第13章 轴对称（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练2022-2023学年八年级数学考试满分全攻略（人教版）

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第13章 轴对称（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练
【基础】
一、单选题
1．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）下列图形中，不是轴对称的是（       ）
A． B． C． D．
2．（2022·福建泉州·八年级期末）点Q（3，4）与点Q'（3，﹣4）的对称轴是（       ）
A．直线y＝x B．x轴 C．y轴 D．原点
3．（2022·湖南永州·八年级期末）下列命题是真命题的是（       ）．
A．若，则 B．的平方根是
C．相等的角是对顶角 D．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
4．（2022·河北廊坊·八年级期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点Q位于（     ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2021·山东菏泽·八年级期中）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝6，AD＝2，则BD的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
6．（2022·四川泸州·八年级阶段练习）在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°AB=6，则AC的长是（   ）
A． B．3 C．6 D．5

7．（2022·陕西·无八年级期末）如图，中，于点D，于点E，于点F，，则的长为（       ）


A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2022·广东·深圳市龙岗区龙城初级中学八年级期中）下列命题中，假命题的个数为（       ）
①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
②斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
③如果，那么，
④如果，那么．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2022·陕西师大附中八年级期末）如图，点O是内一点，满足，则点O是（       ）

A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条中线的交点
10．（2022·河北·围场满族蒙古族自治县中小学教研室八年级期末）如图，在中，，，垂直平分，则的度数为（       ）

A．80° B．75° C．60° D．45°
二、填空题
11．（2022·河北承德·八年级期末）如图，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，嘉琪在研究过程中发现，随着点Р运动，形状在发生变化，设点P的运动时间为t秒．

（1）当是直角三角形时，t的值为_________；
（2）当是钝角三角形时，t满足的条件是____________．
12．（2022·陕西西安·八年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线l交BC于点D．若AD⊥AB，则∠B的度数是_________．

13．（2022·河北保定·八年级期末）如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则下列结论：①∠C＝72°；②BD是∠ABC的平分线；③△ABD是等腰三角形．其中正确的是________

14．（2022·河北保定·八年级期末）如图所示，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，则以下结论中，不一定正确的是___________（填字母序号）
A．     B．   C．l垂直平分AB，且l垂直平分CD          D．AC与BD互相平分


三、解答题
15．（2022·甘肃兰州·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP交于点H，求证：BQ⊥CP．

16．（2022·陕西西安·八年级期中）如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°，AB=AE，连接AC，AD，且∠ACD=∠ADC．求证：BC=ED．

17．（2022·陕西西安·八年级期中）如图，，点在边上，点，在边上，连接，．若，求的度数．

18．（2022·广东·深圳市盐田区外国语学校八年级期末）如图，在中，，．

(1)作的垂直平分线，交于点，交于点；（用黑色水笔描出作图痕迹，不要求写作法）
(2)连接，求的周长．

【常考】
一、单选题
1．（2022·山西吕梁·八年级期末）若等腰三角形一腰上的中垂线与另一腰所在直线相交，且交角为50°，则它的底角为（       ）
A．50° B．70° C．80° D．20°或70°
2．（2022·内蒙古赤峰·八年级期末）点（－1，2）关于轴对称的点的坐标为（        ）
A．（1，2） B．（1，－2）
C．（－1，2） D．（－1，－2）
3．（2022·陕西·交大附中分校八年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=42°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为（   ）

A．23° B．25° C．27° D．29°
4．（2022·陕西宝鸡·八年级期末）如图，在中，，，，，，则（       ）

A．10 B．11 C．13 D．15
5．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学八年级期中）点A的坐标是（2，2），若点P在x轴或y轴上且△APO是等腰三角形，这样的点P共有（　）个
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2022·江苏·八年级）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，DE垂直平分AB，连接CE，∠B＝70°．则∠BCE的度数为（　　）

A．55° B．50° C．40° D．35°
7．（2022·广西桂林·八年级期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，AD=10，则点D到AB的距离是（        ）

A．8 B．5 C．6 D．4
二、填空题
8．（2022·湖南株洲·八年级期末）如图，已知：，点、、……在射线上，点、、……在射线上，、、……均为等边三角形，若，则的边长为_______．

9．（2022·湖南娄底·八年级期末）如图，C是线段AB上的一点，和都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于，则①；②；③；④；⑤是等边三角形．其中，正确的有__________．

10．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学八年级期中）若等腰三角形的周长为30cm，一边长为6cm，则腰长为__________．
11．（2022·重庆长寿·八年级期末）如图，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，△EBC的周长是24cm，则BC=______．

三、解答题
12．（2022·湖北武汉·八年级期末）如图，在等边中，，分别为，边上的点，，．

(1)如图1，若点在边上，求证：；
(2)如图2，连．若，求证：；
(3)如图3，是的中点，点在内，，点，分别在，上，，若，直接写出的度数（用含有的式子表示）．










13．（2022·湖南永州·八年级期末）如图，是等边三角形，点分别是射线、射线上的动点，点D从点A出发沿着射线移动，点E从点B出发沿着射线移动，点同时出发并且移动速度相同，连接．

(1)如图①，当点D移动到线段的中点时，与的长度关系是：_______．
(2)如图②，当点D在线段上移动但不是中点时，探究与之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)如图③，当点D移动到线段的延长线上，并且时，求的度数．















14．（2022·河南许昌·八年级期末）如图，在中，，点D在内，，，点E在外，．

(1)的度数为_______________；
(2)小华说是等腰三角形，小明说是等边三角形，___________的说法更准确，并说明理由；
(3)连接，若，求的长．


















15．（2022·福建漳州·八年级期末）求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求：

(1)根据给出的线段及∠B，以线段为直角边，在给出的图形上用尺规作出的斜边，使得，保留作图痕迹，不写作法；
(2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．
















16．（2022·全国·八年级专题练习）在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系．

(1)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN．
(2)如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？
答：　 　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．
(3)如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．   















17．（2022·贵州·遵义市新蒲新区天立学校八年级期中）图，△ABC是等边三角形，AB=6，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．

(1)当∠BQD=30°时，求AP的长；
(2)证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点．



18．（2022·黑龙江省八五五农场学校八年级期末）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系．小明发现，在BC上截取CA′＝CA，连接DA′，从而将问题解决（如图2）．

(1)求证：△ADC≌△A′DC；
(2)试猜想写出BC和AC、AD之间的数量关系，并给出证明．






19．（2022·全国·八年级）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． 设点D、E运动的时间是t秒（0＜t＜15）． 过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）用含t的代数式表示下列线段：AE= ，DF= ，AD= ；
（2）判断线段EF与AC的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，连接AF，交DE于点O，设y为△ADO与△DFO的周长差，求y与t的函数关系式，并求当t为何值时，△ADO与△DFO的周长相等．
（4）是否存在某一时刻t，使得△DEF为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
















20．（2022·安徽安庆·八年级期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形．
（1）观察线段PD和PE之间有怎样的大小关系？并以图②为例，并加以证明；
（2）观察线段CD、CE和BC之间有怎样的数量关系？并以图③为例，并加以证明；
（3）△PBE是否能成为等腰三角形？若能，求出∠PEB的度数；若不能，请说明理由．





21．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学八年级期中）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM, △CBN都是等边三角形，AM=AC=CM，BC=CN=BN，∠ACM=∠BCN=60°，AN交MC于点E，BM交CN于点F.                      
(1)求证：AN=BM;             
(2)求证：判断△CEF形状




22．（2022·全国·八年级课时练习）综合与探究：在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0）且a，b满足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0

（1）求A，B两点的坐标
（2）已知△ABC中AB=CB，∠ABC＝90°，求C点的坐标
（3）已知AB＝，试探究在x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．




【易错】
一．线段垂直平分线的性质（共1小题）
1．（2021秋•建湖县期末）△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE＝4，则AD+AE的值为（　　）
A．6 B．14 C．6或14 D．8或12
二．等腰三角形的性质（共3小题）
2．（2021秋•北京期末）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边中点，则下列结论不正确的是（　　）

A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．∠BAD＝∠CAD D．AB＝2BC
3．（2021秋•台江区期末）等腰三角形的一个外角是130°，它的顶角的度数是（　　）
A．50° B．80° C．50°和80° D．80°或65°
4．（2021秋•勃利县期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝30°，则∠DEC等于（　　）

A．7.5° B．10° C．15° D．18°
三．等腰三角形的判定（共3小题）
5．（2022春•新洲区期末）已知平面直角坐标系中有A（2，2）、B（4，0）两点，若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　）

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
6．（2022•东城区校级模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．（2021秋•綦江区期末）如图，正方形的网格中，点A，B是小正方形的顶点，如果C点是小正方形的顶点，且使△ABC是等腰三角形，则点C的个数为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
四．等边三角形的性质（共1小题）
8．（2021秋•赞皇县期末）如图所示，△ABC是等边三角形，线段AD是△ABC中BC边上的高，DE⊥AC于点E，则的值为（　　）

A．8 B．6 C．9 D．4
五．等边三角形的判定与性质（共2小题）
9．（2021秋•新昌县期末）如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且∠PAN＝60°，AP＝1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（　　）

A．直角三角形一等边三角形一直角三角形一等腰三角形
B．直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等边三角形
C．等腰三角形一直角三角形一等腰三角形一直角三角形
D．等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形
10．（2021秋•辛集市期末）数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE　　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE　　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．









六．含30度角的直角三角形（共2小题）
11．（2021秋•海淀区期末）如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，DE⊥AC于点E．若EC＝3，则DC的长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
12．（2021秋•玉州区期末）在△ABC中，AB＝AC，若AB边上的高CD与底边BC所成角是30°，且BD＝1，则△ABC的周长是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
七．轴对称-最短路线问题（共2小题）
13．（2022春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　）

A．105° B．115° C．120° D．130°
14．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF．当△BDF的周长最小时，∠DBF的度数是　　．

【压轴】
一、解答题
1．（2022·湖北武汉·八年级期末）在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，点A与点C关于y轴对称．

(1)如图1，OA=OB，AF平分∠BAC交BC于F，BE⊥AF交AC于E，请直接写出EF与EC的数量关系为　 　；
(2)如图2，AF平分∠BAC交BC于F，若AF=2OB，求∠ABC的度数；
(3)如图3，OA=OB，点G在BO的垂直平分线上，作∠GOH=45°交BA的延长线于H，连接GH，试探究OG与GH的数量和位置关系．






2．（2022·辽宁大连·八年级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝kCA，延长BC至点D，使CD＝CA，AM⊥AB，且D，M在AB的异侧，AM＝AB，连接DM与AC交于点N．

(1)如图1，当k＝1时，请直接写出＝ ，＝ ；
(2)如图2，当0＜k＜1时，（1）中的两个结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，并证明；
(3)若AN＝mCN（m＞0且m≠1），请直接写出k的值为 ．（用含m的代数式表示）




3．（2022·浙江台州·八年级期末）如图1，已知AB＝AC，D是AC上一个动点，E、C位于BD两侧，BD＝BE，∠BAC＝∠DBE；

(1)当∠BAC＝60°时，如图2，连接AE，求证：AE＝CD；
(2)当∠BAC＝45°时，
①若DE⊥AB，则∠CDB＝ 度；
②如图4，连接AE．当∠CDB＝ 度时，AE最小；
(3)当∠BAC＝90°时，如图5，连接CE交AB于点M，求的值．



4．（2022·辽宁大连·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B，C在x轴上，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，BC＝4，点D在y轴负半轴上，点E在线段AC上，∠BDE＝60°．

(1)点A的坐标是　 　，点B的坐标是　 　；
(2)如图1，求证：DB＝DE；
(3)如图2，过点C作CF⊥DE，垂足为F，交AB于点G，若CF＝FG，求点D的坐标．


5．（2022·福建泉州·八年级期末）如图（1），中，，，点是的中点，点在上（点不与点和点重合），于点，交于点，连接．

(1)求证：；
(2)设，，，证明：；
(3)如图（2），延长交于点，若点是中点，点是的中点，请证明点、、三点共线．


6．（2022·重庆巴南·八年级期末）已知点D在△ABC外，，，射线BD与△ABC的边AC交于点H，，垂足为E，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，已知，，点F在线段BC，且，点M，N分别是射线BC、BD上的动点．在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，写出你的理由．


7．（2022·浙江台州·八年级期末）如图1，在等边中，点是边上的一点，连接，以为边作等边，连接．

(1)求证：．
(2)如图2，过，，三点分别作于点，于点，于点．求证：．
(3)如图3，，垂足为点，若将点改为线段上的一个动点，连接，以为边作等边，连接．当时，直接写出的最小值．















8．（2022·福建漳州·八年级期末）已知△ABC≌△ADE，且它们都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°．

(1)如图1，当点D在边AC上时，连接BD并延长交CE于点F，
①求证：∠CBD=∠EDF；
②求证：点F为线段CE的中点；
(2)△ADE绕着点A顺时针旋转，如图2所示，连接BD并延长交CE于点F，点F还是线段CE的中点吗？请说明理由．
















9．（2022·福建·厦门市湖滨中学八年级期末）已知AB∥CD，且CB⊥AB于点B，AN⊥DC于点N，M是线段NC上的一点，点P是CB延长线上的动点，连接AM，AP，

(1)如图1，若CB=PB，且C、P两点不重合，∠APB=60°，请用直尺在图中连接一条线段，使图中存在一个等边三角形，并说明理由．
(2)如图2，若∠NAP=2∠AMN，
①请猜想此时∠APC与∠NAM的数量关系，并进行证明．
②若点M为NC的中点，且AN=BC，请探究BC、BP、AP之间的数量关系，并进行证明．
















10．（2022·湖北武汉·八年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，且∠ACB＝90°，AC＝BC．

（1）求点B的坐标；
（2）如图2，若BC交y轴于点M，AB交x轴与点N，过点B作轴于点E，作轴于点F，请探究线段MN，ME，NF的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若在点B处有一个等腰Rt△BDG，且BD＝DG，∠BDG＝90°，连接AG，点H为AG的中点，试猜想线段DH与线段CH的数量关系与位置关系，并证明你的结论．















11．（2022·广东广州·八年级期末）如图，∠ACD是等边△ABC的一个外角，点E是∠ACD内部任意一点，作直线CE．

(1)当CE平分∠ACD时，证明：AB∥CE．
(2)已知点A关于直线CE的对称点为F，连接AF、BF、CF，其中AF、BF分别交直线CE于P、Q两点．记∠ACE＝α，当0＜α＜60°时，求∠BFC，（用含α的式子表示）
(3)若（2）中的α满足0°＜α＜120°时，
①∠AFB＝　 　°；
②探究线段QB、QC、QP之间的数量关系，并证明．
















12．（2022·浙江杭州·八年级期末）（1）如图①，在中，D为外一点，若AC平分，于点E，，求证：；
琮琮同学：我的思路是在AB上取一点F，使得，连结CF，先证明≌得到
，再证明，从而得出结论；
宸宸同学：我觉得也可以过点C作边AD的高线CG，由角平分线的性质得出，再证明≌，从而得出结论．请根据两位同学的思路选择一种写出证明过程．

（2）如图②，D、E、F分别是等边的边BC、AB，AC上的点，AD平分，且．
求证：．