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2022-2023学年云南省昭通市永善县九年级（上）期中数学试卷
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2022-2023学年云南省昭通市永善县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）1．（3分）将方程2x2﹣3x＝1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数，一次项系数、常数项分别是（ ）A．2、﹣3、﹣1 B．2、3、1 C．﹣2、﹣3、1 D．﹣2、3、﹣12．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣3x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）A．k B．k C．k且k≠0 D．k且k≠03．（3分）x1，x2是方程x2﹣5x+6＝0的两实数根，则代数式（x1﹣3）（x2﹣3）的值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．04．（3分）某超市今年一月份总收入为50万元，第一季度总收入为175万元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（ ）A．50（1+x）2＝175 B．50+50（1+x）2＝175 C．50（1+x）+50（1+x）2＝175 D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝1755．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．6．（3分）如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为（ ）A．30° B．45° C．90° D．135°7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠ACB′的度数是（ ）A．20° B．10° C．30° D．40°8．（3分）在平面直角坐标系中，把点P（﹣2，3）向右平移5个单位得到点P1，再将点P1绕原点旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是（ ）A．（3，﹣3） B．（﹣3，3） C．（3，3）或（﹣3，﹣3） D．（3，﹣3）或（﹣3，3）9．（3分）抛物线y＝2（x﹣5）2+3的顶点坐标是（ ）A．（5，3） B．（﹣5，3） C．（5，﹣3） D．（﹣5，﹣3）10．（3分）如图，函数的解析式为（ ）A．y＝x2 B．y＝4﹣x2 C．yx2+3 D．y（3﹣x2）11．（3分）对于抛物线y（x+1）2+2，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为（﹣1，2）；④x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中错误的结论为（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个12．（3分）已知二次函数y＝ax2+5，当x＝x1时，函数值为y1；当x＝x2时，函数值为y2，且y1＝y2，则x＝x1+x2时的函数值是（ ）A．5 B．0 C．﹣5 D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）已知（x2+y2）（x2+y2﹣5）＝6，则x2+y2＝ ．14．（3分）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是 ．15．（3分）已知A（m﹣1，﹣2）、B（﹣3，﹣2﹣n）两点，若A、B两点关于原点对称，则（m+n）2022＝ ．16．（3分）一条线段 （填“是”或“不是”）中心对称图形，因为它绕 旋转 度后能与原线段重合．17．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是 ．18．（3分）如图，P是抛物线y＝﹣x2+2x+4在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．三、解答题（本大题共6小题，满分46分）19．（12分）解方程：（1）（x﹣5）2﹣25＝0（直接开平方法）；（2）x2﹣2x﹣3＝0；（3）x2﹣4x﹣5＝0（配方法）；（4）x2+3x﹣4＝0（公式法）．20．（7分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是直线x＝﹣1．（1）求函数的解析式；（2）当x取何值时，y随x的增大而减小？（3）当x取何值时，函数值y大于0．21．（7分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为ts．（1）BQ＝ cm，PB＝ cm；（用含t的代数式表示）（2）当t＝ 时，PQ的长度等于8cm；（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于60cm2？若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由．22．（5分）如图，在方格网中已知格点△ABC和点O．画△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称．23．（7分）已知二次函数y＝﹣3x2+6x+3k．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个公共点，求k的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求△AOP的面积；（3）根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的x的取值范围．24．（8分）珊珊度假村共有客房50间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，所有房间刚好可以住满，根据经验发现，每个房间的定价每增加10元，就会有1个房间空闲，对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间支出每天20元的各种费用．设每个房间的定价增加x元，每天的入住量为y个，度假村住宿每天的利润为w元．（1）求y与x的函数关系式；（2）求w与x的函数关系式，并求客房收入每天的最大利润是多少？（3）当x为何值时，客房收入每天的利润不低于10350元？ 2022-2023学年云南省昭通市永善县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）1．（3分）将方程2x2﹣3x＝1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数，一次项系数、常数项分别是（ ）A．2、﹣3、﹣1 B．2、3、1 C．﹣2、﹣3、1 D．﹣2、3、﹣1【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可．【解答】解：∵2x2﹣3x＝1，∴2x2﹣3x﹣1＝0，∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是2、﹣3和﹣1，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：找各项系数时，要带着前面的符号．2．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣3x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）A．k B．k C．k且k≠0 D．k且k≠0【分析】由关于x的一元二次方程kx2﹣3x﹣1＝0有实数根，知Δ＝（﹣3）2﹣4×k×（﹣1）≥0且k≠0，解之即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x﹣1＝0有实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×k×（﹣1）≥0且k≠0，解得k且k≠0，故选：C．【点评】本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．3．（3分）x1，x2是方程x2﹣5x+6＝0的两实数根，则代数式（x1﹣3）（x2﹣3）的值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．0【分析】由x1，x2是方程x2﹣5x+6＝0的两实数根，得x1+x2＝5，x1•x2＝6，整体代入变形后的代数式即可求解．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣5x+6＝0的两实数根，∴x1+x2＝5，x1•x2＝6，∴代数式（x1﹣3）（x2﹣3）＝x1x2﹣3（x1+x2）+9＝6﹣5×3+9＝0，故选：D．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系式．4．（3分）某超市今年一月份总收入为50万元，第一季度总收入为175万元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（ ）A．50（1+x）2＝175 B．50+50（1+x）2＝175 C．50（1+x）+50（1+x）2＝175 D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝175【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．【解答】解：二月份的产值为：50（1+x），三月份的产值为：50（1+x）（1+x）＝50（1+x）2，故第一季度总产值为：50+50（1+x）+50（1+x）2＝175．故选：D．【点评】本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几年的产值，再根据题意列出方程即可．5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．6．（3分）如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为（ ）A．30° B．45° C．90° D．135°【分析】根据旋转的性质，对应边的夹角∠BOD即为旋转角．【解答】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角，∴旋转的角度为90°．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，熟记性质以及旋转角的确定是解题的关键．7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠ACB′的度数是（ ）A．20° B．10° C．30° D．40°【分析】由三角形的内角和为180°可得出∠A＝40°，由旋转的性质可得出BC＝B′C，从而得出∠B＝∠BB′C＝50°，则可求出答案．【解答】解：在三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝40°．由旋转的性质可知：BC＝B′C，∴∠B＝∠BB′C＝50°．又∵∠BB′C＝∠A+∠ACB′＝40°+∠ACB′，∴∠ACB′＝10°．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，解题的关键是依据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数是关键．8．（3分）在平面直角坐标系中，把点P（﹣2，3）向右平移5个单位得到点P1，再将点P1绕原点旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是（ ）A．（3，﹣3） B．（﹣3，3） C．（3，3）或（﹣3，﹣3） D．（3，﹣3）或（﹣3，3）【分析】直接利用平移的性质结合旋转的性质分别得出符合题意的答案．【解答】解：如图所示：将点P1绕原点旋转90°得到点P2（3，﹣3）和P3（﹣3，3），都符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确利用平面直角坐标系分析是解题关键．9．（3分）抛物线y＝2（x﹣5）2+3的顶点坐标是（ ）A．（5，3） B．（﹣5，3） C．（5，﹣3） D．（﹣5，﹣3）【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接求顶点坐标．【解答】解：由抛物线y＝2（x﹣5）2+3可知，抛物线顶点坐标为（5，3）．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标为（h，k）．10．（3分）如图，函数的解析式为（ ）A．y＝x2 B．y＝4﹣x2 C．yx2+3 D．y（3﹣x2）【分析】把（﹣2，0），（2，0）和（0，3）代入y＝ax2+bx+c，解方程组即可．【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∵图象过点（﹣2，0），（2，0）和（0，3），∴，解得，∴抛物线解析式为yx2+3．故选：C．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，关键是对待定系数法求解析式的方法的掌握和运用．11．（3分）对于抛物线y（x+1）2+2，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为（﹣1，2）；④x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中错误的结论为（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．【解答】解：∵y（x+1）2+2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，2），∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∴①②④错误，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．12．（3分）已知二次函数y＝ax2+5，当x＝x1时，函数值为y1；当x＝x2时，函数值为y2，且y1＝y2，则x＝x1+x2时的函数值是（ ）A．5 B．0 C．﹣5 D．3【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为y轴，由y1＝y2可得x1+x2＝0，进而求解．【解答】解：由题意可得（x1，y1），（x2，y2）关于抛物线对称轴对称，∵y＝ax2+5，∴抛物线对称轴为y轴，∴x1，x2互为相反数，∴x1+x2＝0，将x＝0代入y＝ax2+5得y＝5，故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）已知（x2+y2）（x2+y2﹣5）＝6，则x2+y2＝ 6 ．【分析】设x2+y2＝m，把原方程转化为含m的一元二次方程，先用因式分解法求解，再确定x2+y2的值．【解答】解：设x2+y2＝m，原方程可变形为：m（m﹣5）＝6，即m2﹣5m﹣6＝0．∴（m﹣6）（m+1）＝0，解得m1＝6，m2＝﹣1．∵m＝x2+y2≥0，∴x2+y2＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了一元二次方程的解法，掌握换元法和解一元二次方程的因式分解法是解决本题的关键．14．（3分）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是 方程没有实数根 ．【分析】先求得根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，∴方程没有实数根．故答案为：方程没有实数根．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．15．（3分）已知A（m﹣1，﹣2）、B（﹣3，﹣2﹣n）两点，若A、B两点关于原点对称，则（m+n）2022＝ 0 ．【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数列方程求出m、n的值，再代入计算即可．【解答】解：∵A（m﹣1，﹣2）、B（﹣3，﹣2﹣n）两点，若A、B两点关于原点对称，∴m﹣1＝3，﹣2﹣n＝2，解得m＝4，n＝﹣4，所以（m+n）2022＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．16．（3分）一条线段 是 （填“是”或“不是”）中心对称图形，因为它绕 中点 旋转 180 度后能与原线段重合．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：一条线段是中心对称图形，因为它绕中点旋转180度后能与原线段重合．故答案为：是；中点；180．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．17．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是 x1＝﹣3，x2＝1 ．【分析】抛物线的对称轴为x＝﹣1，抛物线和x轴的一个交点为（1，0），则根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（﹣3，0），即可求解．【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，抛物线和x轴的一个交点坐标为（1，0），则根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（﹣3，0），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x＝﹣3或1，故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．18．（3分）如图，P是抛物线y＝﹣x2+2x+4在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．【分析】设P（x，﹣x2+2x+4），利用矩形的性质得到四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2x2+4x+8+2x，然后根据二次函数的性质解决问题．【解答】解：设P（x，﹣x2+2x+4），四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2x2+4x+8+2x＝﹣2x2+6x+8＝﹣2（x）2，当x时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．三、解答题（本大题共6小题，满分46分）19．（12分）解方程：（1）（x﹣5）2﹣25＝0（直接开平方法）；（2）x2﹣2x﹣3＝0；（3）x2﹣4x﹣5＝0（配方法）；（4）x2+3x﹣4＝0（公式法）．【分析】（1）先把方程变形为（x﹣5）2＝25，再把方程两边开方得到x﹣5＝±5，然后解两个一次方程即可；（2）先利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可；（3）利用配方法得到（x﹣2）2＝9，然后利用直接开平方法解方程；（4）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．【解答】解：（1）（x﹣5）2﹣25＝0，（x﹣5）2＝25，x﹣5＝±5，所以x1＝0，x2＝10；（2）x2﹣2x﹣3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0，x﹣3＝0或x+1＝0，所以x1＝3，x2＝﹣1；（3）x2﹣4x﹣5＝0，x2﹣4x＝5，x2﹣4x+4＝9，（x﹣2）2＝9，x﹣2＝±3，所以x1＝5，x2＝﹣1；（4）x2+3x﹣4＝0，a＝1，b＝3，c＝﹣4，Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×（﹣4）＝25＞0，x，所以x1＝1，x2＝﹣4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．20．（7分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是直线x＝﹣1．（1）求函数的解析式；（2）当x取何值时，y随x的增大而减小？（3）当x取何值时，函数值y大于0．【分析】（1）把P点坐标代入解析式得到b、c的方程，再利用抛物的对称轴方程得到b的值，然后求出c的值得到抛物线解析式；（2）根据二次函数的性质求解；（3）先解方程x2+2x﹣2＝0得到抛物线与x轴的交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）根据题意得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣2；（2）∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上，∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；（3）当y＝0时，x2+2x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣1，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（﹣1，0），当x＜﹣1或x＞﹣1时，y＞0．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和待定系数法求二次函数解析式．21．（7分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为ts．（1）BQ＝ 2t cm，PB＝ （8﹣t） cm；（用含t的代数式表示）（2）当t＝ 0或 时，PQ的长度等于8cm；（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于60cm2？若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得BQ、PB的长度；（2）根据勾股定理可得PB2+BQ2＝QP2，代入相应数据解方程即可；（3）根据题意可得△PBQ的面积为长方形ABCD的面积减去五边形APQCD的面积，再根据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到方程，再解方程即可．【解答】解：（1）∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，∴AP＝tcm，∵AB＝8cm，∴PB＝（8﹣t）cm，∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，∴BQ＝2tcm；故答案为：2t，（8﹣t）；（2）由题意得：（8﹣t）2+（2t）2＝82，解得：t1＝0，t2；当t＝0秒或秒时，PQ的长度等于5cm；故答案为：0或；（3）存在t＝1秒，能够使得五边形APQCD的面积等于60cm2．理由如下：长方形ABCD的面积是：8×10＝80（cm2），使得五边形APQCD的面积等于60cm2，则△PBQ的面积为80﹣60＝20（cm2），（8﹣t）×2t20，解得：t1＝﹣2（不合题意舍去），t2＝8．即当t＝8秒时，使得五边形APQCD的面积等于60cm2．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，关键是表示出BQ、PB的长度．22．（5分）如图，在方格网中已知格点△ABC和点O．画△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称．【分析】根据中心对称的作法，找出对称点，即可画出图形．【解答】解：画△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称的图形如下：【点评】此题考查了作图﹣旋转变换，关键是掌握中心对称的作法．23．（7分）已知二次函数y＝﹣3x2+6x+3k．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个公共点，求k的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求△AOP的面积；（3）根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的x的取值范围．【分析】（1）二次函数的图象与x轴有两个交点，则Δ＞0，从而可求得k的取值范围；（2）由点B、点A的坐标求得直线AB的解析式，然后求得抛物线的对称轴方程为x＝1，然后将x＝1代入直线的解析式，从而可求得点P的坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）一次函数值小于二次函数值即直线位于抛物线的方下部分x的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴Δ＝62+4×3×3k＞0∴k＞﹣1；（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0＝﹣27+18+3k∴k＝3，∴二次函数的解析式为：y＝﹣3x2+6x+9，令x＝0，则y＝9，∴B（0，9），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝﹣3x+9，∵抛物线y＝﹣3x2+6x+9，的对称轴为：x＝1，∴把x＝1代入y＝﹣3x+9得y＝6，∴P（1，6），∴△AOP的面积3×6＝9．（3）根据函数图象可知：一次函数值小于二次函数值的x的取值范围为0＜x＜3．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题应用了一元二次方程根的判别式、待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积公式、求得点P的坐标是解题的关键．24．（8分）珊珊度假村共有客房50间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，所有房间刚好可以住满，根据经验发现，每个房间的定价每增加10元，就会有1个房间空闲，对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间支出每天20元的各种费用．设每个房间的定价增加x元，每天的入住量为y个，度假村住宿每天的利润为w元．（1）求y与x的函数关系式；（2）求w与x的函数关系式，并求客房收入每天的最大利润是多少？（3）当x为何值时，客房收入每天的利润不低于10350元？【分析】（1）根据题意可得房间每天的入住量＝50个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10；（2）支出费用为20×（50），则利润w＝（200+x）（50）﹣20×（50），利用配方法化简可求最大值；（3）根据题意列方程即可得到结论．【解答】解：（1）由题意得：y＝50；（2）w＝（200+x）（50）﹣20×（50）x2+50x+9000∵wx2+50x+9000（x﹣250）2+15250，∴当x＝250时，w有最大值，且最大值是15250元；（3）当w＝10350时，即（x﹣250）2+15250＝10350，解得：x1＝180，x2＝320，故当180≤x≤320时，每天的利润不低于10350元．【点评】此题考查二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/30 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2022-2023学年云南省昭通市永善县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）1．（3分）将方程2x2﹣3x＝1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数，一次项系数、常数项分别是（ ）A．2、﹣3、﹣1 B．2、3、1 C．﹣2、﹣3、1 D．﹣2、3、﹣12．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣3x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）A．k B．k C．k且k≠0 D．k且k≠03．（3分）x1，x2是方程x2﹣5x+6＝0的两实数根，则代数式（x1﹣3）（x2﹣3）的值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．04．（3分）某超市今年一月份总收入为50万元，第一季度总收入为175万元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（ ）A．50（1+x）2＝175 B．50+50（1+x）2＝175 C．50（1+x）+50（1+x）2＝175 D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝1755．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．6．（3分）如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为（ ）A．30° B．45° C．90° D．135°7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠ACB′的度数是（ ）A．20° B．10° C．30° D．40°8．（3分）在平面直角坐标系中，把点P（﹣2，3）向右平移5个单位得到点P1，再将点P1绕原点旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是（ ）A．（3，﹣3） B．（﹣3，3） C．（3，3）或（﹣3，﹣3） D．（3，﹣3）或（﹣3，3）9．（3分）抛物线y＝2（x﹣5）2+3的顶点坐标是（ ）A．（5，3） B．（﹣5，3） C．（5，﹣3） D．（﹣5，﹣3）10．（3分）如图，函数的解析式为（ ）A．y＝x2 B．y＝4﹣x2 C．yx2+3 D．y（3﹣x2）11．（3分）对于抛物线y（x+1）2+2，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为（﹣1，2）；④x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中错误的结论为（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个12．（3分）已知二次函数y＝ax2+5，当x＝x1时，函数值为y1；当x＝x2时，函数值为y2，且y1＝y2，则x＝x1+x2时的函数值是（ ）A．5 B．0 C．﹣5 D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）已知（x2+y2）（x2+y2﹣5）＝6，则x2+y2＝ ．14．（3分）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是 ．15．（3分）已知A（m﹣1，﹣2）、B（﹣3，﹣2﹣n）两点，若A、B两点关于原点对称，则（m+n）2022＝ ．16．（3分）一条线段 （填“是”或“不是”）中心对称图形，因为它绕 旋转 度后能与原线段重合．17．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是 ．18．（3分）如图，P是抛物线y＝﹣x2+2x+4在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．三、解答题（本大题共6小题，满分46分）19．（12分）解方程：（1）（x﹣5）2﹣25＝0（直接开平方法）；（2）x2﹣2x﹣3＝0；（3）x2﹣4x﹣5＝0（配方法）；（4）x2+3x﹣4＝0（公式法）．20．（7分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是直线x＝﹣1．（1）求函数的解析式；（2）当x取何值时，y随x的增大而减小？（3）当x取何值时，函数值y大于0．21．（7分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为ts．（1）BQ＝ cm，PB＝ cm；（用含t的代数式表示）（2）当t＝ 时，PQ的长度等于8cm；（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于60cm2？若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由．22．（5分）如图，在方格网中已知格点△ABC和点O．画△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称．23．（7分）已知二次函数y＝﹣3x2+6x+3k．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个公共点，求k的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求△AOP的面积；（3）根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的x的取值范围．24．（8分）珊珊度假村共有客房50间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，所有房间刚好可以住满，根据经验发现，每个房间的定价每增加10元，就会有1个房间空闲，对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间支出每天20元的各种费用．设每个房间的定价增加x元，每天的入住量为y个，度假村住宿每天的利润为w元．（1）求y与x的函数关系式；（2）求w与x的函数关系式，并求客房收入每天的最大利润是多少？（3）当x为何值时，客房收入每天的利润不低于10350元？ 2022-2023学年云南省昭通市永善县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）1．（3分）将方程2x2﹣3x＝1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数，一次项系数、常数项分别是（ ）A．2、﹣3、﹣1 B．2、3、1 C．﹣2、﹣3、1 D．﹣2、3、﹣1【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可．【解答】解：∵2x2﹣3x＝1，∴2x2﹣3x﹣1＝0，∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是2、﹣3和﹣1，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：找各项系数时，要带着前面的符号．2．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣3x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）A．k B．k C．k且k≠0 D．k且k≠0【分析】由关于x的一元二次方程kx2﹣3x﹣1＝0有实数根，知Δ＝（﹣3）2﹣4×k×（﹣1）≥0且k≠0，解之即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x﹣1＝0有实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×k×（﹣1）≥0且k≠0，解得k且k≠0，故选：C．【点评】本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．3．（3分）x1，x2是方程x2﹣5x+6＝0的两实数根，则代数式（x1﹣3）（x2﹣3）的值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．0【分析】由x1，x2是方程x2﹣5x+6＝0的两实数根，得x1+x2＝5，x1•x2＝6，整体代入变形后的代数式即可求解．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣5x+6＝0的两实数根，∴x1+x2＝5，x1•x2＝6，∴代数式（x1﹣3）（x2﹣3）＝x1x2﹣3（x1+x2）+9＝6﹣5×3+9＝0，故选：D．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系式．4．（3分）某超市今年一月份总收入为50万元，第一季度总收入为175万元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（ ）A．50（1+x）2＝175 B．50+50（1+x）2＝175 C．50（1+x）+50（1+x）2＝175 D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝175【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．【解答】解：二月份的产值为：50（1+x），三月份的产值为：50（1+x）（1+x）＝50（1+x）2，故第一季度总产值为：50+50（1+x）+50（1+x）2＝175．故选：D．【点评】本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几年的产值，再根据题意列出方程即可．5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．6．（3分）如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为（ ）A．30° B．45° C．90° D．135°【分析】根据旋转的性质，对应边的夹角∠BOD即为旋转角．【解答】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角，∴旋转的角度为90°．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，熟记性质以及旋转角的确定是解题的关键．7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠ACB′的度数是（ ）A．20° B．10° C．30° D．40°【分析】由三角形的内角和为180°可得出∠A＝40°，由旋转的性质可得出BC＝B′C，从而得出∠B＝∠BB′C＝50°，则可求出答案．【解答】解：在三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝40°．由旋转的性质可知：BC＝B′C，∴∠B＝∠BB′C＝50°．又∵∠BB′C＝∠A+∠ACB′＝40°+∠ACB′，∴∠ACB′＝10°．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，解题的关键是依据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数是关键．8．（3分）在平面直角坐标系中，把点P（﹣2，3）向右平移5个单位得到点P1，再将点P1绕原点旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是（ ）A．（3，﹣3） B．（﹣3，3） C．（3，3）或（﹣3，﹣3） D．（3，﹣3）或（﹣3，3）【分析】直接利用平移的性质结合旋转的性质分别得出符合题意的答案．【解答】解：如图所示：将点P1绕原点旋转90°得到点P2（3，﹣3）和P3（﹣3，3），都符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确利用平面直角坐标系分析是解题关键．9．（3分）抛物线y＝2（x﹣5）2+3的顶点坐标是（ ）A．（5，3） B．（﹣5，3） C．（5，﹣3） D．（﹣5，﹣3）【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接求顶点坐标．【解答】解：由抛物线y＝2（x﹣5）2+3可知，抛物线顶点坐标为（5，3）．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标为（h，k）．10．（3分）如图，函数的解析式为（ ）A．y＝x2 B．y＝4﹣x2 C．yx2+3 D．y（3﹣x2）【分析】把（﹣2，0），（2，0）和（0，3）代入y＝ax2+bx+c，解方程组即可．【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∵图象过点（﹣2，0），（2，0）和（0，3），∴，解得，∴抛物线解析式为yx2+3．故选：C．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，关键是对待定系数法求解析式的方法的掌握和运用．11．（3分）对于抛物线y（x+1）2+2，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为（﹣1，2）；④x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中错误的结论为（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．【解答】解：∵y（x+1）2+2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，2），∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∴①②④错误，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．12．（3分）已知二次函数y＝ax2+5，当x＝x1时，函数值为y1；当x＝x2时，函数值为y2，且y1＝y2，则x＝x1+x2时的函数值是（ ）A．5 B．0 C．﹣5 D．3【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为y轴，由y1＝y2可得x1+x2＝0，进而求解．【解答】解：由题意可得（x1，y1），（x2，y2）关于抛物线对称轴对称，∵y＝ax2+5，∴抛物线对称轴为y轴，∴x1，x2互为相反数，∴x1+x2＝0，将x＝0代入y＝ax2+5得y＝5，故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）已知（x2+y2）（x2+y2﹣5）＝6，则x2+y2＝ 6 ．【分析】设x2+y2＝m，把原方程转化为含m的一元二次方程，先用因式分解法求解，再确定x2+y2的值．【解答】解：设x2+y2＝m，原方程可变形为：m（m﹣5）＝6，即m2﹣5m﹣6＝0．∴（m﹣6）（m+1）＝0，解得m1＝6，m2＝﹣1．∵m＝x2+y2≥0，∴x2+y2＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了一元二次方程的解法，掌握换元法和解一元二次方程的因式分解法是解决本题的关键．14．（3分）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是 方程没有实数根 ．【分析】先求得根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，∴方程没有实数根．故答案为：方程没有实数根．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．15．（3分）已知A（m﹣1，﹣2）、B（﹣3，﹣2﹣n）两点，若A、B两点关于原点对称，则（m+n）2022＝ 0 ．【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数列方程求出m、n的值，再代入计算即可．【解答】解：∵A（m﹣1，﹣2）、B（﹣3，﹣2﹣n）两点，若A、B两点关于原点对称，∴m﹣1＝3，﹣2﹣n＝2，解得m＝4，n＝﹣4，所以（m+n）2022＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．16．（3分）一条线段 是 （填“是”或“不是”）中心对称图形，因为它绕 中点 旋转 180 度后能与原线段重合．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：一条线段是中心对称图形，因为它绕中点旋转180度后能与原线段重合．故答案为：是；中点；180．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．17．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是 x1＝﹣3，x2＝1 ．【分析】抛物线的对称轴为x＝﹣1，抛物线和x轴的一个交点为（1，0），则根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（﹣3，0），即可求解．【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，抛物线和x轴的一个交点坐标为（1，0），则根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（﹣3，0），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x＝﹣3或1，故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．18．（3分）如图，P是抛物线y＝﹣x2+2x+4在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．【分析】设P（x，﹣x2+2x+4），利用矩形的性质得到四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2x2+4x+8+2x，然后根据二次函数的性质解决问题．【解答】解：设P（x，﹣x2+2x+4），四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2x2+4x+8+2x＝﹣2x2+6x+8＝﹣2（x）2，当x时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．三、解答题（本大题共6小题，满分46分）19．（12分）解方程：（1）（x﹣5）2﹣25＝0（直接开平方法）；（2）x2﹣2x﹣3＝0；（3）x2﹣4x﹣5＝0（配方法）；（4）x2+3x﹣4＝0（公式法）．【分析】（1）先把方程变形为（x﹣5）2＝25，再把方程两边开方得到x﹣5＝±5，然后解两个一次方程即可；（2）先利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可；（3）利用配方法得到（x﹣2）2＝9，然后利用直接开平方法解方程；（4）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．【解答】解：（1）（x﹣5）2﹣25＝0，（x﹣5）2＝25，x﹣5＝±5，所以x1＝0，x2＝10；（2）x2﹣2x﹣3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0，x﹣3＝0或x+1＝0，所以x1＝3，x2＝﹣1；（3）x2﹣4x﹣5＝0，x2﹣4x＝5，x2﹣4x+4＝9，（x﹣2）2＝9，x﹣2＝±3，所以x1＝5，x2＝﹣1；（4）x2+3x﹣4＝0，a＝1，b＝3，c＝﹣4，Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×（﹣4）＝25＞0，x，所以x1＝1，x2＝﹣4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．20．（7分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是直线x＝﹣1．（1）求函数的解析式；（2）当x取何值时，y随x的增大而减小？（3）当x取何值时，函数值y大于0．【分析】（1）把P点坐标代入解析式得到b、c的方程，再利用抛物的对称轴方程得到b的值，然后求出c的值得到抛物线解析式；（2）根据二次函数的性质求解；（3）先解方程x2+2x﹣2＝0得到抛物线与x轴的交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）根据题意得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣2；（2）∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上，∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；（3）当y＝0时，x2+2x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣1，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（﹣1，0），当x＜﹣1或x＞﹣1时，y＞0．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和待定系数法求二次函数解析式．21．（7分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为ts．（1）BQ＝ 2t cm，PB＝ （8﹣t） cm；（用含t的代数式表示）（2）当t＝ 0或 时，PQ的长度等于8cm；（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于60cm2？若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得BQ、PB的长度；（2）根据勾股定理可得PB2+BQ2＝QP2，代入相应数据解方程即可；（3）根据题意可得△PBQ的面积为长方形ABCD的面积减去五边形APQCD的面积，再根据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到方程，再解方程即可．【解答】解：（1）∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，∴AP＝tcm，∵AB＝8cm，∴PB＝（8﹣t）cm，∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，∴BQ＝2tcm；故答案为：2t，（8﹣t）；（2）由题意得：（8﹣t）2+（2t）2＝82，解得：t1＝0，t2；当t＝0秒或秒时，PQ的长度等于5cm；故答案为：0或；（3）存在t＝1秒，能够使得五边形APQCD的面积等于60cm2．理由如下：长方形ABCD的面积是：8×10＝80（cm2），使得五边形APQCD的面积等于60cm2，则△PBQ的面积为80﹣60＝20（cm2），（8﹣t）×2t20，解得：t1＝﹣2（不合题意舍去），t2＝8．即当t＝8秒时，使得五边形APQCD的面积等于60cm2．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，关键是表示出BQ、PB的长度．22．（5分）如图，在方格网中已知格点△ABC和点O．画△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称．【分析】根据中心对称的作法，找出对称点，即可画出图形．【解答】解：画△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称的图形如下：【点评】此题考查了作图﹣旋转变换，关键是掌握中心对称的作法．23．（7分）已知二次函数y＝﹣3x2+6x+3k．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个公共点，求k的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求△AOP的面积；（3）根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的x的取值范围．【分析】（1）二次函数的图象与x轴有两个交点，则Δ＞0，从而可求得k的取值范围；（2）由点B、点A的坐标求得直线AB的解析式，然后求得抛物线的对称轴方程为x＝1，然后将x＝1代入直线的解析式，从而可求得点P的坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）一次函数值小于二次函数值即直线位于抛物线的方下部分x的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴Δ＝62+4×3×3k＞0∴k＞﹣1；（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0＝﹣27+18+3k∴k＝3，∴二次函数的解析式为：y＝﹣3x2+6x+9，令x＝0，则y＝9，∴B（0，9），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝﹣3x+9，∵抛物线y＝﹣3x2+6x+9，的对称轴为：x＝1，∴把x＝1代入y＝﹣3x+9得y＝6，∴P（1，6），∴△AOP的面积3×6＝9．（3）根据函数图象可知：一次函数值小于二次函数值的x的取值范围为0＜x＜3．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题应用了一元二次方程根的判别式、待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积公式、求得点P的坐标是解题的关键．24．（8分）珊珊度假村共有客房50间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，所有房间刚好可以住满，根据经验发现，每个房间的定价每增加10元，就会有1个房间空闲，对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间支出每天20元的各种费用．设每个房间的定价增加x元，每天的入住量为y个，度假村住宿每天的利润为w元．（1）求y与x的函数关系式；（2）求w与x的函数关系式，并求客房收入每天的最大利润是多少？（3）当x为何值时，客房收入每天的利润不低于10350元？【分析】（1）根据题意可得房间每天的入住量＝50个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10；（2）支出费用为20×（50），则利润w＝（200+x）（50）﹣20×（50），利用配方法化简可求最大值；（3）根据题意列方程即可得到结论．【解答】解：（1）由题意得：y＝50；（2）w＝（200+x）（50）﹣20×（50）x2+50x+9000∵wx2+50x+9000（x﹣250）2+15250，∴当x＝250时，w有最大值，且最大值是15250元；（3）当w＝10350时，即（x﹣250）2+15250＝10350，解得：x1＝180，x2＝320，故当180≤x≤320时，每天的利润不低于10350元．【点评】此题考查二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/30 22:15:36；用户：刘世阳；邮箱：zhaoxia41@xyh.com；学号：39428214
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