广东省广州市天河区广州中学2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题

这是一份广东省广州市天河区广州中学2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列汉字中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系中．点P(1,-2)关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．(1,2)B．(1,-2)C．(-1,2)D．(-1,-2)
3．全球首款基于7纳米芯片的产品在中国成功量产，7纳米（7纳米＝0.000 000 007米）用科学记数法表示为7×10n米（n为负整数），则n的值为（ ）
A．－8B．－9C．－10D．9
4．下列运算中正确的是（ ）
A．2a2×3a3=6a5B．a6÷a3=a2C．a+2b=2abD．-2a23=-6a6
5．若分式1x-1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是( )
A．x≠1B．x≠-1C．x≠0D．x≥1
6．若一个正多边形的各个内角都是140°，则这个正多边形是（ ）
A．正七边形B．正八边形C．正九边形D．正十边形
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DC=3，△ABD的面积12，则AB的长是（ ）
A．8B．7C．6D．5
8．已知x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（ ）
A．-6B．3C．6D．±6
二、多选题
9．如图，∠1=∠2，BC=EF，要添加一个条件使△ABC≌△DEF．添加的条件可以是（ ）
A．∠B=∠EB．∠A=∠DC．AB=EDD．AB∥ED
10．如图，AB=4cm，AC=BD=3cm，∠CAB=∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当△ACP与△BPQ全等时，点Q的运动速度为（ ）
A．13cm/sB．1cm/sC．1.5cm/sD．2cm/s
三、填空题
11．分解因式：a2-6a+9=___________.
12．等腰三角形的一边长为9cm，另一边长为4cm，则它的第三边长为_________ cm．
13．若m+n=1，mn=2，则2m+2n的值为______．
14．若关于x的分式方程3x-2+x+m2-x=1有增根，则m的值是______．
15．一艘轮船从海平面上A地出发，向北偏东50°的方向行驶60海里到达B地，再由B地向南偏东10°的方向行驶60海里到达C地，则A，C两地相距 ___海里．
16．如图，等腰△ABC的底边BC长为8，面积为24，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值是______．
四、解答题
17．计算：
(1)(-1)2021-(π-3.14)0+(-12)-2
(2)(x+y)(x-y)+y(x+2y)-(x-y)2
18．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=70°，AD平分∠BAC，AE是BC边上的高．
(1)求∠BAD的度数；
(2)求∠DAE的度数．
19．如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，ΔABC的顶点坐标分别是A-1,2，B-4,1，C-2,-2．根据下列要求，回答问题：
(1)在图中作出ΔABC关于y轴的对称图形ΔA1B1C1；
(2)直接写出点A1，B1，C1的坐标．
20．随着人们对空气污染问题的重视，空气净化器的销量也随之大增．某电器商场从空气净化器厂家购进了甲、乙两种型号的空气净化器进行销售，已知一台甲型空气净化器的进价比一台乙型空气净化器的进价多300元．且用7500元购进甲型空气净化器和用6000元购进乙型空气净化器的台数相同．求一台甲型空气净化器和一台乙型空气净化器的进价各为多少元？
21．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，DE是AB的垂直平分线，垂足为点E，DE交BC于点D，连接AD．
(1)求证：AD平分∠CAB；
(2)若CD=3，求BD的长．
22．阅读下列材料：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙地运用配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式进行因式分解，还能结合非负数的意义来解决一些问题．
如：x2+2x-3
解：原式=x2+2x+1-4=(x+1)2-22=x+1+2x+1-2=x+3x-1．
(1)请你仿照以上方法，完成因式分解：a2+4ab-5b2．
(2)若m2+2n2+6m-4n+11=0，求m+n的值．
23．已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE//BC．
（1）如图1，如果点E是边AC的中点，AC＝8，求DE的长；
（2）如图2，若DE平分∠ADC，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝9，求DF的长．
24．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．
(1)当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t=2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
(2)当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
参考答案
1．C
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．
2．A
【分析】根据点关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出对称点坐标．
【详解】解：点P（1，−2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2），
故选：A．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
3．B
【分析】根据绝对值小于1的数用科学记数法表示的形式即可确定n的值，从而得到答案．
【详解】7纳米＝0.000 000 007米=7×10-9米
故n=−9
故选：B
【点睛】本题考查了绝对值小于1的数用科学记数法表示，其形式为a×10n(1≤|a|<10)，且n为负整数，原数的第一个非零数前的零的个数（包括小数点前的零）的相反数即为n．
4．A
【分析】根据单项式乘以单项式，同底数幂除法，合并同类项和积的乘方等计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、2a2×3a3=6a5，计算正确，符合题意；
B、a6÷a3=a6-3=a3，计算错误，不符合题意；
C、a与2b不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意；
D、-2a23=-8a6，计算错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，同底数幂除法，合并同类项和积的乘方，熟知相关计算法则是解题的关键，注意同底数幂除法指数是相减，积的乘方指数是相乘．
5．A
【分析】根据分式有意义的条件解答即可．
【详解】解：若分式1x-1在实数范围内有意义，则x-1≠0，
解得x≠1，
故选：A．
【点睛】此题考查了分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．
6．C
【分析】根据多边形内角和公式进行求解即可．
【详解】解；设这个正多边形的边数为n，
由题意得180°⋅n-2=140°⋅n，
解得n=9，
∴这个正多边形为正九边形，
故选C．
【点睛】本题主要考查了正多边形内角和问题，熟知正n边形的内角和为180°⋅n-2是解题的关键．
7．A
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质定理可以得到DE=DC=3，再根据三角形的面积公式即可得出AB．
【详解】过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DC=3，
∴DE=DC=3，
∵△ABD的面积12，
∴S△ABD=12AB⋅DE=12，
∴AB=8．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握是本题的关键．
8．D
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
【详解】解：∵x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，
∴x2+kx+9=x2±6x+9=x±32，
∴k=±6，
故选：D．
【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．ABD
【分析】已知一边和一角对应相等，再添加任意对对应角相等，或已知角的另一边相等就可以由AAS、ASA或SAS判定两个三角形全等．
【详解】解：选项A中∠B与∠E是对应角，能与已知构成ASA的判定，可以判定三角形全等，故选项A符合题意；
选项B中∠A=∠D是对应角，结合已知可以由AAS判定△ABC≌△DEF，故选项B符合题意；
选项C中AB=ED是对应边，但不是两边及其夹角相等，无法判定△ABC≌△DEF，故选项C不合题意；
选项D中由已知AB//ED可得∠B=∠E，是对应角，结合已知可以由ASA判定△ABC≌△DEF，故选项D符合题意；
故选：ABD．
【点睛】本此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．
10．BC
【分析】设点Q的运动速度是xcm/s，有两种情况：①AP=BQ，AC=BP；②AP=BP，AC=BQ，列出方程，然后求出方程的解即可．
【详解】解：设点Q的运动速度是xcm/s，
∵点P的运动速度为1cm/s，点Q的运动速度为xcm/s，它们运动的时间为ts，
又∵AB=4cm，AC=BD=3cm，
∴AP=tcm，BP=4-tcm，BQ=xtcm，
∵∠CAB=∠DBA，
∴当△ACP与△BPQ全等时，有两种情况：
①AP=BQ，AC=BP，
∴t=xt4-t=3，
解得：t=1x=1；
②AP=BP，AC=BQ，
则：t=4-txt=3，
解得：t=2，x=1.5；
∴当△ACP与△BPQ全等时，点Q的运动速度为1cm/s或1.5cm/s．
故选BC．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，路程、速度、时间之间的关系，方程等知识．能求出符合题意的所有情况是解题的关键．
11．（a-3）2
【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可得.
【详解】a2-6a+9
=a2-2×a×3+32
=(a-3)2，
故答案为（a-3）2.
【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键.
12．9
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：分两种情况：
当第三边为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形；
当第三边为9时，4+9＞9，所以能构成三角形．
∴第三边为9cm．
故答案为9．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13．1
【分析】根据所求式子可以转换成2m+nmn进行求解即可．
【详解】解：∵m+n=1，mn=2，
∴2m+2n
=2nmn+2mmn
=2m+nmn
=22
=1，
故答案为；1．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，正确将所求式子转换成2m+nmn是解题的关键．
14．1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可
【详解】解：去分母得：3﹣x﹣m＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：3﹣2﹣m＝0，
解得：m＝1，
故答案：1．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15．60
【分析】根据题意画出图形，可判断△ABC为等边三角形，答案可得．
【详解】解：由题意可得AB=BC,∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=60海里，
故答案为：60．
【点睛】本题考查了等边三角形判定与性质，根据题意画出图形是解题的关键．
16．6
【分析】连接AD交EF与点M'，连接AM，依据等腰三角形三线合一定理可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长；由线段垂直平分线的性质可知AM=BM，则BM+DM=DM+AM，故此当A、M、D在一条直线上时，BM+DM有最小值，即AD的长．
【详解】解：连接AD交EF与点M'，连接AM，
∵△ABC是等腰三角形，点D是底边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=12，
∴AD=6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM=BM．
∴BM+DM=DM+AM．
∴当点M位于点M'处时，BM+DM有最小值，最小值是6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确理解题意推出当点M位于点M'处时，BM+DM有最小值是解题的关键．
17．(1)2
(2)3xy
【分析】（1）根据乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算；
（2）根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式的法则，合并同类项的法则化简即可．
【详解】（1）解：(-1)2021-(π-3.14)0+(-12)-2
=-1-1+4
=2
（2）解：(x+y)(x-y)+y(x+2y)-(x-y)2
=(x2-y2)+(xy+2y2)-(x2-2xy+y2)
=x2-y2+xy+2y2-x2+2xy-y2
=3xy
【点睛】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算．掌握乘法公式，单项式乘多项式、零指数幂和负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
18．(1)∠BAD=30°
(2)∠DAE=10°
【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAD的度数即可；
（2）先根据三角形内角和定理求出∠BAE的度数，即可求出∠DAE的度数．
【详解】（1）解：∵∠ABC=50°，∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC=30°，
（2）解：∵AE是BC边上的高，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=180°-∠ABC-∠AEB=40°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高的定义，熟知三角形内角和定理是解题的关键．
19．(1)见详解
(2)A1(1,2)，B1(4,1)，C1(2,-2)．
【分析】（1）根据轴对称性质对称轴垂直平分对应点连线；
（2）根据（1）的图直接写出坐标即可．
【详解】（1）解：根据轴对称性质对称轴垂直平分对应点连线找到对应点A1，B1，C1，连接A1B1 ，B1C1，A1C1如下图：
；
（2）解：由（1）可得，
A1(1,2)，B1(4,1)，C1(2,-2)．
【点睛】本题考查作轴对称图像及求坐标，解题的关键是根据轴对称性质对称轴垂直平分对应点连线作出ΔA1B1C1．
20．一台甲型空气净化器和一台乙型空气净化器的进价分别为1500元，1200元
【分析】根据题意找出等量关系式，列出分式方程求解即可．
【详解】解：设一台乙型空气净化器的进价为x元，则一台甲型空气净化器进价为（x+300）元，
由题意，得：6000x=7500x+300，
解得：x=1200，
经检验x=1200是原方程的解，
则x+300=1500．
答：一台甲型空气净化器和一台乙型空气净化器的进价分别为1500元，1200元．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是找出等量关系式列出分式方程．
21．(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，则∠BAD=∠B=30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC=60°，即可得到∠CAD=∠BAD，从而证明结论；
（2）先根据角平分线的性质得到DE=CD=3，再根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B=30°，
∵∠C=90°，
∴∠BAC=90°-∠B=60°，
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°，
∴∠CAD=∠BAD，
∴AD平分∠CAB；
（2）解：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，∠DEB=90°，
又∵∠B=30°，
∴BD=2DE=6．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，直角三角形两锐角互余，灵活运用所学知识是解题的关键．
22．(1)(a+5b)(a-b)
(2)-2
【分析】（1）先加上4b2再减去4b2即可求解；
（2）先对等式左边进行分组配方，再求出m，n的值，最后代入即可．
【详解】（1）原式=a2+4ab+4b2-9b2
=(a+2b)2-(3b)2
=(a+2b+3b)(a+2b-3b)
=(a+5b)(a-b)．
（2）∵m2+2n2+6m-4n+11=0，
∴m2+6m+9+2n2-4n+2=0，
∴(m+3)2+2(n-1)2=0．
∵(m+3)2≥0，2(n-1)2≥0．
∴m+3=0，n-1=0．
∴m=-3，n=1，
∴m+n=-3+1=-2．
【点睛】本题考查了配方法，解题关键是掌握配方的步骤，对于四项及以上的情况可以考虑先分组再配方．
23．（1）DE＝4；（2）DF＝3．
【分析】（1）由角平分线的性质得到∠BCD＝∠ACD，再由两直线平行内错角相等得到∠EDC＝∠BCD，继而解得∠EDC＝∠ACD，再由等角对等边解得ED＝EC，最后根据线段中点性质解题；
（2）由两直线平行同位角相等结合角平分线性质解得∠B＝∠BCD，再由等角对等边解得DB＝DC，作DG⊥BC于点G，由等腰三角形三线合一性质解得GB＝4.5，最后根据含30°角的直角三角形性质解题即可．
【详解】解：（1）∵DC平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD，
∵DE//BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴ED＝EC，
∵点E是边AC的中点，AC＝8，
∴EC=12AC＝4，
∴DE＝4；
（2）∵DE//BC，
∴∠ADE＝∠B，∠CDE＝∠BCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC，
如图，作DG⊥BC于点G，
∵DB＝DC，DG⊥BC，
∴GB=12BC=12×9＝4.5，
∵∠ABC＝30°，BF＝DF，
∴∠BDF＝∠B＝30°，
∴∠DFG＝∠B+∠BDF＝60°，
∴∠FDG＝30°，
∴BF＝DF＝2FG，
∴GF＝1.5，
∴DF＝2FG＝3．
【点睛】本题考查角平分线性质、平行线性质、等腰三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
24．(1)△BPQ是等边三角形，理由见解析
(2)当点P的运动时间为2s或4s时，△BQP是直角三角形
【分析】（1）分别求出BP、BQ的长可知BP=BQ，再由等边三角形的性质得到∠B=60°，即可证明△BPQ是等边三角形；
（2）分当∠PQB=90°时和当∠BPQ=90°时两种情况利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：△BPQ是等边三角形，理由如下；
由题意得，当t=2时，AP=2cm，BQ=4cm，
∴BP=AB-AP=4cm，
∴BP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴△BPQ是等边三角形；
（2）解；∵运动时间为ts，
∴AP=tcm，BQ=tcm，
∴BP=AB-AP=6-tcm，
如图1所示，当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BPQ=90°-∠B=30°，
∴BP=2BQ，
∴6-t=2t，
解得t=2；
如图2所示，当∠BPQ=90°时，
同理可得∠BQP=30°，
∴BQ=2BP，
∴26-t=t，
解得t=4；
综上所述，当点P的运动时间为2s或4s时，△BQP是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，熟知等边三角形的性质与判定条件并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．