初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形随堂练习题

这是一份初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形随堂练习题，共22页。试卷主要包含了已知实数x，y满足|x﹣5|+等内容，欢迎下载使用。
1.1 等腰三角形

一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．不确定
2．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，D是边BC上一点，且∠BAD＝30°，则CD的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．3
3．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连结AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（　　）

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
4．等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的一个底角的大小是（　　）
A．65° B．40° C．50° D．80°
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，∠B＝25°，则∠CAD的度数为（　　）

A．55° B．65° C．75° D．85°
6．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，若∠B＝70°，则∠BAD等于（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°
7．已知实数x，y满足|x﹣5|+（y﹣10）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）
A．20 B．25
C．20或25 D．以上答案均不对
8．已知等腰三角形的两个边长分别为3和7，则这个三角形的另一条边长是（　　）
A．3或7 B．3 C．7 D．以上均不对
9．如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝116°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则∠EBQ＝（　　）

A．62° B．58° C．52° D．46°
10．如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且∠PAN＝60°，AP＝1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（　　）

A．直角三角形一等边三角形一直角三角形一等腰三角形
B．直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等边三角形
C．等腰三角形一直角三角形一等腰三角形一直角三角形
D．等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝16cm，则BD＝　 　cm．

12．如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则∠BOC等于　 　．

13．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有 　 　个．

14．如图，△ABC的面积为10cm2，AO垂直于∠ABC的平分线于点O，连接OC，则图中阴影部分的面积是 　 　cm2．

15．在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为D，且BD＝AC，则等腰△ABC顶角的度数为 　 　．
16．如图，已知∠MON＝30°，A、B、C、D在射线ON上，点E、F、G在射线OM上，△ABE、△BCF、△CDG均为等边三角形，若OA＝1，则△CDG的周长为 　 　．

三．解答题（共6小题，满分50分）
17．如图，△ABC中，AB＝AC，AD∥CB，求证：AD平分∠CAE．

18．如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．

19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝52°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝EF．

20．已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE，求证：
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）AF＝CE．

21．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，点E在边AC上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CDE，∠ADE＝∠C．
（1）如图1，求证：△ADE是等腰三角形；
（2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠CDE相等的角（∠CDE除外）．

22．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD，
（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED；
（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；
（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由．


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（2021秋•靖江市期末）已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．不确定
【考点】等腰三角形的判定；非负数的性质：偶次方．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】由a2+b2﹣2ab＝0，可得出a＝b，结合a，b是△ABC的两条边长，即可得出△ABC为等腰三角形．
【解答】解：∵a2+b2﹣2ab＝0，即（a﹣b）2＝0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b．
又∵a，b是△ABC的两条边长，
∴△ABC为等腰三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及偶次方的非负性，利用偶次方的非负性，找出三角形的两边相等是解题的关键．
2．（2021秋•信都区期末）如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，D是边BC上一点，且∠BAD＝30°，则CD的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．3
【考点】等边三角形的性质．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】由△ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质可得出∠BAC＝60°，BC＝AB＝4，结合∠BAD＝30°，可得出∠CAD＝30°＝∠BAD，进而可得出AD为∠BAC的角平分线，再利用等边三角形的三线合一可得出AD为BC的中线，结合BC＝4即可求出CD的长．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，BC＝AB＝4．
∵∠BAD＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣30°＝30°＝∠BAD，
∴AD为∠BAC的角平分线，
∴AD为BC的中线，
∴CD＝BC＝×4＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，利用等边三角形的三线合一，找出AD为BC的中线是解题的关键．
3．（2021秋•长春期末）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连结AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（　　）

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【考点】等腰三角形的判定．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】利用格点分别作出等腰三角形，即可得到答案．
【解答】解：如图：

网格中满足条件的点C的个数为6个，
故选：B．
【点评】此题考查的是等腰三角形的判定，正确画出图形是解决此题关键．
4．（2021秋•河东区校级期末）等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的一个底角的大小是（　　）
A．65° B．40° C．50° D．80°
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：这个等腰三角形的一个底角为：（180°﹣50°）÷2＝65°，
故选：A．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
5．（2021秋•济南期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，∠B＝25°，则∠CAD的度数为（　　）

A．55° B．65° C．75° D．85°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】首先根据三角形的三线合一的性质得到AD⊥BC，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵∠B＝25°，
∴∠BAD＝65°，
∴∠CAD＝65°，
故选：B．
【点评】考查了等腰三角形的性质，了解等腰三角形底边的高、底边的中线及顶角的平分线互相重合是解答本题的关键，难度不大．
6．（2021秋•槐荫区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，若∠B＝70°，则∠BAD等于（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质和直角三角形的性质解答．
【解答】解：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝20°，
故选：A．
【点评】此题主要考查等腰三角形顶角的平分线、底边的中线、底边的高互相重合三线合一的性质；利用三角形的内角和定理求角度是常用的方法，要熟练掌握．
7．（2021秋•郎溪县期末）已知实数x，y满足|x﹣5|+（y﹣10）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）
A．20 B．25
C．20或25 D．以上答案均不对
【考点】等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】利用非负数的性质求出x、y，再根据三角形的三边关系定理确定等腰三角形的三边即可解决问题．
【解答】解：∵|x﹣5|+（y﹣10）2＝0，
∴x﹣5＝0，y﹣10＝0，
解得x＝5，y＝10，
以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是10+10+5＝25，
∵5+5＝10，
∴5，5，10不可能构成三角形．
故以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是25．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、非负数的性质、三角形的三边关系定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．
8．（2021秋•钢城区期末）已知等腰三角形的两个边长分别为3和7，则这个三角形的另一条边长是（　　）
A．3或7 B．3 C．7 D．以上均不对
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】分两种情况讨论：当3是腰时或当7是腰时．根据三角形的三边关系，知3，3，7不能组成三角形，应舍去．
【解答】解：当3是腰时，则3+3＜7，不能组成三角形，应舍去；
当7是腰时，则三角形的三边长分别为3，7，7，则这个三角形的另一条边长是7．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．此类题不要漏掉一种情况，同时注意看是否符合三角形的三边关系．
9．（2021秋•望城区期末）如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝116°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则∠EBQ＝（　　）

A．62° B．58° C．52° D．46°
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】先由等腰△ABC中∠ABC＝116°求得∠A＝∠C＝32°，进而结合垂直平分线的性质求得∠A＝∠ABE＝32°，∠C＝∠CBQ＝32°，最后得到∠EBQ＝∠ABC﹣∠ABE﹣∠CBQ＝116°﹣32°﹣32°＝52°．
【解答】解：∵等腰△ABC中，∠ABC＝116°，
∴∠A＝∠C＝32°，
∵AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，
∴EA＝EB，QB＝QC，
∴∠ABE＝∠A＝32°，∠CBQ＝∠C＝32°，
∴∠EBQ＝∠ABC﹣∠ABE﹣∠CBQ＝116°﹣32°﹣32°＝52°，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟知线段垂直平分线的性质．
10．（2021秋•新昌县期末）如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且∠PAN＝60°，AP＝1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（　　）

A．直角三角形一等边三角形一直角三角形一等腰三角形
B．直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等边三角形
C．等腰三角形一直角三角形一等腰三角形一直角三角形
D．等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形
【考点】等边三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】把点Q从点M出发，沿直线l向点N移动，移动到点N停止的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可判断．
【解答】解：当点Q移动到MQ＝2，此时Q在A的左侧，且AQ＝AP＝1，△APQ是等腰三角形，
当点Q移动到点A的右侧，且AQ＝AP＝时，△APQ是直角三角形，
当点Q移动到点A的右侧，且AQ＝AP＝1时，△APQ是等边三角形，
当点Q移动到点A的右侧，且AQ＝2AP＝2时，△APQ是直角三角形，
∴在△APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形，
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
11．（5分）（2021秋•罗城县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝16cm，则BD＝　8　cm．

【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴BD＝DC＝BC，
∵BC＝16cm，
∴BD＝8cm．
故答案为：8．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合是解题的关键．
12．（5分）（2021秋•德城区期末）如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则∠BOC等于　30°　．

【考点】等边三角形的性质．
【专题】三角形；几何直观．
【分析】利用基本作图得到OA＝OC＝AC，则可判断△OAC为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AOC＝60°，然后利用互余计算∠BOC的度数．
【解答】解：由作法得OA＝OC＝AC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝30°．
故答案为30°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了等边三角形的判定．
13．（5分）（2021秋•平昌县期末）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有 　4　个．

【考点】等腰三角形的判定．
【专题】三角形．
【分析】由勾股定理求出AB＝＝，分三种情况讨论：①当A为顶角顶点时；②当B为顶角顶点时；③当C为顶角顶点时；即可得出结果．
【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝，
分三种情况：如图所示：
①当A为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有1个；
②当B为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有2个；
③当C为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有1个；
综上所述：以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有1+2+1＝4（个）；
故答案为：4．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质；熟练掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键．
14．（5分）（2021秋•滑县期末）如图，△ABC的面积为10cm2，AO垂直于∠ABC的平分线于点O，连接OC，则图中阴影部分的面积是 　5　cm2．

【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形的面积．
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】延长AO交BC于点D，利用ASA证明△ABO≌△DBO，根据全等三角形的性质得到AO＝DO，进而得到S△AOB＝S△DOB，S△AOC＝S△DOC，据此求解即可．
【解答】解：如图，延长AO交BC于点D，

∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠DBO，
∵AO⊥BO，AO交BC于点D，
∴∠AOB＝∠DOB＝90°，
在△ABO和△DBO中，
，
∴△ABO≌△DBO（ASA），
∴AO＝DO，
∴S△AOB＝S△DOB，S△AOC＝S△DOC，
∵S△DOB+S△DOC＝S△AOB+S△AOC，
∴S阴影＝S△ABC，
∵S△ABC＝10cm2，
∴S阴影＝×10＝5cm2，
故答案为：5．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
15．（5分）（2021秋•铜官区期末）在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为D，且BD＝AC，则等腰△ABC顶角的度数为 　30°或150°　．
【考点】含30度角的直角三角形；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】根据题意画出两个图形，再根据在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°求出∠DAB的度数，再得出答案即可．
【解答】解：∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
有两种情况：
①高BD在△ABC的内部，如图1，

∵AB＝AC，BD＝AC，
∴BD＝AB，
∵∠ADB＝90°，
∴∠A＝30°，
即△ABC的顶角的度数是30°；
②高BD在△ABC的外部，如图2，

∵∵AB＝AC，BD＝AC，
∴BD＝AB，
∵∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠DAB＝180°﹣30°＝150°，
即△ABC的顶角的度数是150°；
即△ABC的顶角的度数是30°或150°，
故答案为：30°或150°．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理和等腰三角形的性质等知识点，能熟记在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°是解此题的关键．
16．（5分）（2021秋•道县期末）如图，已知∠MON＝30°，A、B、C、D在射线ON上，点E、F、G在射线OM上，△ABE、△BCF、△CDG均为等边三角形，若OA＝1，则△CDG的周长为 　12　．

【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据等边三角形的性质得到AE＝BE，∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，求得∠OAE＝120°，求得∠BEF＝180°﹣60°﹣30°＝90°，得到BE＝1，根据平行线的性质得到∠AEO＝∠OFB＝∠OGC＝30°，∠BEF＝∠CFG＝90°，根据直角三角形的性质得到BF＝2BE，CG＝2CF，于是得到结论．
【解答】解：∵△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE，∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，
∴∠OAE＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠AEO＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠AEB＝60°，
∴∠BEF＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠AEO＝30°，
∴OA＝AE＝1，
∴BE＝1，
∵△BCF、△CDG均为等边三角形，
∴∠DCG＝∠CBF＝60°，∠BCF＝60°，
∵∠EAB＝∠ABE＝60°，
∴AE∥BF∥CG，BE∥CF，
∴∠AEO＝∠OFB＝∠OGC＝30°，∠BEF＝∠CFG＝90°，
∴BF＝2BE，CG＝2CF，
∴CG＝4BE＝4，
∴△CDG的周长为12，
故答案为：12．

【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据掌握等边三角形的性质是解题的关键．
三．解答题（共6小题，满分50分）
17．（8分）（2021秋•长清区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD∥CB，求证：AD平分∠CAE．

【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【专题】证明题．
【分析】本题主要利用等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质进行解答．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD∥CB，
∴∠B＝∠EAD，∠C＝∠CAD，
∴∠EAD＝∠CAD，
∴AD平分∠CAE．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质：两底角相等；平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等．
18．（8分）（2021秋•寻乌县期末）如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．

【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】三角形；几何直观．
【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠DBE＝∠CBE，再根据平行线的性质得到∠DEB＝∠CBE，所以∠DBE＝∠DEB，从而得到结论；
（2）先利用三角形内角和计算出∠ABC＝75°，再利用两直线平行，同旁内角互补计算出∠BDE的度数．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）解：∵∠A＝35°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣35°﹣70°＝75°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE+∠DBC＝180°，
∴∠BDE＝180°﹣75°＝105°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．也考查了平行线的性质．
19．（8分）（2020秋•惠城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝52°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝EF．

【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】（1）先根据等边对等角求出∠ABC，再利用三角形内角和求出∠BAC，最后利用等腰三角形的“三线合一”求∠BAD；
（2）根据BE平分∠ABC，EF∥BC即可证明．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝52°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝76°，
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴∠BAD＝∠BAC＝38°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠FEB，
∴FB＝FE．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的“三线合一”性质是解题的关键．
20．（8分）（2021秋•思明区校级期末）已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE，求证：
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）AF＝CE．

【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，再根据等角对等边可得结论；
（2）利用“SAS”证明△ABF≌△CAE，根据全等三角形的性质可得结论．
【解答】证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，
∵E为△ABC的外角平分线上的一点，
∴∠DAE＝∠EAC，
∴∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF＝CE．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
21．（8分）（2021秋•巴彦县期末）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，点E在边AC上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CDE，∠ADE＝∠C．
（1）如图1，求证：△ADE是等腰三角形；
（2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠CDE相等的角（∠CDE除外）．

【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）根据平角的定义和三角形的内角和定理得到∠ADB＝∠DEC，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠C＝∠B，根据角平分线定义得到∠ADE＝∠CDE，等量代换得到结论．
【解答】解：（1）∵∠ADE＝∠C，∠ADB＝180°﹣∠ADE﹣∠CDE，∠DEC＝180°﹣∠CDE﹣∠C，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ADB与△DEC中，
，
∴△ADB≌△DEC（AAS），
∴AD＝DE，
∴△ADE是等腰三角形；
（2）∵△ADB≌△DEC，
∴∠C＝∠B，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵∠BAD＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠B＝∠C＝∠ADE＝∠CDE，
故图中所有与∠CDE相等的角有∠B，∠C，∠ADE，∠BAD．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，证得△ADB≌△DEC是解题的关键．
22．（10分）（2021秋•临河区期末）在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD，
（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED；
（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；
（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由．

【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质可得∠ECB＝30°，∠ABC＝60°，根据AE＝EB＝BD，可得∠ECB＝∠ACB＝30°，∠EDB＝∠DEB＝∠ACB＝30°，根据等角对等边即可证得结论；
（2）根据平行线的性质证得∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠C＝60°，即可证得结论；
（3）先求得BE＝FC，然后证得△DBE≌△EFC即可；
【解答】证明：（1）如图1，在等边△ABC中，AB＝BC＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，
∵AE＝EB＝BD，
∴∠ECB＝∠ACB＝30°，∠EDB＝∠DEB＝∠ACB＝30°，
∴∠EDB＝∠ECB，
∴EC＝ED；

（2）如图2，∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠C＝60°，
∴△AEF为等边三角形；

（3）EC＝ED；
理由：∵∠AEF＝∠ABC＝60°，
∴∠EFC＝∠DBE＝120°，
∵AB＝AC，AE＝AF，
∴AB﹣AE＝AC﹣AF，即BE＝FC，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴ED＝EC．

【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．