2022-2023学年云南省昭通市巧家县九年级（上）期中数学试卷

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2022-2023学年云南省昭通市巧家县九年级（上）期中数学试卷一.选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）1．（3分）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．2．（3分）下列点在抛物线y＝5x2上的是（　　）A．（﹣1，﹣5） B．（5，1） C．（1，5） D．（1，﹣5）3．（3分）与点A（1，﹣4）关于原点对称的点B的坐标是（　　）A．（﹣1，4） B．（1，4） C．（﹣4，1） D．（4，1）4．（3分）下列说法中，正确的是（　　）A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是圆中最长的弦 C．相等长度的两条弧是等弧 D．顶点在圆上的角是圆周角5．（3分）若关于x的一元二次方程mx2﹣x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）A．m B．m C．m且m≠0 D．m且m≠06．（3分）如图，A、B、D为⊙O上的点，∠ADB＝57°，则∠AOB为（　　）A．100° B．124° C．104° D．114°7．（3分）如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB，垂足为D，若AB＝16，OD＝6，则⊙O的半径为（　　）A．6 B．8 C．10 D．128．（3分）直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+2在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）A． B． C． D．9．（3分）用机器从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（　　）A．小球距离地面最高40m B．小球运动到6s时落回地面 C．小球的高度h与小球运动时间t之间的函数关系式为h＝（t﹣3）2+40 D．小球运动3s时到达最高点10．（3分）将平面内一点P（﹣4，0）绕原点顺时针旋转120°，得到点P′，则P′到x轴的距离为（　　）A．2 B．2 C．4 D．411．（3分）二次函数y＝x2+x的图象与直线l1：y1＝2x有一个交点A1（1，2），与直线l2：y2＝3x有一个交点A2（2，6），与直线l3：y3＝4x有一个交点A3（3，12），……则与直线ln的一个交点An的坐标是（　　）A．（n，n2+n） B．（n，n2） C．（n+1，n2+n） D．（n，2n）12．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，△DFE为直角三角形，F为AB的中点，∠DFE＝∠ACB＝90°，AB＝8．当△DEF绕着点F旋转时，直角边DF，EF'分别与边AC，BC相交于点M，N．在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF；②当∠AFD＝45°时，四边形CMFN是正方形；③AM+BN＝4．其中正确结论的个数是（　　）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0有一根是x＝3，则3m﹣n的值为 　 　．14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝70°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′AB的度数为 　 　．15．（3分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx﹣c的两个交点坐标分别为A（﹣2，6），B（1，2），则方程ax2﹣bx+c＝0较大的根是 　 　．16．（3分）如图，某拱桥桥洞的形状是抛物线，若取水平方向为x轴，拱桥的拱顶为原点建立直角坐标系，已知当拱顶离水面2m时，水面AB的宽为4m，则拱桥对应抛物线的解析式为 　 　．17．（3分）如图，在△OAC中，∠OAC＝30°，点A的坐标为（6，0），将△AOC绕着点A逆时针旋转，使点C的对应点C1落在y轴的负半轴上，点O的对应点O1的坐标为 　 　．18．（3分）等边△ABC内接于⊙O，则弦AB所对的圆周角度数为 　 　．三.解答题（本大题共6小题，共46分）19．（7分）已知二次函数y＝（m﹣3）x2﹣4x+1（m为常数，且m≠3），其图象与x轴有且只有一个交点，求m的值．20．（7分）棱长为10cm的正方体小铁块，经过熔融重铸成一个高为20cm，长比宽多5cm的细长方体铁零件（体积质量均无损失），求铁零件的长和宽．21．（7分）如图，在⊙O中，直径AC与弦BD相交于点E．BE＝DE．连接AB，OB，BC．（1）求证：∠CBO＝∠ABD．（2）若OE＝3，BD＝8，求弦BC的长．22．（8分）某甜品店销售一款甜品，每个甜品的成本为5元，经过一段时间的销售发现，每天该款甜品的销量y（个）与每个的售价x（元）在一定范围内满足一次函数关系y＝﹣20x+340．（1）设甜品店销售该甜品每天获得的利润为W（元），试求W与x的函数关系式．（结果化为一般式）（2）当每个甜品售价为多少时，甜品店每天获得的利润最大，最大利润是多少？23．（8分）如图，E为正方形ABCD内一点，AE⊥BE，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．（1）试判断EF与E′F之间的关系，并说明理由．（2）若CF＝1，AB＝5，求线段DE的长．24．（9分）如图，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于A、B两点，且OB＝5OA．（1）求该抛物线的解析式．（2）抛物线是否与直线y＝﹣x+8相交？若相交，求交点坐标；若不相交，请说明理由．（3）抛物线与一次函数y＝（﹣4）x+6的图象相交于点M，设点M的横坐标为a，求a11﹣7a7+a3的值．2022-2023学年云南省昭通市巧家县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）1．（3分）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．（3分）下列点在抛物线y＝5x2上的是（　　）A．（﹣1，﹣5） B．（5，1） C．（1，5） D．（1，﹣5）【分析】将四个选项中的坐标代入抛物线方程中，看两边是否相等，即可判断该点是否在抛物线上．【解答】解：A．把x＝﹣1代入y＝5x2得y＝5≠﹣5，故点（﹣1，﹣5）不在抛物线上．B．把x＝5代入y＝5x2得y＝125≠1，故点（5，1）不在抛物线上，C．把x＝1代入y＝5x2得y＝5，故点（1，5）在抛物线上．D．把x＝1代入y＝5x2得y＝5≠﹣5，故点（1，﹣5）不在抛物线上．故选：C．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．3．（3分）与点A（1，﹣4）关于原点对称的点B的坐标是（　　）A．（﹣1，4） B．（1，4） C．（﹣4，1） D．（4，1）【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．【解答】解：与点A（1，﹣4）关于原点对称的点B的坐标是（﹣1，4）．故选：A．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键．4．（3分）下列说法中，正确的是（　　）A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是圆中最长的弦 C．相等长度的两条弧是等弧 D．顶点在圆上的角是圆周角【分析】根据直径，弦，等弧，圆周角的定义，逐一判断即可解答．【解答】解：A、过圆心的弦是圆的直径，故A不符合题意；B、直径是圆中最长的弦，故B符合题意；C、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，故C不符合题意；D、顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角是圆周角，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了圆的认识，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．5．（3分）若关于x的一元二次方程mx2﹣x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）A．m B．m C．m且m≠0 D．m且m≠0【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4m×（﹣1）＞0，然后解不等式组即可．【解答】解：根据题意得m≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4m×（﹣1）＞0，解得m且m≠0．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．6．（3分）如图，A、B、D为⊙O上的点，∠ADB＝57°，则∠AOB为（　　）A．100° B．124° C．104° D．114°【分析】利用圆周角定理，进行计算即可解答．【解答】解：∵∠ADB＝57°，∴∠AOB＝2∠ADB＝2×57°＝114°，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．7．（3分）如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB，垂足为D，若AB＝16，OD＝6，则⊙O的半径为（　　）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】先由垂径定理得AD＝BD＝8，再由勾股定理求出OA即可．【解答】解：连接OA，如图所示：∵半径OC⊥弦AB，AB＝16，∴AD＝BDAB＝8，在Rt△AOD中，OA10，即⊙O半径的长为10，故选：C．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．8．（3分）直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+2在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）A． B． C． D．【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【解答】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误；B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，∴a＞0，b＞0，∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确；C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C正确；D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，b＞0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D错误．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．9．（3分）用机器从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（　　）A．小球距离地面最高40m B．小球运动到6s时落回地面 C．小球的高度h与小球运动时间t之间的函数关系式为h＝（t﹣3）2+40 D．小球运动3s时到达最高点【分析】根据二次函数图象和性质求解．【解答】解：A：由图象可知，小球在空中距离地面最高是40m，故A正确；B：当t＝6时，高度为0，则运动时间是6s，或由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故B是正确的；C：设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，由题意得：a（0﹣3）2+40＝0，解得：a，∴h（t﹣3）2+40，故C错误；D：由图象可得，小球抛出3秒时达到最高点，故D正确．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的应用、二次函数图象应用，待定系数法求函数解析式和数形结合思想是解题的关键．10．（3分）将平面内一点P（﹣4，0）绕原点顺时针旋转120°，得到点P′，则P′到x轴的距离为（　　）A．2 B．2 C．4 D．4【分析】过点P′作P′A⊥x轴，垂足为A，根据题意可得：∠POP′＝120°，从而利用平角定义可得∠P′OA＝60°，再利用旋转的性质可得：OP＝OP′＝4，然后在Rt△OP′A中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：过点P′作P′A⊥x轴，垂足为A，由题意得：∠POP′＝120°，∴∠P′OA＝180°﹣∠POP′＝60°，∵P（﹣4，0），∴OP＝4，由旋转得：OP＝OP′＝4，在Rt△OP′A中，P′A＝OP′•sin60°＝42，∴P′到x轴的距离为2，故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．11．（3分）二次函数y＝x2+x的图象与直线l1：y1＝2x有一个交点A1（1，2），与直线l2：y2＝3x有一个交点A2（2，6），与直线l3：y3＝4x有一个交点A3（3，12），……则与直线ln的一个交点An的坐标是（　　）A．（n，n2+n） B．（n，n2） C．（n+1，n2+n） D．（n，2n）【分析】观察规律得：A1（1，1×2），A2（2，2×3），A3（3，3×4），……An的坐标是（n，n（n+1）），即可得出答案．【解答】解：∵二次函数y＝x2+x的图象与直线l1：y1＝2x有一个交点A1（1，2），即A1（1，1×2），二次函数y＝x2+x的图象与直线l2：y2＝3x有一个交点A2（2，6），即A2（2，2×3），二次函数y＝x2+x的图象与直线l3：y3＝4x有一个交点A3（3，12），即A3（3，3×4），……二次函数y＝x2+x的图象与直线ln：yn＝（n+1）x一个交点An的坐标是（n，n（n+1）），即（n，n2+n），故选：A．【点评】本题考查了规律型：点的坐标，学生的观察图形的能力和理解能力，解题的关键是根据点的坐标得出规律．12．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，△DFE为直角三角形，F为AB的中点，∠DFE＝∠ACB＝90°，AB＝8．当△DEF绕着点F旋转时，直角边DF，EF'分别与边AC，BC相交于点M，N．在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF；②当∠AFD＝45°时，四边形CMFN是正方形；③AM+BN＝4．其中正确结论的个数是（　　）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】连接CF，根据等腰直角三角形的性质可得∠AFC＝90°，CF＝AF，∠BCF＝∠ACF＝45°，AC＝BC＝4，再利用ASA证明△AFM≌△CFN得MF＝FN，可得①正确，再根据正方形的判定说明②成立，由△AFM≌△CFN得AM＝CN，可判断③不正确．【解答】解：连接CF，∵△ABC是等腰直角三角形，点F为AB的中点，∴∠AFC＝90°，CF＝AF，∠BCF＝∠ACF＝45°，AC＝BC＝4，∵∠MFN＝∠AFC＝90°，∴∠AFM＝∠CFN，∵∠A＝∠BCF＝45°，∴△AFM≌△CFN（ASA），∴MF＝FN，故①正确；当∠AFM＝45°时，则∠AMF＝∠CNF＝90°，∴∠ACB＝∠AMF＝∠CNF＝90°，∴四边形CMFN是矩形，∵FM＝FN，∴矩形CMFN是正方形，故②正确；∵△AFM≌△CFN，∴AM＝CN，∴AM+BN＝BC＝4，故③不正确，故选：C．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定等知识，证明△AFM≌△CFN是解题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0有一根是x＝3，则3m﹣n的值为 　9　．【分析】把x＝3代入已知方程，利用等式的性质可以求得3m﹣n的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0有一根是x＝3，∴32﹣3m+n＝0．∴3m﹣n＝9．故答案为：9．【点评】此题主要考查了方程的根的定义，根据方程的根满足方程即可得到关于所求代数式相关的形式，利用它就可以解决问题．14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝70°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′AB的度数为 　40°　．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠CAC'＝180°﹣70°﹣70°＝40°，再根据旋转的性质得出∠B′AB的度数即可．【解答】解：根据题意知，AC＝AC'，∠C＝70°，∴∠AC'C＝∠C＝70°，∴∠CAC'＝180°﹣70°﹣70°＝40°，由旋转的性质知，∠B′AB＝∠CAC'＝40°，故答案为：40°．【点评】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．15．（3分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx﹣c的两个交点坐标分别为A（﹣2，6），B（1，2），则方程ax2﹣bx+c＝0较大的根是 　1　．【分析】利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．【解答】解：由图象可知，关于x的方程ax2﹣bx+c＝0的解，就是抛物线y＝ax2（a≠0）与直线y＝bx﹣c（b≠0）的两个交点坐标A（﹣2，6），B（1，2）的横坐标，即x1＝﹣2，x2＝1．由于1＞﹣2，所以方程ax2﹣bx+c＝0较大的根是1．故答案为：1．【点评】本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题．16．（3分）如图，某拱桥桥洞的形状是抛物线，若取水平方向为x轴，拱桥的拱顶为原点建立直角坐标系，已知当拱顶离水面2m时，水面AB的宽为4m，则拱桥对应抛物线的解析式为 　yx2　．【分析】根据题意可建立直角坐标系，则A（﹣2，﹣2），B（2，﹣2），设出抛物线的解析式，将A点代入即可．【解答】解：如图，建立直角坐标系，∵当拱顶离水面2m时，水面AB的宽为4m，∴点B（2，﹣2），A（﹣2，﹣2），设抛物线的解析式为y＝ax2，将点A（﹣2，﹣2）代入y＝ax2，∴4a＝﹣2，解得a．∴抛物线的解析式为：yx2．故答案为：yx2．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．关键是得出点A，B的坐标．17．（3分）如图，在△OAC中，∠OAC＝30°，点A的坐标为（6，0），将△AOC绕着点A逆时针旋转，使点C的对应点C1落在y轴的负半轴上，点O的对应点O1的坐标为 　（3，﹣3）　．【分析】过点O1作O1B⊥OA于点D，由旋转性质得AC＝AC1，根据等腰三角形的三线合一性质得∠CAO＝∠OAC1＝30°，进而得∠OAO1＝60°，根据含30度角的直角三角形性质求得AB，由勾股定理求得O1B，进而求得点O1的坐标．【解答】解：过点O1作O1B⊥OA于点D，∵点A的坐标为（6，0），∴OA＝6，∵∠OAC＝30°，∴AC＝2OC，∵∠AOC＝90°，∴AC2﹣OC2＝OA2，即4OC2﹣OC2＝62，∴OC＝2，由旋转知，AC＝AC1，∠CAO＝∠C1AO1＝30°，AO＝AO1＝6，∵AO⊥CC1，∴∠CAO＝∠OAC1＝30°，∴∠OAO1＝60°，∴∠AO1B＝30°，∴AB3，，∴OB＝6﹣3＝3，∴．故答案为：（3，﹣3）．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，关键是求得∠CAO＝∠OAC1＝30°．18．（3分）等边△ABC内接于⊙O，则弦AB所对的圆周角度数为 　60°或120°　．【分析】弦AB所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧；因此本题要求出两个圆周角的度数．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，在劣弧上任取一点D，连接AD、BD，∴∠D＝180°﹣∠A＝120°，∴弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故答案是：60°或120°．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质．要注意的是弦AB所对的圆周角有两种情况，需分类讨论，以免漏解．三.解答题（本大题共6小题，共46分）19．（7分）已知二次函数y＝（m﹣3）x2﹣4x+1（m为常数，且m≠3），其图象与x轴有且只有一个交点，求m的值．【分析】根据抛物线与x轴的交点问题，当Δ＝（﹣4）2﹣4（m﹣3）＝0时，抛物线与x轴有且只有一个交点，然后解关于m的一元二次方程．【解答】解：令y＝0，则（m﹣3）x2﹣4x+1＝0．根据题意知，Δ＝（﹣4）2﹣4（m﹣3）＝0，解得m＝7．所以当图象与x轴有且只有一个交点时，m的值为7．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．20．（7分）棱长为10cm的正方体小铁块，经过熔融重铸成一个高为20cm，长比宽多5cm的细长方体铁零件（体积质量均无损失），求铁零件的长和宽．【分析】根据熔融前后的体积相等即可求解．【解答】解：设铁零件的宽为xcm，则长为（x+5）cm，根据题意得20x（x+5）＝103，解得x1＝5，x2＝﹣10，∴x+5＝5+5＝10cm，答：铁零件的长为10cm，宽为5cm．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意并列出方程是解决本题的关键．21．（7分）如图，在⊙O中，直径AC与弦BD相交于点E．BE＝DE．连接AB，OB，BC．（1）求证：∠CBO＝∠ABD．（2）若OE＝3，BD＝8，求弦BC的长．【分析】（1）证明△BOE≌△DOE可得∠BOE＝∠DOE，进而推出∠BOC＝∠DOC即可证明△BOC≌△DOC可得∠CBO＝∠BCO＝∠ODC＝∠ACD进而证明即可；（2）根据△BOE≌△DOE可得∠BEO＝∠OED＝∠AED＝∠AEB＝90°，结合勾股定理即可求解．【解答】解：（1）如图，连接AD、DC、OD，在△BOE和△DOE中，，∴△BOE≌△DOE（SSS），∴∠BOE＝∠DOE，∴∠BOC＝∠DOC，在△BOC和△DOC中，，∴△BOC≌△DOC（SAS），∴∠CBO＝∠BCO＝∠ODC＝∠ACD，∴∠ABD＝∠ACD，∴∠CBO＝∠ABD；（2）∵△BOE≌△DOE，∴∠BEO＝∠OED＝∠AED＝∠AEB＝90°，∴BD⊥AC，∵BD＝8，∴BE＝DE＝4，∴，∴EC＝EO+OC＝3+5＝8，∴．【点评】本题考查了圆周角定理、勾股定理和全等三角形的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．22．（8分）某甜品店销售一款甜品，每个甜品的成本为5元，经过一段时间的销售发现，每天该款甜品的销量y（个）与每个的售价x（元）在一定范围内满足一次函数关系y＝﹣20x+340．（1）设甜品店销售该甜品每天获得的利润为W（元），试求W与x的函数关系式．（结果化为一般式）（2）当每个甜品售价为多少时，甜品店每天获得的利润最大，最大利润是多少？【分析】（1）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式．（2）根据（1）中的函数关系式求得利润最大值．【解答】解：（1）根据题意可知，W＝（x﹣5）y＝（x﹣5）（﹣20x+340）＝﹣20x2+440x﹣1700；（2）由（1）知W＝﹣20（x﹣11）2+720，∵﹣20＜0，∴当售价定为11元时，获得最大利润；最大利润为720元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点，同学们应重点掌握．23．（8分）如图，E为正方形ABCD内一点，AE⊥BE，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．（1）试判断EF与E′F之间的关系，并说明理由．（2）若CF＝1，AB＝5，求线段DE的长．【分析】（1）先根据旋转的性质得到BE＝BE′，∠E′＝∠AEB＝90°，∠EBE′＝90°，然后判断四边形BEF′E′为正方形，从而得到EF′＝E′F′．（2）过E点作EH⊥AD于H点，EG⊥AB于G点，如图，则∠AHE＝∠AGE＝90°，利用四边形ABCD为正方形得到AD＝BC＝AB＝5，∠DAB＝90°，设BE′＝x，则E′F′＝x，在Rt△BCE′中利用勾股定理得到x2+（x+1）2＝52，解方程得到BE＝3，CE′＝4，则根据旋转的性质得到AE＝CE′＝4，接着利用面积法求出EG，则根据勾股定理可计算出AG，由四边形AHEG为矩形得到AH，EH，然后利用勾股定理可计算出DE的长．【解答】解：（1）EF′＝E′F′．理由如下：∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠BEF′＝90°，∵Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′，∴BE＝BE′，∠E′＝∠AEB＝90°，∠EBE′＝90°，∵∠BEE′＝∠EBE′＝∠E′＝90°，∴四边形BEF′E′为矩形，而BE＝BE′，∴四边形BEF′E′为正方形，∴EF′＝E′F′．（2）过E点作EH⊥AD于H点，EG⊥AB于G点，如图，则∠AHE＝∠AGE＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝BC＝AB＝5，∠DAB＝90°，设BE′＝x，则E′F′＝x，在Rt△BCE′中，∵BE′2+E′C2＝BC2，∴x2+（x+1）2＝52，解得x1＝3，x2＝﹣4（舍去），∴BE＝3，CE′＝1+x＝4，∵Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′，∴AE＝CE′＝4，∵EG•ABAE•BE，∴EG，在△AEG中，AG，∵∠HAG＝∠AHE＝∠AGE＝90°，∴四边形AHEG为矩形，∴AH＝EG，EH＝AG，∵DH＝AD﹣AH＝5，∴DE．即DE的长为．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理和正方形的性质．24．（9分）如图，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于A、B两点，且OB＝5OA．（1）求该抛物线的解析式．（2）抛物线是否与直线y＝﹣x+8相交？若相交，求交点坐标；若不相交，请说明理由．（3）抛物线与一次函数y＝（﹣4）x+6的图象相交于点M，设点M的横坐标为a，求a11﹣7a7+a3的值．【分析】（1）先求出抛物线对称轴为x＝﹣2，进而求得A（1，0），B（﹣5，0），再运用待定系数法即可求得答案；（2）联立直线和抛物线解析式并整理得：x2+3x+3＝0，利用根的判别式可得Δ＝32﹣4×1×3＝9﹣12＝﹣3＜0，故直线与抛物线不相交；（3）联立直线和抛物线解析式可求得a或，分别代入进行计算即可．【解答】解：（1）∵抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x+c，∴对称轴为直线x＝﹣2，设A（d，0），则OA＝d，∵OB＝5OA，∴OB＝5d，∴B（﹣5d，0），∴2，∴d＝1，∴A（1，0），B（﹣5，0），把A（1，0）代入y＝﹣x2﹣4x+c，得﹣1﹣4+c＝0，解得：c＝5，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+5．（2）不相交．理由如下：联立直线和抛物线解析式得：﹣x+8＝﹣x2﹣4x+5，整理得：x2+3x+3＝0，∵Δ＝32﹣4×1×3＝9﹣12＝﹣3＜0，∴抛物线与直线y＝﹣x+8不相交．（3）联立抛物线与一次函数y＝（﹣4）x+6，得（﹣4）x+6＝﹣x2﹣4x+5，解得：x1，x2，当a时，a2＝（）2，a4＝（a2）2＝（）2，a8＝（a4）2＝（）2，∴a11﹣7a7+a3＝a3（a8﹣7a4+1）＝a3（71）＝0；当a时，a2＝（）2，a4＝（a2）2＝（）2，a8＝（a4）2＝（）2，∴a11﹣7a7+a3＝a3（a8﹣7a4+1）＝a3（71）＝0；综上所述，a11﹣7a7+a3的值为0．【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，求直线与抛物线的交点，解一元二次方程及根的判别式，因式分解的应用等，难度一般．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/30 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