北师大版九年级下册5 确定圆的条件当堂检测题

5　确定圆的条件

(打√或×)

1．三点确定一个圆．(×)

2．三角形都有外接圆．(√)

3．三角形的外心在三角形内部．(×)

4．作三角形两角的平分线，确定外接圆圆心．(×)

·知识点1　确定圆的条件

1．给定下列图形可以确定一个圆的是(C)

A．已知圆心    B．已知半径    C．已知直径    D．已知三个点

2．某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心(不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹).

【解析】见全解全析

·知识点2　三角形的外接圆

3．⊙O是△ABC的外接圆，则点O是△ABC的(A)

A．三条边的垂直平分线的交点     B．三条角平分线的交点

C．三条中线的交点        D．三条高的交点

4．若一个三角形的外心在这个三角形的一边上，那么这个三角形是(B)

A．锐角三角形    B．直角三角形    C．钝角三角形    D．不能确定

5．(2020·鞍山中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2 cm，若BC＝2 cm，则∠A的度数为(A)

A．30°    B．25°    C．15°    D．10°

6．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠BAD＝__40__°.

7．如图，若△ABC内接于半径为6的⊙O，且∠A＝60°，连接OB，OC，则边BC的长为__6__．

8．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连接BD，BC平分∠ABD.

求证：∠CAD＝∠ABC.

【解析】见全解全析

1．如图，小明为检验M，N，P，Q四点是否共圆，用尺规分别作了MN，MQ的垂直平分线交于点O，则M，N，P，Q四点中，不一定在以O为圆心，OM为半径的圆上的点是(C)

A．点M    B．点N    C．点P    D．点Q

2．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是(B)

A．35°    B．40°    C．45°    D．60°

3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r＝5，AC＝8，则cos B的值是(B)

A．    B．    C．    D．

4．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是(B)

A．△ABE    B．△ACF    C．△ABD    D．△ADE

5. (2021·福州质检)如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这4个点中的任意3个点，能画圆的个数是(C)

A．1　　　　　　　B．2　　　　　　　C．3　　　　　　　D．4

6．如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D，E在⊙O上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是____．

7．已知△ABC的边BC＝4 cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4 cm，则∠A的度数是__30°或150°__．

8．(2021·福州期中)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，求⊙O的直径．

【解析】连接BO并延长交⊙O于点D，连接AD，

∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，

∴∠C＝30°，∴∠BOA＝60°.

又∵OA＝OB，∴△AOB是正三角形．

∴OB＝AB＝4，∴BD＝8.

∴⊙O的直径为8.

9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE＝DE，BC＝CE.

(1)求∠ACB的度数；

(2)过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE＝3，EG＝2，求AB的长．

【解析】见全解全析

·易错点　忽视三角形的外心与三角形的位置关系

【案例】若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则△ABC的面积为__2－或2＋__．

5　确定圆的条件

__必备知识·基础练

【易错诊断】

1．×　2.√　3.×　4.×　

【对点达标】

1．C　A．不能确定．因为半径不确定，故不符合题意；

B．不能确定．因为圆心的位置不确定，故不符合题意；

C．能确定，给定一直径，则圆心和半径确定，所以可以确定一个圆，故符合题意；

D．不能确定，不在同一直线上三点可以确定一个圆．故不符合题意．

2．【解析】在圆上取两条弦，根据垂径定理，

垂直平分弦的直线一定过圆心，

所以作出两弦的垂直平分线即可．

3．A　∵⊙O是△ABC的外接圆，

∴点O是△ABC的三条边的垂直平分线的交点．

4．B　∵根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，

∴该三角形是直角三角形．

5．A　连接OB和OC，如图，

∵圆O半径为2，BC＝2，

∴△OBC为等边三角形，

∴∠BOC＝60°，

∴∠A＝∠BOC＝×60°＝30°.

6．【解析】∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，

∴∠ABD＝90°，

∵∠BCA＝50°，∴∠ADB＝∠BCA＝50°，

∴∠BAD＝90°－50°＝40°.

答案：40

7．【解析】过点O作OD⊥BC于点D，如图所示：

则BD＝CD.

∵△ABC内接于半径为6的⊙O，且∠A＝60°，

∴∠BOC＝2∠A＝120°，CO＝BO＝6，

∴∠OBC＝∠OCB＝30°，

∴OD＝OB＝3，

∴BD＝＝3，

∴BC＝2BD＝6.

答案：6

8．【证明】∵BC平分∠ABD，∴∠DBC＝∠ABC.

∵∠CAD＝∠DBC，∴∠CAD＝∠ABC.

__关键能力·综合练

1．C　连接OM，ON，OQ，OP，

∵MN，MQ的垂直平分线交于点O，

∴OM＝ON＝OQ，

∴M，N，Q在以点O为圆心，以OM长为半径的圆上，OP是否与OM相等不能确定，

∴点P不一定在该圆上．

2．B　连接OB，

∵∠A＝50°，

∴∠BOC＝2∠A＝100°，

∵OB＝OC，

∴∠OCD＝∠OBC＝＝40°.

3．B　∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD＝90°.

Rt△ACD中，AD＝2r＝10，AC＝8.

根据勾股定理，得

CD＝＝＝6.

∴cos D＝＝＝.

∵∠B＝∠D，

∴cos B＝cos D＝.

4．B　只有△ACF的三个顶点不都在⊙O上，故外心不是点O的是△ACF.

5．C　根据题意得出：点D，A，B；点D，A，C；点D，B，C可以确定一个圆．故过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是3个．

6．【解析】连接BD，OC，如图，

∵四边形BCDE为矩形，

∴∠BCD＝90°，

∴BD为⊙O的直径，

∴BD＝2.

∵△ABC为等边三角形，

∴∠A＝60°，

∴∠BOC＝2∠A＝120°.

而OB＝OC，

∴∠CBD＝30°.

在Rt△BCD中，CD＝BD＝1，BC＝CD＝，

∴矩形BCDE的面积＝BC·CD＝.

答案：

7．【解析】如图：当A在优弧BC上时，连接BO，CO，

∵△ABC的边BC＝4 cm，⊙O是其外接圆，

且半径也为4 cm，

∴△OBC是等边三角形，

∴∠BOC＝60°，

∴∠A＝30°.

当点A在劣弧BC上时，

∠A＝180°－30°＝150°.

综上，∠A＝30°或150°.

答案：30°或150°

8．解析见正文

9．【解析】(1)在△AEB和△DEC中，

∴△AEB≌△DEC(ASA)，∴EB＝EC.

又∵BC＝CE，∴BE＝CE＝BC，

∴△EBC为等边三角形，

∴∠ACB＝60°.

(2)作BM⊥AC于点M，如图，

∵OF⊥AC，

∴AF＝CF.

∵△EBC为等边三角形，

∴∠GEF＝60°，

∴∠EGF＝30°.

∵EG＝2，∴EF＝1.

又∵AE＝ED＝3，

∴CF＝AF＝4，

∴AC＝8，EC＝5，∴BC＝5.

∵∠BCM＝60°，∴∠MBC＝30°，

∴CM＝，BM＝＝，

∴AM＝AC－CM＝，

∴AB＝＝7.

【易错必究】

·易错点

【案例】【解析】如图所示，

存在两种情况：

当△ABC为△A1BC时，连接OB，OC，

∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，

底边BC＝2，OB＝OC，

∴△OBC为等边三角形，

OB＝OC＝BC＝2，OA1⊥BC于点D，

∴CD＝1，OD＝＝，

∴S△A1BC＝BC·A1D＝×2×(2－)＝2－.

当△ABC为△A2BC时，连接OB，OC，

∵△OBC为等边三角形，OB＝OC＝BC＝2，

OA1⊥BC于点D，

∴CD＝1，OD＝＝，

∴S△A2BC＝BC·A2D＝×2×(2＋)＝2＋，

综上可得，△ABC的面积为2－或2＋.

答案：2－或2＋