第1章 三角形的证明 北师大版八年级下册单元测试卷(含答案)

第一章《三角形的证明》单元测试卷

一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（       ）

A．a：b：c＝3：4：4 B．a＝1，b＝，c＝

C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a2：b2：c2＝3：4：5

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD等于（　　）

A．36° B．46° C．54° D．72°

3．如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（     ）

A． B． 

C． D．

4．如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

5．已知的三边分别为a、b、c，且，则的面积为（       ）

A．30 B．60 C．65 D．无法计算

6．如图，在中，//，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（     ）

A．3 B．4 C．5 D．9

7．苏州素有“园林之城”美誉，以拙政园、留园为代表的苏州园林“咫尺之内再造乾坤”，是中华园林文化的翘楚和骄傲．如图，某园林中一亭子的顶端可看作等腰，其中，若是边上的一点，则下列条件不能说明是角平分线的是（       ）

A．点到，的距离相等 B．

C． D．

8．如图点在同一条直线上，都是等边三角形，相交于点O，且分别与交于点，连接，有如下结论：①；②；③为等边三角形；④.其中正确的结论个数是（     ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．如图，中，，，的垂直平分线分别交于点，，与，分别交于点，，则的度数为（       ）

A． B． C． D．

10．定义：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心．如图，直线 ，，分别是边AB，AC的垂直平分线，直线和相交于点O，点O是△ABC的外心，交BC于点M，交BC于点N，分别连结AM，AN，OA，OB，OC．若OA=6cm，△OBC的周长为22cm，则△AMN的周长等于（　　）cm

A．8 B．10 C．12 D．14

11．如图，△ABC的角平分线 CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=∠CGE．其中正确的结论是（        ）

A．只有①③ B．只有②④

C．只有①③④ D．①②③④

12．如图，在中，，，为的中点，为上一点，为延长线上一点，且有下列结论：①；②为等边三角形；③；④其中正确的结论是（ ）

A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④

二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分。

13．如图，在△ABC中，点F是边AB、AC的中垂线的交点，联结BF、CF，如果∠BFC＝110°，那么∠A＝______°．

14．如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，则∠EFD＝_____．

15．如图，在中，，D，E是内的两点，AE平分，，若BD=6cm，DE=4cm，则BC的长是______cm．

16．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行12nmile，“海天”号每小时航行9nmile，它们离开港口两个小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，那么“海天”号沿______的方向航行．

17．如图，在中，，，，为的角平分线．M为边上一动点，N为线段上一动点，连接、、，当取得最小值时，的面积为______．

18．如图，在平面直角坐标系中，点A，A1，A2，…在x轴上，分别以OA，AA1，A1A2，…为边在第一象限作等边△OAP，等边△AA1P1，等边△A1A2P2，…，且A点坐标为(2，0)，直线y=kx+(k>0)经过点P，P1，P2，…，则点P2022的纵坐标为______．

三、解答题（19题6分，其余每题8分，共46分）

19．（1）如图1，点D在△ABC 的边BC上，AB=15，BD=9，AD=12，AC=20，求△ABC的面积；

（2）如图2，△EFG中，EF=13，EG=20，FG=11，求△EFG的面积．

20．在5×5的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上．

（1）图①中根据           来判断ABC≌BED；

（2）图①中BC与DE的数量关系是           ，位置关系是           ；

（3）ABC是以AB为腰的等腰直角三角形，请在图中用字母C标出正确的点C位置，使点C在格点上，画出所有可能的等腰直角三角形．

21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上的一个动点，连接CD，点B关于直线CD的对称点为E，射线AE与射线CD交于点F．

（1）连接CE，求证：∠CAE＝∠CEA

（2）当BD＜AD时，求∠AFC的大小；

（3）若AD＝AC，试猜想AE与CD的数量关系，并证明．

22．如图，为的角平分线．

(1)如图1，若于点，交于点，，．则_______；

(2)如图2，于点，连接，若的面积是6，求的面积；

(3)如图3，若，，，则的长为_______．（用含的式子表示）

23．如图1，，，．

(1)、相交于点．

①求证：；

②用含的式子表示的度数；

(2)如图2，点、分别是、的中点，连接、，判断的形状，并加以证明；

24．在中，，，点是直线上一点，点关于射线的对称点为点. 作直线交射线于点，连接CF．

(1)如图，点在线段上，补全图形，求的大小（用含的代数式表示）；

(2)如果∠°．

①如图，当点在线段上时，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；

②如图，当点在线段的延长线上（不与点重合）时，直接写出线段，，之间的数量关系．

参考答案

一、选择题。

B.A．D．C.A．B．D．D．A.B.C．C．

二、填空题。

13．55．

14．45°

15．10．

16．北偏西40°．

17．

18．32023．

三、解答题

19．

解：（1）∵AD 2＋BD2＝144＋81＝225，AB2＝225，

∴AD 2＋BD2＝AB2，

∴△ABD是直角三角形，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∴CD＝，

∴BC＝CD＋DB＝16＋9＝25，

∴△ABC的面积＝×25×12＝150；

（2）过E作ED⊥FG的延长线于点D，

∵DE⊥EG，

∴∠EDG＝90°，

设DF为x，DG＝（x＋11），由勾股定理得：DE2＝EF2−DF2，DE2＝EG2−DG2，

即EF2−DF2＝EG2−DG2，

则132−x2＝202−（x＋11）2，

解得：x＝5，

∴DE＝，

∴△EFG的面积＝ •FG•DE＝×11×12＝66．

20．

（1）根据网格中的图象可知

AB=BE，AC=BD，∠BAC=∠EBD

∴ABC≌BED为SAS全等

（2）由（1）知ABC≌BED

∴BC=DE

过D点作BC平行线DF，连接FE

∵点A，B，C，D，E均在格点上

∴

∵

又∵

∴

∴为直角三角形，∠FDE=90°

∵FD//BC

∴BC⊥DE

（3）若是以AB为等腰直角三角形的腰，

即有AB=BC，∠ABC=90°或AB=AC，∠BAC=90°两种情况

又∵

∴，∠ABC=90°，C点有如图两种位置

而，∠BAC=90°，C点有如图一种位置

21．

（1）∵点B关于直线CD的对称点为E

∴CD垂直平分BE，

∴，

在和中

∴

∴，∠BCD＝∠ECD

又∵AC＝BC

 ∴AC＝EC

∴∠CAE＝∠CEA；

（2）设∠BCD＝α，由（1）知∠BCD＝∠ECD＝α

∵∠ACB＝90°

∴

∴∠CAE＝∠CEA＝45°+α

∴∠ECD+∠AFC＝∠CEA＝45°+α，

∴∠AFC＝∠CEA -∠ECD =45°；

（3）连接BF      

∵AC＝AD，AC＝BC       

∴AD＝BC

∵CD垂直平分BE，

∴FE＝FB    

∴∠AFD＝∠BFD

由（2）得∠CAE＝∠CAB+∠DAF＝45°+α ， ∠CAB＝45°

∴∠BCD＝∠FAD＝α  

在△ADF和△CBF中

∴△ADF≌△CBF

∴AF＝CF，DF＝BF＝EF    

∴AF-EF＝CF-DF，即AE＝CD．

22．(1)

解：，

，

∵为的角平分线，

，

，

，

，

，

故答案为：3；

(2)

解：延长CG，AB交于点H，

 由（1）知，

，

，

，

，

，

故答案为：12；

(3)

解：在AC上取一点N，使得AN=AB

,

(SAS)

,,

，

,

,

,

，

由角平分线的性质得：点D到AB，AC的距离相等，

，

又，

，

故答案为：

23．(1)

解：①∵∠ACB＝∠DCE＝α，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴BE＝AD；

②∵△ACD≌△BCE，

∴∠CAD＝∠CBE，

∵△ABC中，∠BAC+∠ABC＝180°﹣α，

∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣α，

∴△ABM中，∠AMB＝180°﹣（180°﹣α）＝α；

(2)

△CPQ为等腰三角形．

证明：如图2，由（1）可得，BE＝AD，

∵AD，BE的中点分别为点P、Q，

∴AP＝BQ，

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CAP＝∠CBQ，

在△ACP和△BCQ中，

，

∴△ACP≌△BCQ（SAS），

∴CP＝CQ

∴△CPQ为等腰三角形．

24．解：补全图形；

连接AE，

∵点为点关于的对称点，

∴，

设

∴

∵

∴

∴

∴

∵，

∴

∴

(2)

①

证明：延长至点，使，连接AG

∵

∴

∴△为等边三形，

由（1）知

∴△为等边三角形

∴，

∴

在△与△中，

∴△≌△ ()    

∴

∴

∵

∴

②结论为：．

连接AE，

∵点为点关于的对称点，

∴，EF=FC,

设

∴

∵=AE

∴

∴

∵，

∴

在BE上取点G,使得FG=FA, 连接AG

∴△为等边三角形

∴，

∴

在△与△中，

∴△≌△ ()    

∴

∴