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2023年福建省福州一中中考数学一模试卷
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2023年福建省福州一中中考数学一模试卷一、选择题；本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在下列简笔画图案中，是轴对称图形的为（ ）A． B． C． D．2．（5分）关于x的一元二次方程kx2﹣2kx+2＝0有两个相等的实数根，则k的值是（ ）A．0或2 B．2 C．0或﹣2 D．﹣23．（5分）下列说法中，正确的是（ ）A．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查 B．某种彩票中奖的概率是110，则购买10张这种彩票一定会中奖 C．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取100袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是100 D．甲．乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是s甲2＝3.2，s乙2＝1，则乙的射击成绩较稳定4．（5分）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（ ）A．（2，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（2，3）5．（5分）如图，点A，B，C均在⊙O上，且∠BOC＝90°，若∠ACO的度数为m°，∠ABO的度数为n°，则m﹣n的值是（ ）A．30 B．45 C．50 D．606．（5分）已知二次函数y＝2（x﹣3）2﹣2，下列说法：①其图象开口向上；②顶点坐标为（3，﹣2）；③其图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）；④当x≤3时，y随x的增大而减小，其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（5分）规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3．那么函数y＝[x]的图象为（ ）A． B． C． D．8．（5分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，若BE：EC＝1：3，则△DOE与△COA的周长之比为（ ）A．13 B．14 C．19 D．1169．（5分）某校园有一块正方形的空地，按如图所示划分区域种花，已知中间互相垂直的两条小路的宽分别为1m，2m，且四个种花区域的面积相同，均为10m2．设原正方形空地的边长为xm，则下列方程正确的是（ ）A．x2﹣3x﹣40＝0 B．x2﹣3x﹣38＝0 C．x2+3x﹣38＝0 D．x2+3x﹣40＝010．（5分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，那么a、b、c的取值范围是（ ）A．a＜0、b＞0、c＞0 B．a＜0、b＜0、c＞0 C．a＜0、b＞0、c＜0 D．a＜0、b＜0、c＜0二、填空题；本题共6小题，每小题5分，共30分11．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是 ．12．（5分）若抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A（m，0）、B（n，0），与y轴交于点C（0，c），则称△ABC为“抛物三角线”．特别地，当mnc＜0时，称△ABC为“正抛物三角形”；当mnc＞0时，称△ABC为“倒抛物三角形”．那么，当△ABC为“倒抛物三角形”时，a、c应分别满足条件 ．13．（5分）若（m+1）2+|n﹣2|＝0，则mn＝ ．14．（5分）东方商厦将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取最大利润，则应降价 元．15．（5分）如图，已知点A是一次函数y=12x（x≥0）图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数y=kx（x＞0）的图象过点B，C，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是 ．16．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，AE平分∠DAB交BC的延长线于F点，则CF＝ ．三、解答题：70分17．（6分）（1）用配方法解方程：x2+4x+1＝0（2）已知点（5，0）在抛物线y＝﹣x2+（k+1）x﹣k上，求出抛物线的对称轴．18．（8分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于12EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．（1）求证：AP平分∠CAB；（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数．19．（8分）手榴弹作为一种威力较大，体积较小，方便携带的武器，在战争中能发挥重要作用，然而想把手榴弹扔远，并不是一件容易的事，军训中，借助小山坡的有利地势，小刚在教官的指导下用模拟弹进行一次试投：如图所示，把小刚投出的手榴弹的运动路线合作一条抛物线，手榴弹飞行的最大高度为12米，此时它的水平飞行距离为6米；山坡OA的坡度为1：3．（1）求这条抛物线的表达式；（2）山坡上A处的水平距离OE为9米，A处有一棵树，树高5米，则小刚投出的手榴弹能否越过这棵树？请说明理由；（3）求飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是多少米．20．（8分）一只不透明袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程．（1）每一次摸到白球的概率为 ；（2）现从该袋中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率．21．（8分）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，直线经过点（3，﹣3），交x轴于点A，交y轴于点B（0，1）．（1）求直线l的解析式；（2）求l与两坐标轴所围成的三角形的面积；（3）当x 时，y≥0；（4）求原点到直线l的距离．22．（8分）已知：如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是BC边上任意一点（不与B、C重合），在三角形外作等边△CDE，连结AE、BD．（1）根据题意画出图形；（2）求证：AE＝BD；（3）△BDC能否为直角三角形？若能，求出BD长；若不能，请说明理由．23．（8分）在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．（1）若α＝90°时，直接写出CD与CB的数量关系为 ；（2）如图1，当α≠90°时，（1）中结论是否还成立，说明理由；（3）如图2，O为AC中点，M为AB上一点，BM＝AD，求CMDO的值．24．（8分）如图，在▱ABCD中AD＞AB．（1）尺规作图：在AD上截取AE，使得AE＝AB．作∠ADC的平分线交BC于点F（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作图形中，连接BE，求证：四边形BEDF是平行四边形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．证明：∵DF平分∠ADC，∴ ∵在▱ABCD中，BC∥AD，∴ ∴∠CDF＝∠CFD，∴CD＝CF．∵在▱ABCD中，AB＝CD，又∵AE＝AB，∴AE＝CF．∵在▱ABCD中，AD＝BC，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即 又∵ ∴四边形BEDF是平行四边形．25．（8分）已知抛物线y＝mx2﹣（1﹣4m）x+c过点（1，a），（﹣1，a），（0，﹣1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知过原点的直线与该抛物线交于A，B两点（点A在点B右侧），该抛物线的顶点为C，连接AC，BC，点D在点A，C之间的抛物线上运动（不与点A，C重合）．当点A的横坐标是4时，若△ABC的面积与△ABD的面积相等，求点D的坐标；（3）若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切．已知点F的坐标是（0，1），过该抛物线上的任意一点（除顶点外）作该抛物线的切线l，分别交直线y＝1和y＝﹣3直线于点P，Q，求FP2﹣FQ2的值． 2023年福建省福州一中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题；本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在下列简笔画图案中，是轴对称图形的为（ ）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（5分）关于x的一元二次方程kx2﹣2kx+2＝0有两个相等的实数根，则k的值是（ ）A．0或2 B．2 C．0或﹣2 D．﹣2【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4k×2＝0，然后解关于k的方程即可．【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4k×2＝0，解得k＝2．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．3．（5分）下列说法中，正确的是（ ）A．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查 B．某种彩票中奖的概率是110，则购买10张这种彩票一定会中奖 C．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取100袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是100 D．甲．乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是s甲2＝3.2，s乙2＝1，则乙的射击成绩较稳定【分析】根据抽样调查、全面调查、概率、方差、样本以及样本容量的意义进行判断即可．【解答】解：A．为确保载人航天器的每个零件合格，应采取全面调查，不能用抽查，因此选项A不符合题意；B．某种彩票中奖的概率是110，买10张这种彩票也不一定会中奖，因此选项B不符合题意；C．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取100袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是100袋洗衣粉的质量，样本容量为100，因此选项C不符合题意；D．由于平均数相同，方差小的比较稳定，因此乙的射击成绩较稳定，所以选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查抽样调查、全面调查、概率、方差、样本以及样本容量，理解抽样调查、全面调查、概率、方差、样本以及样本容量的意义是正确判断的前提．4．（5分）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（ ）A．（2，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（2，3）【分析】本题可在画出图后，根据矩形的性质，得知第四个顶点的横坐标应为3，纵坐标应为2．【解答】解：如图可知第四个顶点为：即：（3，2）．故选：B．【点评】本题考查学生的动手能力，画出图后可很快得到答案．5．（5分）如图，点A，B，C均在⊙O上，且∠BOC＝90°，若∠ACO的度数为m°，∠ABO的度数为n°，则m﹣n的值是（ ）A．30 B．45 C．50 D．60【分析】连接OA，AC．利用等腰三角形的性质以及圆周角定理求解即可．【解答】解：连接OA，AC．∵OB＝OA，∴∠B＝∠OAB＝n°，∵OA＝OC，∴∠C＝∠OAC＝m°，∵∠CAB=12∠BOC＝45°，∴m＝45+n，∴m﹣n＝45，故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6．（5分）已知二次函数y＝2（x﹣3）2﹣2，下列说法：①其图象开口向上；②顶点坐标为（3，﹣2）；③其图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）；④当x≤3时，y随x的增大而减小，其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由二次函数解析式可求得其开口方向、对称轴及顶点坐标，则可判断①、②、④，令x＝0可求得y的值，则可判断③，则可求得答案．【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣3）2﹣2，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（3，﹣2），对称轴为x＝3，∴当x≤3时，y随x的增大而减小，故①、②、④正确，令x＝0可得y＝16，故图象与y轴的交点坐标为（0，16），故③不正确，∴正确的有3个，故选：C．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．7．（5分）规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3．那么函数y＝[x]的图象为（ ）A． B． C． D．【分析】根据定义可将函数进行化简．【解答】解：由已知得：当0≤x＜1时，y＝[x]＝0，当1≤x＜2时，y＝[x]＝1，当2≤x＜3时，y＝[x]＝2，当﹣1≤x＜0时，y＝[x]＝﹣1，当﹣2≤x＜﹣1时，y＝[x]＝﹣2，……由以上可得A选项符合题意，故选：A．【点评】本题考查函数的图象，解题的关键是正确理解[x]的定义，然后对函数进行化简，本题属于中等题型．8．（5分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，若BE：EC＝1：3，则△DOE与△COA的周长之比为（ ）A．13 B．14 C．19 D．116【分析】通过证明△BDE∽△BAC，可得DEAC=BEBC=14，通过证明△DOE∽△COA，可求解．【解答】解：∵BE：EC＝1：3，∴BE：BC＝1：4，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴DEAC=BEBC=14，∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，∴C△DOEC△COA=DEAC=14，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．9．（5分）某校园有一块正方形的空地，按如图所示划分区域种花，已知中间互相垂直的两条小路的宽分别为1m，2m，且四个种花区域的面积相同，均为10m2．设原正方形空地的边长为xm，则下列方程正确的是（ ）A．x2﹣3x﹣40＝0 B．x2﹣3x﹣38＝0 C．x2+3x﹣38＝0 D．x2+3x﹣40＝0【分析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式可列出方程．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣1）（x﹣2）＝4×10，化简得：x2﹣3x﹣38＝0，故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．10．（5分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，那么a、b、c的取值范围是（ ）A．a＜0、b＞0、c＞0 B．a＜0、b＜0、c＞0 C．a＜0、b＞0、c＜0 D．a＜0、b＜0、c＜0【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：由图象开口可知：a＜0，由图象与y轴交点可知：c＜0，由对称轴可知：-b2a＜0，∴a＜0，b＜0，c＜0，故选：D．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．二、填空题；本题共6小题，每小题5分，共30分11．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是 20π ．【分析】运用公式s＝πlr（其中勾股定理求解得到的母线长l为5）求解．【解答】解：由已知得，母线长l＝5，半径r为4，∴圆锥的侧面积是s＝πlr＝5×4×π＝20π．故答案为20π．【点评】本题考查了圆锥的计算，要学会灵活的运用公式求解．12．（5分）若抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A（m，0）、B（n，0），与y轴交于点C（0，c），则称△ABC为“抛物三角线”．特别地，当mnc＜0时，称△ABC为“正抛物三角形”；当mnc＞0时，称△ABC为“倒抛物三角形”．那么，当△ABC为“倒抛物三角形”时，a、c应分别满足条件 a＞0，c＜0 ．【分析】根据m、n关于y轴对称，则mn＜0，则c的符号即可确定，然后根据抛物线与x轴有交点，则可以确定开口方向，从而确定a的符号．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c的对称轴是y轴，∴A（m，0）、B（n，0）关于y轴对称，∴mn＜0，又∵mnc＞0，∴c＜0，即抛物线与y轴的负半轴相交，又∵抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A（m，0）、B（n，0），∴函数开口向上，∴a＞0．故答案是：a＞0，c＜0．【点评】本题考查了二次函数的性质，正确确定二次函数的开口方向是本题的关键．13．（5分）若（m+1）2+|n﹣2|＝0，则mn＝ 1 ．【分析】根据偶次方，绝对值的非负性求出m、n的值，再代入计算即可．【解答】解：∵（m+1）2+|n﹣2|＝0，（m+1）2，≥0，|n﹣2|≥0，∴m+1＝0，n﹣2＝0，解得m＝﹣1，n＝2，∴mn＝（﹣1）2＝1，故答案为：1．【点评】本题考查绝对值，偶次方的非负性，理解偶次方和绝对值的非负性是正确解答的前提．14．（5分）东方商厦将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取最大利润，则应降价 5 元．【分析】设降价x元时，则日销售可以获得最大利润为W，由销售问题的数量关系表示出W与x之间的关系，根据关系式的性质就可以求出结论．【解答】解：设降价x元时，则日销售可以获得最大利润为W，由题意，得W＝（100﹣70﹣x）（20+x），∴W＝﹣x2+10x+600，∴W＝﹣（x﹣5）2+625，∵a＝﹣1＜0，∴当x＝5时，W最大＝625．故答案为：5．【点评】本题考查了销售问题的数量关系的运用，利润＝（售价﹣进价）×销量的运用，二次函数的顶点式的运用，解答时求出二次函数的解析式是解题的关键．15．（5分）如图，已知点A是一次函数y=12x（x≥0）图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数y=kx（x＞0）的图象过点B，C，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是 3 ．【分析】本题介绍两种解法：解法一：设A（t，t2）、B（t，kt），根据反比例函数关于y＝x对称可得C（kt，t），得：CE=t2，则DE＝t＝2CE，则发现△ABC和△ABO两个三角形是同底边，根据高的倍数可得：S△ABO＝2S△ABC，可得结论；解法二：作辅助线，构建直角三角形，设AB＝2a，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：BE＝AE＝CE＝a，设A（x，12x），则B（x，12x+2a），C（x+a，12x+a），因为B、C都在反比例函数的图象上，列方程可得结论．【解答】解：解法一：设A（t，t2）、B（t，kt），∵△ABC是等腰直角三角形，且AB⊥x轴，∴直线BC与y轴夹角为45度角，所以根据双曲线的对称性可得，C（kt，t），过C作CE垂直AB于E，交y轴于D，∴AE＝yC﹣yA＝t-12t=12t，∵△AEC是等腰直角三角形，∴CE＝AE=t2，则DE＝t＝2CE，则S△ABO＝2S△ABC，∵△OAB的面积为6，∴S△ABC＝3；解法二：如图，过C作CD⊥y轴于D，交AB于E，∵AB⊥x轴，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BE＝AE＝CE，设AB＝2a，则BE＝AE＝CE＝a，设A（x，12x），则B（x，12x+2a），C（x+a，12x+a），∵B，C在反比例函数的图象上，∴x（12x+2a）＝（x+a）（12x+a），x＝2a，∵S△OAB=12AB•DE=12•2a•x＝6，∴ax＝6，∴2a2＝6，a2＝3，∵S△ABC=12AB•CE=12•2a•a＝a2＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．16．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，AE平分∠DAB交BC的延长线于F点，则CF＝ 2 ．【分析】根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠3，∠1＝∠F，然后求出∠1＝∠3，∠4＝∠F，再根据等角对等边的性质可得AD＝DE，CE＝CF，根据平行四边形对边相等代入数据计算即可得解．【解答】解：如图，∵AE平分∠DAB，∴∠1＝∠2，平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴∠2＝∠3，∠1＝∠F，又∵∠3＝∠4（对顶角相等），∴∠1＝∠3，∠4＝∠F，∴AD＝DE，CE＝CF，∵AB＝5，AD＝3，∴CE＝DC﹣DE＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，∴CF＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了平行四边形对边相等，对边平行的性质，角平分线的定义，平行线的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．三、解答题：70分17．（6分）（1）用配方法解方程：x2+4x+1＝0（2）已知点（5，0）在抛物线y＝﹣x2+（k+1）x﹣k上，求出抛物线的对称轴．【分析】（1）方程移项后，利用完全平方公式变形，开方即可求出解；（2）将点（5，0）代入解析式求得k的值，据此得出抛物线解析式，再根据对称轴公式求解可得．【解答】解：（1）用配方法解方程：x2+4x+1＝0，移项得：x2+4x＝﹣1，配方得：x2+4x+4＝﹣1+4，（x+2）2＝3，开平方得：x+2＝±3，解得：x1＝﹣2+3，x2＝﹣2-3；（2）将点（5，0）代入y＝﹣x2+（k+1）x﹣k得：0＝﹣52+5（k+1）﹣k，解得：k＝5．∴解析式为：y＝﹣x2+6x﹣5，∴抛物线对称轴为直线x＝3．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力及二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．（8分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于12EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．（1）求证：AP平分∠CAB；（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数．【分析】（1）通过三角形全等得到对应角相等，得出AP平分∠CAB；（2）利用平行线的性质确定∠CAB，再利用角平分线性质求出∠MAB的度数．【解答】解：（1）连接PF，PE，由作图过程可知AE＝AF，PE＝PF，AP＝AP，∴△AFP≌△AEP，∴∠FAP＝∠EAP，∴AP平分∠CAB．（2）∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB＝180°，又∵∠ACD＝114°，∴∠CAB＝180°﹣114°＝66°，由（1）知AP平分∠CAB，即∠MAB＝∠MAC，∴∠MAB=12∠CAB＝33°．【点评】本题考查了三角形全等的判定、角平分线的性质和平行线的性质，做题关键是掌握三角形全等的判定、角平分线的性质和平行线的性质．19．（8分）手榴弹作为一种威力较大，体积较小，方便携带的武器，在战争中能发挥重要作用，然而想把手榴弹扔远，并不是一件容易的事，军训中，借助小山坡的有利地势，小刚在教官的指导下用模拟弹进行一次试投：如图所示，把小刚投出的手榴弹的运动路线合作一条抛物线，手榴弹飞行的最大高度为12米，此时它的水平飞行距离为6米；山坡OA的坡度为1：3．（1）求这条抛物线的表达式；（2）山坡上A处的水平距离OE为9米，A处有一棵树，树高5米，则小刚投出的手榴弹能否越过这棵树？请说明理由；（3）求飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是多少米．【分析】（1）根据顶点坐标和过原点求出抛物线的解析式；（2）利用坡度求出AE，再根据二次函数关系式求B的坐标，再进行比较即可；（3）求出OA的关系式，利用MN=-13（a-112）2+12112，求出最大值即可．【解答】解：（1）由题意得：顶点C（6，12），且抛物线过原点，所以设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+12，把（0，0）代入得：0＝a（0﹣6）2+12，解得a=-13，∴抛物线的解析式为：y=-13（x﹣6）2+12==-13x2+4x；（2）∵山坡OA的坡度为1：3，OE＝9米，∴AE＝3米，当x＝9时，y=-13×81+36＝9，∵3+5＜9，∴小刚投出的手榴弹能越过这棵树；（3）设直线OA的关系式为y＝kx，把A（9，3）代入可得k=13，∴直线OA的关系式为y=13x，如图，设M（a，-13a2+4a），N（a，13a），∴MN＝（-13a2+4a）-13a=-13a2+113a=-13（a-112）2+12112，当a=112时，MN最大为12112，答：飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是12112米．【点评】本题是二次函数的应用，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，与几何中的直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半相结合，并利用勾股定理求边长，表示点的坐标；并能判断该点是否在抛物线上．20．（8分）一只不透明袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程．（1）每一次摸到白球的概率为 13 ；（2）现从该袋中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出恰好摸到1个白球，1个红球的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）∵有1个白球和2个红球共3个球，∴将球搅匀，从中任意摸出1个球，每一次摸到白球的概率为13．故答案为：13；（2）画树状图得：∴一共有6种可能的结果，恰好摸到1个白球，1个红球的有4种，∴恰好摸到1个白球，1个红球的的概率为46=23．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．21．（8分）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，直线经过点（3，﹣3），交x轴于点A，交y轴于点B（0，1）．（1）求直线l的解析式；（2）求l与两坐标轴所围成的三角形的面积；（3）当x ≤34 时，y≥0；（4）求原点到直线l的距离．【分析】（1）把（3，﹣3），（0，1）代入一次函数的解析式得到方程组求出方程组的解即可；（2）根据解析式求得A的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；（3）观察图象即可求得；（4）利用三角形面积公式即可求得．【解答】解：（1）把（3，﹣3），（0，1）代入y＝kx+b，得3k+b=-3b=1，解得：k=-43b=1，∴直线l的解析式为y=-43x+1；（2）在y=-43x+1中，令y＝0，则-43x+1＝0，解得x=34，∴A（34，0），∵B（0，1），∴OA=34，OB＝1，∴S△AOB=12OA⋅OB=12×34×1=38，∴直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为38；（3）∵A（34，0），∴当x≤34时，y≥0；故答案为：≤34；（4）设原点到直线的距离为h，∵OA=34，OB＝1，∴AB=OA2+OB2=(916)2+12=54，∵S△AOB=12AB•h，∴38=12×54×h，∴h=35．故原点到直线l的距离为35．【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解此题的关键．22．（8分）已知：如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是BC边上任意一点（不与B、C重合），在三角形外作等边△CDE，连结AE、BD．（1）根据题意画出图形；（2）求证：AE＝BD；（3）△BDC能否为直角三角形？若能，求出BD长；若不能，请说明理由．【分析】（1）依题意画出图形即可；（2）由等边三角形的性质得AC＝BC，CE＝CD，∠ACE＝∠BCD＝60°，再证△ACE≌△BCD（SAS），即可得出结论；（3）当∠CBD＝30°时，△BDC是直角三角形，此时∠BDC＝90°，再由含30°角的直角三角形的性质得CD=12BC＝2，然后由勾股定理即可得出BD的长．【解答】（1）解：如图所示；（2）证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACE＝∠BCD＝60°，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD；（3）解：△BDC能为直角三角形，理由如下：由题意得：当∠CBD＝30°时，△BDC是直角三角形，此时∠BDC＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝4，∵∠CBD＝30°，∴CD=12BC＝2，∴BD=BC2-CD2=42-22=23，即△BDC能为直角三角形，BD的长为23．【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．23．（8分）在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．（1）若α＝90°时，直接写出CD与CB的数量关系为 CD＝CB ；（2）如图1，当α≠90°时，（1）中结论是否还成立，说明理由；（3）如图2，O为AC中点，M为AB上一点，BM＝AD，求CMDO的值．【分析】（1）利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可；（2）过点C作CE⊥AB于E，CF⊥AD，交AD的延长线于F，利用角平分线的性质可得CE＝CF，再证明△CDF≌△CBE（AAS），从而证明结论；（3）延长DO至点N，使ON＝DO，连接AN，首先利用SAS证明△AON≌△COD，得∠N＝∠CDO，AN＝CD＝CB，再证明△AND≌△BCM（SAS），得CM＝DN＝2DO，即可得出答案．【解答】解：（1）当α＝90°时，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可得CD＝CB，故答案为：CD＝CB；（2）仍然有CD＝CB，理由如下：过点C作CE⊥AB于E，CF⊥AD，交AD的延长线于F，则∠CEB＝∠CFD＝90°，∵∠ADC+∠CDF＝180°，∠ADC＝180°﹣a，∴∠CDF＝α＝∠ABC，∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，∴△CDF≌△CBE（AAS），∴CD＝CB；（3）延长DO至点N，使ON＝DO，连接AN，∵AO＝OC，∠AON＝∠COD，∴△AON≌△COD（SAS），∴∠N＝∠CDO，AN＝CD＝CB，∴CD∥AN，∴∠DAN+∠ADC＝180°，∴∠DAN＝180°﹣∠ADC＝α＝∠B，又∵AD＝BM，∴△AND≌△BCM（SAS），∴CM＝DN＝2DO，∴CMDO=2．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．24．（8分）如图，在▱ABCD中AD＞AB．（1）尺规作图：在AD上截取AE，使得AE＝AB．作∠ADC的平分线交BC于点F（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作图形中，连接BE，求证：四边形BEDF是平行四边形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．证明：∵DF平分∠ADC，∴ ∠CDF＝∠ADF ∵在▱ABCD中，BC∥AD，∴ ∠ADF＝∠CFD ∴∠CDF＝∠CFD，∴CD＝CF．∵在▱ABCD中，AB＝CD，又∵AE＝AB，∴AE＝CF．∵在▱ABCD中，AD＝BC，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即 DE＝BF 又∵ DE∥BF ∴四边形BEDF是平行四边形．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）证明DE＝BF，DE∥BF即可．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：∵DF平分∠ADC，∴∠CDF＝∠ADF∵在▱ABCD中，BC∥AD，∴∠ADF＝∠CFD，∴∠CDF＝∠CFD，∴CD＝CF．∵在▱ABCD中，AB＝CD，又∵AE＝AB，∴AE＝CF．∵在▱ABCD中，AD＝BC，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即DE＝BF，又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．故答案为：∠CDF＝∠ADF，∠ADF＝∠CFD，DE＝BF，DE∥BF．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．25．（8分）已知抛物线y＝mx2﹣（1﹣4m）x+c过点（1，a），（﹣1，a），（0，﹣1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知过原点的直线与该抛物线交于A，B两点（点A在点B右侧），该抛物线的顶点为C，连接AC，BC，点D在点A，C之间的抛物线上运动（不与点A，C重合）．当点A的横坐标是4时，若△ABC的面积与△ABD的面积相等，求点D的坐标；（3）若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切．已知点F的坐标是（0，1），过该抛物线上的任意一点（除顶点外）作该抛物线的切线l，分别交直线y＝1和y＝﹣3直线于点P，Q，求FP2﹣FQ2的值．【分析】（1）由所给的点可知抛物线的对称轴为直线x＝0，由此可求m的值，再将点（0，﹣1）代入即可求解析式；（2）求出A（4，3）和直线OA的解析式y=34x，解法一：联立方程组求出B（﹣1，-34），过点D作DM⊥x轴交直线AB于点M，设D（t，14t2﹣1），再由三角形的面积关系求出t的值即可求D点坐标；解法二：分别过点C，D作AB的垂线，垂足为S，T，可得∠CSB＝∠DTB＝90°，所以CS∥DT．根据△ABC的面积与△ABD的面积相等，可得CS＝DT．所以四边形CSTD是平行四边形，进而可求D点坐标；（3）根据切线l不过该抛物线的顶点，可以设切线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），然后将y＝kx+b代入y=14x2-1，得14x2-1=kx+b，根据题意得Δ＝0，整理得b＝﹣k2﹣1，可得切线l的解析式是y＝kx﹣k2﹣1，将y＝1代入y＝kx﹣k2﹣1，表示出P，Q两点坐标，进而可以解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣（1﹣4m）x+c过点（0，﹣1），∴c＝﹣1，∵抛物线y＝mx2﹣（1﹣4m）x+c过点（1，a），（﹣1，a），∴抛物线的对称轴是y轴，即1-4m2m=0，∴m=14，∴该抛物线的解析式是y=14x2-1；（2）将x＝0代入y=14x2-1，得y＝﹣1，∴顶点C的坐标是（0，﹣1），∴OC＝1．将x＝4代入y=14x2-1，得y＝3，∴点A的坐标是（4，3），∴直线OA的解析式是y=34x，解法一：将y=34x代入y=14x2-1，得14x2-1=34，解得x1＝4，x2＝﹣1，∴点B的横坐标为﹣1，∴S△ABC=S△AOC+S△BOC=12×4×OC+12×1×OC=52OC=52，连接AD，BD，过点D作DQ垂直x轴交AB于点Q，分别过点A，B作DQ的垂线，垂足为M，N，设D(t，14t2-1)，∴Q(t，34t)∴S△ABD＝S△ADQ+S△BDQ=12×DQ•AM+12×DQ•BN=4-t2DQ+t-(-1)2DQ=52DQ，∵S△ABD＝S△ABC，∴52DQ=52．∵点D是点A，C之间的抛物线上的点（不与点A，C重合），∴点Q在点D上方，∴34t-(14t2-1)=1，即14t(3-t)=0，解得t1＝0（舍去），t2＝3，∴点D的坐标是(3，54)；解法二：∵点D是点A，C之间的抛物线上的点（不与点A，C重合），∴点C，D在AB的同侧．分别过点C，D作AB的垂线，垂足为S，T，∴∠CSB＝∠DTB＝90°，∴CS∥DT．∵△ABC的面积与△ABD的面积相等，∴CS＝DT．∴四边形CSTD是平行四边形，∴直线CD可由直线AB向下平移1个单位得到，∴直线CD的解析式是y=34x-1，将y=34x-1代入y=14x2-1，得14x2-1=34x-1，解得x1＝0（舍去），x2＝3，∴点D的坐标是(3，54)；（3）∵切线l不过该抛物线的顶点，∴设切线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），将y＝kx+b代入y=14x2-1，得14x2-1=kx+b，整理得x2﹣4kx﹣4b﹣4＝0，依题意得Δ＝0，即（﹣4k）2﹣4×1×（﹣4b﹣4）＝16k2+16b+16＝0，∴b＝﹣k2﹣1，∴切线l的解析式是y＝kx﹣k2﹣1，将y＝1代入y＝kx﹣k2﹣1，得x=k2+2k，∴P(k2+2k，1)，将y＝﹣3代入y＝kx﹣k2﹣1，得x=k2-2k，∴Q(k2-2k，-3)，∵F（0，1），∴FP2=(k2+2k)2，由勾股定理得FQ2=(k2-2k)2+(-3-1)2，∴FP2-FQ2=(k2+2k)2-[(k2-2k)2+(-3-1)2]=(k2+2k+k2-2k)(k2+2k-k2-2k)-16=2k2k•4k-16＝8﹣16＝﹣8．【点评】本题属于二次函数的综合题，考查二次函数图象的性质、解一元二次方程，三角形面积求法，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
2023年福建省福州一中中考数学一模试卷一、选择题；本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在下列简笔画图案中，是轴对称图形的为（ ）A． B． C． D．2．（5分）关于x的一元二次方程kx2﹣2kx+2＝0有两个相等的实数根，则k的值是（ ）A．0或2 B．2 C．0或﹣2 D．﹣23．（5分）下列说法中，正确的是（ ）A．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查 B．某种彩票中奖的概率是110，则购买10张这种彩票一定会中奖 C．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取100袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是100 D．甲．乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是s甲2＝3.2，s乙2＝1，则乙的射击成绩较稳定4．（5分）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（ ）A．（2，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（2，3）5．（5分）如图，点A，B，C均在⊙O上，且∠BOC＝90°，若∠ACO的度数为m°，∠ABO的度数为n°，则m﹣n的值是（ ）A．30 B．45 C．50 D．606．（5分）已知二次函数y＝2（x﹣3）2﹣2，下列说法：①其图象开口向上；②顶点坐标为（3，﹣2）；③其图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）；④当x≤3时，y随x的增大而减小，其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（5分）规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3．那么函数y＝[x]的图象为（ ）A． B． C． D．8．（5分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，若BE：EC＝1：3，则△DOE与△COA的周长之比为（ ）A．13 B．14 C．19 D．1169．（5分）某校园有一块正方形的空地，按如图所示划分区域种花，已知中间互相垂直的两条小路的宽分别为1m，2m，且四个种花区域的面积相同，均为10m2．设原正方形空地的边长为xm，则下列方程正确的是（ ）A．x2﹣3x﹣40＝0 B．x2﹣3x﹣38＝0 C．x2+3x﹣38＝0 D．x2+3x﹣40＝010．（5分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，那么a、b、c的取值范围是（ ）A．a＜0、b＞0、c＞0 B．a＜0、b＜0、c＞0 C．a＜0、b＞0、c＜0 D．a＜0、b＜0、c＜0二、填空题；本题共6小题，每小题5分，共30分11．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是 ．12．（5分）若抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A（m，0）、B（n，0），与y轴交于点C（0，c），则称△ABC为“抛物三角线”．特别地，当mnc＜0时，称△ABC为“正抛物三角形”；当mnc＞0时，称△ABC为“倒抛物三角形”．那么，当△ABC为“倒抛物三角形”时，a、c应分别满足条件 ．13．（5分）若（m+1）2+|n﹣2|＝0，则mn＝ ．14．（5分）东方商厦将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取最大利润，则应降价 元．15．（5分）如图，已知点A是一次函数y=12x（x≥0）图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数y=kx（x＞0）的图象过点B，C，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是 ．16．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，AE平分∠DAB交BC的延长线于F点，则CF＝ ．三、解答题：70分17．（6分）（1）用配方法解方程：x2+4x+1＝0（2）已知点（5，0）在抛物线y＝﹣x2+（k+1）x﹣k上，求出抛物线的对称轴．18．（8分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于12EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．（1）求证：AP平分∠CAB；（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数．19．（8分）手榴弹作为一种威力较大，体积较小，方便携带的武器，在战争中能发挥重要作用，然而想把手榴弹扔远，并不是一件容易的事，军训中，借助小山坡的有利地势，小刚在教官的指导下用模拟弹进行一次试投：如图所示，把小刚投出的手榴弹的运动路线合作一条抛物线，手榴弹飞行的最大高度为12米，此时它的水平飞行距离为6米；山坡OA的坡度为1：3．（1）求这条抛物线的表达式；（2）山坡上A处的水平距离OE为9米，A处有一棵树，树高5米，则小刚投出的手榴弹能否越过这棵树？请说明理由；（3）求飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是多少米．20．（8分）一只不透明袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程．（1）每一次摸到白球的概率为 ；（2）现从该袋中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率．21．（8分）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，直线经过点（3，﹣3），交x轴于点A，交y轴于点B（0，1）．（1）求直线l的解析式；（2）求l与两坐标轴所围成的三角形的面积；（3）当x 时，y≥0；（4）求原点到直线l的距离．22．（8分）已知：如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是BC边上任意一点（不与B、C重合），在三角形外作等边△CDE，连结AE、BD．（1）根据题意画出图形；（2）求证：AE＝BD；（3）△BDC能否为直角三角形？若能，求出BD长；若不能，请说明理由．23．（8分）在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．（1）若α＝90°时，直接写出CD与CB的数量关系为 ；（2）如图1，当α≠90°时，（1）中结论是否还成立，说明理由；（3）如图2，O为AC中点，M为AB上一点，BM＝AD，求CMDO的值．24．（8分）如图，在▱ABCD中AD＞AB．（1）尺规作图：在AD上截取AE，使得AE＝AB．作∠ADC的平分线交BC于点F（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作图形中，连接BE，求证：四边形BEDF是平行四边形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．证明：∵DF平分∠ADC，∴ ∵在▱ABCD中，BC∥AD，∴ ∴∠CDF＝∠CFD，∴CD＝CF．∵在▱ABCD中，AB＝CD，又∵AE＝AB，∴AE＝CF．∵在▱ABCD中，AD＝BC，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即 又∵ ∴四边形BEDF是平行四边形．25．（8分）已知抛物线y＝mx2﹣（1﹣4m）x+c过点（1，a），（﹣1，a），（0，﹣1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知过原点的直线与该抛物线交于A，B两点（点A在点B右侧），该抛物线的顶点为C，连接AC，BC，点D在点A，C之间的抛物线上运动（不与点A，C重合）．当点A的横坐标是4时，若△ABC的面积与△ABD的面积相等，求点D的坐标；（3）若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切．已知点F的坐标是（0，1），过该抛物线上的任意一点（除顶点外）作该抛物线的切线l，分别交直线y＝1和y＝﹣3直线于点P，Q，求FP2﹣FQ2的值． 2023年福建省福州一中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题；本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在下列简笔画图案中，是轴对称图形的为（ ）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（5分）关于x的一元二次方程kx2﹣2kx+2＝0有两个相等的实数根，则k的值是（ ）A．0或2 B．2 C．0或﹣2 D．﹣2【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4k×2＝0，然后解关于k的方程即可．【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4k×2＝0，解得k＝2．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．3．（5分）下列说法中，正确的是（ ）A．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查 B．某种彩票中奖的概率是110，则购买10张这种彩票一定会中奖 C．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取100袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是100 D．甲．乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是s甲2＝3.2，s乙2＝1，则乙的射击成绩较稳定【分析】根据抽样调查、全面调查、概率、方差、样本以及样本容量的意义进行判断即可．【解答】解：A．为确保载人航天器的每个零件合格，应采取全面调查，不能用抽查，因此选项A不符合题意；B．某种彩票中奖的概率是110，买10张这种彩票也不一定会中奖，因此选项B不符合题意；C．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取100袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是100袋洗衣粉的质量，样本容量为100，因此选项C不符合题意；D．由于平均数相同，方差小的比较稳定，因此乙的射击成绩较稳定，所以选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查抽样调查、全面调查、概率、方差、样本以及样本容量，理解抽样调查、全面调查、概率、方差、样本以及样本容量的意义是正确判断的前提．4．（5分）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（ ）A．（2，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（2，3）【分析】本题可在画出图后，根据矩形的性质，得知第四个顶点的横坐标应为3，纵坐标应为2．【解答】解：如图可知第四个顶点为：即：（3，2）．故选：B．【点评】本题考查学生的动手能力，画出图后可很快得到答案．5．（5分）如图，点A，B，C均在⊙O上，且∠BOC＝90°，若∠ACO的度数为m°，∠ABO的度数为n°，则m﹣n的值是（ ）A．30 B．45 C．50 D．60【分析】连接OA，AC．利用等腰三角形的性质以及圆周角定理求解即可．【解答】解：连接OA，AC．∵OB＝OA，∴∠B＝∠OAB＝n°，∵OA＝OC，∴∠C＝∠OAC＝m°，∵∠CAB=12∠BOC＝45°，∴m＝45+n，∴m﹣n＝45，故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6．（5分）已知二次函数y＝2（x﹣3）2﹣2，下列说法：①其图象开口向上；②顶点坐标为（3，﹣2）；③其图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）；④当x≤3时，y随x的增大而减小，其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由二次函数解析式可求得其开口方向、对称轴及顶点坐标，则可判断①、②、④，令x＝0可求得y的值，则可判断③，则可求得答案．【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣3）2﹣2，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（3，﹣2），对称轴为x＝3，∴当x≤3时，y随x的增大而减小，故①、②、④正确，令x＝0可得y＝16，故图象与y轴的交点坐标为（0，16），故③不正确，∴正确的有3个，故选：C．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．7．（5分）规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3．那么函数y＝[x]的图象为（ ）A． B． C． D．【分析】根据定义可将函数进行化简．【解答】解：由已知得：当0≤x＜1时，y＝[x]＝0，当1≤x＜2时，y＝[x]＝1，当2≤x＜3时，y＝[x]＝2，当﹣1≤x＜0时，y＝[x]＝﹣1，当﹣2≤x＜﹣1时，y＝[x]＝﹣2，……由以上可得A选项符合题意，故选：A．【点评】本题考查函数的图象，解题的关键是正确理解[x]的定义，然后对函数进行化简，本题属于中等题型．8．（5分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，若BE：EC＝1：3，则△DOE与△COA的周长之比为（ ）A．13 B．14 C．19 D．116【分析】通过证明△BDE∽△BAC，可得DEAC=BEBC=14，通过证明△DOE∽△COA，可求解．【解答】解：∵BE：EC＝1：3，∴BE：BC＝1：4，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴DEAC=BEBC=14，∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，∴C△DOEC△COA=DEAC=14，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．9．（5分）某校园有一块正方形的空地，按如图所示划分区域种花，已知中间互相垂直的两条小路的宽分别为1m，2m，且四个种花区域的面积相同，均为10m2．设原正方形空地的边长为xm，则下列方程正确的是（ ）A．x2﹣3x﹣40＝0 B．x2﹣3x﹣38＝0 C．x2+3x﹣38＝0 D．x2+3x﹣40＝0【分析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式可列出方程．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣1）（x﹣2）＝4×10，化简得：x2﹣3x﹣38＝0，故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．10．（5分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，那么a、b、c的取值范围是（ ）A．a＜0、b＞0、c＞0 B．a＜0、b＜0、c＞0 C．a＜0、b＞0、c＜0 D．a＜0、b＜0、c＜0【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：由图象开口可知：a＜0，由图象与y轴交点可知：c＜0，由对称轴可知：-b2a＜0，∴a＜0，b＜0，c＜0，故选：D．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．二、填空题；本题共6小题，每小题5分，共30分11．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是 20π ．【分析】运用公式s＝πlr（其中勾股定理求解得到的母线长l为5）求解．【解答】解：由已知得，母线长l＝5，半径r为4，∴圆锥的侧面积是s＝πlr＝5×4×π＝20π．故答案为20π．【点评】本题考查了圆锥的计算，要学会灵活的运用公式求解．12．（5分）若抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A（m，0）、B（n，0），与y轴交于点C（0，c），则称△ABC为“抛物三角线”．特别地，当mnc＜0时，称△ABC为“正抛物三角形”；当mnc＞0时，称△ABC为“倒抛物三角形”．那么，当△ABC为“倒抛物三角形”时，a、c应分别满足条件 a＞0，c＜0 ．【分析】根据m、n关于y轴对称，则mn＜0，则c的符号即可确定，然后根据抛物线与x轴有交点，则可以确定开口方向，从而确定a的符号．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c的对称轴是y轴，∴A（m，0）、B（n，0）关于y轴对称，∴mn＜0，又∵mnc＞0，∴c＜0，即抛物线与y轴的负半轴相交，又∵抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A（m，0）、B（n，0），∴函数开口向上，∴a＞0．故答案是：a＞0，c＜0．【点评】本题考查了二次函数的性质，正确确定二次函数的开口方向是本题的关键．13．（5分）若（m+1）2+|n﹣2|＝0，则mn＝ 1 ．【分析】根据偶次方，绝对值的非负性求出m、n的值，再代入计算即可．【解答】解：∵（m+1）2+|n﹣2|＝0，（m+1）2，≥0，|n﹣2|≥0，∴m+1＝0，n﹣2＝0，解得m＝﹣1，n＝2，∴mn＝（﹣1）2＝1，故答案为：1．【点评】本题考查绝对值，偶次方的非负性，理解偶次方和绝对值的非负性是正确解答的前提．14．（5分）东方商厦将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取最大利润，则应降价 5 元．【分析】设降价x元时，则日销售可以获得最大利润为W，由销售问题的数量关系表示出W与x之间的关系，根据关系式的性质就可以求出结论．【解答】解：设降价x元时，则日销售可以获得最大利润为W，由题意，得W＝（100﹣70﹣x）（20+x），∴W＝﹣x2+10x+600，∴W＝﹣（x﹣5）2+625，∵a＝﹣1＜0，∴当x＝5时，W最大＝625．故答案为：5．【点评】本题考查了销售问题的数量关系的运用，利润＝（售价﹣进价）×销量的运用，二次函数的顶点式的运用，解答时求出二次函数的解析式是解题的关键．15．（5分）如图，已知点A是一次函数y=12x（x≥0）图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数y=kx（x＞0）的图象过点B，C，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是 3 ．【分析】本题介绍两种解法：解法一：设A（t，t2）、B（t，kt），根据反比例函数关于y＝x对称可得C（kt，t），得：CE=t2，则DE＝t＝2CE，则发现△ABC和△ABO两个三角形是同底边，根据高的倍数可得：S△ABO＝2S△ABC，可得结论；解法二：作辅助线，构建直角三角形，设AB＝2a，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：BE＝AE＝CE＝a，设A（x，12x），则B（x，12x+2a），C（x+a，12x+a），因为B、C都在反比例函数的图象上，列方程可得结论．【解答】解：解法一：设A（t，t2）、B（t，kt），∵△ABC是等腰直角三角形，且AB⊥x轴，∴直线BC与y轴夹角为45度角，所以根据双曲线的对称性可得，C（kt，t），过C作CE垂直AB于E，交y轴于D，∴AE＝yC﹣yA＝t-12t=12t，∵△AEC是等腰直角三角形，∴CE＝AE=t2，则DE＝t＝2CE，则S△ABO＝2S△ABC，∵△OAB的面积为6，∴S△ABC＝3；解法二：如图，过C作CD⊥y轴于D，交AB于E，∵AB⊥x轴，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BE＝AE＝CE，设AB＝2a，则BE＝AE＝CE＝a，设A（x，12x），则B（x，12x+2a），C（x+a，12x+a），∵B，C在反比例函数的图象上，∴x（12x+2a）＝（x+a）（12x+a），x＝2a，∵S△OAB=12AB•DE=12•2a•x＝6，∴ax＝6，∴2a2＝6，a2＝3，∵S△ABC=12AB•CE=12•2a•a＝a2＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．16．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，AE平分∠DAB交BC的延长线于F点，则CF＝ 2 ．【分析】根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠3，∠1＝∠F，然后求出∠1＝∠3，∠4＝∠F，再根据等角对等边的性质可得AD＝DE，CE＝CF，根据平行四边形对边相等代入数据计算即可得解．【解答】解：如图，∵AE平分∠DAB，∴∠1＝∠2，平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴∠2＝∠3，∠1＝∠F，又∵∠3＝∠4（对顶角相等），∴∠1＝∠3，∠4＝∠F，∴AD＝DE，CE＝CF，∵AB＝5，AD＝3，∴CE＝DC﹣DE＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，∴CF＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了平行四边形对边相等，对边平行的性质，角平分线的定义，平行线的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．三、解答题：70分17．（6分）（1）用配方法解方程：x2+4x+1＝0（2）已知点（5，0）在抛物线y＝﹣x2+（k+1）x﹣k上，求出抛物线的对称轴．【分析】（1）方程移项后，利用完全平方公式变形，开方即可求出解；（2）将点（5，0）代入解析式求得k的值，据此得出抛物线解析式，再根据对称轴公式求解可得．【解答】解：（1）用配方法解方程：x2+4x+1＝0，移项得：x2+4x＝﹣1，配方得：x2+4x+4＝﹣1+4，（x+2）2＝3，开平方得：x+2＝±3，解得：x1＝﹣2+3，x2＝﹣2-3；（2）将点（5，0）代入y＝﹣x2+（k+1）x﹣k得：0＝﹣52+5（k+1）﹣k，解得：k＝5．∴解析式为：y＝﹣x2+6x﹣5，∴抛物线对称轴为直线x＝3．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力及二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．（8分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于12EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．（1）求证：AP平分∠CAB；（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数．【分析】（1）通过三角形全等得到对应角相等，得出AP平分∠CAB；（2）利用平行线的性质确定∠CAB，再利用角平分线性质求出∠MAB的度数．【解答】解：（1）连接PF，PE，由作图过程可知AE＝AF，PE＝PF，AP＝AP，∴△AFP≌△AEP，∴∠FAP＝∠EAP，∴AP平分∠CAB．（2）∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB＝180°，又∵∠ACD＝114°，∴∠CAB＝180°﹣114°＝66°，由（1）知AP平分∠CAB，即∠MAB＝∠MAC，∴∠MAB=12∠CAB＝33°．【点评】本题考查了三角形全等的判定、角平分线的性质和平行线的性质，做题关键是掌握三角形全等的判定、角平分线的性质和平行线的性质．19．（8分）手榴弹作为一种威力较大，体积较小，方便携带的武器，在战争中能发挥重要作用，然而想把手榴弹扔远，并不是一件容易的事，军训中，借助小山坡的有利地势，小刚在教官的指导下用模拟弹进行一次试投：如图所示，把小刚投出的手榴弹的运动路线合作一条抛物线，手榴弹飞行的最大高度为12米，此时它的水平飞行距离为6米；山坡OA的坡度为1：3．（1）求这条抛物线的表达式；（2）山坡上A处的水平距离OE为9米，A处有一棵树，树高5米，则小刚投出的手榴弹能否越过这棵树？请说明理由；（3）求飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是多少米．【分析】（1）根据顶点坐标和过原点求出抛物线的解析式；（2）利用坡度求出AE，再根据二次函数关系式求B的坐标，再进行比较即可；（3）求出OA的关系式，利用MN=-13（a-112）2+12112，求出最大值即可．【解答】解：（1）由题意得：顶点C（6，12），且抛物线过原点，所以设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+12，把（0，0）代入得：0＝a（0﹣6）2+12，解得a=-13，∴抛物线的解析式为：y=-13（x﹣6）2+12==-13x2+4x；（2）∵山坡OA的坡度为1：3，OE＝9米，∴AE＝3米，当x＝9时，y=-13×81+36＝9，∵3+5＜9，∴小刚投出的手榴弹能越过这棵树；（3）设直线OA的关系式为y＝kx，把A（9，3）代入可得k=13，∴直线OA的关系式为y=13x，如图，设M（a，-13a2+4a），N（a，13a），∴MN＝（-13a2+4a）-13a=-13a2+113a=-13（a-112）2+12112，当a=112时，MN最大为12112，答：飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是12112米．【点评】本题是二次函数的应用，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，与几何中的直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半相结合，并利用勾股定理求边长，表示点的坐标；并能判断该点是否在抛物线上．20．（8分）一只不透明袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程．（1）每一次摸到白球的概率为 13 ；（2）现从该袋中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出恰好摸到1个白球，1个红球的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）∵有1个白球和2个红球共3个球，∴将球搅匀，从中任意摸出1个球，每一次摸到白球的概率为13．故答案为：13；（2）画树状图得：∴一共有6种可能的结果，恰好摸到1个白球，1个红球的有4种，∴恰好摸到1个白球，1个红球的的概率为46=23．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．21．（8分）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，直线经过点（3，﹣3），交x轴于点A，交y轴于点B（0，1）．（1）求直线l的解析式；（2）求l与两坐标轴所围成的三角形的面积；（3）当x ≤34 时，y≥0；（4）求原点到直线l的距离．【分析】（1）把（3，﹣3），（0，1）代入一次函数的解析式得到方程组求出方程组的解即可；（2）根据解析式求得A的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；（3）观察图象即可求得；（4）利用三角形面积公式即可求得．【解答】解：（1）把（3，﹣3），（0，1）代入y＝kx+b，得3k+b=-3b=1，解得：k=-43b=1，∴直线l的解析式为y=-43x+1；（2）在y=-43x+1中，令y＝0，则-43x+1＝0，解得x=34，∴A（34，0），∵B（0，1），∴OA=34，OB＝1，∴S△AOB=12OA⋅OB=12×34×1=38，∴直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为38；（3）∵A（34，0），∴当x≤34时，y≥0；故答案为：≤34；（4）设原点到直线的距离为h，∵OA=34，OB＝1，∴AB=OA2+OB2=(916)2+12=54，∵S△AOB=12AB•h，∴38=12×54×h，∴h=35．故原点到直线l的距离为35．【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解此题的关键．22．（8分）已知：如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是BC边上任意一点（不与B、C重合），在三角形外作等边△CDE，连结AE、BD．（1）根据题意画出图形；（2）求证：AE＝BD；（3）△BDC能否为直角三角形？若能，求出BD长；若不能，请说明理由．【分析】（1）依题意画出图形即可；（2）由等边三角形的性质得AC＝BC，CE＝CD，∠ACE＝∠BCD＝60°，再证△ACE≌△BCD（SAS），即可得出结论；（3）当∠CBD＝30°时，△BDC是直角三角形，此时∠BDC＝90°，再由含30°角的直角三角形的性质得CD=12BC＝2，然后由勾股定理即可得出BD的长．【解答】（1）解：如图所示；（2）证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACE＝∠BCD＝60°，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD；（3）解：△BDC能为直角三角形，理由如下：由题意得：当∠CBD＝30°时，△BDC是直角三角形，此时∠BDC＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝4，∵∠CBD＝30°，∴CD=12BC＝2，∴BD=BC2-CD2=42-22=23，即△BDC能为直角三角形，BD的长为23．【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．23．（8分）在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．（1）若α＝90°时，直接写出CD与CB的数量关系为 CD＝CB ；（2）如图1，当α≠90°时，（1）中结论是否还成立，说明理由；（3）如图2，O为AC中点，M为AB上一点，BM＝AD，求CMDO的值．【分析】（1）利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可；（2）过点C作CE⊥AB于E，CF⊥AD，交AD的延长线于F，利用角平分线的性质可得CE＝CF，再证明△CDF≌△CBE（AAS），从而证明结论；（3）延长DO至点N，使ON＝DO，连接AN，首先利用SAS证明△AON≌△COD，得∠N＝∠CDO，AN＝CD＝CB，再证明△AND≌△BCM（SAS），得CM＝DN＝2DO，即可得出答案．【解答】解：（1）当α＝90°时，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可得CD＝CB，故答案为：CD＝CB；（2）仍然有CD＝CB，理由如下：过点C作CE⊥AB于E，CF⊥AD，交AD的延长线于F，则∠CEB＝∠CFD＝90°，∵∠ADC+∠CDF＝180°，∠ADC＝180°﹣a，∴∠CDF＝α＝∠ABC，∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，∴△CDF≌△CBE（AAS），∴CD＝CB；（3）延长DO至点N，使ON＝DO，连接AN，∵AO＝OC，∠AON＝∠COD，∴△AON≌△COD（SAS），∴∠N＝∠CDO，AN＝CD＝CB，∴CD∥AN，∴∠DAN+∠ADC＝180°，∴∠DAN＝180°﹣∠ADC＝α＝∠B，又∵AD＝BM，∴△AND≌△BCM（SAS），∴CM＝DN＝2DO，∴CMDO=2．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．24．（8分）如图，在▱ABCD中AD＞AB．（1）尺规作图：在AD上截取AE，使得AE＝AB．作∠ADC的平分线交BC于点F（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作图形中，连接BE，求证：四边形BEDF是平行四边形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．证明：∵DF平分∠ADC，∴ ∠CDF＝∠ADF ∵在▱ABCD中，BC∥AD，∴ ∠ADF＝∠CFD ∴∠CDF＝∠CFD，∴CD＝CF．∵在▱ABCD中，AB＝CD，又∵AE＝AB，∴AE＝CF．∵在▱ABCD中，AD＝BC，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即 DE＝BF 又∵ DE∥BF ∴四边形BEDF是平行四边形．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）证明DE＝BF，DE∥BF即可．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：∵DF平分∠ADC，∴∠CDF＝∠ADF∵在▱ABCD中，BC∥AD，∴∠ADF＝∠CFD，∴∠CDF＝∠CFD，∴CD＝CF．∵在▱ABCD中，AB＝CD，又∵AE＝AB，∴AE＝CF．∵在▱ABCD中，AD＝BC，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即DE＝BF，又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．故答案为：∠CDF＝∠ADF，∠ADF＝∠CFD，DE＝BF，DE∥BF．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．25．（8分）已知抛物线y＝mx2﹣（1﹣4m）x+c过点（1，a），（﹣1，a），（0，﹣1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知过原点的直线与该抛物线交于A，B两点（点A在点B右侧），该抛物线的顶点为C，连接AC，BC，点D在点A，C之间的抛物线上运动（不与点A，C重合）．当点A的横坐标是4时，若△ABC的面积与△ABD的面积相等，求点D的坐标；（3）若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切．已知点F的坐标是（0，1），过该抛物线上的任意一点（除顶点外）作该抛物线的切线l，分别交直线y＝1和y＝﹣3直线于点P，Q，求FP2﹣FQ2的值．【分析】（1）由所给的点可知抛物线的对称轴为直线x＝0，由此可求m的值，再将点（0，﹣1）代入即可求解析式；（2）求出A（4，3）和直线OA的解析式y=34x，解法一：联立方程组求出B（﹣1，-34），过点D作DM⊥x轴交直线AB于点M，设D（t，14t2﹣1），再由三角形的面积关系求出t的值即可求D点坐标；解法二：分别过点C，D作AB的垂线，垂足为S，T，可得∠CSB＝∠DTB＝90°，所以CS∥DT．根据△ABC的面积与△ABD的面积相等，可得CS＝DT．所以四边形CSTD是平行四边形，进而可求D点坐标；（3）根据切线l不过该抛物线的顶点，可以设切线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），然后将y＝kx+b代入y=14x2-1，得14x2-1=kx+b，根据题意得Δ＝0，整理得b＝﹣k2﹣1，可得切线l的解析式是y＝kx﹣k2﹣1，将y＝1代入y＝kx﹣k2﹣1，表示出P，Q两点坐标，进而可以解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣（1﹣4m）x+c过点（0，﹣1），∴c＝﹣1，∵抛物线y＝mx2﹣（1﹣4m）x+c过点（1，a），（﹣1，a），∴抛物线的对称轴是y轴，即1-4m2m=0，∴m=14，∴该抛物线的解析式是y=14x2-1；（2）将x＝0代入y=14x2-1，得y＝﹣1，∴顶点C的坐标是（0，﹣1），∴OC＝1．将x＝4代入y=14x2-1，得y＝3，∴点A的坐标是（4，3），∴直线OA的解析式是y=34x，解法一：将y=34x代入y=14x2-1，得14x2-1=34，解得x1＝4，x2＝﹣1，∴点B的横坐标为﹣1，∴S△ABC=S△AOC+S△BOC=12×4×OC+12×1×OC=52OC=52，连接AD，BD，过点D作DQ垂直x轴交AB于点Q，分别过点A，B作DQ的垂线，垂足为M，N，设D(t，14t2-1)，∴Q(t，34t)∴S△ABD＝S△ADQ+S△BDQ=12×DQ•AM+12×DQ•BN=4-t2DQ+t-(-1)2DQ=52DQ，∵S△ABD＝S△ABC，∴52DQ=52．∵点D是点A，C之间的抛物线上的点（不与点A，C重合），∴点Q在点D上方，∴34t-(14t2-1)=1，即14t(3-t)=0，解得t1＝0（舍去），t2＝3，∴点D的坐标是(3，54)；解法二：∵点D是点A，C之间的抛物线上的点（不与点A，C重合），∴点C，D在AB的同侧．分别过点C，D作AB的垂线，垂足为S，T，∴∠CSB＝∠DTB＝90°，∴CS∥DT．∵△ABC的面积与△ABD的面积相等，∴CS＝DT．∴四边形CSTD是平行四边形，∴直线CD可由直线AB向下平移1个单位得到，∴直线CD的解析式是y=34x-1，将y=34x-1代入y=14x2-1，得14x2-1=34x-1，解得x1＝0（舍去），x2＝3，∴点D的坐标是(3，54)；（3）∵切线l不过该抛物线的顶点，∴设切线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），将y＝kx+b代入y=14x2-1，得14x2-1=kx+b，整理得x2﹣4kx﹣4b﹣4＝0，依题意得Δ＝0，即（﹣4k）2﹣4×1×（﹣4b﹣4）＝16k2+16b+16＝0，∴b＝﹣k2﹣1，∴切线l的解析式是y＝kx﹣k2﹣1，将y＝1代入y＝kx﹣k2﹣1，得x=k2+2k，∴P(k2+2k，1)，将y＝﹣3代入y＝kx﹣k2﹣1，得x=k2-2k，∴Q(k2-2k，-3)，∵F（0，1），∴FP2=(k2+2k)2，由勾股定理得FQ2=(k2-2k)2+(-3-1)2，∴FP2-FQ2=(k2+2k)2-[(k2-2k)2+(-3-1)2]=(k2+2k+k2-2k)(k2+2k-k2-2k)-16=2k2k•4k-16＝8﹣16＝﹣8．【点评】本题属于二次函数的综合题，考查二次函数图象的性质、解一元二次方程，三角形面积求法，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
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