初中数学北师大版九年级下册第三章 圆3 垂径定理练习

*3　垂 径 定 理

(打√或×)

1．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．(√)

2．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．(×)

3．在“①是直径，②垂直于弦，③平分弦(非直径)，④平分弦所对的弧”四个结论中，已知其中的两个结论就可以推导出其他的两个结论．(√)

·知识点1　垂径定理及推论

1．(概念应用题)如图所示，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不一定正确的是(D)

A．∠COE＝∠DOE    B．CE＝DE    C．AC＝AD    D．OE＝BE

2．如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB＝6，CD＝2，则⊙O的半径为(C)

A．5    B．    C．    D．4

3．如图，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为(B)

A． cm    B．8 cm    C．6 cm    D．4 cm

·知识点2　垂径定理的应用

4．如图，拱桥可以近似地看作直径为250 m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为150 m，那么这些钢索中最长的一根的长度为(D)

A．50 m    B．40 m    C．30 m    D．25 m

5．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为(D)

A．4 m    B．5 m    C．6 m    D．8 m

6．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则排水管中的水深为__4__．

7．要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接测量的方法．如果将一个直径为10 mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h＝8 mm(如图所示)，则此小孔的直径为__8__mm__．

8．某园进行改造，现需要修建一些如图所示圆形(不完整)的门，根据实际需要该门的最高点C距离地面的高度为2.5 m，宽度AB为1 m，则该圆形门的半径应为____ m．

1．(传统数学文化)(2021·厦门期中)在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺(1尺＝10寸)，则该圆材的直径为(C)

A．13寸    B．24寸    C．26寸    D．28寸

2．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠CAO＝22.5°，OC＝6，则CD的长为(A)

A．6    B．3    C．6    D．12

3．(2021·福州质检)若弦AB，CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为13，AB＝10，CD＝24，则AB，CD之间的距离为(D)

A．7    B．17    C．5或12    D．7或17

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则BD的长为____．

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13，0)，直线y＝kx－3k＋4(k≠0)与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为__24__．

6．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为__2__．

7.如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点．

(1)求证：AB平分∠OAC；

(2)延长OA至P使得OA＝AP，连接PC，若圆O的半径R＝1，求PC的长．

【解析】(1)连接OC，

∵∠AOB＝120°，C是AB弧的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝60°.

∵OA＝OC，∴△ACO是等边三角形，

∴OA＝AC，同理OB＝BC，

∴OA＝AC＝BC＝OB，∴四边形AOBC是菱形，∴AB平分∠OAC.

(2)∵三角形OAC是等边三角形，

∴OA＝AC.∴AP＝AC，∵∠CAO＝60°，∴∠APC＝30°，

∴△OPC是直角三角形，PC＝OC＝.

·易错点1　忽视垂径定理的推论中的条件“不是直径”

【案例1】下列说法中错误的有(C)

①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧；②弦的垂线平分它所对的两条弧；

③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧．

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

·易错点2　考虑不全面而漏解

【案例2】⊙O半径为10 cm，弦AB＝12 cm，CD＝16 cm，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离．

【解析】见全解全析

*3　垂 径 定 理

__必备知识·基础练

【易错诊断】

1．√　2.×　3.√　

【对点达标】

1．D　∵AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，

∴CE＝DE，即AB为CD的垂直平分线，

∴AC＝AD，∴选项B、C正确．

∵OC＝OD，OE⊥CD，

∴∠COE＝∠DOE，∴选项A正确．

2．C　连接OA，如图，设⊙O的半径为r.

∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝3.

在Rt△OAC中，

∵OA＝r，OC＝OD－CD＝r－2，AC＝3，

∴(r－2)2＋32＝r2，解得r＝.

3．B　如图所示，连接OA.

⊙O的直径CD＝10 cm，

则⊙O的半径为5 cm，

即OA＝OC＝5 cm.

又∵OM∶OC＝3∶5，

所以OM＝3 cm.

∵AB⊥CD，垂足为M，

∴AM＝BM.

在Rt△AOM中，

AM＝＝4(cm)，

∴AB＝2AM＝2×4＝8(cm).

4．D　设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，则OA＝OD＝×250＝125(m)，

AC＝BC＝AB＝×150＝75(m)，

OC＝＝＝100(m)，

∴CD＝OD－OC＝125－100＝25(m)，即这些钢索中最长的一根为25 m.

5．D　如图，连接OA，

∵桥拱半径OC为5 m，

∴OA＝5 m.

∵CD＝8 m，

∴OD＝8－5＝3(m)，

∴AD＝＝＝4(m)，

∴AB＝2AD＝2×4＝8(m).

6．【解析】如图，延长OC与⊙O交于点D，

∵OD⊥AB，OD为半径，

∴C为AB中点，即AC＝BC＝AB＝8，

在Rt△OCB中，OB＝10，BC＝8，

根据勾股定理得：OC＝6，

则CD＝10－6＝4.

答案：4

7．【解析】过点M作MC⊥AB于点C(M，O，C共线)，则OA＝×10＝5(mm)，OC＝MC－OM＝8－5＝3(mm).

在Rt△ACO中，AC＝＝4(mm)，

∴AB＝2AC＝8(mm).

∴此小孔的直径d为8 mm.

答案：8 mm

8．【解析】如图，过圆心O作OE⊥AB于点E，连接OC，

∵点C是该门的最高点，∴＝，

∴CO⊥AB，

∴C，O，E三点共线．

连接OA，

∵OE⊥AB，

∴AE＝＝0.5 m.

设⊙O的半径为R，则OE＝2.5－R，

∵OA2＝AE2＋OE2，

∴R2＝(0.5)2＋(2.5－R)2.

解得：R＝.

答案：

__关键能力·综合练

1．C　设圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，如图所示：

∴AC＝AB＝×10＝5，设⊙O的半径为r寸，

在Rt△ACO中，OC＝r－1，OA＝r，

则有r2＝52＋(r－1)2，

解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸．

2．A　∵CD⊥AB，

∴CE＝DE.

∵∠BOC＝2∠A＝2×22.5°＝45°，

∴△OCE为等腰直角三角形，

∴CE＝OC＝×6＝3，

∴CD＝2CE＝6.

3．D　过O点作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA，OC，

∵AB∥CD，

∴OF⊥CD，

∴AE＝BE＝AB＝5，CF＝DF＝CD＝12.

在Rt△OAE中，

OE＝＝＝12，

在Rt△OCF中，

OF＝＝＝5.

当圆心O在AB，CD之间，

如图1，EF＝OE＋OF＝12＋5＝17；

当圆心O不在AB，CD之间，

如图2，EF＝OE－OF＝12－5＝7.

综上所述，AB，CD之间的距离为7或17.

4．【解析】如图，过点C作CE⊥AD于点E，

则AE＝DE.

∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，

∴AB＝＝＝5.

∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CE，

∴CE＝＝，

∴AE＝＝＝，

∴AD＝2AE＝，

∴BD＝AB－AD＝5－＝.

答案：

5．【解析】如图，连接OB，

∵直线y＝kx－3k＋4必过点D(3，4)，

∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦．

∵点D的坐标是(3，4)，

∴OD＝＝5，

∵以原点O为圆心的圆过点A(13，0)，

∴圆的半径为13，∴OB＝13，

∴BD＝＝＝12，

∴BC＝2BD＝24，

∴BC的长的最小值为24.

答案：24

6．【解析】如图，连接AC，OE，OF，作OM⊥EF于M.

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，

∴AC是直径，AC＝4，

∴OE＝OF＝2.

∵OM⊥EF，

∴EM＝MF.

∵△EFG是等边三角形，

∴∠GEF＝60°.

在Rt△OME中，

∵OE＝2，∠OEM＝∠GEF＝30°，

∴OM＝，EM＝OM＝，

∴EF＝2.

答案：2

7．解析见正文

【易错必究】

·易错点1

【案例1】C　①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧，错误，这条直线需要垂直这条弦．

②弦的垂线平分它所对的两条弧，错误，这条垂线需要平分这条弦．

③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧，错误，这条弦不是直径时成立．

④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧．正确．

·易错点2

【案例2】【解析】①AB，CD在圆心的同侧如图1，连接OD，OB，过O作AB的垂线交CD，AB于E，F，根据垂径定理得ED＝CD＝×16＝8(cm)，FB＝AF＝×12＝6(cm)，

在Rt△OED中，OD＝10 cm，ED＝8 cm，

由勾股定理得OE＝＝＝6，

在Rt△OFB中，OB＝10 cm，FB＝6 cm，

则OF＝＝＝8，

AB和CD的距离是OF－OE＝8－6＝2(cm)；

②AB，CD在圆心的异侧如图2，连接OD，OB，过O作AB的垂线交CD，AB于E，F，根据垂径定理得

ED＝CE＝×16＝8(cm)，FB＝AF＝×12＝6(cm)，

在Rt△OED中，OD＝10 cm，ED＝8 cm，由勾股定理得OE＝＝＝6，

在Rt△OFB中，OB＝10 cm，FB＝6 cm，

则OF＝＝＝8，

AB和CD的距离是OF＋OE＝8＋6＝14(cm)，

综上，AB与CD之间的距离是2 cm或14 cm.