第06讲 角平分线的性质（5大考点）2022-2023学年八年级数学考试满分全攻略（人教版）

第06讲 角平分线的性质（5大考点）

一  角平分线

概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；

数学语言：

∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON

∴PA=PB

判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．

数学语言：

∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB 

∴∠MOP=∠NOP

二 角平分线常考四种辅助线

1. 图中有角平分线，可向两边作垂线。
2. 角平分线加垂线，三线合一试试看。 
3. 角平分线平行线，等腰三角形来添。 
4. 也可将图对折看，对称以后关系出现。

考点一 ：与角平分线有关的计算

1.（2020·廊坊市期末）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于(    ).

A．35° B．70°

C．110° D．145°

2.（2019·通辽市期末）已知：如图，直线BO⊥AO于点O，OB平分∠COD，∠BOD＝22°．则∠AOC的度数是(   )

A．22° B．46° C．68° D．78°

3.（2018·郑州市期末）已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是（　　）

A．20°或50° B．20°或60° C．30°或50° D．30°或60°

考点二 ：角平分线的性质定理

1.（2020·景泰县期中）如图所示，OP平分，，，垂足分别为A、B．下列结论中不一定成立的是（    ）．

A． B．PO平分

C． D．AB垂直平分OP

2.（2019·云龙县期中）如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为(　　)

A．6 B．5 C．4 D．3

3.（2019·肥城市期末）如图，AD是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为60和35，则的面积为　　

A．25          B．       C．       D．

4.（2019·磴口县期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（   ）

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm

考点三： 角平分线的判定定理

1．（2020·嵩县期末）如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（    ）

A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等

B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等

D．以上均不正确

2.（2019·漳州市期中）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（ ）

A．1 B．2

C．3 D．4

3．（2018·深圳市期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则以下结论：①AD平分∠CDE；②DE平分∠BDA；③AE-BE=BD；④△BDE周长是4cm．其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

考点四： 角平分线性质的实际应用

1．（2020·济南市期末）如图，已知△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且CD：BD=3：4.若BC=21，则点D到AB边的距离为(    )

A．7 B．9 C．11 D．14

2．（2019·东城区期末）已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（    ）.

A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 

C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上

3．（2019·河西区期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地上修建一个度假村。要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（   ）

A．三边中线的交点 B．三个角的平分线的交点

C．三边高线的交点 D．三边垂直平分线的交点

考点五 ：作角平分线

1．（2020·黄石市期末）角平分线的作法（尺规作图）

①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；

②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；

③过点P作射线OP，射线OP即为所求．

角平分线的作法依据的是（　　）

A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA

2．（2020·荆州市期末）如图，在中，．请用尺规作图法在上找一点，使得点到的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法）

3．（2020·东莞市期末）如图，在□ABCD中，AB=5，BC=8.

（1）作∠ABC的角平分线交线段AD于点E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）：

（2）在（1）的条件下，求ED的长.

4．（2020·六盘水期末）如图，在中，，．

（1）作的角平分线BE（点E在AC上；用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，求的度数．

一、单选题

1．（2021·全国八年级课时练习）利用作角平分线的方法，可以把一个已知角（    ）

A．三等分 B．四等分 C．五等分 D．六等分

2．（2021·贵州铜仁·）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规作图在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝2，则点G到直线AB的距离为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．（2021·广西八年级期中）如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）

A．1处 B．2处 C．3处 D．4处

4．（2021·三明市列东中学八年级期中）如图，的面积为14，平分，且于点，则的面积是（    ）

A．5 B．7 C．9 D．11

5．（2021·福建省福州延安中学八年级期末）如图，已知△ABC的周长是16，MB和MC分别是∠ABC和∠ACB角平分线交于M,且MD⊥BC，MD=4，则S△ABC=（    ）

A．64 B．48 C．32 D．42

6．（2021·全国八年级课时练习）如图，在四边形中，，连接，，过点D作于点P，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

7．（2021·全国八年级课时练习）如图所示，已知于点B，延长交于点G，于点C，且，则等于（    ）

A． B． C． D．

8．（2021·全国八年级课时练习）如图，是的平分线，于点E，，则长是（    ）

A．3 B．4 C．6 D．5

9．（2021·全国八年级课时练习）如图，，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

10．（2021·乐清市芙蓉镇中学八年级月考）如图，的周长是21，，分别平分和，于，且，则的面积为（    ）

A．84 B．63 C．42 D．21

11．（2021·深圳市福田区莲花中学八年级月考）如图，在中，和的平分线、相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：

①；

②当时，；

③若，，则．

其中正确的是（    ）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①③

12．（2021·重庆一中八年级开学考试）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为（　　）

A．2 B．2.5 C．4 D．5

13．（2021·东北育才双语学校八年级期末）如图，在中，，，，，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（    ）

A． B． C． D．

14．（2021·广东明德学校）如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°； ②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论有（    ）个

A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空题

15．（2021·湖南八年级期末）如图，在RtABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝2，AB＝8，则ABD的面积是_____．

16．（2021·江苏苏州草桥中学八年级开学考试）如图，中，平分，交于，于点，的面积是，，，则______．

17．（2021·西安市西航一中八年级月考）在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是______．

18．（2021·重庆一中八年级开学考试）如图，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB，已知AB＝4，AC＝2，△ABD的面积是2，则△ADC的面积为___．

19．（2021·全国八年级课时练习）如图，平分于点E，于点F，，则图中有__________对全等三角形．

三、解答题

20．（2021·福建八年级期中）如图，在中，．

（1）作的平分线交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹）．

（2）在（1）的条件下，若，，则的面积为_________．

21．（2021·清涧县教学研究室）如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得沿直线折叠后，点恰好落在边上．（保留作图痕迹，不写作法）

22．（2021·福建省福州延安中学八年级期末）如图，Rt∠ABC 中，∠ACB=90°， CD⊥AB于D．

（1）尺规作图：在BC边上求作点Q，使得点Q到边AB的距离等于CQ（保留作图痕迹，不写做法）；

（2）连接AQ（Q为所求作的点）交CD于点P，若∠ABC=55°，求∠CPQ的度数．

23．（2021·全国八年级课时练习）如图，在中，的外角平分线与的外角平分线相交于点P．求证：点P在的平分线上．

24．（2021·全国八年级课时练习）如图，已知中，，平分，交于点D，，求的长．

25．（2021·重庆一中八年级期中）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，连接AC、BD．

（1）用基本尺规作图：作∠ACB的角平分线CM，交DA的延长线于点E，交BD于F（保留画图的痕迹，不写作法）；

（2）若F是BD的中点，AD＝4，AC＝3，求BC的长．

26．（2021·江苏八年级开学考试）我们把从一个角的顶点引出把这个角分成两个完全相同的角的射线叫做这个角的平分线．如图①，在中，若，则或叫做 “三等分线”．

（基础运用）

（1）已知，、分别是的外角、的角平分线，、分别是、的角平分线，、分别是、的角平分线，若，则、所在直线的夹角的度数为______．（用含的代数式表示）

（概念提升）

（2）在中，，，若的三等分线与的外角的三等分线交于点，则的度数为______．

（问题解决）

是四边形的外角，设、．

（3）如图②，和的三等分线、相交于点（，），求证：；

（4）如图③，和的等分线分别相交于点、、、…、，则________（用含、、的代数式表示）

27．（2021·全国八年级课时练习）如图，平分，D是上一点，过点D作，分别交于点E，交于点F，P是上的另一点，连接．求证：．

28．（2021·全国八年级课时练习）如图，，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交、于E、F两点；再分别以点E、F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点G，作射线交于点H．若，求的度数．

29．（2021·全国八年级课时练习）如图1，在中，是的平分线，P是上一点，交于点E，交于点F．

（1）求证：D到的距离与D到的距离相等；

（2）如图2，若点P在的延长线上，其他条件不变，试猜想（1）中的结论还成立吗？请证明你的猜想．

30．（2020·广州市育才中学八年级期中）如图所示：和均是等边三角形，点在的延长线上，交于，连接，求证：

（1）．

（2）．

（3）平分．

（4）．