2022-2023学年山西省晋中市平遥县九年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年山西省晋中市平遥县九年级（上）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山西省晋中市平遥县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（本大题10个小题，每小题3分，共30分）每个小题都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在表格中.
1．（3分）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会，在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）已知x＝1是方程x2+m＝0的一个根，则m的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
3．（3分）如果a-ba=35，那么ba的值是（　　）
A．13 B．23 C．25 D．35
4．（3分）如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在路灯下A处测得影子AM的长为5米，则小明和路灯的距离为（　　）

A．25米 B．15米 C．16米 D．20米
5．（3分）“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
6．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转65°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC＝（　　）

A．80° B．85° C．90° D．95°
7．（3分）如图所示，A，B是函数y=2x的图象上关于原点O的任意一对对称点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，△ABC的面积为S，则（　　）

A．S=2 B．S=22 C．1＜S＜2 D．S＞2
8．（3分）2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮转发后，共有931人参与了此次活动，则方程列为（　　）
A．（1+n）2＝931 B．n（n﹣1）＝931 C．1+n+n2＝931 D．n+n2＝931
9．（3分）如图，在矩形COED中，点D的坐标是（2，4），则CE的长是（　　）

A．13 B．8 C．25 D．26
10．（3分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣6，10），B（﹣6，0），C（4，0），将△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，与此同时顶点C恰好落在双曲线y=kx的图象上，则该反比例函数表达式为（　　）

A．y=-6x B．y=-10x C．y=-15x D．y=-12x
二、填空题：（本题6个小题，每小题3分，共18分）将正确答案直接填在题后的横线上.
11．（3分）请你写出一个三种视图形状完全相同的几何体 　 　．
12．（3分）一元二次方程3x（x﹣2）＝﹣4的一般形式是 　 　．
13．（3分）平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，要使平行四边形ABCD是矩形请添加一个条件　 　．
14．（3分）一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球试验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是20%，则袋中有　 　个红球．
15．（3分）一块直角三角形板ABC，∠ACB＝90°，BC＝12cm，AC＝8cm，测得BC边的中心投影B1C1长为24cm，则A1B1长为 　 　cm．

16．（3分）如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AB∥CD，△AOB与△COD面积分别为12和27，若双曲线y=kx恰好经过BC的中点E，则k的值为 　 　．

三、解答题：（本大题6个小题，共72分）解答每小题须给出必要的演算过程或推理步骤。
17．（18分）（1）|-6|-9+(1-2)0-(-3)；
（2）x2﹣7x+6＝0；
（3）（x﹣5）2＝16．
18．（10分）如图，已知平行四边形ABCD中，延长AB至点E，使BE＝AB，连接BD和CE．
（1）求证：△DAB≌△CBE
（2）请你给图中平行四边形ABCD补充适当的条件，使四边形DBEC成为菱形；请结合补充条件证明；

19．（10分）在抗击新冠病毒战役中，我县涌现出许多青年志愿者．其中小丽、小王等五名青年志愿者派往一社区核酸检测点，根据医护人员人事安排需要先抽出一人进行检测点消杀，再派两人到站点扫码，请你利用所学知识完成下列问题．
（1）小丽被派往检测点消杀的概率是 　 　；
（2）若正好抽出小丽小王之外的一人去往检测点消杀，剩下四人中再派两人去站点扫码，请你利用所学知识求出小丽和小王同时被派往站点扫码的概率．
20．（10分）已知反比例函数y1=kx的图象与一次函数y2＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）观察图象，当x＞0时，直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围；
（3）如果点C与点A关于x轴对称，求△ABC的面积．

21．（10分）某商店通过网络在一源头厂家进一种季节性小家电，由于疫情影响以及市场竞争，该厂家不得不逐年下调出厂价；
（1）2019年这个小家电出厂价是每台62.5元，到2021年同期该品牌小家电出厂价下调为40元，若每年下调幅度相同，请你计算该小家电出厂价平均每年下调的百分率；
（2）若明年商场计划按每台40元购一批该品牌小家电，经市场预测，销售定价为50元时，每月可售出500台，销售定价每增加1元，销售量将减少10台．因受库存的影响，每月进货台数不得超过300台；商家若希望月获利8750元，则应进货多少台？销售定价多少元？
22．（14分）如图，正方形ABCD的边长是3，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF＝BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF．
（1）如图，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；
（2）如图‚，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；
（3）在（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由．


2022-2023学年山西省晋中市平遥县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题10个小题，每小题3分，共30分）每个小题都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在表格中.
1．（3分）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会，在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）已知x＝1是方程x2+m＝0的一个根，则m的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【分析】把x＝1代入方程得1+m＝0，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程得1+m＝0，
解得m＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．也考查了一元二次方程的解．
3．（3分）如果a-ba=35，那么ba的值是（　　）
A．13 B．23 C．25 D．35
【分析】直接利用已知进而变形得出a，b的关系．
【解答】解：∵a-ba=35，
∴3a＝5a﹣5b，
则2a＝5b，
故ba=25．
故选：C．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
4．（3分）如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在路灯下A处测得影子AM的长为5米，则小明和路灯的距离为（　　）

A．25米 B．15米 C．16米 D．20米
【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形对应边成比例可得出小明的影子OA的长．
【解答】解：如图，根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知ABOC=AMOA+AM，即1.68=55+OA，
解得OA＝20．
则小明和路灯的距离为20米．
故选：D．

【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
5．（3分）“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
【解答】解：①“水中捞月”是不可能事件，符合题意；
②“守株待兔”是随机事件，不合题意；
③“百步穿杨”，是随机事件，不合题意；
④“瓮中捉鳖”是必然事件，不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转65°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC＝（　　）

A．80° B．85° C．90° D．95°
【分析】由旋转的性质可得∠BAD＝65°，∠E＝∠ACB＝70°，由直角三角形的性质可得∠DAC＝20°，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转65°得△ADE，
∴∠BAD＝65°，∠E＝∠ACB＝70°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝20°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝85°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
7．（3分）如图所示，A，B是函数y=2x的图象上关于原点O的任意一对对称点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，△ABC的面积为S，则（　　）

A．S=2 B．S=22 C．1＜S＜2 D．S＞2
【分析】设出点A的坐标，可得点B的坐标．易得△ABC为直角三角形，面积等于12×AC×BC，把相关数值代入求值即可．
【解答】解：设点A的坐标为（x，y），点A在反比例函数解析式上，
∴点B的坐标为（﹣x，﹣y），k＝xy=2，
∵AC平行于y轴，BC平行于x轴，
∴△ABC的直角三角形，
∴AC＝2y，BC＝2x，
∴S=12×2y×2x＝2xy＝22．
故选：B．
【点评】主要考查反比例函数的比例系数的意义；用到的知识点为：关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．
8．（3分）2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮转发后，共有931人参与了此次活动，则方程列为（　　）
A．（1+n）2＝931 B．n（n﹣1）＝931 C．1+n+n2＝931 D．n+n2＝931
【分析】设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮转发了n个人，第二轮转发了n2个人，根据两轮转发后，共有931人参与列出方程即可．
【解答】解：由题意，得
n2+n+1＝931，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为931人建立方程是关键．
9．（3分）如图，在矩形COED中，点D的坐标是（2，4），则CE的长是（　　）

A．13 B．8 C．25 D．26
【分析】根据勾股定理求得OD=20，然后根据矩形的性质得出CE＝OD=20．
【解答】解：∵四边形COED是矩形，
∴CE＝OD，
∵点D的坐标是（2，4），
∴OD=22+42=20=25，
∴CE＝25．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
10．（3分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣6，10），B（﹣6，0），C（4，0），将△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，与此同时顶点C恰好落在双曲线y=kx的图象上，则该反比例函数表达式为（　　）

A．y=-6x B．y=-10x C．y=-15x D．y=-12x
【分析】利用点A、B、C的坐标得到AB⊥x轴，AB＝10，BC＝10，AC＝102，再根据旋转的性质得BA′＝AB＝10，BC′＝BC＝10，A′C′＝AC＝102，接着确定A′点坐标，设C′（a，b），利用两点间的距离公式得到（a+6）2+b2＝100①，A′C′2＝a2+（b﹣8）2＝200②，然后解方程组求出a和b得到C′点坐标，最后利用反比例函数图象上点的坐标特征求k的值．
【解答】解：∵A（﹣6，10），B（﹣6，0），C（4，0），
∴AB⊥x轴，AB＝10，BC＝10，
∴AC＝102，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，
∴BA′＝AB＝10，BC′＝BC＝10，A′C′＝AC＝102，
在Rt△OBA′中，OA′=102-62=8，
∴A′（0，8），
设C′（a，b），
∴BC′2＝（a+6）2+b2＝100①，A′C′2＝a2+（b﹣8）2＝200②，
①﹣②得b=-3a-184③，
把③代入①整理得a2+12a﹣28＝0，
解得a1＝﹣14（舍去），a2＝2，
当a＝2时，b＝﹣6，
∴C′（2，﹣6），
把C′（2，﹣6）代入y=kx，
得k＝2×（﹣6）＝﹣12，
∴y=-12x．
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．解决本题的关键是利用两点间的距离公式建立方程组．
二、填空题：（本题6个小题，每小题3分，共18分）将正确答案直接填在题后的横线上.
11．（3分）请你写出一个三种视图形状完全相同的几何体 　球或正方体（答案不唯一）　．
【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：球的俯视图与主视图都为圆；
正方体的俯视图与主视图都为正方形．
故答案为：球或正方体（答案不唯一）．
【点评】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
12．（3分）一元二次方程3x（x﹣2）＝﹣4的一般形式是 　3x2﹣6x+4＝0　．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．
【解答】解：3x（x﹣2）＝﹣4，
去括号，得3x2﹣6x＝﹣4，
移项得3x2﹣6x+4＝0，
原方程的一般形式是3x2﹣6x+4＝0．
故答案为：3x2﹣6x+4＝0．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项时要注意变号．
13．（3分）平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，要使平行四边形ABCD是矩形请添加一个条件　任意写出一个正确答案即可（如AC＝BD或∠ABC＝90°）　．
【分析】矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角是直角；可针对这些特点来添加条件．
【解答】解：若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是：
AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形）
∠ABC＝90°等．（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
故答案为：任意写出一个正确答案即可（如AC＝BD或∠ABC＝90°）
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与矩形的判定，熟练掌握矩形是特殊的平行四边形是解题关键．
14．（3分）一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球试验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是20%，则袋中有　6　个红球．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：设袋中有x个红球．
由题意可得：x30=20%，
解得：x＝6，
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
15．（3分）一块直角三角形板ABC，∠ACB＝90°，BC＝12cm，AC＝8cm，测得BC边的中心投影B1C1长为24cm，则A1B1长为 　813　cm．

【分析】由题意易得△ABC∽△A1B1C1，根据相似比求解即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝12cm，AC＝8cm，B1C1＝24cm，
∴AB=AC2+BC2=82+122=413（cm），
∵△ABC∽△A1B1C1，∴A1B1：AB＝B1C1：BC＝2：1，
∴A1B1＝813（cm），
故答案为：813．
【点评】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用，解题的关键是利用中心投影的特点可知这两组三角形相似，利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段．
16．（3分）如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AB∥CD，△AOB与△COD面积分别为12和27，若双曲线y=kx恰好经过BC的中点E，则k的值为 　9　．

【分析】由平行线的性质得∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，两个对应角相等证明△OAB∽△OCD，其性质得OBOD=OAOC，再根据三角形的面积公式，等式的性质求出m=23，线段的中点，反比例函数的性质求出k的值为6．
【解答】解：如图所示：

∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，
∴△OAB∽△OCD，
∴OBOD=OAOC，
若OBOD=OAOC=m，
由OB＝m•OD，OA＝m•OC，
又∵S△OAB=12⋅OA⋅OB，S△OCD=12⋅OC⋅OD，
∴S△OABS△OCD=12OA⋅OB12OC⋅OD=OA⋅OBOC⋅OD=m2⋅OC⋅ODOC⋅OD=m2，
又∵S△OAB＝12，S△OCD＝27，
∴m2=1227=49，
解得：m=23或m=-23（舍去），
设点A、B的坐标分别为（0，a），（b，0），则12•a•（﹣b）＝12，即ab＝﹣24，
∵OAOC=OBOD=23，
∴点C的坐标为（0，-32a），
又∵点E是线段BC的中点，
∴点E的坐标为（b2，-34a），
又∵点E在反比例函数y=kx(k＞0)上，
∴k=b2⋅(-34a)=-38ab=-38×（﹣24）＝9；
解法二：∵S△OAB=12•OA•OB，S△ODC12•OC•OD，SOBC=12•OC•OB，S△OAD=12•OA•OD，
∴S△OAB×S△OCD＝S△OBC×S△OAD＝12×27＝324，
又∵AB∥CD，
∴S△ACD＝S△BCD（同底等高），
∴S△OBC＝S△OAD，
∴S△OBC＝S△OAD＝18，
∵双曲线y＝kx恰好经过BC的中点E，且点E在第三象限，
所以根据k的几何意义得到k＝9．
故答案为：9．
【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的中点坐标，反比例函数的性质，三角形的面积公式等知识，重点掌握反比例函数的性质，难点根据三角形的面积求反比例函数系数的值．
三、解答题：（本大题6个小题，共72分）解答每小题须给出必要的演算过程或推理步骤。
17．（18分）（1）|-6|-9+(1-2)0-(-3)；
（2）x2﹣7x+6＝0；
（3）（x﹣5）2＝16．
【分析】（1）先根据绝对值、零指数幂的意义计算，然后进行有理数的加减运算；
（2）先利用因式分解法把方程转化为x﹣6＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可；
（3）先把方程两边开方得到x﹣5＝±4，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）原式＝6﹣3+1+3
＝7；
（2）x2﹣7x+6＝0，
（x﹣6）（x﹣1）＝0，
x﹣6＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝6，x2＝1；
（3）（x﹣5）2＝16，
x﹣5＝±4，
所以x1＝9，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运算．
18．（10分）如图，已知平行四边形ABCD中，延长AB至点E，使BE＝AB，连接BD和CE．
（1）求证：△DAB≌△CBE
（2）请你给图中平行四边形ABCD补充适当的条件，使四边形DBEC成为菱形；请结合补充条件证明；

【分析】（1）由“SAS”可证△DAB≌△CBE；
（2）先证四边形DBEC是平行四边形，通过证明△ABD是等边三角形，可得BD＝AB＝BE，可得结论．
【解答】（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠CBE＝∠DAB，
在△DAB和△CBE中，
AD=BC∠DAB=∠CBEAB=BE，
∴△DAB≌△CBE（SAS）；
（2）补充条件为：AB＝AD且∠A＝60°．
证明：∵平行四边形ABCD，
∴DC∥BE，DC＝AB＝BE，
∴四边形DBEC是平行四边形，
∵AB＝AD且∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，
又∵BE＝AB，
∴BD＝BE，
∴平行四边形DBEC是菱形．

【点评】本题考查菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
19．（10分）在抗击新冠病毒战役中，我县涌现出许多青年志愿者．其中小丽、小王等五名青年志愿者派往一社区核酸检测点，根据医护人员人事安排需要先抽出一人进行检测点消杀，再派两人到站点扫码，请你利用所学知识完成下列问题．
（1）小丽被派往检测点消杀的概率是 　15　；
（2）若正好抽出小丽小王之外的一人去往检测点消杀，剩下四人中再派两人去站点扫码，请你利用所学知识求出小丽和小王同时被派往站点扫码的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小丽和小王同时被派往站点扫码的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小丽被派往检测点消杀的概率是15，
故答案为：15；
（2）把剩下的小丽、小王等四名青年志愿者分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中小丽和小王同时被派往站点扫码的结果有2种，
∴小丽和小王同时被派往站点扫码的概率为212=16．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（10分）已知反比例函数y1=kx的图象与一次函数y2＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）观察图象，当x＞0时，直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围；
（3）如果点C与点A关于x轴对称，求△ABC的面积．

【分析】（1）由A在反比例函数图象上，把A的坐标代入反比例解析式，确定出k的值，从而得出反比例函数解析式，又B也在反比例函数图象上，把B的坐标代入确定出的反比例解析式即可确定出m的值，从而得到B的坐标，由A和B都在一次函数图象上，故把A和B都代入到一次函数解析式中，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，从而确定出一次函数解析式；
（2）根据图象结合交点坐标即可求得；
（3）由点C与点A关于x轴对称可得AC，AC边上的高为A，B两点横坐标绝对值的和，代入三角形的面积公式即可．
【解答】解：（1）∵函数y=kx的图象过点A（1，4），即4=k1，∴k＝4，即y1=4x，
又∵点B（m，﹣2）在y1=4x上，
∴m＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣2），
又∵一次函数y2＝ax+b过A、B两点，
即-2a+b=-2a+b=4，解得a=2b=2．
∴y2＝2x+2，
综上可得y1=4x，y2＝2x+2；
（2）要使y1＞y2，即函数y1的图象总在函数y2的图象上方，
∴0＜x＜1；
（3）过B作BD⊥AC于D，由图形及题意可得：AC＝4+4＝8，BD＝|﹣2|+1＝3，
∴s△ABC=12AC•BD=12×8×3＝12．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
21．（10分）某商店通过网络在一源头厂家进一种季节性小家电，由于疫情影响以及市场竞争，该厂家不得不逐年下调出厂价；
（1）2019年这个小家电出厂价是每台62.5元，到2021年同期该品牌小家电出厂价下调为40元，若每年下调幅度相同，请你计算该小家电出厂价平均每年下调的百分率；
（2）若明年商场计划按每台40元购一批该品牌小家电，经市场预测，销售定价为50元时，每月可售出500台，销售定价每增加1元，销售量将减少10台．因受库存的影响，每月进货台数不得超过300台；商家若希望月获利8750元，则应进货多少台？销售定价多少元？
【分析】（1）设该小家电出厂价平均每年下调的百分率为x，利用2021年同期该品牌小家电出厂价＝2019年这个小家电出厂价×（1﹣该小家电出厂价平均每年下调的百分率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设该商品每台的销售定价为y元，则每台的销售利润为（y﹣40）元，每月可售出500﹣10（y﹣50）＝（1000﹣10y）台，利用总利润＝每台的销售利润×月销售量，可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，可得出该商品每台的销售定价，再将其代入（1000﹣10y）中，即可求出进货数量．
【解答】解：（1）设该小家电出厂价平均每年下调的百分率为x，
根据题意得：62.5（1﹣x）2＝40，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）．
答：该小家电出厂价平均每年下调的百分率为20%；
（2）设该商品每台的销售定价为y元，则每台的销售利润为（y﹣40）元，每月可售出500﹣10（y﹣50）＝（1000﹣10y）台，
根据题意得：（y﹣40）（1000﹣10y）＝8750，
解得：y1＝65，y2＝75，
当y＝65时，1000﹣10y＝1000﹣10×65＝350＞300，不符合题意，舍去；
当y＝75时，1000﹣10y＝1000﹣10×75＝250＜300，符合题意．
答：该商品每台的销售定价为75元，应进货250台．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（14分）如图，正方形ABCD的边长是3，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF＝BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF．
（1）如图，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；
（2）如图‚，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；
（3）在（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由．

【分析】（1）由正方形的性质可以得出AB＝BC，∠ABP＝∠ABC＝∠90°，可以得出△PBA≌△FBC，由其性质就可以得出结论；
（2）由正方形的性质可以得出AB＝BC，∠FBC＝∠ABC＝∠90°，可以得出△PBA≌△FBC，由其性质就可以得出结论；
（3）设BP＝x，则PC＝3﹣x 平行四边形PEFC的面积为S，由平行四边形的面积公式就可以求出其解析式，再根据二次函数的性质就可以求出其最大值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠PBA＝90°
∵在△PBA和△FBC中，
AB=BC∠PBA=∠ABCBP=BF，
∴△PBA≌△FBC（SAS），
∴PA＝FC，∠PAB＝∠FCB．
∵PA＝PE，
∴PE＝FC．
∵∠PAB+∠APB＝90°，
∴∠FCB+∠APB＝90°．
∵∠EPA＝90°，
∴∠APB+∠EPA+∠FCP＝180°，
即∠EPC+∠PCF＝180°，
∴EP∥FC，
∴四边形EPCF是平行四边形；

（2）结论：四边形EPCF是平行四边形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠CBF＝90°
∵在△PBA和△FBC中，
AB=BC∠PBA=∠ABCBP=BF，
∴△PBA≌△FBC（SAS），
∴PA＝FC，∠PAB＝∠FCB．
∵PA＝PE，
∴PE＝FC．
∵∠FCB+∠BFC＝90°，
∠EPB+∠APB＝90°，
∴∠BPE＝∠FCB，
∴EP∥FC，
∴四边形EPCF是平行四边形；

（3）有最大值．
设BP＝x，则PC＝3﹣x 平行四边形PEFC的面积为S，
S＝PC•BF＝PC•PB＝（3﹣x）x
＝﹣（x-32）2+94．
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线的开口向下，
∴当x=32 时，S最大=94，
∴当BP=32 时，四边形PCFE的面积最大，最大值为94．
【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，平行四边形的面积公式的运用，二次函数的性质的运用，解答时灵活运用平行四边形的判定方法是关键．
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