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2022-2023学年山东省德州市禹城市八年级（上）期中数学试卷
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2022-2023学年山东省德州市禹城市八年级（上）期中数学试卷一、选择题(本大题共12小题，每题4分，其48分，只有一项是符合题目要求的)1．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．2．（4分）如图是李老师去某地旅游拍摄的“山谷中的铁架桥”，铁架桥框架做成了三角形的形状，该设计是利用三角形的（ ）A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性3．（4分）如图，张老师用长方形木板遮住了△ABC的一部分，其中AB＝8，则另两边的长不可能的是（ ）A．4，5． B．3，6 C．3，5 D．2，84．（4分）下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是（ ）A．等腰梯形 B．正方形 C．正六边形 D．正五角星5．（4分）已知一个多边形的内角和1080度，则这个多边形的边数是（ ）A．7 B．8 C．9 D．106．（4分）如图，点B、E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，要使△ABC≌△DEF，则需要再添加的一组条件不可以是（ ）A．∠A＝∠D，∠B＝∠DEF B．BC＝EF，AC＝DF C．AC＝DF，∠B＝∠DEF D．BE＝CF，∠B＝∠DEF7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于D点，连接BD，若DE＝2，则AC的值为（ ）A．4 B．6 C．8 D．108．（4分）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝8，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F，则△AEF的周长为（ ）A．12 B．13 C．14 D．189．（4分）三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）A．三角形的三条角平分线的交点处 B．三角形的三条中线的交点处 C．三角形的三条高的交点处 D．以上位置都不对10．（4分）如图，△ABC的面积为6cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）A．2cm2 B．2.5cm2 C．3cm2 D．3.5cm211．（4分）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（a，2a+3），则a的值为（ ）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣412．（4分）如图，DE⊥AB与E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③∠C+∠ABD＝180°；④AC﹣AB＝2BE，其中正确的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、镇空题（本大题共6小题。每小题4分。共24分）13．（4分）如图，已知在△ABC中，∠A＝35°，其外角∠ACD＝80°，则∠B＝ 度．14．（4分）多边形的外角和是 ．15．（4分）如图，AD为∠BAC的平分线，请你添加一个适当的条件，使△ABD≌△ACD，添加的条件可以是 ．16．（4分）嘉淇为了测量建筑物墙壁AB的高度，采用了如图所示的方法：①把一根足够长的竹竿AC的顶端对齐建筑物顶端A，末端落在地面C处；②把竹竿顶端沿AB下滑至点D，使DB＝ ，此时竹竿末端落在地面E处；③测得EB的长度，就是AB的高度．以上测量方法直接利用了全等三角形的判定方法 （用字母表示）．17．（4分）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 ．18．（4分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③∠AOB＝60°；④△CPQ是等边三角形，恒成立的是 ．三、解答题（共7道题，满分78分）19．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝35°，∠CAD＝20°，求∠B和∠C的度数．20．（10分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称．（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；（2）写出点A1，B1，C1的坐标，求出△A1B1C1的面积．21．（10分）已知三角形的两边长为8和10，第三边长x最小．（1）求x的取值范围；（2）当x为何值时，围成的三角形周长最大？并求出周长．22．（12分）如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．（1）点O是AC、BD的中点吗？说明你的理由；（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，OE＝OF吗？说明你的理由．23．（12分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．（1）求证：AP平分∠CAB；（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数．24．（12分）为了测量一池塘的两端A，B之间的距离，同学们想出了如下的两种方案：方案①如图1，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长；方案②如图2，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，在垂线上选一点E，使A、C、E三点在一条直线上，则测出DE的长即是AB的距离．问：（1）方案①是否可行？请说明理由；（2）方案②是否可行？请说明理由；（3）小明说在方案②中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，只需要 就可以了，请把小明所说的条件补上．25．（14分）小米遇到这样一个问题：如图1，△ABC是等腰直角三角形，OA＝3，OB＝4，求点C点的坐标．他的做法是：过点C作CD⊥x轴，请完成：（1）证明：△ACD≌△BAO；（2）点C的坐标是 ；（3）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值． 2022-2023学年山东省德州市禹城市八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题，每题4分，其48分，只有一项是符合题目要求的)1．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；据此判断即可．【解答】解：图A、图B、图D分别沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形；而图C不是轴对称图形；故选：C．【点评】本题主要考查轴对称的知识点，解题的关键是掌握轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形．2．（4分）如图是李老师去某地旅游拍摄的“山谷中的铁架桥”，铁架桥框架做成了三角形的形状，该设计是利用三角形的（ ）A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性【分析】三角形具有稳定性．【解答】解：铁架桥框架做成了三角形的形状，是为了更稳固，利用了三角形的稳定性．故选：D．【点评】本题主要考查三角形的稳定性的应用，能够熟记性质是解题关键．3．（4分）如图，张老师用长方形木板遮住了△ABC的一部分，其中AB＝8，则另两边的长不可能的是（ ）A．4，5． B．3，6 C．3，5 D．2，8【分析】根据三角形三边关系得出，任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．【解答】解：∵此三角形的AB＝8，∴另外两边长的和大于8，∴另外两边的长不可能是3，5，故选：C．【点评】题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的取值范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．4．（4分）下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是（ ）A．等腰梯形 B．正方形 C．正六边形 D．正五角星【分析】根据全等形的定义判断即可．【解答】解：观察选项可知，选项B，C，D中的虚线把图形分成全等的两部分，故选：A．【点评】本题考查全等图形的定义，解题的关键是理解全等图形的定义，属于中考基础题．5．（4分）已知一个多边形的内角和1080度，则这个多边形的边数是（ ）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】应用多边形的内角和公式，列出方程，解方程即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意：（n﹣2）•180°＝1080°．解得：n＝8．故选：B．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理的应用，熟记多边形的内角和定理是解题的关键．6．（4分）如图，点B、E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，要使△ABC≌△DEF，则需要再添加的一组条件不可以是（ ）A．∠A＝∠D，∠B＝∠DEF B．BC＝EF，AC＝DF C．AC＝DF，∠B＝∠DEF D．BE＝CF，∠B＝∠DEF【分析】此题是一道开放性题，实则还是考查学生对三角形全等的判定方法的掌握情况．此处可以运用排除法进行分析【解答】解：A、可用ASA判定两个三角形全等；B、根据SSS能判定两个三角形全等；C、无法判定两个三角形全等；D、根据SAS可以证明三角形全等．故选：C．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于D点，连接BD，若DE＝2，则AC的值为（ ）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】依据含30°角的直角三角形的性质，即可得到AD的长，再根据角平分线的性质，即可得到CD的长，进而得出AC的长．【解答】解：∵∠A＝30°，DE垂直平分AB，DE＝2，∴AD＝BD＝4，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，即BD平分∠ABC，又∵DE⊥AB，DC⊥BC，∴CD＝DE＝2，∴AC＝4+2＝6，故选：B．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题注意掌握数形结合思想的应用．8．（4分）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝8，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F，则△AEF的周长为（ ）A．12 B．13 C．14 D．18【分析】根据平行线的性质得到∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，根据角平分线的性质得到∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，等量代换得到∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，于是得到ED＝EB，FD＝FC，即可得到结果．【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，∴ED＝EB，FD＝FC，∵AB＝5，AC＝8，∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝5+8＝13．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意证得△BDE与△CDF是等腰三角形是解此题的关键．9．（4分）三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）A．三角形的三条角平分线的交点处 B．三角形的三条中线的交点处 C．三角形的三条高的交点处 D．以上位置都不对【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．【解答】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处．故选：A．【点评】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．10．（4分）如图，△ABC的面积为6cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）A．2cm2 B．2.5cm2 C．3cm2 D．3.5cm2【分析】根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBCS△ABC，代入求出即可．【解答】解：延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△PBCS△ABC6＝3（cm2）．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（a，2a+3），则a的值为（ ）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等及第二象限点的坐标为负正的特征来得到点P的横纵坐标互为相反数计算即可．【解答】解：由题意得点P在x轴负半轴和y轴正半轴的角平分线上，又∵点P在第二象限，∴2a+3+a＝0，解得：a＝﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查角平分线的性质，能够熟练的通过尺规作图分析得出角平分线是解题关键．12．（4分）如图，DE⊥AB与E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③∠C+∠ABD＝180°；④AC﹣AB＝2BE，其中正确的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用“HL”证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边和对应角相等可得DE＝DF和∠C＝∠DBE，进而得到∠C+∠ABD＝180°；根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AD平分∠BAC；利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，即得出AB+BE＝AC﹣FC，从而即可得到AC﹣AB＝2BE．【解答】解：在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，∠C＝∠DBE，∵∠DBE+∠ABD＝180°，∴∠C+∠ABD＝180°，故①和③正确；又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC，故②正确；在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF，∴AB+BE＝AC﹣FC，∴AC﹣AB＝BE+FC＝2BE，即AC﹣AB＝2BE，故④正确，综上所述，正确的是①②③④．故选：D．【点评】本题主要考查了直角三角形全等的判定与角平分线的证明，熟练掌握相关概念是解题关键．二、镇空题（本大题共6小题。每小题4分。共24分）13．（4分）如图，已知在△ABC中，∠A＝35°，其外角∠ACD＝80°，则∠B＝ 45 度．【分析】直接利用三角形的外角性质即可求解．【解答】解：∵∠A＝35°，∠ACD＝80°，且∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠A+∠B，∴∠B＝∠ACD﹣∠A＝45°．故答案为：45．【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．14．（4分）多边形的外角和是 360° ．【分析】根据多边形的外角和为360°，即可解答．【解答】解：多边形的外角和为360°．故答案为：360°．【点评】本题考查了多边形的外角和，解决本题的关键是多边形的外角和为360°．15．（4分）如图，AD为∠BAC的平分线，请你添加一个适当的条件，使△ABD≌△ACD，添加的条件可以是 AB＝AC（答案不唯一） ．【分析】根据角平分线定义推出∠BAD＝∠CAD，进而利用全等三角形的判定解答即可．【解答】解：∵AE平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵AD＝AD，添加AB＝AC，利用SAS可得△ABD≌△ACD，添加∠B＝∠C，利用AAS可得△ABD≌△ACD，添加∠ADB＝∠ADC，利用ASA可得△ABD≌△ACD，故答案为：AB＝AC（答案不唯一）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．16．（4分）嘉淇为了测量建筑物墙壁AB的高度，采用了如图所示的方法：①把一根足够长的竹竿AC的顶端对齐建筑物顶端A，末端落在地面C处；②把竹竿顶端沿AB下滑至点D，使DB＝ CB ，此时竹竿末端落在地面E处；③测得EB的长度，就是AB的高度．以上测量方法直接利用了全等三角形的判定方法 HL （用字母表示）．【分析】根据题意，将AB的长度转化为EB的长度，证明Rt△ABC≌Rt△EBD即可求解．【解答】证明：∵∠ABC＝∠EBD＝90°，AC＝ED，DB＝CB，∴Rt△ABC≌Rt△EBD（HL），故答案为：CB，HL．【点评】本题考查了HL证明三角形全等，全等三角形的性质，掌握HL的性质与判定是解题的关键．17．（4分）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 60° ．【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC＝∠PCB＝30°，即可解决问题；【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE+PC＝PB+PE＝BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE＝60°，∵BA＝BC，AE＝EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝30°，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝30°，∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，故答案为60°．【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．18．（4分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③∠AOB＝60°；④△CPQ是等边三角形，恒成立的是 ①②③④ ．【分析】由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，由外角的性质可求∠AOB＝∠ACB＝60°，由“ASA”可证△CBQ≌△CAP，可得CP＝CQ，可证△CPQ是等边三角形，即可求解．【解答】解：∵△ABC和△CDE为等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCB＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∠BCD＝60°，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，故①正确；∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，∵∠APB＝∠CBQ+∠AOB＝∠CAD+∠ACB，∴∠AOB＝∠ACB＝60°，故③正确；在△CBQ和△CAP中，，∴△CBQ≌△CAP（ASA），∴CP＝CQ，又∵∠BCQ＝60°，∴△CPQ是等边三角形，故④正确；∴∠CPQ＝60°＝∠ACB，∴PQ∥AE，故②正确；故答案为：①②③④．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．三、解答题（共7道题，满分78分）19．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝35°，∠CAD＝20°，求∠B和∠C的度数．【分析】利用角平分线的定义，可求出∠BAC的度数，将其代入∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD，可求出∠BAD的度数，由AD⊥BC，可得出∠ADB＝∠ADC＝90°，再在△ABD和△ACD中利用三角形内角和定理，即可求出∠B和∠C的度数．【解答】解：∵AE平分∠BAC，∠BAE＝35°，∴∠BAC＝2∠BAE＝2×35°＝70°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝70°﹣20°＝50°．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在△ABD中，∠BAD＝50°，∠ADB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°；在△ACD中，∠CAD＝20°，∠ADC＝90°，∴∠C＝90°﹣∠CAD＝90°﹣20°＝70°．【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及垂线，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．20．（10分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称．（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；（2）写出点A1，B1，C1的坐标，求出△A1B1C1的面积．【分析】（1）△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称，据此作图即可；（2）根据网格求三角形面积法求解即可．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求；（2）由（1）可得A1（3，3），B1（0，1），C1（1，0），S．【点评】本题考查了平移和轴对称，灵活运用所学的知识求解是解决本题的关键．21．（10分）已知三角形的两边长为8和10，第三边长x最小．（1）求x的取值范围；（2）当x为何值时，围成的三角形周长最大？并求出周长．【分析】（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三条边长x的取值范围；（2）从求得的自变量的取值范围中找到x的最大值求得周长的最大值即可．【解答】解：（1）由三角形的三边关系，得2＜x＜18，∵x为最小，∴x的取值范围是2＜x≤8；（2）当x＝8时，三角形的周长最大，且最大值是8+10+8＝26．【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟记性质是解题的关键．22．（12分）如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．（1）点O是AC、BD的中点吗？说明你的理由；（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，OE＝OF吗？说明你的理由．【分析】（1）由AB∥DC，根据平行线的性质，可得∠A＝∠C，∠B＝∠D，又由AB＝DC，即可利用ASA判定△AOB≌△COD，继而证得结论；（2）由（1），可直接利用ASA判定△AOE≌△COF，继而证得OE＝OF．【解答】解：（1）点O是AC、BD的中点；理由如下：∵AB∥DC，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（ASA），∴OA＝OC，OB＝OD，即点O是AC、BD的中点；（2）OE＝OF；理由如下：在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质．注意利用平行线的性质，证得三角形全等是解此题的关键．23．（12分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．（1）求证：AP平分∠CAB；（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数．【分析】（1）通过三角形全等得到对应角相等，得出AP平分∠CAB；（2）利用平行线的性质确定∠CAB，再利用角平分线性质求出∠MAB的度数．【解答】解：（1）连接PF，PE，由作图过程可知AE＝AF，PE＝PF，AP＝AP，∴△AFP≌△AEP，∴∠FAP＝∠EAP，∴AP平分∠CAB．（2）∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB＝180°，又∵∠ACD＝114°，∴∠CAB＝180°﹣114°＝66°，由（1）知AP平分∠CAB，即∠MAB＝∠MAC，∴∠MAB∠CAB＝33°．【点评】本题考查了三角形全等的判定、角平分线的性质和平行线的性质，做题关键是掌握三角形全等的判定、角平分线的性质和平行线的性质．24．（12分）为了测量一池塘的两端A，B之间的距离，同学们想出了如下的两种方案：方案①如图1，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长；方案②如图2，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，在垂线上选一点E，使A、C、E三点在一条直线上，则测出DE的长即是AB的距离．问：（1）方案①是否可行？请说明理由；（2）方案②是否可行？请说明理由；（3）小明说在方案②中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，只需要 AB∥DE 就可以了，请把小明所说的条件补上．【分析】（1）根据SAS证明△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质即可得证；（2）根据ASA证明△ABC≌△EDC，进一步即可得证；（3）只需要AB∥DE，此时∠ABC＝∠EDC，证明△ABC≌△EDC（ASA）即可得证．【解答】解：（1）方案①可行，理由如下：在△DCE和△ACB中，，∴△DCE≌△ACB（SAS），∴DE＝AB，∴方案①可行；（2）方案②可行，理由如下：∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴DE＝AB，故方案②可行；（3）只需要AB∥DE，此时∠ABC＝∠EDC，证明步骤同（2），故答案为：AB∥DE．【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．25．（14分）小米遇到这样一个问题：如图1，△ABC是等腰直角三角形，OA＝3，OB＝4，求点C点的坐标．他的做法是：过点C作CD⊥x轴，请完成：（1）证明：△ACD≌△BAO；（2）点C的坐标是 （﹣7，﹣3） ；（3）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值．【分析】（1）根据CD⊥AD可得∠ACD＝∠OAB，运用“AAS“即可证明△ACD≌△BAO；（2）根据△ACD≌△BAO可得AD＝BO＝4，CD＝AO＝3，进而即可得到点C坐标；（3）过D作DQ⊥OP于Q点，根据题意证明OP﹣DE＝PQ，证明△AOP≌△PQD即可得到答案．【解答】（1）解：根据题意作图1：∵CD⊥AD，∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠CAD+∠OAB＝90°，∴∠ACD＝∠OAB，在ACD和ABAO中，，∴△ACD≌△BAO（AAS）；（2）解：由（1）得△ACD≌△BAO，∴AD＝BO＝4，CD＝AO＝3，∴点C坐标为（﹣7，﹣3），故答案为：（﹣7，﹣3）；（3）解：过D作DQ⊥OP于Q点，如图2，∴∠EOQ＝∠OQD＝∠OED＝90°，∴四边形OEDQ为矩形，∴DE＝OQ，∴OP﹣DE＝PQ，由题意得AP＝DP，∠APO+∠QPD＝90．，∵∠APO+∠OAP＝90°，∴∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，，∴△AOP≌△PQD（AAS），∴PQ＝OA，∴OP﹣DE＝PQ＝OA＝3．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及矩形的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/30 21:50:59；用户：刘世阳；邮箱：zhaoxia41@xyh.com；学号：39428214
2022-2023学年山东省德州市禹城市八年级（上）期中数学试卷一、选择题(本大题共12小题，每题4分，其48分，只有一项是符合题目要求的)1．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．2．（4分）如图是李老师去某地旅游拍摄的“山谷中的铁架桥”，铁架桥框架做成了三角形的形状，该设计是利用三角形的（ ）A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性3．（4分）如图，张老师用长方形木板遮住了△ABC的一部分，其中AB＝8，则另两边的长不可能的是（ ）A．4，5． B．3，6 C．3，5 D．2，84．（4分）下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是（ ）A．等腰梯形 B．正方形 C．正六边形 D．正五角星5．（4分）已知一个多边形的内角和1080度，则这个多边形的边数是（ ）A．7 B．8 C．9 D．106．（4分）如图，点B、E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，要使△ABC≌△DEF，则需要再添加的一组条件不可以是（ ）A．∠A＝∠D，∠B＝∠DEF B．BC＝EF，AC＝DF C．AC＝DF，∠B＝∠DEF D．BE＝CF，∠B＝∠DEF7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于D点，连接BD，若DE＝2，则AC的值为（ ）A．4 B．6 C．8 D．108．（4分）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝8，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F，则△AEF的周长为（ ）A．12 B．13 C．14 D．189．（4分）三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）A．三角形的三条角平分线的交点处 B．三角形的三条中线的交点处 C．三角形的三条高的交点处 D．以上位置都不对10．（4分）如图，△ABC的面积为6cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）A．2cm2 B．2.5cm2 C．3cm2 D．3.5cm211．（4分）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（a，2a+3），则a的值为（ ）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣412．（4分）如图，DE⊥AB与E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③∠C+∠ABD＝180°；④AC﹣AB＝2BE，其中正确的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、镇空题（本大题共6小题。每小题4分。共24分）13．（4分）如图，已知在△ABC中，∠A＝35°，其外角∠ACD＝80°，则∠B＝ 度．14．（4分）多边形的外角和是 ．15．（4分）如图，AD为∠BAC的平分线，请你添加一个适当的条件，使△ABD≌△ACD，添加的条件可以是 ．16．（4分）嘉淇为了测量建筑物墙壁AB的高度，采用了如图所示的方法：①把一根足够长的竹竿AC的顶端对齐建筑物顶端A，末端落在地面C处；②把竹竿顶端沿AB下滑至点D，使DB＝ ，此时竹竿末端落在地面E处；③测得EB的长度，就是AB的高度．以上测量方法直接利用了全等三角形的判定方法 （用字母表示）．17．（4分）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 ．18．（4分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③∠AOB＝60°；④△CPQ是等边三角形，恒成立的是 ．三、解答题（共7道题，满分78分）19．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝35°，∠CAD＝20°，求∠B和∠C的度数．20．（10分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称．（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；（2）写出点A1，B1，C1的坐标，求出△A1B1C1的面积．21．（10分）已知三角形的两边长为8和10，第三边长x最小．（1）求x的取值范围；（2）当x为何值时，围成的三角形周长最大？并求出周长．22．（12分）如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．（1）点O是AC、BD的中点吗？说明你的理由；（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，OE＝OF吗？说明你的理由．23．（12分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．（1）求证：AP平分∠CAB；（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数．24．（12分）为了测量一池塘的两端A，B之间的距离，同学们想出了如下的两种方案：方案①如图1，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长；方案②如图2，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，在垂线上选一点E，使A、C、E三点在一条直线上，则测出DE的长即是AB的距离．问：（1）方案①是否可行？请说明理由；（2）方案②是否可行？请说明理由；（3）小明说在方案②中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，只需要 就可以了，请把小明所说的条件补上．25．（14分）小米遇到这样一个问题：如图1，△ABC是等腰直角三角形，OA＝3，OB＝4，求点C点的坐标．他的做法是：过点C作CD⊥x轴，请完成：（1）证明：△ACD≌△BAO；（2）点C的坐标是 ；（3）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值． 2022-2023学年山东省德州市禹城市八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题，每题4分，其48分，只有一项是符合题目要求的)1．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；据此判断即可．【解答】解：图A、图B、图D分别沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形；而图C不是轴对称图形；故选：C．【点评】本题主要考查轴对称的知识点，解题的关键是掌握轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形．2．（4分）如图是李老师去某地旅游拍摄的“山谷中的铁架桥”，铁架桥框架做成了三角形的形状，该设计是利用三角形的（ ）A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性【分析】三角形具有稳定性．【解答】解：铁架桥框架做成了三角形的形状，是为了更稳固，利用了三角形的稳定性．故选：D．【点评】本题主要考查三角形的稳定性的应用，能够熟记性质是解题关键．3．（4分）如图，张老师用长方形木板遮住了△ABC的一部分，其中AB＝8，则另两边的长不可能的是（ ）A．4，5． B．3，6 C．3，5 D．2，8【分析】根据三角形三边关系得出，任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．【解答】解：∵此三角形的AB＝8，∴另外两边长的和大于8，∴另外两边的长不可能是3，5，故选：C．【点评】题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的取值范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．4．（4分）下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是（ ）A．等腰梯形 B．正方形 C．正六边形 D．正五角星【分析】根据全等形的定义判断即可．【解答】解：观察选项可知，选项B，C，D中的虚线把图形分成全等的两部分，故选：A．【点评】本题考查全等图形的定义，解题的关键是理解全等图形的定义，属于中考基础题．5．（4分）已知一个多边形的内角和1080度，则这个多边形的边数是（ ）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】应用多边形的内角和公式，列出方程，解方程即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意：（n﹣2）•180°＝1080°．解得：n＝8．故选：B．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理的应用，熟记多边形的内角和定理是解题的关键．6．（4分）如图，点B、E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，要使△ABC≌△DEF，则需要再添加的一组条件不可以是（ ）A．∠A＝∠D，∠B＝∠DEF B．BC＝EF，AC＝DF C．AC＝DF，∠B＝∠DEF D．BE＝CF，∠B＝∠DEF【分析】此题是一道开放性题，实则还是考查学生对三角形全等的判定方法的掌握情况．此处可以运用排除法进行分析【解答】解：A、可用ASA判定两个三角形全等；B、根据SSS能判定两个三角形全等；C、无法判定两个三角形全等；D、根据SAS可以证明三角形全等．故选：C．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于D点，连接BD，若DE＝2，则AC的值为（ ）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】依据含30°角的直角三角形的性质，即可得到AD的长，再根据角平分线的性质，即可得到CD的长，进而得出AC的长．【解答】解：∵∠A＝30°，DE垂直平分AB，DE＝2，∴AD＝BD＝4，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，即BD平分∠ABC，又∵DE⊥AB，DC⊥BC，∴CD＝DE＝2，∴AC＝4+2＝6，故选：B．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题注意掌握数形结合思想的应用．8．（4分）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝8，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F，则△AEF的周长为（ ）A．12 B．13 C．14 D．18【分析】根据平行线的性质得到∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，根据角平分线的性质得到∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，等量代换得到∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，于是得到ED＝EB，FD＝FC，即可得到结果．【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，∴ED＝EB，FD＝FC，∵AB＝5，AC＝8，∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝5+8＝13．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意证得△BDE与△CDF是等腰三角形是解此题的关键．9．（4分）三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）A．三角形的三条角平分线的交点处 B．三角形的三条中线的交点处 C．三角形的三条高的交点处 D．以上位置都不对【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．【解答】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处．故选：A．【点评】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．10．（4分）如图，△ABC的面积为6cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）A．2cm2 B．2.5cm2 C．3cm2 D．3.5cm2【分析】根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBCS△ABC，代入求出即可．【解答】解：延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△PBCS△ABC6＝3（cm2）．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（a，2a+3），则a的值为（ ）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等及第二象限点的坐标为负正的特征来得到点P的横纵坐标互为相反数计算即可．【解答】解：由题意得点P在x轴负半轴和y轴正半轴的角平分线上，又∵点P在第二象限，∴2a+3+a＝0，解得：a＝﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查角平分线的性质，能够熟练的通过尺规作图分析得出角平分线是解题关键．12．（4分）如图，DE⊥AB与E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③∠C+∠ABD＝180°；④AC﹣AB＝2BE，其中正确的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用“HL”证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边和对应角相等可得DE＝DF和∠C＝∠DBE，进而得到∠C+∠ABD＝180°；根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AD平分∠BAC；利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，即得出AB+BE＝AC﹣FC，从而即可得到AC﹣AB＝2BE．【解答】解：在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，∠C＝∠DBE，∵∠DBE+∠ABD＝180°，∴∠C+∠ABD＝180°，故①和③正确；又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC，故②正确；在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF，∴AB+BE＝AC﹣FC，∴AC﹣AB＝BE+FC＝2BE，即AC﹣AB＝2BE，故④正确，综上所述，正确的是①②③④．故选：D．【点评】本题主要考查了直角三角形全等的判定与角平分线的证明，熟练掌握相关概念是解题关键．二、镇空题（本大题共6小题。每小题4分。共24分）13．（4分）如图，已知在△ABC中，∠A＝35°，其外角∠ACD＝80°，则∠B＝ 45 度．【分析】直接利用三角形的外角性质即可求解．【解答】解：∵∠A＝35°，∠ACD＝80°，且∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠A+∠B，∴∠B＝∠ACD﹣∠A＝45°．故答案为：45．【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．14．（4分）多边形的外角和是 360° ．【分析】根据多边形的外角和为360°，即可解答．【解答】解：多边形的外角和为360°．故答案为：360°．【点评】本题考查了多边形的外角和，解决本题的关键是多边形的外角和为360°．15．（4分）如图，AD为∠BAC的平分线，请你添加一个适当的条件，使△ABD≌△ACD，添加的条件可以是 AB＝AC（答案不唯一） ．【分析】根据角平分线定义推出∠BAD＝∠CAD，进而利用全等三角形的判定解答即可．【解答】解：∵AE平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵AD＝AD，添加AB＝AC，利用SAS可得△ABD≌△ACD，添加∠B＝∠C，利用AAS可得△ABD≌△ACD，添加∠ADB＝∠ADC，利用ASA可得△ABD≌△ACD，故答案为：AB＝AC（答案不唯一）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．16．（4分）嘉淇为了测量建筑物墙壁AB的高度，采用了如图所示的方法：①把一根足够长的竹竿AC的顶端对齐建筑物顶端A，末端落在地面C处；②把竹竿顶端沿AB下滑至点D，使DB＝ CB ，此时竹竿末端落在地面E处；③测得EB的长度，就是AB的高度．以上测量方法直接利用了全等三角形的判定方法 HL （用字母表示）．【分析】根据题意，将AB的长度转化为EB的长度，证明Rt△ABC≌Rt△EBD即可求解．【解答】证明：∵∠ABC＝∠EBD＝90°，AC＝ED，DB＝CB，∴Rt△ABC≌Rt△EBD（HL），故答案为：CB，HL．【点评】本题考查了HL证明三角形全等，全等三角形的性质，掌握HL的性质与判定是解题的关键．17．（4分）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 60° ．【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC＝∠PCB＝30°，即可解决问题；【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE+PC＝PB+PE＝BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE＝60°，∵BA＝BC，AE＝EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝30°，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝30°，∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，故答案为60°．【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．18．（4分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③∠AOB＝60°；④△CPQ是等边三角形，恒成立的是 ①②③④ ．【分析】由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，由外角的性质可求∠AOB＝∠ACB＝60°，由“ASA”可证△CBQ≌△CAP，可得CP＝CQ，可证△CPQ是等边三角形，即可求解．【解答】解：∵△ABC和△CDE为等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCB＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∠BCD＝60°，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，故①正确；∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，∵∠APB＝∠CBQ+∠AOB＝∠CAD+∠ACB，∴∠AOB＝∠ACB＝60°，故③正确；在△CBQ和△CAP中，，∴△CBQ≌△CAP（ASA），∴CP＝CQ，又∵∠BCQ＝60°，∴△CPQ是等边三角形，故④正确；∴∠CPQ＝60°＝∠ACB，∴PQ∥AE，故②正确；故答案为：①②③④．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．三、解答题（共7道题，满分78分）19．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝35°，∠CAD＝20°，求∠B和∠C的度数．【分析】利用角平分线的定义，可求出∠BAC的度数，将其代入∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD，可求出∠BAD的度数，由AD⊥BC，可得出∠ADB＝∠ADC＝90°，再在△ABD和△ACD中利用三角形内角和定理，即可求出∠B和∠C的度数．【解答】解：∵AE平分∠BAC，∠BAE＝35°，∴∠BAC＝2∠BAE＝2×35°＝70°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝70°﹣20°＝50°．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在△ABD中，∠BAD＝50°，∠ADB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°；在△ACD中，∠CAD＝20°，∠ADC＝90°，∴∠C＝90°﹣∠CAD＝90°﹣20°＝70°．【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及垂线，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．20．（10分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称．（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；（2）写出点A1，B1，C1的坐标，求出△A1B1C1的面积．【分析】（1）△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称，据此作图即可；（2）根据网格求三角形面积法求解即可．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求；（2）由（1）可得A1（3，3），B1（0，1），C1（1，0），S．【点评】本题考查了平移和轴对称，灵活运用所学的知识求解是解决本题的关键．21．（10分）已知三角形的两边长为8和10，第三边长x最小．（1）求x的取值范围；（2）当x为何值时，围成的三角形周长最大？并求出周长．【分析】（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三条边长x的取值范围；（2）从求得的自变量的取值范围中找到x的最大值求得周长的最大值即可．【解答】解：（1）由三角形的三边关系，得2＜x＜18，∵x为最小，∴x的取值范围是2＜x≤8；（2）当x＝8时，三角形的周长最大，且最大值是8+10+8＝26．【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟记性质是解题的关键．22．（12分）如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．（1）点O是AC、BD的中点吗？说明你的理由；（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，OE＝OF吗？说明你的理由．【分析】（1）由AB∥DC，根据平行线的性质，可得∠A＝∠C，∠B＝∠D，又由AB＝DC，即可利用ASA判定△AOB≌△COD，继而证得结论；（2）由（1），可直接利用ASA判定△AOE≌△COF，继而证得OE＝OF．【解答】解：（1）点O是AC、BD的中点；理由如下：∵AB∥DC，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（ASA），∴OA＝OC，OB＝OD，即点O是AC、BD的中点；（2）OE＝OF；理由如下：在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质．注意利用平行线的性质，证得三角形全等是解此题的关键．23．（12分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．（1）求证：AP平分∠CAB；（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数．【分析】（1）通过三角形全等得到对应角相等，得出AP平分∠CAB；（2）利用平行线的性质确定∠CAB，再利用角平分线性质求出∠MAB的度数．【解答】解：（1）连接PF，PE，由作图过程可知AE＝AF，PE＝PF，AP＝AP，∴△AFP≌△AEP，∴∠FAP＝∠EAP，∴AP平分∠CAB．（2）∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB＝180°，又∵∠ACD＝114°，∴∠CAB＝180°﹣114°＝66°，由（1）知AP平分∠CAB，即∠MAB＝∠MAC，∴∠MAB∠CAB＝33°．【点评】本题考查了三角形全等的判定、角平分线的性质和平行线的性质，做题关键是掌握三角形全等的判定、角平分线的性质和平行线的性质．24．（12分）为了测量一池塘的两端A，B之间的距离，同学们想出了如下的两种方案：方案①如图1，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长；方案②如图2，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，在垂线上选一点E，使A、C、E三点在一条直线上，则测出DE的长即是AB的距离．问：（1）方案①是否可行？请说明理由；（2）方案②是否可行？请说明理由；（3）小明说在方案②中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，只需要 AB∥DE 就可以了，请把小明所说的条件补上．【分析】（1）根据SAS证明△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质即可得证；（2）根据ASA证明△ABC≌△EDC，进一步即可得证；（3）只需要AB∥DE，此时∠ABC＝∠EDC，证明△ABC≌△EDC（ASA）即可得证．【解答】解：（1）方案①可行，理由如下：在△DCE和△ACB中，，∴△DCE≌△ACB（SAS），∴DE＝AB，∴方案①可行；（2）方案②可行，理由如下：∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴DE＝AB，故方案②可行；（3）只需要AB∥DE，此时∠ABC＝∠EDC，证明步骤同（2），故答案为：AB∥DE．【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．25．（14分）小米遇到这样一个问题：如图1，△ABC是等腰直角三角形，OA＝3，OB＝4，求点C点的坐标．他的做法是：过点C作CD⊥x轴，请完成：（1）证明：△ACD≌△BAO；（2）点C的坐标是 （﹣7，﹣3） ；（3）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值．【分析】（1）根据CD⊥AD可得∠ACD＝∠OAB，运用“AAS“即可证明△ACD≌△BAO；（2）根据△ACD≌△BAO可得AD＝BO＝4，CD＝AO＝3，进而即可得到点C坐标；（3）过D作DQ⊥OP于Q点，根据题意证明OP﹣DE＝PQ，证明△AOP≌△PQD即可得到答案．【解答】（1）解：根据题意作图1：∵CD⊥AD，∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠CAD+∠OAB＝90°，∴∠ACD＝∠OAB，在ACD和ABAO中，，∴△ACD≌△BAO（AAS）；（2）解：由（1）得△ACD≌△BAO，∴AD＝BO＝4，CD＝AO＝3，∴点C坐标为（﹣7，﹣3），故答案为：（﹣7，﹣3）；（3）解：过D作DQ⊥OP于Q点，如图2，∴∠EOQ＝∠OQD＝∠OED＝90°，∴四边形OEDQ为矩形，∴DE＝OQ，∴OP﹣DE＝PQ，由题意得AP＝DP，∠APO+∠QPD＝90．，∵∠APO+∠OAP＝90°，∴∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，，∴△AOP≌△PQD（AAS），∴PQ＝OA，∴OP﹣DE＝PQ＝OA＝3．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及矩形的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/30 21:50:59；用户：刘世阳；邮箱：zhaoxia41@xyh.com；学号：39428214
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