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山东省临沂市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟卷（一模二模）含解析
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这是一份山东省临沂市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟卷（一模二模）含解析，共48页。试卷主要包含了选一选，填 空 题等内容，欢迎下载使用。
山东省临沂市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟卷
（一模）
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图是几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 圆锥 B. 圆柱 C. 三棱柱 D. 三棱锥
3. 神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为（）
A 2.8×103 B. 28×103 C. 2.8×104 D. 0.28×105
4. 内角和为540°的多边形是（ ）
A. B. C. D.
5. 在2016年泉州市初中体育中考中，随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为：158，160，154，158，170，则由这组数据得到的结论错误的是（ ）
A. 平均数为160 B. 中位数为158 C. 众数为158 D. 方差为20.3
6. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（ ）
A. 52° B. 38° C. 42° D. 60°
7. 下列运算正确的是（ ）
A. （a﹣3）2=a2﹣9 B. （）﹣1=2 C. x+y=xy D. x6÷x2=x3
8. 如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ）
A. B. 2 C. 3 D. 1.5
9. 九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，在4×4的正方形网格中，黑色部分的图形构成了一个轴对称图形，现在任意取一个白色小正方形涂黑，使黑色部分仍然是一个轴对称图形的概率是（ ）
A. B. C. D.
11. 若关于的一元二次方程有两个没有相等的实数根，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
12. 如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A11B11C11D11E11F11的边长为（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 分解因式：x2﹣4=__．
14. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向60°，距离灯塔为4海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB长_____海里．
15. 若式子有意义，则x的取值范围是___．
16. 股市规定：股票每天的涨、跌幅均没有超过10%，即当涨了原价的10%后，便没有能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便没有能再跌，叫做跌停．若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是_____．
17. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与CD相交于点G，且OE=OD，则AP长为__________．
18. 如图，反比例函数y=的图象上，点A是该图象象限分支上的动点，连结AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边作等腰直角△ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连结BP，在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点A的坐标为_____．
三、（本大题共2小题，每小题满分12分，共12分）
19. 计算：（﹣1）2018﹣2+|1﹣|+3tan30°．
20. 分式方程＝1的解为________．
四．（本大题共2小题，每小题满分16分，共16分）
21. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）
（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；
（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．
22. 某校组织了初三科技小制作比赛，有A．B．C，D四个班共提供了100件参赛作品. C班提供的
参赛作品的获奖率为50%，其他几个班的参赛作品情况及获奖情况绘制在下列图l和图2两幅尚没有完整的统
计图中 .
(1)B班参赛作品有多少件？
(2)请你将图②的统计图补充完整；
(3)通过计算说明，哪个班的获奖率高？
(4)将写有A，B，C，D四个字母的完全相同的卡片放入箱中，从中随机抽出两张卡片，求抽到A，B两班的概率 .
五．（本大题满分8分）
23. 如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上动点，且AE=BF=CG=DH．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）在点E、F、G、H运动过程中，判断直线EG是否某一个定点，如果是，请证明你的结论；如果没有是，请说明理由
六．（本大题满分10分）
24. 某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球20个，B种品牌的足球30个，共花费4600元，已知购买4个B种品牌的足球与购买5个A种品牌的足球费用相同．
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元．
（2）学校为了响应习“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共42个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比次购买时提高5元，B品牌足球按次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用没有超过次花费的80%，且保证这次购买的B种品牌足球没有少于20个，则这次学校有哪几种购买？
（3）请你求出学校在第二次购买中至多需要多少资金？
七．（本大题满分10分）
25. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC的延长线于过点A的直线相交于点E，且∠B=∠EAC．
（1）求证：AE是⊙O切线；
（2）过点C作CG⊥AD，垂足为F，与AB交于点G，若AG•AB=36，ta=，求DF的值
八．（本大题满分10分）
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（ ，0），C（，0），且，直线 轴，在 轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．
（1）求抛物线解析式；
（2）当0＜t≤8时，求 APC面积的值；
（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出此时t的值；若没有存在，请说明理由．
山东省临沂市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟卷
（一模）
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解．
【详解】解：∵，
∴的倒数是.
故选C
2. 如图是几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 圆锥 B. 圆柱 C. 三棱柱 D. 三棱锥
【正确答案】C
【详解】分析：根据一个空间几何体的主视图和左视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断是三棱柱，得到答案．
详解：∵几何体的主视图和左视图都是长方形，
故该几何体是一个柱体，
又∵俯视图是一个三角形，
故该几何体是一个三棱柱，
故选C．
点睛：本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
3. 神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为（）
A. 2.8×103 B. 28×103 C. 2.8×104 D. 0.28×105
【正确答案】C
【详解】试题分析：28000=1.1×104．故选C．
考点：科学记数法—表示较大的数．
4. 内角和为540°的多边形是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】设它是n边形，
根据题意得，（n﹣2）•180°=540°，
解得：n=5．
故选：C．
5. 在2016年泉州市初中体育中考中，随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为：158，160，154，158，170，则由这组数据得到的结论错误的是（ ）
A. 平均数为160 B. 中位数为158 C. 众数为158 D. 方差为20.3
【正确答案】D
【详解】解：A．平均数为（158+160+154+158+170）÷5=160，正确，故本选项没有符合题意；
B．按照从小到大的顺序排列为154，158，158，160，170，位于中间位置的数为158，故中位数为158，正确，故本选项没有符合题意；
C．数据158出现了2次，次数至多，故众数为158，正确，故本选项没有符合题意；
D．这组数据的方差是S2=[（154﹣160）2+2×（158﹣160）2+（160﹣160）2+（170﹣160）2]=28.8，错误，故本选项符合题意．
故选D．
点睛：本题考查了众数、平均数、中位数及方差，解题的关键是掌握它们的定义，难度没有大．
6. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（ ）
A. 52° B. 38° C. 42° D. 60°
【正确答案】A
【详解】试题分析：如图：∵∠3=∠2=38°°（两直线平行同位角相等），∴∠1=90°﹣∠3=52°，故选A．
考点：平行线的性质．
7. 下列运算正确的是（ ）
A. （a﹣3）2=a2﹣9 B. （）﹣1=2 C. x+y=xy D. x6÷x2=x3
【正确答案】B
【详解】分析：根据完全平方公式、负整数指数幂，合并同类项以及同底数幂的除法的运算法则进行计算即可判断出结果.
详解：A. （a﹣3）2=a2﹣6a+9,故该选项错误；
B. （）﹣1=2，故该选项正确；
C.x与y没有是同类项，没有能合并，故该选项错误；
D. x6÷x2=x6-2=x4，故该选项错误.
故选B.
点睛：可没有是主要考查了完全平方公式、负整数指数幂，合并同类项以及同度数幂的除法的运算，熟记它们的运算法则是解题的关键.
8. 如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ）
A. B. 2 C. 3 D. 1.5
【正确答案】A
【详解】分析：作OH⊥BC于H，首先证明∠BOC=120，在Rt△BOH中，BH=OB•sin60°=1×，即可推出BC=2BH=，
详解：作OH⊥BC于H．
∵∠BOC=2∠BAC，∠BOC+∠BAC=180°，
∴∠BOC=120°，
∵OH⊥BC，OB=OC，
∴BH=HC，∠BOH=∠HOC=60°，
在Rt△BOH中，BH=OB•sin60°=1×＝，
∴BC=2BH=.
故选A．
点睛：本题考查三角形的外接圆与外心、锐角三角函数、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
9. 九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得，．故选C．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
10. 如图，在4×4的正方形网格中，黑色部分的图形构成了一个轴对称图形，现在任意取一个白色小正方形涂黑，使黑色部分仍然是一个轴对称图形的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由在4×4正方形网格中，任选取一个白色小正方形并涂黑，共有16种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵由题意，共16-3=13种等可能情况，其中构成轴对称图形的有如下5个图所示的5种情况，
∴概率为：；
故选：B．
本题考查了求概率的方法：先列表展示所有等可能的结果数n，再找出某发生的结果数m，然后根据概率的定义计算出这个的概率=．
11. 若关于的一元二次方程有两个没有相等的实数根，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【详解】∵方程有两个没有相等的实数根，
∴，
解得：，即异号，
当时，函数的图象过一三四象限，
当时，函数的图象过一二四象限，
故选：B．
12. 如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A11B11C11D11E11F11的边长为（ ）
A B. C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：连接OE1，OD1，OD2，如图，根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°，则△E1OD1为等边三角形，再根据切线的性质得OD2⊥E1D1，于是可得OD2=E1D1=×2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，依此规律可得正六边形A11B11C11D11E11F11的边长=（）10×2，然后化简即可．
详解：连接OE1，OD1，OD2，如图，
∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形，
∴∠E1OD1=60°，
∴△E1OD1为等边三角形，
∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，
∴OD2⊥E1D1，
∴OD2=E1D1=×2，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，
同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，
则正六边形A11B11C11D11E11F11的边长=（）10×2=．
故选A．
点睛：本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．记住正六边形的边长等于它的半径．
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 分解因式：x2﹣4=__．
【正确答案】(x+2)(x-2)##(x-2)(x+2)
【详解】解：由平方差公式ɑ2-b2=（ɑ+b)(ɑ-b)可得
x2﹣4=（x+2）（x﹣2），
故答案是：（x+2）（x﹣2）．
14. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向60°，距离灯塔为4海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB长_____海里．
【正确答案】2
【详解】分析：首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=60°，AP=4海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=60°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP•cos∠A=2海里．
详解：如图，由题意可知∠NPA=60°，AP=4海里，∠ABP=90°．
∵AB∥NP，
∴∠A=∠NPA=60°．
在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=60°，AP=4海里，
∴AB=AP•cos∠A=4×cos60°=4×=2海里．
故答案为2．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，正确理解方向角的定义是解题的关键．
15. 若式子有意义，则x的取值范围是___．
【正确答案】且
【详解】∵式子在实数范围内有意义，
∴x+1≥0，且x≠0，
解得：x≥-1且x≠0，
故答案为x≥-1且x≠0．
16. 股市规定：股票每天的涨、跌幅均没有超过10%，即当涨了原价的10%后，便没有能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便没有能再跌，叫做跌停．若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是_____．
【正确答案】.
【分析】股票跌停就跌到原来价格的90%，再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能≤10%，设这两天此股票股价的平均增长率为x，每天相对于前就上涨到1+x，由此列出方程解答即可．
【详解】设这两天此股票股价的平均增长率为x，由题意得
（1﹣10%）（1+x）2＝1．
故（1﹣10%）（1+x）2＝1．
本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则两次变化后的数量关系为
17. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与CD相交于点G，且OE=OD，则AP的长为__________．
【正确答案】4.8
【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，
根据题意得：△ABP≌△EBP，
∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，
在△ODP和△OEG中，
，
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP=OG，PD=GE，
∴DG=EP，
设AP=EP=x，则PD=GE=6﹣x，DG=x，
∴CG=8﹣x，BG=8﹣（6﹣x）=2+x，
根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2，
即62+（8﹣x）2=（x+2）2，
解得：x=4.8，
∴AP=4.8；
故答案为4.8．
18. 如图，反比例函数y=的图象上，点A是该图象象限分支上的动点，连结AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边作等腰直角△ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连结BP，在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点A的坐标为_____．
【正确答案】
【详解】分析：连接OC，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，则有△AOE≌△OCF，进而可得出AE=OF、OE=CF，根据角平分线的性质可得出，设点A的坐标为（a，）（a＞0），由可求出a值，进而得到点A的坐标．
详解：连接OC，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，如图所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OA=OC，OC⊥AB，
∴∠AOE+∠COF=90°．
∵∠COF+∠OCF=90°，
∴∠AOE=∠OCF．
在△AOE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△OCF（AAS），
∴AE=OF，OE=CF．
∵BP平分∠ABC，
∴，
∴．
设点A的坐标为（a，），
∴，
解得：a=或a=-（舍去），
∴=，
∴点A的坐标为，
故答案为（）．
点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形性质的综合运用，构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题满分12分，共12分）
19. 计算：（﹣1）2018﹣2+|1﹣|+3tan30°．
【正确答案】﹣6+2
【详解】分析：直接利用二次根式的性质以及值的性质和角的三角函数值分别化简求出答案．
详解：原式=1﹣6+﹣1+3×
=﹣5+﹣1+
=﹣6+2．
点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数解题关键．
20. 分式方程＝1的解为________．
【正确答案】X=1；
【详解】分析：分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
详解：去分母得：2−3x=x−2，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解.
故选A.
点睛：本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定要注意验根.
四．（本大题共2小题，每小题满分16分，共16分）
21. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）
（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；
（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．
【正确答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）P（，0）．
【分析】（1）分别将点A、B、C向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接；
（2）根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可；
（3）利用最短路径问题解决，首先作A1点关于x轴的对称点A3，再连接A2A3与x轴的交点即为所求．
【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求做的三角形；
（2）如图所示，△A2B2O为所求做的三角形；
（3）∵A2坐标为（3，1），A3坐标为（4，﹣4），
∴A2A3所在直线的解析式为：y=﹣5x+16，
令y=0，则x=，
∴P点的坐标（，0）．
考点：平移变换；旋转变换；轴对称-最短路线问题．
22. 某校组织了初三科技小制作比赛，有A．B．C，D四个班共提供了100件参赛作品. C班提供的
参赛作品的获奖率为50%，其他几个班的参赛作品情况及获奖情况绘制在下列图l和图2两幅尚没有完整的统
计图中 .
(1)B班参赛作品有多少件？
(2)请你将图②的统计图补充完整；
(3)通过计算说明，哪个班的获奖率高？
(4)将写有A，B，C，D四个字母的完全相同的卡片放入箱中，从中随机抽出两张卡片，求抽到A，B两班的概率 .
【正确答案】（1）25件；（2）见解析；（3）B班的获奖率高；（4）.
【详解】试题分析：（1）直接利用扇形统计图中百分数，进而求出B班参赛作品数量；
（2）利用C班提供的参赛作品的获奖率为50%，C班参赛数量得出获奖数量；
（3）分别求出各班的获奖百分率，进而求出答案；
（4）利用树状统计图得出所有符合题意的答案进而求出其概率．
试题解析：（1）由题意可得：100×（1﹣35%﹣20%﹣20%）=25（件），
答：B班参赛作品有25件；
（2）∵C班提供的参赛作品的获奖率为50%，∴C班的参赛作品的获奖数量为：100×20%×50%=10（件），
如图所示：
；
（3）A班获奖率为：×=40%，B班的获奖率为：×=44%，
C班的获奖率为：=50%；D班的获奖率为：×=40%，
故C班的获奖率高；
（4）如图所示：
，
故一共有12种情况，符合题意的有2种情况，则从中随机抽出两张卡片，求抽到A、B两班的概率为：=．
考点：1．列表法与树状图法；2．扇形统计图；3．条形统计图．
五．（本大题满分8分）
23. 如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的动点，且AE=BF=CG=DH．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）在点E、F、G、H运动过程中，判断直线EG是否某一个定点，如果是，请证明你的结论；如果没有是，请说明理由
【正确答案】（1）见解析；（2）直线EG一个定点，这个定点为正方形的（AC、BD的交点）；理由见解析.
【详解】分析：（1）由正方形的性质得出∠A=∠C=90°，AB=BC=CD=DA，由AE=BF=CG=DH证出AH=CF，由SAS证明△AEH≌△CGF即可求解；
（2）连接AC、EG，交点为O；先证明△AOE≌△COG，得出OA=OC，证出O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的．
详解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=90°，AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=CF，
在△AEH与△CGF中，
AH=CF，∠A=∠C，AE=CG，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；
（2）直线EG一个定点，这个定点为正方形的（AC、BD的交点）；理由如下：
连接AC、EG，交点为O；如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠OAE=∠OCG，
在△AOE和△COG中，
∠OAE=∠OCG，∠AOE=∠COG，AE=CG，
∴△AOE≌△COG（AAS），
∴OA=OC，OE=OG，
即O为AC的中点，
∵正方形的对角线互相平分，
∴O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的．
点睛：考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．
六．（本大题满分10分）
24. 某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球20个，B种品牌的足球30个，共花费4600元，已知购买4个B种品牌的足球与购买5个A种品牌的足球费用相同．
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元．
（2）学校为了响应习“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共42个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比次购买时提高5元，B品牌足球按次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用没有超过次花费的80%，且保证这次购买的B种品牌足球没有少于20个，则这次学校有哪几种购买？
（3）请你求出学校在第二次购买中至多需要多少资金？
【正确答案】（1）购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元；（2）有三种，具体见解析；（3）3150元．
【分析】(1)、设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，根据题意列出二元方程组，从而求出x和y的值得出答案；
(2)、设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球(42－m)个，根据题意列出没有等式组求出m的取值范围，从而得出答案；
(3)、设学校在第二次购买中的费用为元，再列出函数的关系式，然后利用函数性质得出答案.
【详解】解：(1) 设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元
，解得
答：购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球分别需要元，元；
(2) 设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球(50－m)个
，
解得：
∵m为整数
∴，
所以一共有三种：种：购买A种足球个，则购买B种足球个，
第二种：购买A种足球个，则购买B种足球个，
第三种：购买A种足球个，则购买B种足球个．
(3)设学校在第二次购买中的费用为元，
则
＜ 则随的增大而减小，
所以当时，为：元；
答：学校在第二次购买中至多需要元．
七．（本大题满分10分）
25. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC的延长线于过点A的直线相交于点E，且∠B=∠EAC．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）过点C作CG⊥AD，垂足为F，与AB交于点G，若AG•AB=36，ta=，求DF的值
【正确答案】（1）见解析；（2）4
【详解】分析：（1）欲证明AE是⊙O切线，只要证明OA⊥AE即可；
（2）由△ACD∽△CFD，可得，想办法求出CD、AD即可解决问题.
详解：（1）证明：连接CD．
∵∠B=∠D，AD是直径，
∴∠ACD=90°，∠D+∠1=90°，∠B+∠1=90°，
∵∠B=∠EAC，
∴∠EAC+∠1=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线．
（2）∵CG⊥AD．OA⊥AE，
∴CG∥AE，
∴∠2=∠3，
∵∠2=∠B，
∴∠3=∠B，
∵∠CAG=∠CAB，
∴△ABC∽△ACG，
∴，
∴AC2=AG•AB=36，
∴AC=6，
∵tanD=ta=，
在Rt△ACD中，tanD==
CD==6，AD==6，
∵∠D=∠D，∠ACD=∠CFD=90°，
∴△ACD∽△CFD，
∴，
∴DF=4，
点睛：本题考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
八．（本大题满分10分）
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（ ，0），C（，0），且，直线 轴，在 轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜t≤8时，求 APC面积的值；
（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出此时t的值；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）；（2）12；（3）t=或t=或t=14．
【分析】（1）首先利用根与系数的关系得出：，条件求出的值，然后把点B，C的坐标代入解析式计算即可；
（2）分0＜t＜6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的值；
（3）分2＜t≤6时和t＞6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．
【详解】解：（1）由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的两根，
∴x1+x2=8，
由
解得：
∴B（2，0）、C（6，0）
则4m﹣16m+4m+2=0，
解得：m=
∴该抛物线解析式为：y=；．
（2）可求得A（0，3）
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵
∴
∴直线AC的解析式为：y=﹣ x+3，
要构成 APC，显然t≠6，分两种情况讨论：
当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣），
∵P（t，），∴PF=，
∴S△APC=S△APF+S△CPF
=
=
=，
此时值为：，
②当6≤t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣），
∵P（t，），∴PM=，
∴S△APC=S△APF﹣S△CPF=
=
=，
当t=8时，取值，值为：12，
综上可知，当0＜t≤8时， APC面积的值为12；
（3）如图，连接AB，则AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，
Q（t，3），P（t，），
①当2＜t≤6时，AQ=t，PQ=，
若：，则：，
即：，
∴t=0（舍），或t=，
若△AOB∽△PQA，则：，
即：，
∴t=0（舍）或t=2（舍），
②当t＞6时， =t，
若：△AOB∽△AQP，则：，
即：，
∴t=0（舍），或t=，
若△AOB∽△PQA，则：，
即：，
∴t=0（舍）或t=14，
∴t=或t=或t=14
本题是二次函数综合题目，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积公式、相似三角形的性质，利用分类讨论的思想和方程思想求解是解决本题的关键．
山东省临沂市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟卷
（二模）
一、单 选 题
1. 16 的平方根是（ ）
A. 6 B. -4 C. ±4 D. ±8
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. 4a2-2a2=2 B. a2•a4=a3 C. （a-b）2=a2-b2 D. （a+b）2=a2+2ab+b2
4. 一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形的边数为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5. 没有等式组的解集为．则的取值范围为（ ）
A B. C. D.
6. 如图，在直角坐标系中，四边形 OABC 为菱形，对角线 OB、AC 相交于 D 点，已知 A点的坐标为（10，0），双曲线 y=（ x＞0 ） D 点，交 BC 的延长线于 E 点，且 OB•AC=120（OB＞AC），有下列四个结论：①双曲线的解析式为y=（x＞0）；②E 点的坐标是（4，6）；③sin∠COA=；④EC=；⑤AC+OB=8．其中正确的结论有（ ）
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
二、填 空 题
7. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________．
8. 十八大以来，全国有 6800 多万人口摆脱贫困，以的带领中国 人民创造了人类减贫史上的奇迹．把 6800 万用科学记数法表示为__________．
9. 分解因式：m3﹣9m＝_____．
10. 若一组数据 3，4，x，6，8 的平均数为 5，则这组数据的方差是__________．
11. 如图，△ABC中，点D在BA的延长线上，DE∥BC，如果∠BAC=80°，∠C=33°，那 么∠BDE的度数是__________.
12. 已知实数a在数轴上的位置如图，则化简|1﹣a|+的结果为_____．
13. 如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形.若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是___________________．
14. “六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套.已知 2 套文具和 3 套 图书需 104 元，3 套文具和 2 套图书需 116 元，则 1 套文具和 1 套图书需__________元．
15. 如图，二次函数的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①abc＞0；②a=b；③a=4c﹣4；④方程有两个相等的实数根，其中正确的结论是______．（只填序号即可）．
16. 如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)、B(0，-3)，以点B为圆心、2 为半径的⊙B上 有一动点P.连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为__________．
三、解 答 题
17. 计算：( -π)0+ cos45°+（ ）-2.
18. 先化简，再求值：
，其中m满足方程m2-4m=0．
19. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根、满足，求的值．
20. 某中学开展了“手机伴我健康行”主题，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷，并绘制成如图①，②所示的统计图，已知“查资料”的人数是40人．
请你根据图中信息解答下列问题：
(1)在扇形统计图中，“玩游戏”对应的圆心角度数是_____°；
(2)补全条形统计图；
(3)该校共有学生1200人，试估计每周使用手机时间在2小时以上(没有含2小时)的人数.
21. 小王和小李都想去体育馆，观看在我县举行的“杯”青少年校园 足球联赛，但两人只有一张门票，两人想通过摸球的方式来决定谁去观看，规则如下： 在两个盒子内分别装入标有数字 1，2，3，4 的四个和标有数字 1，2，3 的三个完全相 同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于 6，那 么小王去，否则就是小李去．
（1）用树状图或列表法求出小王去概率；
（2）小李说：“这种规则没有公平.”你认同他的说法吗？请说明理由．
22. 如图，在□ABCD 中，∠ADB=90°，点 E 为 AB 边中点，点 F 为CD 边的中点．
（1）求证：四边形 DEBF 是菱形；
（2）当∠A 等于多少度时，四边形 DEBF 是正方形？并说明你的理由．
23. 3月初某商品价格上涨，每件价格上涨20%.用3000元买到的该商品件数比涨价前少20件．3月下旬该商品开始降价，两次降价后，该商品价格为每件19.2元．
（1）求3月初该商品上涨后的价格；
（2）若该商品两次降价率相同，求该商品价格的平均降价率．
24. 已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC＝3，BC＝4，求BE的长．
（3）在（2）的条件中，求cos∠EAD的值．
25. 【操作发现】如图 1，△ABC 为等边三角形，点 D 为 AB 边上一点，∠DCE=30°，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 60°得到线段 CF，连接 AF、EF. 请直接 写出下列结果：
① ∠EAF的度数为__________；
② DE与EF之间的数量关系为__________；
【类比探究】如图 2，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点 D 为 AB 边上的一点∠DCE=45°，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到线段 CF，连接 AF、EF.
①则∠EAF的度数为__________；
② 线段 AE，ED，DB 之间有什么数量关系？请说明理由；
【实际应用】如图 3，△ABC 是一个三角形的余料.小张同学量得∠ACB=120°，AC=BC， 他在边 BC 上取了 D、E 两点，并量得∠BCD=15°、∠DCE=60°，这样 CD、CE 将△ABC 分成三个小三角形，请求△BCD、△DCE、△ACE 这三个三角形的面积之比.
26. 如图1，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2+bx+c，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且点A坐标为(-1，0).又P是抛物线上位于象限的点，直线AP与y轴交于点D，与抛物线对称轴交于点E，点C与坐标原点O关于该对称轴成轴对称.
（1）求点 B 的坐标和抛物线的表达式；
（2）当 AE：EP=1：4 时，求点 E 的坐标；
（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到 OC ′，旋转角为 α(0°＜α＜90°)，连接 C ′D、C′B，求 C ′B+ C′D 的最小值．
山东省临沂市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟卷
（二模）
一、单 选 题
1. 16 的平方根是（ ）
A. 6 B. -4 C. ±4 D. ±8
【正确答案】C
【详解】解：∵（±4）2=16，∴16的平方根是±4．故选C．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. 4a2-2a2=2 B. a2•a4=a3 C. （a-b）2=a2-b2 D. （a+b）2=a2+2ab+b2
【正确答案】D
【详解】解：A．4a2﹣2a2=2a2，错误；
B．a2a4=a6，错误；
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，错误；
D．（a+b）2=a2+2ab+b2，正确．
故选D．
4. 一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形的边数为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【正确答案】D
【分析】先求出多边形的每一个外角的度数，继而根据多边形的外角和为360度进行求解即可.
【详解】∵一个多边形的每个内角都等于135°，
∴这个多边形的每个外角都等于180°-135°=45°，
∵多边形的外角和为360度，
∴这个多边形的边数为：360÷45=8，
故选D.
本题考查了多边形的外角和内角，熟练掌握多边形的外角和为360度是解本题的关键.
5. 没有等式组解集为．则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】求出没有等式组的解集，根据已知得出关于k的没有等式，求出没有等式的解集即可．
【详解】解：解没有等式组，得．
∵没有等式组的解集为x＜2，
∴k＋1≥2，
解得k≥1．
故选B．
本题考查了解一元没有等式组的应用，解此题的关键是能根据没有等式组的解集和已知得出关于k的没有等式，难度适中．
6. 如图，在直角坐标系中，四边形 OABC 为菱形，对角线 OB、AC 相交于 D 点，已知 A点的坐标为（10，0），双曲线 y=（ x＞0 ） D 点，交 BC 的延长线于 E 点，且 OB•AC=120（OB＞AC），有下列四个结论：①双曲线的解析式为y=（x＞0）；②E 点的坐标是（4，6）；③sin∠COA=；④EC=；⑤AC+OB=8．其中正确的结论有（ ）
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
【正确答案】A
【详解】解：如图，过B作BF⊥x轴于点F，过D作DG⊥x轴于点G，过C作CH⊥x轴于点H．∵A（10，0），∴OA=10，∴S菱形ABCD=OA•BF=AC•OB=×120=60，即10BF=60，∴BF=6．在Rt△ABF中，AB=10，BF=8，由勾股定理可得AF=8，∴OF=OA+AF=10+8=18．∵四边形OABC菱形，∴D为OB中点，∴DG=BF=×6=3，OG=OF=×18=9，∴D（9，3）．∵双曲线过点D，∴3=，解得：k=27，∴双曲线解析式为y=，故①正确；
∵BC∥OF，BF=6，∴6=，x=，∴E（，6）．故②错误；
在Rt△OCH中，OC=10，CH=6，∴sin∠COA===，故③正确；
∵C（8，6），E（，6），∴EC=8﹣=，故④正确．在Rt△OBF中，OF=18，BF=6，∴OB==6．∵AC•OB=120，∴AC==2，∴AC+OB=6+2=8，故⑤正确；
综上可知：正确的为①③④⑤共4个．故选A．
点睛：本题主要考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、菱形的性质、直角三角形、菱形的面积等知识．利用菱形的面积求得B到x轴的距离是解题的关键，注意菱形两个面积公式的灵活运用．本题考查了知识点较基础，综合性很强，但难度没有大．
二、填 空 题
7. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________．
【正确答案】
【详解】解：二次根式中被开方数，所以．
故．
8. 十八大以来，全国有 6800 多万人口摆脱贫困，以的带领中国 人民创造了人类减贫史上的奇迹．把 6800 万用科学记数法表示为__________．
【正确答案】6.8×107
【详解】解：6800万=6800 0000=6.8×107．故答案为6.8×107．
点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9. 分解因式：m3﹣9m＝_____．
【正确答案】m（m+3）（m-3）
【详解】分析：首先提取公因式m，然后再利用平方差公式进行因式分解即可得出答案．
详解：原式=．
点睛：本题主要考查的是因式分解，属于基础题型．因式分解有提取公因式、公式法、十字相乘法等等，如果有公因式，首先都需要提取公因式．
10. 若一组数据 3，4，x，6，8 的平均数为 5，则这组数据的方差是__________．
【正确答案】3.2
【详解】解：根据题意得：（3+4+x+6+8）=5×5，解得：x=4，则这组数据为3，4，4，6，8平均数为5，所以这组数据的为s2=[（3﹣5）2+（4﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]=3.2．故答案为3.2．
11. 如图，△ABC中，点D在BA的延长线上，DE∥BC，如果∠BAC=80°，∠C=33°，那 么∠BDE的度数是__________.
【正确答案】113°
【详解】解：∵∠BAC=80°，∠C=33°，∴△ABC中，∠B=67°．∵DE∥BC，∴∠BDE=180°﹣∠B=180°﹣67°=113°．故答案为113°．
12. 已知实数a在数轴上的位置如图，则化简|1﹣a|+的结果为_____．
【正确答案】1-2a
【详解】由图可知：，
∴，
∴.
故答案为.
13. 如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形.若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是___________________．
【正确答案】60°或120°
【详解】如图，连接OB，则AB=OA=OB=BC，
故可得出△AOB是等边三角形，
所以∠ADC=60°，∠AD′C=120°．
故答案为60°或120°．
考点：1、圆内接四边形的性质；2、菱形的性质；3、圆周角定理
14. “六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套.已知 2 套文具和 3 套 图书需 104 元，3 套文具和 2 套图书需 116 元，则 1 套文具和 1 套图书需__________元．
【正确答案】44
【详解】解：设1套文具x元，1套图书y元，根据题意得：，①+②，得：5x+5y=220，∴x+y=44．故答案为44．
点睛：本题考查了二元方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元方程组是解题的关键．
15. 如图，二次函数的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①abc＞0；②a=b；③a=4c﹣4；④方程有两个相等的实数根，其中正确的结论是______．（只填序号即可）．
【正确答案】③④．
【详解】解：①∵根据图示知，抛物线开口方向向下，∴a＜0．
由对称轴在y轴的右侧知b＞0，∵抛物线与y轴正半轴相交，∴c＞0，∴abc＜0．故①错误；
②∵抛物线对称轴直线x=，∴a=﹣b．故②错误；
③∵该抛物线的顶点坐标为（，1），∴1=，∴b2﹣4ac=﹣4a．∵b=﹣a，∴a2﹣4ac=﹣4a，∵a≠0，等式两边除以a，得a﹣4c=﹣4，即a=4c﹣4．故③正确；
④∵二次函数的值为1，即，∴方程有两个相等的实数根．故④正确．
综上所述，正确的结论有③④．
故答案为③④．
点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数（a≠0）的系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
16. 如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)、B(0，-3)，以点B为圆心、2 为半径的⊙B上 有一动点P.连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为__________．
【正确答案】
【详解】解：作A关于y轴的对称点A′，则A′（－4，0），∴OC是△AA′P的中位线，当A′P取最小值时，OC取最小值．连接A′B交⊙B于点P，此时A′P最小．在Rt△OA′B中，OA′=4，OB=3，∴A′B=5，∴A′P=5-2=3，∴OC=，∴OC的最小值．故答案为．
三、解 答 题
17. 计算：( -π)0+ cos45°+（ ）-2.
【正确答案】9
【详解】试题分析：先计算零指数幂、化简二次根式、代入三角函数值、计算负整数指数幂，再计算乘法，加减可得．
试题解析：解：原式=1+4×+4=1+4+4=9．
18. 先化简，再求值：
，其中m满足方程m2-4m=0．
【正确答案】 2
【详解】试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
试题解析：解：原式=•=•=
由m2﹣4m=0，得：m（m﹣4）=0，解得：m=0（舍去）或m=4．
当m=4时，原式=2．
19. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根、满足，求的值．
【正确答案】（1）该方程有两个的实数根；（2）m=±4.
【详解】试题分析：（1）求出△=b2﹣4ac的值，判定△≥0即可；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=4，再条件2x1+x2=2可得x1=﹣2，然后再把x的值代入方程可得4+8﹣m2+4=0，再解即可．
试题解析：（1）证明：∵△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m2+4）=16+4m2﹣16=4m2≥0，∴该方程有两个实数根；
（2）∵方程的两个实数根x1、x2，∴x1+x2=4．∵2x1+x2=2，∴x1+4=2，x1=﹣2，把x1=﹣2代入x2﹣4x﹣m2+4=0得：4+8﹣m2+4=0，m=±4．
20. 某中学开展了“手机伴我健康行”主题，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷，并绘制成如图①，②所示的统计图，已知“查资料”的人数是40人．
请你根据图中信息解答下列问题：
(1)在扇形统计图中，“玩游戏”对应的圆心角度数是_____°；
(2)补全条形统计图；
(3)该校共有学生1200人，试估计每周使用手机时间在2小时以上(没有含2小时)的人数.
【正确答案】（1）126；（2）作图见解析（3）768
【分析】（1）根据扇形统计图求出所占的百分比，然后乘以360°即可；
（2）利用“查资料”人人数是40人，查资料”人占总人数40%，求出总人数100，再求出32人 ；
(3)用部分估计整体.
【详解】解：（1）
故126
（2）40÷40%－2－16－18－32＝32(人)
（3）（人）
故估计每周使用手机时间在2小时以上约768人.
21. 小王和小李都想去体育馆，观看在我县举行的“杯”青少年校园 足球联赛，但两人只有一张门票，两人想通过摸球的方式来决定谁去观看，规则如下： 在两个盒子内分别装入标有数字 1，2，3，4 的四个和标有数字 1，2，3 的三个完全相 同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于 6，那 么小王去，否则就是小李去．
（1）用树状图或列表法求出小王去的概率；
（2）小李说：“这种规则没有公平.”你认同他的说法吗？请说明理由．
【正确答案】（1）P(小王)=；(2)没有公平，理由见解析
【详解】试题分析：（1）先利用画树状图展示所有12种等可能的结果数，然后根据概率公式求解即可；
（2）分别计算出小王和小李去植树的概率即可知道规则是否公平．
试题解析：解：（1）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中摸出的球上的数字之和小于6的情况有9种，所以P（小王）=；
（2）没有公平，理由如下：
∵P（小王）=，P（小李）=≠，∴规则没有公平．
点睛：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个的概率，概率相等就公平，否则就没有公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22. 如图，在□ABCD 中，∠ADB=90°，点 E 为 AB 边的中点，点 F 为CD 边的中点．
（1）求证：四边形 DEBF 是菱形；
（2）当∠A 等于多少度时，四边形 DEBF 是正方形？并说明你的理由．
【正确答案】（1）见解析；（2）45°
【详解】试题分析：（1）根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC=AB，求出DF∥BE，DF=BE，得出四边形DEBF是平行四边形，求出DE=BE，根据菱形的判定得出即可；
（2）求出AD=BD，根据等腰三角形的性质得出DE⊥AB，根据正方形的判定得出即可．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC=AB．∵点E为AB边中点，点F为CD边的中点，∴DF∥BE，DF=BE，∴四边形DEBF是平行四边形．∵∠ADB=90°，点E为AB边的中点，∴DE=BE=AE，∴四边形DEBF是菱形；
（2）当∠A=45°，四边形DEBF是正方形．理由如下：
∵∠ADB=90°，∠A=45°，∴∠A=∠ABD=45°，∴AD=BD．∵E为AB的中点，∴DE⊥AB，即∠DEB=90°．∵四边形DEBF是菱形，∴四边形DEBF是正方形．
点睛：本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识点，能综合运用性质进行推理是解答此题的关键．
23. 3月初某商品价格上涨，每件价格上涨20%.用3000元买到的该商品件数比涨价前少20件．3月下旬该商品开始降价，两次降价后，该商品价格为每件19.2元．
（1）求3月初该商品上涨后的价格；
（2）若该商品两次降价率相同，求该商品价格的平均降价率．
【正确答案】（1）30元；（2）20%．
【分析】（1）设3月初该商品原来的价格为x元，根据“每件价格上涨20%，用3000元买到的该商品件数比涨价前少20件”列出方程并解答；
（2）设该商品价格的平均降价率为y，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则次降价后的价格是30（1﹣y），第二次后的价格是30（1﹣y）2，据此即可列方程求解；
【详解】解：（1）设3月初该商品原来的价格为x元，依题意得：
=20
解方程得：x=25，经检验：x=25是原方程的解，25（1+20%）=30．
答：3月初该商品上涨后的价格为每件30元；
（2）设该商品价格的平均降价率为y，依题意得：
30（1﹣y）2=19.2
解得：y1=1.8（舍），y2=20%．
答：该商品价格的平均降价率为20%．
本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程．
24. 已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC＝3，BC＝4，求BE的长．
（3）在（2）的条件中，求cos∠EAD的值．
【正确答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】试题分析：（1）连接OD，由AE为直径、DE⊥AD可得出点D在⊙O上且∠DAO=∠ADO，根据AD平分∠CAB可得出∠CAD=∠DAO=∠ADO，由“内错角相等，两直线平行”可得出AC∥DO，再∠C=90°即可得出∠ODB=90°，进而即可证出BC是⊙O的切线；
（2）在Rt△ACB中，利用勾股定理可求出AB的长度，设OD=r，则BO=5﹣r，由OD∥AC可得出，代入数据即可求出r值，再根据BE=AB﹣AE即可求出BE的长度．
（3）根据三角函数解答即可．
试题解析：（1）证明：连接OD，如图所示．
在Rt△ADE中，点O为AE的，∴DO=AO=EO=AE，∴点D在⊙O上，且∠DAO=∠ADO．又∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAO，∴∠ADO=∠CAD，∴AC∥DO．
∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，即OD⊥BC．又∵OD为半径，∴BC是⊙O的切线；
（2）在Rt△ACB中，∵AC=3，BC=4，∴AB=5．设OD=r，则BO=5﹣r．
∵OD∥AC，∴△BDO∽△BCA，∴，即，解得：r=，∴BE=AB﹣AE=5﹣=．
（3）∵△BDO∽△BCA，∴，即，BD=，∴CD=BC﹣BD=，∴AD=，∴cos∠EAD=．
点睛：本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用平行线的性质找出OD⊥BC；（2）利用相似三角形的性质求出⊙O的半径．
25. 【操作发现】如图 1，△ABC 为等边三角形，点 D 为 AB 边上的一点，∠DCE=30°，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 60°得到线段 CF，连接 AF、EF. 请直接 写出下列结果：
① ∠EAF的度数为__________；
② DE与EF之间的数量关系为__________；
【类比探究】如图 2，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点 D 为 AB 边上的一点∠DCE=45°，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到线段 CF，连接 AF、EF.
①则∠EAF的度数为__________；
② 线段 AE，ED，DB 之间有什么数量关系？请说明理由；
【实际应用】如图 3，△ABC 是一个三角形的余料.小张同学量得∠ACB=120°，AC=BC， 他在边 BC 上取了 D、E 两点，并量得∠BCD=15°、∠DCE=60°，这样 CD、CE 将△ABC 分成三个小三角形，请求△BCD、△DCE、△ACE 这三个三角形的面积之比.
【正确答案】 ①. 120° ②. DE=EF ③. 90°
【详解】试题分析：（1）①由等边三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出∠ACF=∠BCD，证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60°，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；
②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF即可；
（2）①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，证出∠ACF=∠BCD，由SAS证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=45°，AF=DB，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；
②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF；在Rt△AEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出结论．
（3）把△BCD绕点C顺时针旋转120°得到△ACF，则可得△ACF≌△BCD，△FCE≌△DEC，得到AF=BD，EF=ED，△AEF是含30°角的直角三角形，S△BCD：S△DCE：S△ACE=BD：ED：AE= AF：EF：AE，即可得到答案．
试题解析：解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°．∵∠DCF=60°，∴∠ACF=∠BCD．在△ACF和△BCD中，，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；
②DE=EF．理由如下：
∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，∴∠FCE=60°﹣30°=30°，∴∠DCE=∠FCE．在△DCE和△FCE中，，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF；
（2）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∠BAC=∠B=45°．∵∠DCF=90°，∴∠ACF=∠BCD．在△ACF和△BCD中，，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；
②AE2+DB2=DE2，理由如下：
∵∠DCF=90°，∠DCE=45°，∴∠FCE=90°﹣45°=45°，∴∠DCE=∠FCE．在△DCE和△FCE中，，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF．在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2．又∵AF=DB，∴AE2+DB2=DE2．
（3）【实际应用】把△BCD绕点C顺时针旋转120°得到△ACF，则△ACF≌△BCD．∵∠ACB=120°，AC=BC ，∴∠B=∠C=30°，∴∠CDE=∠B+∠BCD=30°+15°=45°，∴∠CDB=180°－45°=135°．∵△ACF≌△BCD，∴AE=DB，FC=DC，∠FCA=∠BCD=15°，∠FAC=∠B=30°，∠ACF=∠BDC=135°，∴∠FCE=∠ECD=60°．∵FC=DC，EC=EC，∴△FCE≌△DEC，∴EF=ED，∠CFE=∠CDE=45°，∴∠AFE=135°－45°=90°．∵∠FAE=30°+30°=60°，∴∠AEF=30°，∴AF：EF：AE=1：：2，∴S△BCD：S△DCE：S△ACE=BD：ED：AE= AF：EF：AE=1：：2．
点睛：本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．
26. 如图1，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2+bx+c，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且点A坐标为(-1，0).又P是抛物线上位于象限的点，直线AP与y轴交于点D，与抛物线对称轴交于点E，点C与坐标原点O关于该对称轴成轴对称.
（1）求点 B 的坐标和抛物线的表达式；
（2）当 AE：EP=1：4 时，求点 E 的坐标；
（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到 OC ′，旋转角为 α(0°＜α＜90°)，连接 C ′D、C′B，求 C ′B+ C′D 的最小值．
【正确答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=x2-x-；（2）E(1，6)；（3）C′B＋C′D的最小值为．
【分析】（1）由抛物线的对称轴和过点A ，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；
（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得===，从而求出E的坐标；
（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．如图，取点M（0，），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝C′D，由C′B＋C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．
【详解】（1）∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，
∴-=1，∴b=-1．
∵抛物线过点A（-1，0），
∴-b+c=0，解得：c=-，
即：抛物线的表达式为：y=x2-x-．
令y=0，则x2-x-=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；
（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．
∵EG∥PF，AE：EP=1：4，
∴===．
又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．
当x=9时，y=30，即P（9，30），PF=30，
∴EG=6，∴E（1，6）．
（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，则D（0，3）．
∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．
如图，取点M（0，），连接MC′、BM．则OM＝，BM＝＝．
∵，，且∠DOC′＝∠C′OD，
∴△MOC′∽△C′OD．∴，
∴MC′＝C′D，
∴C′B＋C′D＝C′B＋MC′≥BM＝，
∴C′B＋C′D的最小值为．
本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．
山东省临沂市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟卷
（一模）
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图是几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 圆锥 B. 圆柱 C. 三棱柱 D. 三棱锥
3. 神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为（）
A 2.8×103 B. 28×103 C. 2.8×104 D. 0.28×105
4. 内角和为540°的多边形是（ ）
A. B. C. D.
5. 在2016年泉州市初中体育中考中，随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为：158，160，154，158，170，则由这组数据得到的结论错误的是（ ）
A. 平均数为160 B. 中位数为158 C. 众数为158 D. 方差为20.3
6. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（ ）
A. 52° B. 38° C. 42° D. 60°
7. 下列运算正确的是（ ）
A. （a﹣3）2=a2﹣9 B. （）﹣1=2 C. x+y=xy D. x6÷x2=x3
8. 如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ）
A. B. 2 C. 3 D. 1.5
9. 九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，在4×4的正方形网格中，黑色部分的图形构成了一个轴对称图形，现在任意取一个白色小正方形涂黑，使黑色部分仍然是一个轴对称图形的概率是（ ）
A. B. C. D.
11. 若关于的一元二次方程有两个没有相等的实数根，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
12. 如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A11B11C11D11E11F11的边长为（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 分解因式：x2﹣4=__．
14. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向60°，距离灯塔为4海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB长_____海里．
15. 若式子有意义，则x的取值范围是___．
16. 股市规定：股票每天的涨、跌幅均没有超过10%，即当涨了原价的10%后，便没有能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便没有能再跌，叫做跌停．若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是_____．
17. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与CD相交于点G，且OE=OD，则AP长为__________．
18. 如图，反比例函数y=的图象上，点A是该图象象限分支上的动点，连结AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边作等腰直角△ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连结BP，在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点A的坐标为_____．
三、（本大题共2小题，每小题满分12分，共12分）
19. 计算：（﹣1）2018﹣2+|1﹣|+3tan30°．
20. 分式方程＝1的解为________．
四．（本大题共2小题，每小题满分16分，共16分）
21. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）
（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；
（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．
22. 某校组织了初三科技小制作比赛，有A．B．C，D四个班共提供了100件参赛作品. C班提供的
参赛作品的获奖率为50%，其他几个班的参赛作品情况及获奖情况绘制在下列图l和图2两幅尚没有完整的统
计图中 .
(1)B班参赛作品有多少件？
(2)请你将图②的统计图补充完整；
(3)通过计算说明，哪个班的获奖率高？
(4)将写有A，B，C，D四个字母的完全相同的卡片放入箱中，从中随机抽出两张卡片，求抽到A，B两班的概率 .
五．（本大题满分8分）
23. 如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上动点，且AE=BF=CG=DH．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）在点E、F、G、H运动过程中，判断直线EG是否某一个定点，如果是，请证明你的结论；如果没有是，请说明理由
六．（本大题满分10分）
24. 某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球20个，B种品牌的足球30个，共花费4600元，已知购买4个B种品牌的足球与购买5个A种品牌的足球费用相同．
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元．
（2）学校为了响应习“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共42个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比次购买时提高5元，B品牌足球按次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用没有超过次花费的80%，且保证这次购买的B种品牌足球没有少于20个，则这次学校有哪几种购买？
（3）请你求出学校在第二次购买中至多需要多少资金？
七．（本大题满分10分）
25. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC的延长线于过点A的直线相交于点E，且∠B=∠EAC．
（1）求证：AE是⊙O切线；
（2）过点C作CG⊥AD，垂足为F，与AB交于点G，若AG•AB=36，ta=，求DF的值
八．（本大题满分10分）
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（ ，0），C（，0），且，直线 轴，在 轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．
（1）求抛物线解析式；
（2）当0＜t≤8时，求 APC面积的值；
（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出此时t的值；若没有存在，请说明理由．
山东省临沂市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟卷
（一模）
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解．
【详解】解：∵，
∴的倒数是.
故选C
2. 如图是几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 圆锥 B. 圆柱 C. 三棱柱 D. 三棱锥
【正确答案】C
【详解】分析：根据一个空间几何体的主视图和左视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断是三棱柱，得到答案．
详解：∵几何体的主视图和左视图都是长方形，
故该几何体是一个柱体，
又∵俯视图是一个三角形，
故该几何体是一个三棱柱，
故选C．
点睛：本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
3. 神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为（）
A. 2.8×103 B. 28×103 C. 2.8×104 D. 0.28×105
【正确答案】C
【详解】试题分析：28000=1.1×104．故选C．
考点：科学记数法—表示较大的数．
4. 内角和为540°的多边形是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】设它是n边形，
根据题意得，（n﹣2）•180°=540°，
解得：n=5．
故选：C．
5. 在2016年泉州市初中体育中考中，随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为：158，160，154，158，170，则由这组数据得到的结论错误的是（ ）
A. 平均数为160 B. 中位数为158 C. 众数为158 D. 方差为20.3
【正确答案】D
【详解】解：A．平均数为（158+160+154+158+170）÷5=160，正确，故本选项没有符合题意；
B．按照从小到大的顺序排列为154，158，158，160，170，位于中间位置的数为158，故中位数为158，正确，故本选项没有符合题意；
C．数据158出现了2次，次数至多，故众数为158，正确，故本选项没有符合题意；
D．这组数据的方差是S2=[（154﹣160）2+2×（158﹣160）2+（160﹣160）2+（170﹣160）2]=28.8，错误，故本选项符合题意．
故选D．
点睛：本题考查了众数、平均数、中位数及方差，解题的关键是掌握它们的定义，难度没有大．
6. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（ ）
A. 52° B. 38° C. 42° D. 60°
【正确答案】A
【详解】试题分析：如图：∵∠3=∠2=38°°（两直线平行同位角相等），∴∠1=90°﹣∠3=52°，故选A．
考点：平行线的性质．
7. 下列运算正确的是（ ）
A. （a﹣3）2=a2﹣9 B. （）﹣1=2 C. x+y=xy D. x6÷x2=x3
【正确答案】B
【详解】分析：根据完全平方公式、负整数指数幂，合并同类项以及同底数幂的除法的运算法则进行计算即可判断出结果.
详解：A. （a﹣3）2=a2﹣6a+9,故该选项错误；
B. （）﹣1=2，故该选项正确；
C.x与y没有是同类项，没有能合并，故该选项错误；
D. x6÷x2=x6-2=x4，故该选项错误.
故选B.
点睛：可没有是主要考查了完全平方公式、负整数指数幂，合并同类项以及同度数幂的除法的运算，熟记它们的运算法则是解题的关键.
8. 如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ）
A. B. 2 C. 3 D. 1.5
【正确答案】A
【详解】分析：作OH⊥BC于H，首先证明∠BOC=120，在Rt△BOH中，BH=OB•sin60°=1×，即可推出BC=2BH=，
详解：作OH⊥BC于H．
∵∠BOC=2∠BAC，∠BOC+∠BAC=180°，
∴∠BOC=120°，
∵OH⊥BC，OB=OC，
∴BH=HC，∠BOH=∠HOC=60°，
在Rt△BOH中，BH=OB•sin60°=1×＝，
∴BC=2BH=.
故选A．
点睛：本题考查三角形的外接圆与外心、锐角三角函数、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
9. 九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得，．故选C．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
10. 如图，在4×4的正方形网格中，黑色部分的图形构成了一个轴对称图形，现在任意取一个白色小正方形涂黑，使黑色部分仍然是一个轴对称图形的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由在4×4正方形网格中，任选取一个白色小正方形并涂黑，共有16种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵由题意，共16-3=13种等可能情况，其中构成轴对称图形的有如下5个图所示的5种情况，
∴概率为：；
故选：B．
本题考查了求概率的方法：先列表展示所有等可能的结果数n，再找出某发生的结果数m，然后根据概率的定义计算出这个的概率=．
11. 若关于的一元二次方程有两个没有相等的实数根，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【详解】∵方程有两个没有相等的实数根，
∴，
解得：，即异号，
当时，函数的图象过一三四象限，
当时，函数的图象过一二四象限，
故选：B．
12. 如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A11B11C11D11E11F11的边长为（ ）
A B. C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：连接OE1，OD1，OD2，如图，根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°，则△E1OD1为等边三角形，再根据切线的性质得OD2⊥E1D1，于是可得OD2=E1D1=×2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，依此规律可得正六边形A11B11C11D11E11F11的边长=（）10×2，然后化简即可．
详解：连接OE1，OD1，OD2，如图，
∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形，
∴∠E1OD1=60°，
∴△E1OD1为等边三角形，
∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，
∴OD2⊥E1D1，
∴OD2=E1D1=×2，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，
同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，
则正六边形A11B11C11D11E11F11的边长=（）10×2=．
故选A．
点睛：本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．记住正六边形的边长等于它的半径．
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 分解因式：x2﹣4=__．
【正确答案】(x+2)(x-2)##(x-2)(x+2)
【详解】解：由平方差公式ɑ2-b2=（ɑ+b)(ɑ-b)可得
x2﹣4=（x+2）（x﹣2），
故答案是：（x+2）（x﹣2）．
14. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向60°，距离灯塔为4海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB长_____海里．
【正确答案】2
【详解】分析：首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=60°，AP=4海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=60°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP•cos∠A=2海里．
详解：如图，由题意可知∠NPA=60°，AP=4海里，∠ABP=90°．
∵AB∥NP，
∴∠A=∠NPA=60°．
在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=60°，AP=4海里，
∴AB=AP•cos∠A=4×cos60°=4×=2海里．
故答案为2．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，正确理解方向角的定义是解题的关键．
15. 若式子有意义，则x的取值范围是___．
【正确答案】且
【详解】∵式子在实数范围内有意义，
∴x+1≥0，且x≠0，
解得：x≥-1且x≠0，
故答案为x≥-1且x≠0．
16. 股市规定：股票每天的涨、跌幅均没有超过10%，即当涨了原价的10%后，便没有能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便没有能再跌，叫做跌停．若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是_____．
【正确答案】.
【分析】股票跌停就跌到原来价格的90%，再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能≤10%，设这两天此股票股价的平均增长率为x，每天相对于前就上涨到1+x，由此列出方程解答即可．
【详解】设这两天此股票股价的平均增长率为x，由题意得
（1﹣10%）（1+x）2＝1．
故（1﹣10%）（1+x）2＝1．
本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则两次变化后的数量关系为
17. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与CD相交于点G，且OE=OD，则AP的长为__________．
【正确答案】4.8
【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，
根据题意得：△ABP≌△EBP，
∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，
在△ODP和△OEG中，
，
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP=OG，PD=GE，
∴DG=EP，
设AP=EP=x，则PD=GE=6﹣x，DG=x，
∴CG=8﹣x，BG=8﹣（6﹣x）=2+x，
根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2，
即62+（8﹣x）2=（x+2）2，
解得：x=4.8，
∴AP=4.8；
故答案为4.8．
18. 如图，反比例函数y=的图象上，点A是该图象象限分支上的动点，连结AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边作等腰直角△ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连结BP，在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点A的坐标为_____．
【正确答案】
【详解】分析：连接OC，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，则有△AOE≌△OCF，进而可得出AE=OF、OE=CF，根据角平分线的性质可得出，设点A的坐标为（a，）（a＞0），由可求出a值，进而得到点A的坐标．
详解：连接OC，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，如图所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OA=OC，OC⊥AB，
∴∠AOE+∠COF=90°．
∵∠COF+∠OCF=90°，
∴∠AOE=∠OCF．
在△AOE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△OCF（AAS），
∴AE=OF，OE=CF．
∵BP平分∠ABC，
∴，
∴．
设点A的坐标为（a，），
∴，
解得：a=或a=-（舍去），
∴=，
∴点A的坐标为，
故答案为（）．
点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形性质的综合运用，构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题满分12分，共12分）
19. 计算：（﹣1）2018﹣2+|1﹣|+3tan30°．
【正确答案】﹣6+2
【详解】分析：直接利用二次根式的性质以及值的性质和角的三角函数值分别化简求出答案．
详解：原式=1﹣6+﹣1+3×
=﹣5+﹣1+
=﹣6+2．
点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数解题关键．
20. 分式方程＝1的解为________．
【正确答案】X=1；
【详解】分析：分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
详解：去分母得：2−3x=x−2，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解.
故选A.
点睛：本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定要注意验根.
四．（本大题共2小题，每小题满分16分，共16分）
21. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）
（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；
（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．
【正确答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）P（，0）．
【分析】（1）分别将点A、B、C向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接；
（2）根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可；
（3）利用最短路径问题解决，首先作A1点关于x轴的对称点A3，再连接A2A3与x轴的交点即为所求．
【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求做的三角形；
（2）如图所示，△A2B2O为所求做的三角形；
（3）∵A2坐标为（3，1），A3坐标为（4，﹣4），
∴A2A3所在直线的解析式为：y=﹣5x+16，
令y=0，则x=，
∴P点的坐标（，0）．
考点：平移变换；旋转变换；轴对称-最短路线问题．
22. 某校组织了初三科技小制作比赛，有A．B．C，D四个班共提供了100件参赛作品. C班提供的
参赛作品的获奖率为50%，其他几个班的参赛作品情况及获奖情况绘制在下列图l和图2两幅尚没有完整的统
计图中 .
(1)B班参赛作品有多少件？
(2)请你将图②的统计图补充完整；
(3)通过计算说明，哪个班的获奖率高？
(4)将写有A，B，C，D四个字母的完全相同的卡片放入箱中，从中随机抽出两张卡片，求抽到A，B两班的概率 .
【正确答案】（1）25件；（2）见解析；（3）B班的获奖率高；（4）.
【详解】试题分析：（1）直接利用扇形统计图中百分数，进而求出B班参赛作品数量；
（2）利用C班提供的参赛作品的获奖率为50%，C班参赛数量得出获奖数量；
（3）分别求出各班的获奖百分率，进而求出答案；
（4）利用树状统计图得出所有符合题意的答案进而求出其概率．
试题解析：（1）由题意可得：100×（1﹣35%﹣20%﹣20%）=25（件），
答：B班参赛作品有25件；
（2）∵C班提供的参赛作品的获奖率为50%，∴C班的参赛作品的获奖数量为：100×20%×50%=10（件），
如图所示：
；
（3）A班获奖率为：×=40%，B班的获奖率为：×=44%，
C班的获奖率为：=50%；D班的获奖率为：×=40%，
故C班的获奖率高；
（4）如图所示：
，
故一共有12种情况，符合题意的有2种情况，则从中随机抽出两张卡片，求抽到A、B两班的概率为：=．
考点：1．列表法与树状图法；2．扇形统计图；3．条形统计图．
五．（本大题满分8分）
23. 如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的动点，且AE=BF=CG=DH．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）在点E、F、G、H运动过程中，判断直线EG是否某一个定点，如果是，请证明你的结论；如果没有是，请说明理由
【正确答案】（1）见解析；（2）直线EG一个定点，这个定点为正方形的（AC、BD的交点）；理由见解析.
【详解】分析：（1）由正方形的性质得出∠A=∠C=90°，AB=BC=CD=DA，由AE=BF=CG=DH证出AH=CF，由SAS证明△AEH≌△CGF即可求解；
（2）连接AC、EG，交点为O；先证明△AOE≌△COG，得出OA=OC，证出O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的．
详解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=90°，AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=CF，
在△AEH与△CGF中，
AH=CF，∠A=∠C，AE=CG，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；
（2）直线EG一个定点，这个定点为正方形的（AC、BD的交点）；理由如下：
连接AC、EG，交点为O；如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠OAE=∠OCG，
在△AOE和△COG中，
∠OAE=∠OCG，∠AOE=∠COG，AE=CG，
∴△AOE≌△COG（AAS），
∴OA=OC，OE=OG，
即O为AC的中点，
∵正方形的对角线互相平分，
∴O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的．
点睛：考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．
六．（本大题满分10分）
24. 某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球20个，B种品牌的足球30个，共花费4600元，已知购买4个B种品牌的足球与购买5个A种品牌的足球费用相同．
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元．
（2）学校为了响应习“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共42个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比次购买时提高5元，B品牌足球按次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用没有超过次花费的80%，且保证这次购买的B种品牌足球没有少于20个，则这次学校有哪几种购买？
（3）请你求出学校在第二次购买中至多需要多少资金？
【正确答案】（1）购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元；（2）有三种，具体见解析；（3）3150元．
【分析】(1)、设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，根据题意列出二元方程组，从而求出x和y的值得出答案；
(2)、设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球(42－m)个，根据题意列出没有等式组求出m的取值范围，从而得出答案；
(3)、设学校在第二次购买中的费用为元，再列出函数的关系式，然后利用函数性质得出答案.
【详解】解：(1) 设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元
，解得
答：购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球分别需要元，元；
(2) 设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球(50－m)个
，
解得：
∵m为整数
∴，
所以一共有三种：种：购买A种足球个，则购买B种足球个，
第二种：购买A种足球个，则购买B种足球个，
第三种：购买A种足球个，则购买B种足球个．
(3)设学校在第二次购买中的费用为元，
则
＜ 则随的增大而减小，
所以当时，为：元；
答：学校在第二次购买中至多需要元．
七．（本大题满分10分）
25. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC的延长线于过点A的直线相交于点E，且∠B=∠EAC．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）过点C作CG⊥AD，垂足为F，与AB交于点G，若AG•AB=36，ta=，求DF的值
【正确答案】（1）见解析；（2）4
【详解】分析：（1）欲证明AE是⊙O切线，只要证明OA⊥AE即可；
（2）由△ACD∽△CFD，可得，想办法求出CD、AD即可解决问题.
详解：（1）证明：连接CD．
∵∠B=∠D，AD是直径，
∴∠ACD=90°，∠D+∠1=90°，∠B+∠1=90°，
∵∠B=∠EAC，
∴∠EAC+∠1=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线．
（2）∵CG⊥AD．OA⊥AE，
∴CG∥AE，
∴∠2=∠3，
∵∠2=∠B，
∴∠3=∠B，
∵∠CAG=∠CAB，
∴△ABC∽△ACG，
∴，
∴AC2=AG•AB=36，
∴AC=6，
∵tanD=ta=，
在Rt△ACD中，tanD==
CD==6，AD==6，
∵∠D=∠D，∠ACD=∠CFD=90°，
∴△ACD∽△CFD，
∴，
∴DF=4，
点睛：本题考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
八．（本大题满分10分）
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（ ，0），C（，0），且，直线 轴，在 轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜t≤8时，求 APC面积的值；
（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出此时t的值；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）；（2）12；（3）t=或t=或t=14．
【分析】（1）首先利用根与系数的关系得出：，条件求出的值，然后把点B，C的坐标代入解析式计算即可；
（2）分0＜t＜6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的值；
（3）分2＜t≤6时和t＞6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．
【详解】解：（1）由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的两根，
∴x1+x2=8，
由
解得：
∴B（2，0）、C（6，0）
则4m﹣16m+4m+2=0，
解得：m=
∴该抛物线解析式为：y=；．
（2）可求得A（0，3）
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵
∴
∴直线AC的解析式为：y=﹣ x+3，
要构成 APC，显然t≠6，分两种情况讨论：
当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣），
∵P（t，），∴PF=，
∴S△APC=S△APF+S△CPF
=
=
=，
此时值为：，
②当6≤t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣），
∵P（t，），∴PM=，
∴S△APC=S△APF﹣S△CPF=
=
=，
当t=8时，取值，值为：12，
综上可知，当0＜t≤8时， APC面积的值为12；
（3）如图，连接AB，则AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，
Q（t，3），P（t，），
①当2＜t≤6时，AQ=t，PQ=，
若：，则：，
即：，
∴t=0（舍），或t=，
若△AOB∽△PQA，则：，
即：，
∴t=0（舍）或t=2（舍），
②当t＞6时， =t，
若：△AOB∽△AQP，则：，
即：，
∴t=0（舍），或t=，
若△AOB∽△PQA，则：，
即：，
∴t=0（舍）或t=14，
∴t=或t=或t=14
本题是二次函数综合题目，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积公式、相似三角形的性质，利用分类讨论的思想和方程思想求解是解决本题的关键．
山东省临沂市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟卷
（二模）
一、单 选 题
1. 16 的平方根是（ ）
A. 6 B. -4 C. ±4 D. ±8
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. 4a2-2a2=2 B. a2•a4=a3 C. （a-b）2=a2-b2 D. （a+b）2=a2+2ab+b2
4. 一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形的边数为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5. 没有等式组的解集为．则的取值范围为（ ）
A B. C. D.
6. 如图，在直角坐标系中，四边形 OABC 为菱形，对角线 OB、AC 相交于 D 点，已知 A点的坐标为（10，0），双曲线 y=（ x＞0 ） D 点，交 BC 的延长线于 E 点，且 OB•AC=120（OB＞AC），有下列四个结论：①双曲线的解析式为y=（x＞0）；②E 点的坐标是（4，6）；③sin∠COA=；④EC=；⑤AC+OB=8．其中正确的结论有（ ）
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
二、填 空 题
7. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________．
8. 十八大以来，全国有 6800 多万人口摆脱贫困，以的带领中国 人民创造了人类减贫史上的奇迹．把 6800 万用科学记数法表示为__________．
9. 分解因式：m3﹣9m＝_____．
10. 若一组数据 3，4，x，6，8 的平均数为 5，则这组数据的方差是__________．
11. 如图，△ABC中，点D在BA的延长线上，DE∥BC，如果∠BAC=80°，∠C=33°，那 么∠BDE的度数是__________.
12. 已知实数a在数轴上的位置如图，则化简|1﹣a|+的结果为_____．
13. 如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形.若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是___________________．
14. “六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套.已知 2 套文具和 3 套 图书需 104 元，3 套文具和 2 套图书需 116 元，则 1 套文具和 1 套图书需__________元．
15. 如图，二次函数的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①abc＞0；②a=b；③a=4c﹣4；④方程有两个相等的实数根，其中正确的结论是______．（只填序号即可）．
16. 如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)、B(0，-3)，以点B为圆心、2 为半径的⊙B上 有一动点P.连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为__________．
三、解 答 题
17. 计算：( -π)0+ cos45°+（ ）-2.
18. 先化简，再求值：
，其中m满足方程m2-4m=0．
19. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根、满足，求的值．
20. 某中学开展了“手机伴我健康行”主题，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷，并绘制成如图①，②所示的统计图，已知“查资料”的人数是40人．
请你根据图中信息解答下列问题：
(1)在扇形统计图中，“玩游戏”对应的圆心角度数是_____°；
(2)补全条形统计图；
(3)该校共有学生1200人，试估计每周使用手机时间在2小时以上(没有含2小时)的人数.
21. 小王和小李都想去体育馆，观看在我县举行的“杯”青少年校园 足球联赛，但两人只有一张门票，两人想通过摸球的方式来决定谁去观看，规则如下： 在两个盒子内分别装入标有数字 1，2，3，4 的四个和标有数字 1，2，3 的三个完全相 同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于 6，那 么小王去，否则就是小李去．
（1）用树状图或列表法求出小王去概率；
（2）小李说：“这种规则没有公平.”你认同他的说法吗？请说明理由．
22. 如图，在□ABCD 中，∠ADB=90°，点 E 为 AB 边中点，点 F 为CD 边的中点．
（1）求证：四边形 DEBF 是菱形；
（2）当∠A 等于多少度时，四边形 DEBF 是正方形？并说明你的理由．
23. 3月初某商品价格上涨，每件价格上涨20%.用3000元买到的该商品件数比涨价前少20件．3月下旬该商品开始降价，两次降价后，该商品价格为每件19.2元．
（1）求3月初该商品上涨后的价格；
（2）若该商品两次降价率相同，求该商品价格的平均降价率．
24. 已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC＝3，BC＝4，求BE的长．
（3）在（2）的条件中，求cos∠EAD的值．
25. 【操作发现】如图 1，△ABC 为等边三角形，点 D 为 AB 边上一点，∠DCE=30°，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 60°得到线段 CF，连接 AF、EF. 请直接 写出下列结果：
① ∠EAF的度数为__________；
② DE与EF之间的数量关系为__________；
【类比探究】如图 2，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点 D 为 AB 边上的一点∠DCE=45°，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到线段 CF，连接 AF、EF.
①则∠EAF的度数为__________；
② 线段 AE，ED，DB 之间有什么数量关系？请说明理由；
【实际应用】如图 3，△ABC 是一个三角形的余料.小张同学量得∠ACB=120°，AC=BC， 他在边 BC 上取了 D、E 两点，并量得∠BCD=15°、∠DCE=60°，这样 CD、CE 将△ABC 分成三个小三角形，请求△BCD、△DCE、△ACE 这三个三角形的面积之比.
26. 如图1，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2+bx+c，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且点A坐标为(-1，0).又P是抛物线上位于象限的点，直线AP与y轴交于点D，与抛物线对称轴交于点E，点C与坐标原点O关于该对称轴成轴对称.
（1）求点 B 的坐标和抛物线的表达式；
（2）当 AE：EP=1：4 时，求点 E 的坐标；
（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到 OC ′，旋转角为 α(0°＜α＜90°)，连接 C ′D、C′B，求 C ′B+ C′D 的最小值．
山东省临沂市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟卷
（二模）
一、单 选 题
1. 16 的平方根是（ ）
A. 6 B. -4 C. ±4 D. ±8
【正确答案】C
【详解】解：∵（±4）2=16，∴16的平方根是±4．故选C．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. 4a2-2a2=2 B. a2•a4=a3 C. （a-b）2=a2-b2 D. （a+b）2=a2+2ab+b2
【正确答案】D
【详解】解：A．4a2﹣2a2=2a2，错误；
B．a2a4=a6，错误；
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，错误；
D．（a+b）2=a2+2ab+b2，正确．
故选D．
4. 一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形的边数为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【正确答案】D
【分析】先求出多边形的每一个外角的度数，继而根据多边形的外角和为360度进行求解即可.
【详解】∵一个多边形的每个内角都等于135°，
∴这个多边形的每个外角都等于180°-135°=45°，
∵多边形的外角和为360度，
∴这个多边形的边数为：360÷45=8，
故选D.
本题考查了多边形的外角和内角，熟练掌握多边形的外角和为360度是解本题的关键.
5. 没有等式组解集为．则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】求出没有等式组的解集，根据已知得出关于k的没有等式，求出没有等式的解集即可．
【详解】解：解没有等式组，得．
∵没有等式组的解集为x＜2，
∴k＋1≥2，
解得k≥1．
故选B．
本题考查了解一元没有等式组的应用，解此题的关键是能根据没有等式组的解集和已知得出关于k的没有等式，难度适中．
6. 如图，在直角坐标系中，四边形 OABC 为菱形，对角线 OB、AC 相交于 D 点，已知 A点的坐标为（10，0），双曲线 y=（ x＞0 ） D 点，交 BC 的延长线于 E 点，且 OB•AC=120（OB＞AC），有下列四个结论：①双曲线的解析式为y=（x＞0）；②E 点的坐标是（4，6）；③sin∠COA=；④EC=；⑤AC+OB=8．其中正确的结论有（ ）
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
【正确答案】A
【详解】解：如图，过B作BF⊥x轴于点F，过D作DG⊥x轴于点G，过C作CH⊥x轴于点H．∵A（10，0），∴OA=10，∴S菱形ABCD=OA•BF=AC•OB=×120=60，即10BF=60，∴BF=6．在Rt△ABF中，AB=10，BF=8，由勾股定理可得AF=8，∴OF=OA+AF=10+8=18．∵四边形OABC菱形，∴D为OB中点，∴DG=BF=×6=3，OG=OF=×18=9，∴D（9，3）．∵双曲线过点D，∴3=，解得：k=27，∴双曲线解析式为y=，故①正确；
∵BC∥OF，BF=6，∴6=，x=，∴E（，6）．故②错误；
在Rt△OCH中，OC=10，CH=6，∴sin∠COA===，故③正确；
∵C（8，6），E（，6），∴EC=8﹣=，故④正确．在Rt△OBF中，OF=18，BF=6，∴OB==6．∵AC•OB=120，∴AC==2，∴AC+OB=6+2=8，故⑤正确；
综上可知：正确的为①③④⑤共4个．故选A．
点睛：本题主要考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、菱形的性质、直角三角形、菱形的面积等知识．利用菱形的面积求得B到x轴的距离是解题的关键，注意菱形两个面积公式的灵活运用．本题考查了知识点较基础，综合性很强，但难度没有大．
二、填 空 题
7. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________．
【正确答案】
【详解】解：二次根式中被开方数，所以．
故．
8. 十八大以来，全国有 6800 多万人口摆脱贫困，以的带领中国 人民创造了人类减贫史上的奇迹．把 6800 万用科学记数法表示为__________．
【正确答案】6.8×107
【详解】解：6800万=6800 0000=6.8×107．故答案为6.8×107．
点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9. 分解因式：m3﹣9m＝_____．
【正确答案】m（m+3）（m-3）
【详解】分析：首先提取公因式m，然后再利用平方差公式进行因式分解即可得出答案．
详解：原式=．
点睛：本题主要考查的是因式分解，属于基础题型．因式分解有提取公因式、公式法、十字相乘法等等，如果有公因式，首先都需要提取公因式．
10. 若一组数据 3，4，x，6，8 的平均数为 5，则这组数据的方差是__________．
【正确答案】3.2
【详解】解：根据题意得：（3+4+x+6+8）=5×5，解得：x=4，则这组数据为3，4，4，6，8平均数为5，所以这组数据的为s2=[（3﹣5）2+（4﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]=3.2．故答案为3.2．
11. 如图，△ABC中，点D在BA的延长线上，DE∥BC，如果∠BAC=80°，∠C=33°，那 么∠BDE的度数是__________.
【正确答案】113°
【详解】解：∵∠BAC=80°，∠C=33°，∴△ABC中，∠B=67°．∵DE∥BC，∴∠BDE=180°﹣∠B=180°﹣67°=113°．故答案为113°．
12. 已知实数a在数轴上的位置如图，则化简|1﹣a|+的结果为_____．
【正确答案】1-2a
【详解】由图可知：，
∴，
∴.
故答案为.
13. 如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形.若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是___________________．
【正确答案】60°或120°
【详解】如图，连接OB，则AB=OA=OB=BC，
故可得出△AOB是等边三角形，
所以∠ADC=60°，∠AD′C=120°．
故答案为60°或120°．
考点：1、圆内接四边形的性质；2、菱形的性质；3、圆周角定理
14. “六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套.已知 2 套文具和 3 套 图书需 104 元，3 套文具和 2 套图书需 116 元，则 1 套文具和 1 套图书需__________元．
【正确答案】44
【详解】解：设1套文具x元，1套图书y元，根据题意得：，①+②，得：5x+5y=220，∴x+y=44．故答案为44．
点睛：本题考查了二元方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元方程组是解题的关键．
15. 如图，二次函数的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①abc＞0；②a=b；③a=4c﹣4；④方程有两个相等的实数根，其中正确的结论是______．（只填序号即可）．
【正确答案】③④．
【详解】解：①∵根据图示知，抛物线开口方向向下，∴a＜0．
由对称轴在y轴的右侧知b＞0，∵抛物线与y轴正半轴相交，∴c＞0，∴abc＜0．故①错误；
②∵抛物线对称轴直线x=，∴a=﹣b．故②错误；
③∵该抛物线的顶点坐标为（，1），∴1=，∴b2﹣4ac=﹣4a．∵b=﹣a，∴a2﹣4ac=﹣4a，∵a≠0，等式两边除以a，得a﹣4c=﹣4，即a=4c﹣4．故③正确；
④∵二次函数的值为1，即，∴方程有两个相等的实数根．故④正确．
综上所述，正确的结论有③④．
故答案为③④．
点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数（a≠0）的系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
16. 如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)、B(0，-3)，以点B为圆心、2 为半径的⊙B上 有一动点P.连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为__________．
【正确答案】
【详解】解：作A关于y轴的对称点A′，则A′（－4，0），∴OC是△AA′P的中位线，当A′P取最小值时，OC取最小值．连接A′B交⊙B于点P，此时A′P最小．在Rt△OA′B中，OA′=4，OB=3，∴A′B=5，∴A′P=5-2=3，∴OC=，∴OC的最小值．故答案为．
三、解 答 题
17. 计算：( -π)0+ cos45°+（ ）-2.
【正确答案】9
【详解】试题分析：先计算零指数幂、化简二次根式、代入三角函数值、计算负整数指数幂，再计算乘法，加减可得．
试题解析：解：原式=1+4×+4=1+4+4=9．
18. 先化简，再求值：
，其中m满足方程m2-4m=0．
【正确答案】 2
【详解】试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
试题解析：解：原式=•=•=
由m2﹣4m=0，得：m（m﹣4）=0，解得：m=0（舍去）或m=4．
当m=4时，原式=2．
19. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根、满足，求的值．
【正确答案】（1）该方程有两个的实数根；（2）m=±4.
【详解】试题分析：（1）求出△=b2﹣4ac的值，判定△≥0即可；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=4，再条件2x1+x2=2可得x1=﹣2，然后再把x的值代入方程可得4+8﹣m2+4=0，再解即可．
试题解析：（1）证明：∵△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m2+4）=16+4m2﹣16=4m2≥0，∴该方程有两个实数根；
（2）∵方程的两个实数根x1、x2，∴x1+x2=4．∵2x1+x2=2，∴x1+4=2，x1=﹣2，把x1=﹣2代入x2﹣4x﹣m2+4=0得：4+8﹣m2+4=0，m=±4．
20. 某中学开展了“手机伴我健康行”主题，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷，并绘制成如图①，②所示的统计图，已知“查资料”的人数是40人．
请你根据图中信息解答下列问题：
(1)在扇形统计图中，“玩游戏”对应的圆心角度数是_____°；
(2)补全条形统计图；
(3)该校共有学生1200人，试估计每周使用手机时间在2小时以上(没有含2小时)的人数.
【正确答案】（1）126；（2）作图见解析（3）768
【分析】（1）根据扇形统计图求出所占的百分比，然后乘以360°即可；
（2）利用“查资料”人人数是40人，查资料”人占总人数40%，求出总人数100，再求出32人 ；
(3)用部分估计整体.
【详解】解：（1）
故126
（2）40÷40%－2－16－18－32＝32(人)
（3）（人）
故估计每周使用手机时间在2小时以上约768人.
21. 小王和小李都想去体育馆，观看在我县举行的“杯”青少年校园 足球联赛，但两人只有一张门票，两人想通过摸球的方式来决定谁去观看，规则如下： 在两个盒子内分别装入标有数字 1，2，3，4 的四个和标有数字 1，2，3 的三个完全相 同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于 6，那 么小王去，否则就是小李去．
（1）用树状图或列表法求出小王去的概率；
（2）小李说：“这种规则没有公平.”你认同他的说法吗？请说明理由．
【正确答案】（1）P(小王)=；(2)没有公平，理由见解析
【详解】试题分析：（1）先利用画树状图展示所有12种等可能的结果数，然后根据概率公式求解即可；
（2）分别计算出小王和小李去植树的概率即可知道规则是否公平．
试题解析：解：（1）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中摸出的球上的数字之和小于6的情况有9种，所以P（小王）=；
（2）没有公平，理由如下：
∵P（小王）=，P（小李）=≠，∴规则没有公平．
点睛：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个的概率，概率相等就公平，否则就没有公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22. 如图，在□ABCD 中，∠ADB=90°，点 E 为 AB 边的中点，点 F 为CD 边的中点．
（1）求证：四边形 DEBF 是菱形；
（2）当∠A 等于多少度时，四边形 DEBF 是正方形？并说明你的理由．
【正确答案】（1）见解析；（2）45°
【详解】试题分析：（1）根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC=AB，求出DF∥BE，DF=BE，得出四边形DEBF是平行四边形，求出DE=BE，根据菱形的判定得出即可；
（2）求出AD=BD，根据等腰三角形的性质得出DE⊥AB，根据正方形的判定得出即可．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC=AB．∵点E为AB边中点，点F为CD边的中点，∴DF∥BE，DF=BE，∴四边形DEBF是平行四边形．∵∠ADB=90°，点E为AB边的中点，∴DE=BE=AE，∴四边形DEBF是菱形；
（2）当∠A=45°，四边形DEBF是正方形．理由如下：
∵∠ADB=90°，∠A=45°，∴∠A=∠ABD=45°，∴AD=BD．∵E为AB的中点，∴DE⊥AB，即∠DEB=90°．∵四边形DEBF是菱形，∴四边形DEBF是正方形．
点睛：本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识点，能综合运用性质进行推理是解答此题的关键．
23. 3月初某商品价格上涨，每件价格上涨20%.用3000元买到的该商品件数比涨价前少20件．3月下旬该商品开始降价，两次降价后，该商品价格为每件19.2元．
（1）求3月初该商品上涨后的价格；
（2）若该商品两次降价率相同，求该商品价格的平均降价率．
【正确答案】（1）30元；（2）20%．
【分析】（1）设3月初该商品原来的价格为x元，根据“每件价格上涨20%，用3000元买到的该商品件数比涨价前少20件”列出方程并解答；
（2）设该商品价格的平均降价率为y，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则次降价后的价格是30（1﹣y），第二次后的价格是30（1﹣y）2，据此即可列方程求解；
【详解】解：（1）设3月初该商品原来的价格为x元，依题意得：
=20
解方程得：x=25，经检验：x=25是原方程的解，25（1+20%）=30．
答：3月初该商品上涨后的价格为每件30元；
（2）设该商品价格的平均降价率为y，依题意得：
30（1﹣y）2=19.2
解得：y1=1.8（舍），y2=20%．
答：该商品价格的平均降价率为20%．
本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程．
24. 已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC＝3，BC＝4，求BE的长．
（3）在（2）的条件中，求cos∠EAD的值．
【正确答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】试题分析：（1）连接OD，由AE为直径、DE⊥AD可得出点D在⊙O上且∠DAO=∠ADO，根据AD平分∠CAB可得出∠CAD=∠DAO=∠ADO，由“内错角相等，两直线平行”可得出AC∥DO，再∠C=90°即可得出∠ODB=90°，进而即可证出BC是⊙O的切线；
（2）在Rt△ACB中，利用勾股定理可求出AB的长度，设OD=r，则BO=5﹣r，由OD∥AC可得出，代入数据即可求出r值，再根据BE=AB﹣AE即可求出BE的长度．
（3）根据三角函数解答即可．
试题解析：（1）证明：连接OD，如图所示．
在Rt△ADE中，点O为AE的，∴DO=AO=EO=AE，∴点D在⊙O上，且∠DAO=∠ADO．又∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAO，∴∠ADO=∠CAD，∴AC∥DO．
∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，即OD⊥BC．又∵OD为半径，∴BC是⊙O的切线；
（2）在Rt△ACB中，∵AC=3，BC=4，∴AB=5．设OD=r，则BO=5﹣r．
∵OD∥AC，∴△BDO∽△BCA，∴，即，解得：r=，∴BE=AB﹣AE=5﹣=．
（3）∵△BDO∽△BCA，∴，即，BD=，∴CD=BC﹣BD=，∴AD=，∴cos∠EAD=．
点睛：本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用平行线的性质找出OD⊥BC；（2）利用相似三角形的性质求出⊙O的半径．
25. 【操作发现】如图 1，△ABC 为等边三角形，点 D 为 AB 边上的一点，∠DCE=30°，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 60°得到线段 CF，连接 AF、EF. 请直接 写出下列结果：
① ∠EAF的度数为__________；
② DE与EF之间的数量关系为__________；
【类比探究】如图 2，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点 D 为 AB 边上的一点∠DCE=45°，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到线段 CF，连接 AF、EF.
①则∠EAF的度数为__________；
② 线段 AE，ED，DB 之间有什么数量关系？请说明理由；
【实际应用】如图 3，△ABC 是一个三角形的余料.小张同学量得∠ACB=120°，AC=BC， 他在边 BC 上取了 D、E 两点，并量得∠BCD=15°、∠DCE=60°，这样 CD、CE 将△ABC 分成三个小三角形，请求△BCD、△DCE、△ACE 这三个三角形的面积之比.
【正确答案】 ①. 120° ②. DE=EF ③. 90°
【详解】试题分析：（1）①由等边三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出∠ACF=∠BCD，证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60°，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；
②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF即可；
（2）①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，证出∠ACF=∠BCD，由SAS证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=45°，AF=DB，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；
②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF；在Rt△AEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出结论．
（3）把△BCD绕点C顺时针旋转120°得到△ACF，则可得△ACF≌△BCD，△FCE≌△DEC，得到AF=BD，EF=ED，△AEF是含30°角的直角三角形，S△BCD：S△DCE：S△ACE=BD：ED：AE= AF：EF：AE，即可得到答案．
试题解析：解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°．∵∠DCF=60°，∴∠ACF=∠BCD．在△ACF和△BCD中，，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；
②DE=EF．理由如下：
∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，∴∠FCE=60°﹣30°=30°，∴∠DCE=∠FCE．在△DCE和△FCE中，，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF；
（2）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∠BAC=∠B=45°．∵∠DCF=90°，∴∠ACF=∠BCD．在△ACF和△BCD中，，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；
②AE2+DB2=DE2，理由如下：
∵∠DCF=90°，∠DCE=45°，∴∠FCE=90°﹣45°=45°，∴∠DCE=∠FCE．在△DCE和△FCE中，，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF．在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2．又∵AF=DB，∴AE2+DB2=DE2．
（3）【实际应用】把△BCD绕点C顺时针旋转120°得到△ACF，则△ACF≌△BCD．∵∠ACB=120°，AC=BC ，∴∠B=∠C=30°，∴∠CDE=∠B+∠BCD=30°+15°=45°，∴∠CDB=180°－45°=135°．∵△ACF≌△BCD，∴AE=DB，FC=DC，∠FCA=∠BCD=15°，∠FAC=∠B=30°，∠ACF=∠BDC=135°，∴∠FCE=∠ECD=60°．∵FC=DC，EC=EC，∴△FCE≌△DEC，∴EF=ED，∠CFE=∠CDE=45°，∴∠AFE=135°－45°=90°．∵∠FAE=30°+30°=60°，∴∠AEF=30°，∴AF：EF：AE=1：：2，∴S△BCD：S△DCE：S△ACE=BD：ED：AE= AF：EF：AE=1：：2．
点睛：本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．
26. 如图1，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2+bx+c，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且点A坐标为(-1，0).又P是抛物线上位于象限的点，直线AP与y轴交于点D，与抛物线对称轴交于点E，点C与坐标原点O关于该对称轴成轴对称.
（1）求点 B 的坐标和抛物线的表达式；
（2）当 AE：EP=1：4 时，求点 E 的坐标；
（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到 OC ′，旋转角为 α(0°＜α＜90°)，连接 C ′D、C′B，求 C ′B+ C′D 的最小值．
【正确答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=x2-x-；（2）E(1，6)；（3）C′B＋C′D的最小值为．
【分析】（1）由抛物线的对称轴和过点A ，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；
（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得===，从而求出E的坐标；
（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．如图，取点M（0，），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝C′D，由C′B＋C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．
【详解】（1）∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，
∴-=1，∴b=-1．
∵抛物线过点A（-1，0），
∴-b+c=0，解得：c=-，
即：抛物线的表达式为：y=x2-x-．
令y=0，则x2-x-=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；
（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．
∵EG∥PF，AE：EP=1：4，
∴===．
又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．
当x=9时，y=30，即P（9，30），PF=30，
∴EG=6，∴E（1，6）．
（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，则D（0，3）．
∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．
如图，取点M（0，），连接MC′、BM．则OM＝，BM＝＝．
∵，，且∠DOC′＝∠C′OD，
∴△MOC′∽△C′OD．∴，
∴MC′＝C′D，
∴C′B＋C′D＝C′B＋MC′≥BM＝，
∴C′B＋C′D的最小值为．
本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．
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