第3章 圆 北师大版九年级数学下册单元测试(含答案)

第三章　圆

一、选择题

1．如图，AB为半圆O的直径，点C，D为的三等分点，若∠COD＝50°，则∠BOE的度数是(B)

A．25°    B．30°    C．50°    D．60°

2．如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO＝25°，则∠BOC的度数是(B)

A．40°    B．50°    C．55°    D．60°

3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为(B)

A．30°    B．40°    C．50°    D．80°

4．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则cos ∠D的值是(B)

A．3    B．    C．    D．

5．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC，若∠AOC＝116°，则∠ADC的度数是(A)

A．122°    B．120°    C．117°    D．116°

6．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧AMB上一点，则sin ∠APB的值为(C)

A．    B．    C．    D．1

7．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是(D)

A．∠A＝∠D    B．＝    C．∠ACB＝90°    D．∠COB＝3∠D

8．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于(D)

A．    B．    C．2    D．

9．(2020·湖州中考)如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO，以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D.则下列结论中错误的是(D)

A．DC＝DT    B．AD＝DT    C．BD＝BO    D．2OC＝5AC

10．(2020·攀枝花中考)如图，直径AB＝6的半圆，绕B点顺时针旋转30°，此时点A到了点A′，则图中阴影部分的面积是(D)

A．    B．    C．π    D．3π

11．(2021·莆田期中)已知圆的直径为10 cm，且圆心到一条直线距离为4 cm，则这条直线与圆的位置关系是__相交__．

12．如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD＝13 cm，AB＝

24 cm，则CD＝__8__ cm.

13．如图，PA，PB分别切圆O于A，B，并与圆O的切线分别相交于C，D，已知△PCD的周长等于10 cm，则PA＝__5__ cm.

14．(2020·攀枝花中考)如图，已知锐角三角形ABC内接于半径为2的⊙O，OD⊥BC于点D，∠BAC＝60°，则OD＝__1__．

15．(2020·重庆中考A卷)如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积为__4－π__．(结果保留π)

16．如图，在Rt△AOB中，OB＝2，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(其中点Q为切点)，则线段PQ长度的最小值为__2__．

三、解答题

17．如图，⊙O的直径AB交弦(不是直径)CD于点P，且PC2＝PB·PA，求证：AB⊥CD.

【证明】连接AC，BD，如图，

∵∠A＝∠D，∠C＝∠B，

∴△APC∽△BPD，

∴PC∶PB＝PA∶PD，

∴PC·PD＝PA·PB，

∵PC2＝PB·PA，∴PC＝PD，

∵AB为直径，∴AB⊥CD.

18．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P的度数．

【解析】根据切线的性质得：∠PAC＝90°，

所以∠PAB＝90°－∠BAC＝90°－20°＝70°，

根据切线长定理得PA＝PB，

所以∠PAB＝∠PBA＝70°，

所以∠P＝180°－70°×2＝40°.

19.如图，以BC为直径，在半径为2，圆心角为90°的扇形内作半圆，交弦AB于点D，连接CD，求图中阴影部分的面积．

【解析】∵∠ACB＝90°，AC＝CB，

∴∠CBD＝45°，

又∵BC是直径，∴∠CDB＝90°，

∴∠DCB＝45°，∴DC＝DB，

∴S弓形CD＝S弓形BD，

∴S阴影＝S弓形AB＋S△BCD

＝S扇形ACB－S△ACD

＝S扇形ACB－S△ABC

＝π×22－××2×2

＝π－1.

20．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连接OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．

(1)求证：∠CAD＝∠CBA；

(2)求OE的长．

【解析】(1)∵AE＝DE，OC是半径，

∴＝，

∴∠CAD＝∠CBA.

(2)∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∵AE＝DE，∴OC⊥AD，

∴∠AEC＝90°，

∴∠AEC＝∠ACB，

∴△AEC∽△BCA，

∴＝，

∴＝，

∴CE＝3.6，

∵OC＝AB＝5，

∴OE＝OC－EC＝5－3.6＝1.4

21.(2021·厦门期末)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，连接AC，若CA＝CP，∠A＝30°.

(1)求证：CP是⊙O的切线；

(2)若OA＝1，求弦AC的长．

【解析】(1)连接OC，如图1，

∵OA＝OC，∠A＝30°，∴∠A＝∠ACO＝30°，

∵CA＝CP，∴∠A＝∠P＝30°，

∴∠ACP＝180°－∠A－∠P＝180°－30°－30°＝120°，

∴∠OCP＝∠ACP－∠ACO＝120°－30°＝90°，

∴OC⊥CP，∴CP是⊙O的切线；

(2)如图2，连接BC，

∵OA＝OB＝1，∴AB＝2，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，

∵∠A＝30°，∴BC＝AB＝1，

∴AC＝＝.

22. (2021·三明模拟)如图，△ABC是⊙O内接三角形，AB是⊙O的直径，C是弧AF的中点，弦BC，AF相交于点E，在BC延长线上取点D，使得AD＝AE.

(1)求证：AD是⊙O切线；

(2)若∠OEB＝45°，求sin ∠ABD的值．

【解析】(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，

∴∠CBA＋∠CAB＝90°，AC⊥BD，

∵AD＝AE，∴∠CAD＝∠CAE，

∵C是弧AF的中点，∴＝，

∴∠CAF＝∠CBA，∴∠CAD＝∠CBA，

∴∠CAD＋∠CAB＝90°，即∠DAB＝90°，

∴AD⊥OA，

又∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O切线；

(2)∵C是弧AF的中点，∴＝，

∴∠CBF＝∠CBA，设∠CBF＝∠CBA＝x，∠EAB＝y，

∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，

∴∠FAB＋∠FBA＝90°，即y＋2x＝90°，

∴y＝90°－2x，∵∠FEB＝∠EAB＋∠EBA＝y＋x，

∴∠AEO＝180°－∠OEB－∠FEB＝180°－45°－y－x＝135°－x－y＝135°－x－(90°－2x)＝45°＋x，

∵∠AOE＝∠OEB＋∠OBE＝45°＋x，

∴∠AEO＝∠AOE，∴AE＝AO，

∵∠ACB＝∠ACB，∠CAE＝∠CBA，∴△CEA∽△CAB，

∴＝＝＝，

∴CB＝2CA，∴AB＝＝＝CA，

∴sin ∠ABD＝＝＝.

单元质量达标(三)(第三章)

1．B　∵点C，D为的三等分点，

∴＝＝，

∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝50°，

∴∠AOE＝150°，

∴∠EOB＝180°－∠AOE＝30°.

2．B　∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝25°，

∴∠BOC＝∠A＋∠ACO＝25°＋25°＝50°.

3．B　∵OA＝OB，∠OBA＝50°，

∴∠OAB＝∠OBA＝50°，

∴∠AOB＝180°－50°×2＝80°，

∴∠C＝∠AOB＝40°.

4．B　连接BC，

∴∠D＝∠A，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，

∵AB＝3×2＝6，AC＝2，

∴cos D＝cos A＝＝＝.

5．A　∵∠AOC＝116°，

∴∠B＝∠AOC＝58°，

∴∠ADC＝180°－∠B＝122°.

6．C　如图作半径OC⊥AB于点D，连接OA，OB，

∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，

∴OD＝CD，

∴OD＝OC＝OA，

∴∠OAD＝30°，

∵OA＝OB，∴∠ABO＝30°，

∴∠AOB＝120°，

∴∠APB＝∠AOB＝60°，

∴sin ∠APB＝.

7．D　A．∠A＝∠D，正确；

B．＝，正确；

C．∠ACB＝90°，正确；

D．∠COB＝2∠CDB，故错误．

8．D　∵∠DAB＝∠DEB，

∴tan ∠BED＝tan ∠BAF＝＝.

9．D　如图，连接OD.

∵OT是半径，OT⊥AB，

∴DT是⊙O的切线，

∵DC是⊙O的切线，

∴DC＝DT，故选项A正确，

∵OA＝OB，∠AOB＝90°，

∴∠A＝∠B＝45°，

∵DC是切线，

∴CD⊥OC，∴∠ACD＝90°，

∴∠A＝∠ADC＝45°，∴AC＝CD＝DT，

∴AD＝CD＝DT，故选项B正确，

∵OD＝OD，OC＝OT，DC＝DT，

∴△DOC≌△DOT(SSS)，

∴∠DOC＝∠DOT，

∵OA＝OB，OT⊥AB，∠AOB＝90°，

∴∠AOT＝∠BOT＝45°，

∴∠DOT＝∠DOC＝22.5°，

∴∠BOD＝∠ODB＝67.5°，

∴BO＝BD，故选项C正确．

10．D　∵半圆AB，绕B点顺时针旋转30°，

∴S阴影＝S半圆A′B＋S扇形ABA′－S半圆AB＝S扇形ABA′＝＝3π.

11．【解析】∵圆的直径为10 cm，

∴圆的半径为5 cm，

∵圆心到直线的距离4 cm，

∴圆的半径＞圆心到直线的距离，

∴直线与圆相交．

答案：相交

12．【解析】

由垂径定理，

AC＝AB＝12 cm，

由半径相等，得

OA＝OD＝13 cm，

由勾股定理，得

OC＝＝＝5(cm)，

由线段的和差，得

CD＝OD－OC＝13－5＝8(cm).

答案：8

13．【解析】如图，设DC与⊙O的切点为E；

∵PA，PB分别是⊙O的切线，且切点为A，B；

∴PA＝PB；

同理，可得：DE＝DA，CE＝CB；

则△PCD的周长＝PD＋DE＋CE＋PC＝PD＋DA＋PC＋CB＝PA＋PB＝10 cm；

∴PA＝PB＝5 cm.

答案：5

14．【解析】连接OB和OC，

∵△ABC内接于半径为2的⊙O，∠BAC＝60°，

∴∠BOC＝120°，OB＝OC＝2，

∵OD⊥BC，OB＝OC，∴∠BOD＝∠COD＝60°，

∴∠OBD＝30°，∴OD＝OB＝1.

答案：1

15．【解析】∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝BC＝2，∠DAB＝∠DCB＝90°，

由勾股定理得，AC＝＝2，

∴OA＝OC＝，

∴图中的阴影部分的面积＝22－×2＝4－π.

答案：4－π

16．【解析】连接OP，OQ，作OP′⊥AB于P′，

∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，

∴PQ＝＝，

当OP最小时，线段PQ的长度最小，

当OP⊥AB时，OP最小，

在Rt△AOB中，∠A＝30°，∴OA＝＝6，

在Rt△AOP′中，∠A＝30°，∴OP′＝OA＝3，

∴线段PQ长度的最小值＝＝2.

答案：2

17～22.解析见正文