=6；
（2）∵，
∴，
∴
∴




=2019，
（3）∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴




=4．
【点睛】本题考查了整体思想进行代数式求值，解题关键是等式性质对已知式进行变形，用整体代入法求值．
24．（2021·山东广饶·八年级期中）已知下面一列等式：
；；；；…
（1）请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式：
（2）验证一下你写出的等式是否成立；
（3）利用等式计算：.
【答案】（1）一般性等式为；（2）原式成立；详见解析；（3）.
【分析】（1）先要根据已知条件找出规律；（2）根据规律进行逆向运算；（3）根据前两部结论进行计算.
【详解】解：（1）由；；；；…，
知它的一般性等式为；
（2），
原式成立；
（3）


.
【点睛】解答此题关键是找出规律，再根据规律进行逆向运算.
25．（2021·全国·八年级单元测试）阅读材料：小学时，我们学习过假分数和带分数的互化．我们可以将一个假分数化为带分数，如：

．
初二 班学生小杨同学根据学习分数的方法， 在学习分式这一章时，对分式进行了探究：


根据探究过程，小杨同学说，我可以根据这一探究过程可以分析分式整数解的问题，同学们，你们能吗？
请你帮小杨同学解答下列问题：
当为整数时，若也为整数，求满足条件的所有的值；
当为整数时，若也为整数,求满足条件的所有的绝对值之和．
【答案】（1）或2或4或6；（2）满足条件的所有的绝对值之和为
【分析】（1）先把分式进行通分化简，再根据约数的知识进行分析即可；
（2）先把分式进行通分化简，再根据约数的知识进行分析求得x的值即可的解．
【详解】（1）
，
为整数，分式也为整数，
为3的约数，
，
或2或4或6；
（2）


为整数，分式也为整数，
为的约数，
，

满足条件的所有的绝对值之和为.
【点睛】此题考查了分式的化简、分式的值等知识；熟练掌握分式的化简，根据分式的值为整数、利用约数的方法进行分析是解决问题的关键．
26．（2020·山东·丁庄镇中心初级中学八年级月考）阅读下面材料：
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式）参考上面的方法解决下列问题：
将分式，化为带分式．
当x取什么整数值时，分式的值也为整数？
【答案】（1），；（2），3，，时，分式的值也为整数．
【分析】（1）两式根据材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值．
【详解】解：（1），
；
（2），
当，即；
当，即；
当，即；
当，即，
综上，，3，，时，分式的值也为整数．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．