2021-2022学年甘肃省兰州九十二中八年级（下）第一次月考数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年甘肃省兰州九十二中八年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 要使二次根式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列各组数中，能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

6. 如图，在▱中，已知，，平分交边于点，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，点表示的实数是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在方格中作以为一边的，要求点也在格点上，这样的能作出(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

9. 如图所示：是一段楼梯，高是，斜边是，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在平行四边形中，对角线、相交成的锐角，若，，则平行四边形的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 计算：______．
12. 中，，，，则______．
13. 的整数部分为，则______．
14. 若，为实数，且，则的值是______．
15. 估计与的大小关系：______填“”、“”或“”．
16. 如图所示，有一条小路穿过长方形的草地，若，，，则这条小路的面积是______．

17. 如图，有一圆柱体，它的高为，底面周长为在圆柱的下底面点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与点相对的点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是______ ．

18. 在直线上依次摆放着七个正方形如图，已知斜放置的三个正方形的面积分别是，，，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19. 计算：
    ；
    ；
    ．
20. 化简求值：，其中．
21. 已知，，为三角形的三边，且，试确定三角形的形状．并说明理由．
22. 如图，四边形中，，，，，．
    判断是否是直角，并说明理由．
    求四边形的面积．

23. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？参考数据转换：

24. 如图，将长为米长的梯子斜靠在墙上，长米．如果梯子的顶端沿墙下滑米即米，则梯脚将外移即长多少米？
     

25. 如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点落在处．
    求证：
    求的长度．

26. 如图，已知中，，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为．
    当时，判断的形状，并说明理由；
    当为何值时，与全等？请写出证明过程．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，此选项错误；
B、，此选项错误；
C、是最简二次根式，此选项正确；
D、，此选项错误；
故选：．
根据最简二次根式的定义判断即可得．
本题主要考查最简二次根式的定义，掌握在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；在二次根式的被开方数中的每一个因式或因数，如果幂的指数等于或大于，也不是最简二次根式，是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
解得．
故选：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与不能合并，所以选项不正确；
B、，所以选项不正确；
C、，所以选项正确；
D、，所以选项不正确．
故选：．
根据同类二次根式才能合并可对进行判断；根据二次根式的乘法对进行判断；先把化为最简二次根式，然后进行合并，即可对进行判断；根据二次根式的除法对进行判断．
本题考查了二次根式的加减运算：先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．也考查了二次根式的乘除法．
 

4.【答案】 

【解析】解：原式
．
故选：．
先利用积的乘方得到原式，然后根据平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查勾股定理的逆定理，要求学生熟练掌握这个逆定理．
根据勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【解答】
解：、，不能构成直角三角形，故A错误；
B、，能构成直角三角形，故B正确；
C、，不能构成直角三角形，故C错误；
D、，不能构成直角三角形，故D错误．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
．
故选：．
直接利用平行四边形的性质结合角平分线的性质得出的长，进而得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，正确利用角平分线的性质得出是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
点表示的实数是，
故选：．
根据勾股定理求得，于是得到结论．
本题考查了实数与数轴，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查格点作图，勾股定理及其逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键．
可以分是斜边时，是直角边时两种情况进行讨论，根据网格利用勾股定理及其逆定理进行判断即可．
【解答】
解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：、，，四个；

当是直角边，第三个顶点是，点；
因而共有个满足条件的顶点．  

9.【答案】 

【解析】解：是直角三角形，，
，
如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米．
故选：．
先根据直角三角形的性质求出的长，再根据楼梯高为的高，楼梯的宽的和即为的长，再把、的长相加即可．
本题考查的是勾股定理，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的性质以及含角的直角三角形．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
先过点作于点，由在▱中，，，可求得的长，又由对角线、相交成的锐角为，求得的长，的面积，则可求得答案．
【解答】
解：过点作于点，
在▱中，，，
，
，
，
，
．
故选D．  

11.【答案】 

【解析】解：原式．
二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据勾股定理，得．
根据勾股定理即可解决．
主要是考查了勾股定理，熟记，，勾股数．
 

13.【答案】 

【解析】解：的整数部分为，，
，
．
故答案为：．
因为，由此求得整数部分，可得，再代入计算即可求解．
此题考查无理数的估算，注意找出最接近的整数范围是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，
解得，，，
则，
故答案为：．
根据非负数的性质可求出、的值，再将它们代入中求解即可．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，，，
．
故答案为：．
将两数分别平方，因为两数均大于，所以平方大的数本身就大．
本题考查的是实数比较大小，解题的关键是将两数平方后进行比较，由两数本身大于，故平方大的数本身也大．
 

16.【答案】 

【解析】解：在矩形中，，
又，
四边形是平行四边形．
在中，，，
根据勾股定理得，
，
所以这条小路的面积
故答案为：．
是矩形，则，又，进而可判断四边形的形状，继而面积可以利用底边长乘以高进行计算．
熟练掌握平行四边形的性质及判定，掌握矩形的性质及勾股定理．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到如图所示的图形，
其中，，
在中，．
故答案为：．
要求需要爬行的最短路径首先要把圆柱的侧面积展开，得到一个矩形，然后利用勾股定理求两点间的线段即可．
本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是理解要求需要爬行的最短路径首先要把圆柱的侧面积展开，底面周长和高以及所走的路线构成一个直角三角形，然后再求线段的长．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，，
．
在和中，
，
≌，
．
，，
．
，，，，
．
同理．
则．
证明≌，推出，同理可得到的值，由此即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：原式
；
原式
；
原式
；
原式

． 

【解析】先化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
用平方差公式计算即可；
用完全平方公式计算即可；
先算零指数幂，负整数指数幂，去绝对值，二次根式乘法，再算加减．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
 

20.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的减法法则算括号内的减法，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

21.【答案】解：三角形为直角三角形．理由如下：
，
，
，
，，，，，
，，，
，
，
三角形为直角三角形． 

【解析】先配方得到，根据非负数的性质得到，，，，，易得，，，然后根据勾股定理的逆定理即可得到三角形为直角三角形．
本题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，于是解方程组解决问题．
 

22.【答案】解：连接，

，
，
，
，
是直角三角形，即是直角；
，
． 

【解析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
连接，根据勾股定理可知，再根据即可得出结论；
根据即可得出结论．
 

23.【答案】解：在中，，；
据勾股定理可得：
小汽车的速度为；
；
这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了． 

【解析】本题求小汽车是否超速，其实就是求的距离，直角三角形中，有斜边的长，有直角边的长，那么的长就很容易求得，根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．
 

24.【答案】解：由题意得：米，米，
在中，，
；               
由题意得：米，
在中，
，
米，
米，
答：梯脚将外移即长米． 

【解析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
直接利用勾股定理得出，的长，再利用求出答案．
 

25.【答案】证明：依题意可知，矩形沿对角线对折后有：
，，，
≌，
；
解：设，
，
在中有，
即，
解得，
的长度为． 

【解析】由矩形的性质和折叠的性质可得，，，可证≌，可得；
利用勾股定理可求的值即可．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，利用勾股定理求解所需线段是本题的关键．
 

26.【答案】解：是等边三角形，
理由是：，
，，
，
，
是等边三角形；

存在，使和全等．当时，和全等．
理由如下：在中，，，
，，
当，此时时，
，
，
，
．
又，
是等边三角形，
，
在和中，
，
≌；
即存在时间，使和全等，时间； 

【解析】分别求出、的长，根据等边三角形的判定推出即可；
根据全等的条件和已知分别求出、、、的长，根据全等三角形的判定推出即可；
本题考查了勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．