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初中数学北师大版九年级下册9 弧长及扇形的面积课堂检测
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这是一份初中数学北师大版九年级下册9 弧长及扇形的面积课堂检测,共19页。
9 弧长及扇形的面积
·知识点1 弧长公式及应用
1.(生活情境题)(2020·南充中考)如图,四个三角形拼成一个风车图形,若AB=2,当风车转动90°,点B运动路径的长度为(A)
A.π B.2π C.3π D.4π
2.如图,已知的半径为5,所对的弦AB长为8,点P是的中点,将绕点A逆时针旋转90°后得到,则在该旋转过程中,点P的运动路径长是(B)
A.π B.π C.2π D.2π
3.如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,点C,D在直径AB的两侧.若
∠AOC∶∠AOD∶∠DOB=2∶7∶11,CD=4,则的长为(D)
A.2π B.4π C. D.π
4.(2021·福州期末)若⊙O的半径为2,则270°的圆心角所对的弧长是__3π__.
5.(2020·宁波中考)如图,折扇的骨柄长为27 cm,折扇张开的角度为120°,图中的长为__18π__ cm(结果保留π).
·知识点2 扇形的面积公式及应用
6.(概念应用题)(2020·湘潭中考)如图,在半径为6的⊙O中,圆心角∠AOB=60°,则阴影部分面积为__6π__.
7.一个扇形的面积是13π cm2,半径是6 cm,则此扇形的圆心角是__130__°.
8.如图,△ABC中,D为BC的中点,以D为圆心,BD长为半径画弧,交AC于点E,若∠A=60°,∠ABC=100°,BC=4,则扇形DBE的面积为____.
9.(2021·莆田期末)已知扇形所在圆半径为4,弧长为6π,则扇形面积为__12π__.
10.如图,在菱形OABC中,OB是对角线,OA=OB=2,⊙O与边AB相切于点D,则图中阴影部分的面积为__2-π__.
11.(2021·福州期中)如图,点A、B、C、D在⊙O上,AB=AC,∠A=40°,BD∥AC,若⊙O的半径为2,则图中阴影部分的面积是__π-__.
1.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,以点A为圆心,AD长为半径画弧交边BC于点E,连接AE,则的长为(C)
A. B.π C. D.
2.(2020·乐山中考)在△ABC中,已知∠ABC=90°,∠BAC=30°,BC=1.如图所示,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′.则图中阴影部分面积为(A)
A. B. C. D.π
3.(2021·泉州模拟)已知一个扇形的半径为6,弧长为2π,则这个扇形的圆心角为__60__°.
4.(2021·福州质检)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AB=4,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交AB于点D,则图中阴影部分面积为__4-π__.
5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=2,△ABC绕顶点C逆时针旋转60°得到△A′B′C,点A的对应点A′恰好落在AB上,则图中阴影部分的面积为__2π-__.
6.(2021·厦门质检)生活中的车轮都是圆形的,但除了圆之外,其实还有一种几何图形可以作为车的轮子,即莱洛三角形.莱洛三角形又称“勒洛三角形”、“圆弧三角形”,它是一种特殊三角形.分别以正三角形的三个顶点为圆心,以其边长为半径作圆弧,且该圆弧是以另外两个顶点为端点的一段劣弧.由这样的三段圆弧组成的曲边三角形称为莱洛三角形.若有一个正三角形其边长为2,则由它所形成的莱洛三角形的周长为__2π__.
7.如图,点O为AB中点,分别延长OA到点C,OB到点D,使OC=OD.以点O为圆心,分别以OA,OC为半径在CD上方作两个半圆.点P为小半圆上任一点(不与点A,B重合),连接OP并延长交大半圆于点E,连接AE,CP.
(1)①求证:△AOE≌△POC;
②写出∠1,∠2和∠C三者间的数量关系,并说明理由.
(2)若OC=2OA=2,当∠C最大时,直接指出CP与小半圆的位置关系,并求此时S扇形ODE(答案保留π).
【解析】见全解全析
·易错点 忽视条件“两面贴纸”
【案例】
如图,一扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB和AC的夹角为120°,AB长为25 cm,贴纸部分的宽BD为15 cm,若纸扇两面贴纸,则贴纸的面积为__350π__cm2__.(结果保留π)
9 弧长及扇形的面积
__必备知识·基础练
【对点达标】
1.A 由题意可得:点B运动路径的长度为=π.
2.B 如图,设的圆心为O,
∵圆O半径为5,所对的弦AB长为8,点P是的中点,
根据垂径定理,得AC=AB=4,PO⊥AB,OC==3,
∴PC=OP-OC=5-3=2,
∴AP==2.
∵将绕点A逆时针旋转90°后得到,
∴∠PAP′=∠BAB′=90°,
∴lPP′==π.
则在该旋转过程中,点P的运动路径长是π.
3.D ∵∠AOC∶∠AOD∶∠DOB=2∶7∶11,
∠AOD+∠DOB=180°,
∴∠AOD=×180°=70°,
∠DOB=110°,∠COA=20°,
∴∠COD=∠COA+∠AOD=90°,
∵OD=OC,CD=4,∴2OD2=42,
∴OD=2,
∴的长是=π.
4.【解析】∵⊙O的半径为2,圆心角为270°,
∴弧长==3π.
答案:3π
5.【解析】∵折扇的骨柄长为27 cm,折扇张开的角度为120°,
∴的长==18π(cm).
答案:18π
6.【解析】阴影部分面积为=6π.
答案:6π
7.【解析】设这个扇形的圆心角为n°,=13π解得n=130.
答案:130
8.【解析】∵∠A=60°,∠B=100°,∴∠C=20°,
又∵D为BC的中点,
∵BD=DC=BC=2,DE=DB,∴DE=DC=2,
∴∠DEC=∠C=20°,∴∠BDE=40°,
∴扇形DBE的面积==.
答案:
9.【解析】∵圆半径为4,弧长为6π,
∴扇形面积为:×4×6π=12π.
答案:12π
10.【解析】连接OD,∵四边形OABC为菱形,∴OA=AB,
∵OA=OB,∴OA=OB=AB,
∴△OAB为等边三角形,∴∠A=∠AOB=60°.
∵AB是⊙O的切线,∴OD⊥AB,
∴OD=OA·sin A=,
同理可知,△OBC为等边三角形,∴∠BOC=60°,
∴图中阴影部分的面积=2×-
=2-π.
答案:2-π
11.【解析】如图所示,连接BC,OD,OB,CD,
∵∠A=40°,AB=AC,∴∠ACB=70°,∵BD∥AC,
∴∠ABD=∠A=40°,∴∠ACD=∠ABD=40°,
∴∠BCD=30°,则∠BOD=2∠BCD=60°,又OD=OB,
∴△BOD是等边三角形,
则图中阴影部分的面积是S扇形B O D-S△BOD
=-×22
=π-.
答案:π-
__关键能力·综合练
1.C ∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=2,∠B=90°,
∴AE=AD=2,
∵AB=,∴cos ∠BAE==,
∴∠BAE=30°,∴∠EAD=60°,
∴的长==.
2.A ∵∠ABC=90°,∠BAC=30°,BC=1,
∴AB=BC=,AC=2BC=2,
∴-=π-π=.
3.【解析】设这个扇形的圆心角是n°,
∵一个扇形的半径为6,弧长为2π,
∴=2π,
解得:n=60,
即这个扇形的圆心角是60°.
答案:60
4.【解析】∵△ABC是等腰直角三角形,AB=4,
∴∠A=45°,AC==2,
∴S△ABC=AC2=4,S扇形==π,
∴S阴影=S△ABC-S扇形=4-π.
答案:4-π
5.【解析】过C作CD⊥AB于D,
∵∠ACB=90°,∠A=60°,
∴∠ABC=30°.
∵AC=2,∴AB=2AC=4,
BC===2,
∵S△ABC=×AC×BC=×AB×CD,
∴CD===.
∵△ABC绕顶点C逆时针旋转60°得到△A′B′C,
∴B′C=BC=2,AC=A′C=2,∠BCB′=60°.
∵∠A=60°,AC=A′C,
∴△ACA′是等边三角形,
∴AA′=AC=2,
∵AB=4,∴A′B=4-2=2=AA′,
∴S阴影部分=S扇形C BB′+S△BCA′-S△A′CB′
=+×2×-×2×2=2π-.
答案:2π-
6.【解析】∵△ABC是正三角形,边长为2,
∴AB=AC=BC=2,∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°,
∴莱洛三角形的周长为++=2π.
答案:2π
7.【解析】(1)①在△AOE和△POC中,
∴△AOE≌△POC(SAS);
②∵△AOE≌△POC,∴∠E=∠C,
∵∠1+∠E=∠2,∴∠1+∠C=∠2.
(2)当∠C最大时,CP与小半圆相切,如图,
∵OC=2OA=2,∴OC=2OP,
∵CP与小半圆相切,∴∠OPC=90°,
∴∠OCP=30°,
∴∠DOE=∠OPC+∠OCP=120°,
∴S扇形ODE==π.
【易错必究】
·易错点
【案例】【解析】∵AB长为25 cm,贴纸部分的宽BD为15 cm,
∴AD=10 cm,
∴贴纸的面积为S=2×(S扇形ABC-S扇形ADE)
=2×(-)=350π(cm2).
答案:350π cm2
阶段专项提升练五 圆的有关计算和证明
【典例1】【解析】连接OE,由正六边形是轴对称图形知:
在Rt△OEG中,∠GOE=30°,OE=1.
∴GE=,OG=.
∴C(,-).
答案:(,-)
【变式1】【解析】连接OC,OD,如图所示:
∵ABCDE是正五边形,
∴∠COD==72°,
∴∠CPD=∠COD=36°,
∵DG⊥PC,∴∠PGD=90°,
∴∠PDG=90°-∠CPD=90°-36°=54°.
答案:54
【变式2】【解析】如图,
∵四边形CDEF为正方形,∴∠D=90°,CD=DE,
∴CE为直径,∠ECD=45°,由题意得AB=2.5,
∴CE=2.5-0.25×2=2,∴CD=2×=,
∴正方形CDEF的周长为4尺.
答案:4
【典例2】【解析】FA1的长==,
A1B1的长==,
B1C1的长==,C1D1的长==,
D1E1的长==,E1F1的长==,
∴曲线FA1B1C1D1E1F1的长度=++…+==7π.
答案:7π
【变式1】A ∠AOB=360°-270°=90°,则∠ABO=45°,
则∠OBO1=45°,
O旋转的长度是:2×=π,
O移动的距离是:=π,
则圆心O所经过的路线长是:π+π=6π.
【变式2】【解析】(1)∵△OPE的内心为M,
∴∠MOP=∠MOC,∠MPO=∠MPE,
∴∠PMO=180°-∠MPO-∠MOP
=180°-(∠EOP+∠OPE),
∵PE⊥OC,即∠PEO=90°,
∴∠PMO=180°-(∠EOP+∠OPE)
=180°-(180°-90°)=135°.
(2)如图,∵OP=OC,OM=OM,而∠MOP=∠MOC,
∴△OPM≌△OCM,∴∠CMO=∠PMO=135°,
所以点M在以OC为弦,并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上(和);点M在扇形BOC内时,过C,M,O三点作⊙O′,连接O′C,O′O,
在优弧CO上取点D,连接DC,DO,
∵∠CMO=135°,
∴∠CDO=180°-135°=45°,
∴∠CO′O=90°,
而OA=4 cm,
∴O′O=OC=×4=2(cm),
∴弧OMC的长== π(cm).
同理:点M在扇形AOC内时,同①的方法得,弧ONC的长为 π cm,
所以内心M所经过的路径长为2× π=2 π(cm).
【典例3】【解析】连接OA,∵∠ABO=60°,OA=OB,
∴△AOB是等边三角形,
∵AB=8,∴⊙O的半径为8.
∵AD∥OB,∴∠DAO=∠AOB=60°,∵OA=OD,
∴∠AOD=60°,
∵∠AOB=∠AOD=60°,
∴∠DOE=60°,
∵DC⊥BE于点C,
∴CD=OD=4,OC=OD=4,∴BC=8+4=12,
S阴影=S△AOB+S扇形OAD+S扇形ODE-S△BCD=×8×4+2×-×12×4=-8.
答案:-8
【变式1】D ∵点E为BC的中点,且AE⊥BC,
∴AB=AC,∴AB=BC=AC,
∴∠B=60°,BE=EC=BC=2,
∴AE===2,
∴S菱形ABCD=BC·AE=8,
S扇形AGH+S扇形BEH+S扇形CEF+S扇形DGF=π·22=4π,
∴图中阴影部分的面积是:8-4π.
【变式2】A 连接OC,∵∠AOB=90°,CD⊥OA,
CE⊥OB,∴四边形CDOE是矩形,∴CD∥OE,
∴∠DEO=∠CDE=36°,
由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO,
∴∠COB=∠DEO=36°,
∴图中阴影部分的面积=扇形OBC的面积,
∵S扇形OBC==10π,
∴图中阴影部分的面积为10π.
【变式3】【解析】如图,以点O为圆心,OB长为半径画弧,分别与AB,AD相交于E,F,连接EO,FO,
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,
∴AC⊥BD,BO=DO,OA=OC,AB=AD,∠DAB=60°,
∴△ABD是等边三角形,∴AB=BD=2.
∠ABD=∠ADB=60°,∴BO=DO=.
∵以点O为圆心,OB长为半径画弧,
∴BO=OE=OD=OF,
∴△BEO,△DFO是等边三角形,
∴∠DOF=∠BOE=60°,∴∠EOF=60°,
∴阴影部分的面积=2×(S△ABD-S△DFO-S△BEO-S扇形OEF)=2×(×12-×3-×3-)
=3-π.
答案:3-π
【变式4】【解析】连接OC,
∵DB,DC为切线,B,C为切点,
∴DB=DC.
又DB=BC=6,
∴△BCD为等边三角形.
∴∠BOC=360°-90°-90°-60°=120°,
∵弦BC⊥OD交⊙O于点C,
∴∠OMB=90°,
∴∠OBM=90°-60°=30°,且BM=3.
∴OM=,OB=2.
∴S阴影部分=S扇形OBC-S△OBC
=-×6×=4π-3(cm2).
【变式5】解析见正文
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