初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形当堂达标检测题

《1.1.2 等腰三角形的判定》知识过关练

知识点一 等腰三角形的判定

1.如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，点E在AB上，且BE=BC，则图中等腰三角形共有（  ）

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点M、N在BC所在的直线上，且AB=AC，BM=CN，试判断△AMN的形状，并说明理由.

知识点二 反证法

3.求证：等腰三角形的底角必为锐角.

知识点三 等边三角形的判定

4.（2020独家原创试题）如图，在△ABC中，∠B=60°，AB=2，则点A到BC边的距离为_________.

5.如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，DE∥AC，∠B=60°.求证：△BDE是等边三角形.

知识点四 含30°角的直角三角形的性质判定

6.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则AC的长为（  ）

A.6

B.6

C. 6

D.12

7.若等腰三角形的腰长为4，腰上的高为2，则此等腰三角形顶角的度数为_________.

参考答案

1.答案：D

解析：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.

∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，

∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，

∴∠A=∠ABD=36°，∴BD=AD，

∴△ABD是等腰三角形.

在△BCD中，∵∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°，

∴∠C=∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△BCD是等腰三角形.

∵BE=BC，∴BD=BE，∴△BDE是等腰三角形.

∴∠BED=（180°-36°）÷2=72°，

∴∠ADE=∠BED-∠A=72°-36°=36°，

∴∠A=∠ADE，∴DE=AE，∴△ADE是等腰三角形.

∴题图中等腰三角形共有5个.故选D.

2.答案：见解析

解析：△AMN是等腰三角形.理由如下：

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.

∵∠ABC+∠ABM=180°，∠ACB+∠ACN=180°，

∴∠ABM=∠ACN.

在△AMB和△ANC中，，

∴△AMB≌△ANC（SAS），∴AM=AN，

∴△AMN是等腰三角形.

3.答案：见解析

解析：已知：在△ABC中，AB=AC.

求证：∠B、∠C必为锐角.

证明：假设∠B、∠C不是锐角，

则∠B=∠C≥90°，则∠A+∠B+∠C>180°，

这与三角形的内角和为180°相矛盾，所以假设不成立，

故∠B、∠C必为锐角.

4.答案：

解析：作AE⊥BC于E，∵∠B=60°，BA=BD，∴△ABD是等边三角形，∴AB=AD=BD=2.

∵AE⊥BC，∴BE=DE=1，

在Rt△ABE中，AE=，

故答案为.

5.答案：见解析

解析：证明：如图，∵AD⊥BD，∠B=60°，

∴∠ADB=90°，∠1=30°.

∵AD平分∠BAC.

∴∠BAC=2∠1=60°.

∵DE∥AC，∴∠2=∠BAC=60°.

∴∠3=180°-∠2-∠B=60°.

∵∠B=∠2=∠3=60°，

∴△BDE是等边三角形.

6.答案：C

解析：在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=12，∴BC=AB=×12=6，∴AC=，故选C.

7.答案：30°或150°

解析：设△ABC为等腰三角形，且AB=AC，分为两种情况：当等腰三角形ABC为锐角三角形时，如图1.

∵DC⊥AB，CD=AC.∴∠A=30°.

当等腰三角形ABC为钝角三角形时，如图2.

∵CD⊥直线AB，CD=AC，∴∠DAC=30°，

∴∠BAC=150°.

综上，所求顶角的度数为30°或150°.