九年级下册第三章 圆6 直线与圆的位置关系第1课时测试题

6　直线和圆的位置关系

第1课时

(打√或×)

1．直线与圆有公共点，称为直线与圆做相交．(×)

2．直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系称为相切．(√)

3．直线与圆没有公共点，这条直线和圆相离．(√)

4．圆的切线垂直于过切点的半径．(√)

·知识点1　直线与圆的位置关系

1．已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系为(B)

A．相交    B．相切    C．相离    D．无法确定

2．⊙O的直径为10，圆心O到直线l的距离为3，下列位置关系正确的是(B)

3．(2021·福州质检)已知⊙O的直径为12 cm，圆心到直线l的距离为6 cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为(B)

A．2    B．1    C．0    D．不确定

4．(2021·南平期末)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的⊙C与直线AB相切，则r的值为(C)

A．2.4    B．3    C．4.8    D．5

5．(2021·厦门期中)已知⊙O的直径为10，直线a与⊙O只有一个公共点，点P是直线a上的动点，则线段OP的最小值为__5__．

6．(2021·莆田质检)如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2 cm为半径作⊙M，当OM＝4 cm时，直线OA与⊙M的位置关系是__相切__．

·知识点2　切线的性质

7．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB.若∠B＝35°，则∠AOB的度数为(B)

A．65°    B．55°    C．45°    D．35°

8．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA，若∠ADC＝35°，则∠ABO的度数为(B)

A．25°    B．20°    C．30°    D．35°

9．如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是(B)

A．60°    B．65°    C．70°    D．75°

10．(2020·台州中考)如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE.若⊙O与BC相切，∠ADE＝55°，则∠C的度数为__55°__．

11．(2020·苏州中考)如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD.若∠C＝40°，则∠B的度数是__25__°.

12.如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，CD是⊙O切线，D在AB的延长线上，作AE⊥CD于E.

(1)求证：AC平分∠BAE；

(2)若AC＝2CE＝6，求⊙O的半径；

(3)线段AD，BD，CD之间有何数量关系？请证明你的结论．

【解析】见全解全析

1．(2021·漳州模拟)如图，⊙O中，＝，过点A作BC的平行线交过点C的圆的切线于点D，若∠ABC＝46°，则∠ADC的度数是(B)

A．74°    B．67°    C．66°    D．60°

2．(2020·徐州中考)如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P.若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于(B)

A．75°    B．70°    C．65°    D．60°

3．(2020·南京中考)如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D.若⊙P的半径为5，点A的坐标是(0，8).则点D的坐标是(A)

A．(9，2)    B．(9，3)    C．(10，2)    D．(10，3)

4．(2021·三明质检)在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是__＜AO＜__．

5. (2020·安徽中考)如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F.BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E.

(1)求证：△CBA≌△DAB；

(2)若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB.

【证明】(1)∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

在Rt△CBA与Rt△DAB中，

∴Rt△CBA≌Rt△DAB(HL).

(2)∵BE＝BF，由(1)知BC⊥EF，∴∠E＝∠BFE.

∵BE是半圆O的切线，∴∠ABE＝90°，

∴∠E＋∠BAE＝90°.

由(1)知∠D＝90°，∴∠DAF＋∠AFD＝90°.

∵∠AFD＝∠BFE，∴∠AFD＝∠E，

∴∠DAF＝90°－∠AFD，∠BAF＝90°－∠E，

∴∠DAF＝∠BAF，∴AC平分∠DAB.

6.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.

(1)求证：∠CAD＝∠CAB；

(2)若＝，AC＝2，求CD的长．

【解析】见全解全析

7.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB上的一点O为圆心作⊙O，与AC，BC分别相切于点D，E.

(1)求证：CD＝CE；

(2)若AC＝8，AB＝10，求AD的长．

【解析】(1)连接OD，OE，∵AC，BC都与圆O相切，

∴OE⊥BC，OD⊥AC，又∠C＝90°，∴四边形OECD为矩形．

∵OD＝OE，∴四边形OECD为正方形，∴CD＝CE；

(2)设圆O的半径为r，在Rt△ABC中，BC＝＝＝6，

∵OD⊥AC，∠C＝90°，∠A＝∠A，∴△AOD∽△ABC，

∴＝，即＝，解得r＝.

∴AD＝AC－CD＝8－＝.

8.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°.连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD.过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E.

(1)求证：AD∥EC；

(2)若AB＝12，求线段EC的长．

【解析】(1)连接OC，

∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°.

∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°.

∵∠AOC＋∠OCE＝180°，∴AD∥EC.

(2)如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，

∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，

∴sin ∠ADB＝＝，∴AD＝＝8，∴OA＝OC＝4.

∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，

∴四边形OAFC是矩形．

又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝4.

∵∠BAD＝90°－∠D＝30°，

∴∠EAF＝180°－90°－30°＝60°.

∵tan ∠EAF＝＝，∴EF＝AF＝12，

∴CE＝CF＋EF＝12＋4.

·易错点　遗漏分类讨论

【案例】⊙O的圆心到直线a的距离为3 cm，⊙O的半径为1 cm，将直线a沿垂直于a的方向平移，使a与⊙O相切，则平移的距离是(D)

A．1 cm    B．2 cm    C．4 cm    D．2 cm或4 cm

6　直线和圆的位置关系

第1课时

__必备知识·基础练

【易错诊断】

1．×　2.√　3.√　4.√　

【对点达标】

1．B　∵圆心到直线的距离d＝5 cm＝半径r，

∴直线和圆相切．

2．B　∵⊙O的直径为10，∴⊙O的半径为5，

圆心O到直线l的距离为3，∵5＞3，即d＜r，

∴直线l与⊙O的位置关系是相交．

3．B　已知⊙O的直径为12 cm，∴⊙O的半径r＝6 cm，

又d＝6 cm，即d＝r，∴直线l与⊙O相切，

∴直线l与⊙O的公共点只有1个．

4．C　设切点为D，连接CD，如图所示，

∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝＝＝10.

又∵⊙C与斜边AB相切，

∴CD⊥AB，CD长即为⊙C的半径，

∴S△ABC＝BC·AC＝AB·CD，∴CD＝4.8.

5．【解析】∵⊙O的直径为10，∴⊙O的半径为5.

∵直线a与⊙O只有一个公共点，

∴直线a是⊙O的切线．∵点P是直线a上的动点，

∴点P是切点时，线段OP长最小，

∴OP的最小值为5.

答案：5

6．【解析】作MD⊥OA于D，在Rt△MOD中，

∠AOB＝30°，∴DM＝OM＝2 cm，则点M到OA的距离等于⊙M的半径，

∴直线OA与⊙M相切．

答案：相切

7．B　∵AB是⊙O的切线，∴OA⊥AB，

∴∠OAB＝90°，∴∠AOB＝90°－∠B＝55°.

8．B　∵AB为圆O的切线，∴AB⊥OA，即∠OAB＝90°，

∵∠ADC＝35°，∴∠AOB＝2∠ADC＝70°，

∴∠ABO＝90°－70°＝20°.

9．B　∵AC与⊙O相切于点A，

∴AC⊥OA，∴∠OAC＝90°，

∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.

∵∠O＝130°，∴∠OAB＝＝25°，

∴∠BAC＝∠OAC－∠OAB＝90°－25°＝65°.

10．【解析】∵AD为⊙O的直径，∴∠AED＝90°，

∴∠ADE＋∠DAE＝90°.

∵⊙O与BC相切，∴∠ADC＝90°，

∴∠C＋∠DAE＝90°，

∴∠C＝∠ADE.

∵∠ADE＝55°，∴∠C＝55°.

答案：55°

11．【解析】∵AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC，

∴∠OAC＝90°，

∴∠AOC＝90°－∠C＝90°－40°＝50°.

∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.

而∠AOC＝∠OBD＋∠ODB，

∴∠OBD＝∠AOC＝25°，即∠ABD的度数为25°.

答案：25

12．【解析】(1)连接OC，

∵CD是⊙O切线，∴OC⊥CD，

∵AE⊥CD，∴OC∥AE，

∴∠EAC＝∠ACO.

∵OA＝OC，

∴∠CAO＝∠ACO，

∴∠EAC＝∠CAO，

即AC平分∠BAE；

(2)连接BC，

∵AE⊥CE，AC＝2CE＝6，

∴sin ∠CAE＝＝，

∴∠CAE＝30°，

∴∠CAB＝∠CAE＝30°.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴cos ∠CAB＝＝，

∴AB＝4，∴⊙O的半径是2；

(3)CD2＝BD·AD，

证明：∵∠DCB＋∠BCO＝90°，∠ACO＋∠BCO＝90°，

∴∠DCB＝∠ACO，

∴∠DCB＝∠ACO＝∠CAD.

∵∠D＝∠D，∴△BCD∽△CAD，

∴＝，

即CD2＝BD·AD.

__关键能力·综合练

1．B　连接OA，

∵＝，

∴∠BOC＝∠AOB.

∵OB＝OC，OB＝OA，

∴∠BCO＝∠OBC，

∠OAB＝∠OBA，

∴∠OBA＝∠CBO.

∵∠ABC＝46°，

∴∠OCB＝∠OBC＝23°.

∵CD是圆的切线，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD＝90°，

∴∠BCD＝∠BCO＋∠OCD＝113°，

∵CB∥AD，

∴∠ADC＝180°－∠BCD＝180°－113°＝67°.

2．B　∵OC⊥OA，∴∠AOC＝90°.

∵∠APO＝∠BPC＝70°，

∴∠A＝90°－70°＝20°.

∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠A＝20°.

∵BC为⊙O的切线，∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，

∴∠ABC＝90°－20°＝70°.

3．A　设⊙O与x，y轴相切的切点分别是F，E点，连接PE，PF，PD，延长EP与CD交于点G，

则PE⊥y轴，PF⊥x轴．

∵∠EOF＝90°，∴四边形PEOF是矩形．

∵PE＝PF，∴四边形PEOF为正方形，

∴OE＝OF＝PE＝OF＝5.

∵A(0，8)，∴OA＝8，∴AE＝8－5＝3.

∵四边形OACB为矩形，

∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB，∴EG∥AC，

∴四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形，∴CG＝AE＝3，EG＝OB.

∵PE⊥AO，AO∥CB，∴PG⊥CD，

∴CD＝2CG＝6，∴DB＝BC－CD＝8－6＝2.

∵PD＝5，DG＝CG＝3，∴PG＝4，

∴OB＝EG＝5＋4＝9，∴D(9，2).

4．【解析】在矩形ABCD中，

∵∠D＝90°，AB＝5，BC＝12，

∴AC＝＝13.

如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，

则OE⊥AD，∴OE∥CD，

∴△AOE∽△ACD，

∴＝，∴＝，∴AO＝；

如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，

则OF⊥BC，∴OF∥AB，

∴△COF∽△CAB，

∴＝，∴＝，∴OC＝，

∴AO＝13－＝，

∴如果⊙O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是＜AO＜.

答案：＜AO＜

5．解析见正文

6．【解析】(1)如图1，连接OC，

∵CD是切线，∴OC⊥CD.

∵AD⊥CD，

∴AD∥OC，

∴∠1＝∠4.

∵OA＝OC，

∴∠2＝∠4，

∴∠1＝∠2，

即∠CAD＝∠CAB.

(2)如图2，连接BC，

∵＝，

∴设AD＝2x，AB＝3x.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠ADC＝90°.

∵∠DAC＝∠CAB，

∴△ACD∽△ABC，

∴＝，

∴＝，

∴x＝2(负值舍去)，

∴AD＝4，

∴CD＝＝＝2.

7．解析见正文

8．解析见正文

【易错必究】

·易错点

【案例】D　如图，

当直线a向上平移至a′位置时，平移距离为3－1＝2(cm)；当直线a向上平移至a″位置时，平移距离为3＋1＝4(cm).