北师大版九年级下册2 圆的对称性课时练习

2　圆的对称性

(打√或×)

1．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴．(×)

2．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．(√)

3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．(√)

4．在同圆或等圆中，如果两条弧、两条弦、两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．(√)

·知识点1　圆的对称性

1．下列说法正确的是(B)

A．直径是圆的对称轴         B．经过圆心的直线是圆的对称轴

C．与圆相交的直线是圆的对称轴     D．与半径垂直的直线是圆的对称轴

2．将一圆形纸片对折后再对折，得到如图所示图形，然后沿着图中的虚线剪去一个角(即△OMN)，再将余下部分展开后的平面图形是(C)

3．如图，AB是长为3 cm的线段，以AB为直径作⊙O，CD⊥AB于O，则图中阴影部分的面积等于__π__ cm2(结果保留π).

·知识点2　弧、弦、圆心角之间的关系

4．下列命题：(1)圆心角是顶点在圆心的角；(2)两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；(3)两条弦相等，它们所对的弧也相等；(4)等弧所对的圆心角相等．其中真命题有(C)

A．4个    B．3个    C．2个    D．1个

5．如图，在⊙O中，＝，∠A＝36°，则∠C的度数为(D)

A．44°    B．54°    C．62°    D．72°

6．如图，D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD＝CE，则与弧长的大小关系是__相等__．

7．如图，已知AB是⊙O的直径．弦AC∥OD，求证：＝.

【解析】见全解全析

1．如图，在⊙O中，＝，图中的线段、角、弧分别具有相等关系的量共有(不包括＝)(A)

A．10组    B．7组    C．6组    D．5组

2．在同圆或等圆中，如果圆心角∠BOA等于另一圆心角∠COD的2倍，则下列式子中一定成立的是(B)

A．AB＝2CD    B．＝2    C．＜2    D．＝

3．如图，圆心角∠AOB＝25°，将旋转n°得到，则∠COD等于(A)

A．25°    B．25°＋n°    C．50°    D．50°＋n°

4．(2021·三明期中)如图，在半径为6的⊙O中，长为6的弦所对的圆心角是__60__°.

5．如图，已知AB是⊙O的直径，PA＝PB，∠P＝60°，则所对的圆心角等于__60__°.

6．已知：如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC.求证：AD＝DC.

【证明】连接OC，如图，

∵OD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠3.

又∵OB＝OC，∴∠B＝∠3，

∴∠1＝∠2，∴AD＝DC.

7．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD.

(1)求证：BE＝CE；

(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；

(3)若BC＝8，AD＝10，求CD的长．

【解析】见全解全析

·易错点　对圆中的有关线段的关系运用不当

【案例】

如图所示，在⊙O中，AB，CD是两条弦，且AB＞CD，OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，请你猜想OM与ON的大小关系，并说明理由．

【解析】OM＜ON，

理由是：如图，连接OC，OA，OB，

∵OM⊥AB，OA＝OB，OM过O，∴AB＝2AM，

同理CD＝2CN，

∵AB＞CD，∴AM＞CN，

∵OM⊥AB，ON⊥CD，

∴∠ONC＝∠OMA＝90°，

由勾股定理得：ON2＝OC2－CN2，OM2＝OA2－AM2，

∵OA＝OC，AM＞CN，∴OM＜ON.

2　圆的对称性

__必备知识·基础练

【易错诊断】

1．×　2.√　3.√　4.√　

【对点达标】

1．B　A．直径所在的直线为圆的对称轴，所以A错误；

B．经过圆心的直线是圆的对称轴，所以B正确；

C．与圆相交的直线不一定是圆的对称轴，所以C错误；

D．与半径垂直的直线不一定是圆的对称轴，所以D错误．

2．C　沿图中的虚线剪下，展开后得到的平面图形中间部分是一个四边形，其四条边相等，且对角线互相垂直．故中间部分是一个菱形．

3．【解析】由题图知，图中阴影部分的面积等于⊙O面积的，

∴图中阴影部分的面积为·π·()2＝π(cm2).

答案：π

4．C　(1)圆心角是顶点在圆心的角，正确；

(2)在同圆或等圆中，两个圆心角相等，它们所对的弦也相等，原说法错误；

(3)在同圆或等圆中，两条弦相等，所对的劣弧也相等，原说法错误；

(4)等弧所对的圆心角相等，正确．

5．D　∵⊙O中，＝，∴AB＝AC.

又∠A＝36°，∴∠B＝∠C＝72°.

6．【解析】∵CD⊥OA，CE⊥OB，

∴∠CDO＝∠CEO＝90°，∵CD＝CE，CO＝CO，

∴△COD≌△COE(HL)，∴∠COA＝∠COB，

∴＝.

答案：相等

7．【证明】如图，连接OC.

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠ACO.

∵AC∥OD，

∴∠OAC＝∠BOD，

∴∠DOC＝∠ACO，

∴∠BOD＝∠COD.

∴＝.

__关键能力·综合练

1．A　线段OA，OB，OC，OD每两条都相等，因而有6对；∠AOB＝∠COD，∠AOC＝∠BOD，＝，＝.

2．B　取的中点E，连接AE，BE，OE，如图，

∵∠AOB＝2∠COD，

∴＝2.

∴＝＝，

∴AE＝BE＝CD，

而AE＋BE＞AB，

∴2CD＞AB，∴2＝.

3．A　∵将旋转n°得到，

∴＝，

∴∠COD＝∠AOB＝25°.

4．【解析】∵OA＝OB＝AB＝6，

∴△AOB为等边三角形，

∴∠AOB＝60°.

答案：60

5．【解析】连接OC，OD，∵PA＝PB，∠P＝60°，

∴△PAB是等边三角形，

有∠A＝∠B＝60°，∵OA＝OC＝OD＝OB，

∴△COA，△DOB也是等边三角形，

∴∠COA＝∠DOB＝60°，

∴∠COD＝180°－∠COA－∠DOB＝60°.

答案：60

6．解析见正文

7．【解析】(1)∵AD是⊙O的直径，连接OB，

∴OA＝OB＝OD，

∴∠OAB＝∠OBA，∠OBD＝∠ODB，

又∠OAB＋∠OBA＋∠OBD＋∠ODB＝180°，

∴∠ABO＋∠DBO＝90°，即∠ABD＝90°.

同理∠ACD＝90°，

在Rt△ABD和Rt△ACD中，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)，

∴∠BAD＝∠CAD.

∵AB＝AC，∴BE＝CE.

(2)四边形BFCD是菱形．

证明：∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，

∴AD⊥BC，BE＝CE，

∵CF∥BD，∴∠FCE＝∠DBE，

在△BED和△CEF中，

∴△BED≌△CEF(ASA)，

∴CF＝BD，

∴四边形BFCD是平行四边形．

∵∠BAD＝∠CAD，

∴BD＝CD，

∴四边形BFCD是菱形．

(3)∵AD⊥BC，AC⊥CD，

∴∠AEC＝∠CED＝90°，∠CAE＝∠ECD，

∴△AEC∽△CED，

∴＝，

∴CE2＝DE·AE，

设DE＝x，∵BC＝8，AD＝10，

∴42＝x(10－x)，

解得：x＝2或x＝8(舍去)

在Rt△CED中，CD＝＝＝2.

【易错必究】

·易错点

【案例】解析见正文