北京市东城区五中分校2022_2023学年八年级上学期期中数学试卷

北京市东城区五中分校2022~2023学年八年级上学期期中数学试卷

一、单选题

1．2021年10月16日，我国神舟十三号载人飞船与天和核心舱首次成功实现“径向对接”，对接过程的控制信息通过微波传递．微波理论上可以在0.000003秒内接收到相距约1千米的信息.将数字0.000003用科学记数法表示应为（　　）

A． B． C． D．

2．若三角形的两边长分别为3和5，则第三边m的值可能是（    ）

A． B． C． D．

3．下列运算中，结果正确的是（    ）

A． B． C． D．

4．下列各式，从左到右的变形是因式分解的是（    ）

A． B．

C． D．

5．一个多边形内角和是，则这个多边形的边数为（    ）

A． B． C． D．

6．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（    ）．

A．75° B．60° C．45° D．30°

7．如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为（   　）

A． B． C． D．

8．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

9．如图，已知在中，，点D，E分别在边，上，，，若，则的度数为（    ）

A．30° B．40° C．50° D．60°

10．如图，在正方形网格内（每个小正方形的边长为1），有一格点三角形ABC（三个顶点分别在正方形的格点上），现需要在网格内构造一个新的格点三角形与原三角形全等，且有一条边与原三角形的一条边重合，这样的三角形可以构造出（    ）

A．3个 B．4个C．5个 D．6个

二、填空题

11．若分式的值为0，则x＝_____．

12．计算：________．

13．计算：________．

14．已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是_________．

15．如图，，要使，需补充一个条件，你补充的条件是________________．

16．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB的直线交DE的延长线于点F．若DE＝FE，AB＝5，CF＝3，则BD的长是________．

17．如图，点P在的平分线上，于点C，于点D，则下列结论：①；②；③与的面积相等；④．其中正确的有________．

18．如图，D，E分别为的边，上的点，，将沿折叠，使点A落在边上的点F处．若，则的度数为________°．

三、解答题

19．因式分解：

(1)；

(2)．

20．计算：

(1)；

(2)．

21．如图，点C是线段的中点，，．求证：．

22．解方程：．

23．化简求值：，其中a是满足．

24．尺规作图：

已知：．

求作：内部一点P以及线段和，使得于点E，于点F且．

作法：

①以O为圆心，适当长为半径作弧，交于M，交于N；

②分别以M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点C；

③作射线；

④在射线上取一点P（不与点O，C重合），过点P作于点E，于点F．

请根据尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

(2)完成下列证明．

证明：连接．

在和中，

∴．（________）（填推理依据）

∴．（________________________________）（填推理依据）

∴射线平分．

∵点P在的平分线OC上，且于点E，于点F，

∴（________________________________）（填推理依据）

25．学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下：

老师发现这两位同学的解答过程都有错误．

请你选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．

(1)我选择________同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”）；

(2)该同学的解答从第________步开始出现错误（填序号）；错误的原因是_____________________；

(3)请写出正确解答过程．

26．列分式方程解应用题：

为了提高学生体育锻炼的意识和能力、丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品．在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低10元，用1600元购买甲种跳绳与用2100元购买乙种跳绳的数量相同，求甲、乙两种跳绳的单价各是多少元？

27．【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围．

【方法总结】

解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”．

【问题解决】

(1)直接写出图1中的取值范围：________________

(2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明．

(3)如图3，AD是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系和位置关系，并加以证明．

28．对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或，又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，．应用上面的结论解答下列问题：

(1)方程有两个解，分别为________，________；

(2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数且，则________，________；

(3)关于x的方程的两个解分别为，（），求的值．

参考答案

1．B

【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，其中1≤<10，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】

故选：B．

【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法一般形式为a×10n，其中1≤<10，确定a和n的值是解题关键．

2．B

【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式组，进而结合选项求得第三边的值．

【详解】三角形的两边长分别为3和5，第三边m

故选B

【点睛】本题考查了根据三角形三边关系确定第三边的范围，掌握三角形的三边关系是解题的关键．

3．D

【分析】根据幂的乘方，积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法逐项分析判断即可

【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；    

B. ，故该选项不正确，不符合题意；    

C. ，故该选项不正确，不符合题意；    

D. ，故该选项正确，符合题意；

故选D

【点睛】本题考查了幂的乘方，积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法，掌握以上运算法则是解题的关键．

4．D

【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，即可求出答案．

【详解】解：A、，不是因式分解，故A错误；

B、，不是因式分解，故B错误；

C、，不是因式分解，故C错误；

D、，是因式分解，故D正确；

故选：D．

【点睛】本题考查因式分解的定义，解题的关键正确理解因式分解的定义，本题属于基础题型．

5．C

【分析】n边形的内角和为（n−2）180 ，由此列方程求n的值．

【详解】设这个多边形的边数是n，

则：（n−2）×180 ＝720 ，

解得n＝6，

故选：C．

【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．

6．A

【分析】根据三角板可得：∠2=60°，∠5=45°，然后根据三角形内角和定理可得∠2的度数，进而得到∠4的度数，再根据三角形内角与外角的关系可得∠2的度数．

【详解】解：如图：

由题意得：∠2=60°，∠5=45°，

∵∠2=60°，

∴∠3=180°-90°-60°=30°，

∴∠4=30°，

∴∠1=∠4+∠5=30°+45°=75°

故选：A．

【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和．

7．A

【分析】根据三角形全等的性质可知，两个三角形全等，对应角相等，由三角形内角和减去已知角度即可得所求角度数．

【详解】解：因为图中两个三角形是两个全等的三角形，所以对应角相等，故，

故选：A．

【点睛】此题考查全等三角形的性质和三角形内角和，熟记全等的性质是解题的关键，注意对应边所对的角为对应角，边角关系要找到对应的．

8．A

【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．

【详解】解：A、根据，，°，能画出唯一三角形，故本选项符合题意；

B、，，，不能画出唯一，故此选项不符合题意；

C、，，，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；

D、，，，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；

故选：A．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

9．C

【分析】过点D作于点F．由题意易证，即得出，说明AD为的角平分线，即可求出的大小，从而可求出的大小．

【详解】如图，过点D作于点F．

∴在和中，

∴，

∴，

∴AD为的角平分线，

∴，

∴．

故选C．

【点睛】本题考查三角形全等的性质和判定，角平分线的判定定理．作出常用的辅助线是解题关键．

10．C

【分析】和△ABC全等，那么必然有一边等于3，有一边等于，又一角等于45°．据此找点即可，注意还需要有一条公共边．

【详解】分三种情况找点，

①公共边是AC，符合条件的是△ACD；

②公共边是BC，符合条件的是△BCE；

③公共边是AB，符合条件的三角形有ABF、△ABG、△ABH

共有5个格点三角形与原三角形全等．

故选：C.

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定以及格点三角形的定义，利用数形结合与分类讨论是解决问题的关键．

11．x=3

【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，可得，据此求出x的值是多少即可．

【详解】解: ∵分式的值为0，

∴，

解得x＝3．

故答案为3．

【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．

12．10

【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．

【详解】解：原式．

故答案为：10．

【点睛】本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题的关键．

13．

【分析】根据分式的乘方运算即可求出答案．

【详解】解：原式，

故答案为：．

【点睛】本题考查分式的乘方运算，解题的关键是熟练运用幂的乘方运算，本题属于基础题型．

14．5

【详解】∵多边形的每个外角都等于72°，

∵多边形的外角和为360°，

∴360°÷72°=5，

∴这个多边形的边数为5.

故答案为5.

15．（答案不唯一）

【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．

【详解】解：∵，，

∴可以补充的条件为，

∴．

故答案为：（答案不唯一）．

【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三角形全等的方法有：，，，，(直角三角形)．

16．2

【分析】先根据平行线的性质可得，再根据定理证出，然后根据全等三角形的性质可得，最后根据线段和差即可得．

【详解】解：，

，

在和中，，

，

，

，

，

故答案为：2．

【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．

17．①②③④

【分析】根据已知条件，可得，根据全等三角形的性质即可判断．

【详解】解：∵P是平分线上的点，

∴，

∵于点D，于点C，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，故①②选项符合题意，

∵，

∴与的面积相等，故③选项符合题意；

∵，

∴，

∵，

∴，故④选项符合题意；

综上可知，①②③④均符合题意，

故答案为：①②③④．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

18．

【分析】首先根据平行线的性质，可得，再根据折叠的性质，可得，再根据平角的性质，即可求得答案．

【详解】解：，

，

根据折叠的性质，可得，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，平角的性质，熟练掌握和运用各图形的性质是解决此题的关键．

19．(1)

(2)

【分析】（1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解；

（2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解．

【详解】（1）

；

（2）

．

【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．

20．(1)

(2)

【分析】（1）根据乘方公式先去括号，然后根据单项式的乘除法法则进行计算即可；

（2）根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后按整式的加减法法则进行计算即可．

【详解】（1）

．

（2）

．

【点睛】本题考查了乘方公式、平方差公式、完全平方差公式以及整式的运算；熟练掌握公式、正确计算是解题的关键．

21．见解析

【分析】先证明，然后得到，利用证明两个三角形全等即可．

【详解】证明：∵，

∴，

∵点C是线段的中点，

∴，

在与中，

∴．

【点睛】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的判定，掌握“利用证明两个三角形全等”是解本题的关键．

22．

【分析】根据解分式方程的步骤解方程，即可求解．

【详解】解：去分母，得：

去括号，得，

移项、合并同类项，得：，

解得，

经检验：是原方程的解，

所以，原方程的解为．

【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握和运用解分式方程的步骤和方法是解决此类题的关键．

23．，

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．

【详解】解：原式

，

∵，

∴，

则原式．

【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

24．(1)见解析

(2)，全等三角形对应角相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等

【分析】（1）根据平分线的尺规作图方法求解即可；

（2）根据题意证明求解即可．

【详解】（1）如图所示即为补全的图形，

（2）证明：连接．

在和中，

∴．（）（填推理依据）

∴．（全等三角形对应角相等）（填推理依据）

∴射线平分．

∵点P在的平分线上，且于点E，于点F，

∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）（填推理依据）

故答案为：，全等三角形对应角相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等．

【点睛】此题考查了角平分线的尺规作图，角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

25．(1)甲（或乙）

(2)②，通分时，将分母乘以，而分子没有乘以

(3)

【分析】甲的错误是第②步通分时，分子没有乘，乙的错误是第③步直接去掉了分母，任选一个作答即可，按照通分，合并的步骤写出正确过程即可．

【详解】（1）甲（或乙）；

（2）若选择甲，则答案为：②，通分时，将分母乘以，而分子没有乘以；若选择乙，则答案为：③，直接去掉了分母；

（3）正确解答过程如下：

．

【点睛】本题考查分式的计算，注意通分时不要漏乘，不能去分母，要跟解分式方程区分开．

26．甲种跳绳的单价为32元，乙种跳绳的单价为42元

【分析】设甲种跳绳的单价为元，则乙种跳绳的单价为元，由题意得：用1600元购买甲种跳绳与用2100元购买乙种跳绳的数量相同，列出分式方程，解方程即可．

【详解】解：设甲种跳绳的单价为元，则乙种跳绳的单价为元，

由题意得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意，

则，

答：甲种跳绳的单价为32元，乙种跳绳的单价为42元．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系式，正确列出分式方程是解题的关键．

27．(1)

(2)，，证明见解析

(3)，

【分析】（1）由题意可得及三角形三边关系，即可求解；

（2）通过证明，得出，即可得出结论；

（3）同（2）得，则，，进而判断出，进而判断出，得出，，即可得出结论．

【详解】（1）解：由题意可得：

∵，

∴，

故答案为；

（2），理由如下

延长到M使，连接

∵是的中线

∴

在和中

∴

∴

∴，；

（3），，理由如下

在下图中，延长到Q使得，连接

由（2）知，

∴，

∵

∴

在中，

∴

∴

∵

∴

∴

在和中

∴

∴，

延长交于点

∵

∴

∴

∴

∴

∵

∴

∵

∴

综上：，．

【点睛】本题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解题的关键．

28．(1)1，6

(2)，2

(3)

【分析】（1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可；

（2）方程变形后，根据利用题中的结论，以及与互为倒数，确定出与的值即可；（3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为、，代入原式计算即可得到结果．

【详解】（1）解：∵，，

∴方程有两个解，分别为，

故答案为：1，6；

（2）解：，

方程变形得：

由题中的结论得：有两个解，分别为，2，

∵与互为倒数，

∴，

故答案为：，2；

（3）解：，

方程整理得，

得或

可得，．

∴．

【点睛】此题考查了分式方程的解，掌握分式的性质，弄清题中的规律是解本题的关键．