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2022-2023学年福建省泉州市中考数学专项提升仿真模拟卷（一模二模）含解析
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这是一份2022-2023学年福建省泉州市中考数学专项提升仿真模拟卷（一模二模）含解析，共67页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省泉州市中考数学专项提升仿真模拟卷
（一模）
一、选一选（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 国家在2018年新年贺词中说道：“安得广厦千万间，大庇天下寒士俱欢颜！2017年我国3400000贫困人口实现易地扶贫搬迁、有了温暖的新家．”其中3400000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.34×107 B. 3.4×106 C. 3.4×105 D. 34×105
2. 甲是某零件的直观图，则它的主视图为（ ）
A B. C. D.
3. 如图，已知AB∥CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A＝120°，则∠D的度数为（ ）
A. 30° B. 60° C. 50° D. 40°
4. 下列计算正确的是（ ）
A. a4•a3＝a7 B. a4+a3＝a7 C. （2a3）4＝8a12 D. a4÷a3＝1
5. 如图，△ABC内接于⊙O，连接OA，OB，∠C=40°，则∠OBA的度数是（ ）
A. 60° B. 50° C. 45° D. 40°
6. 下列图形中既是对称图形又是轴对称图形的是
A. B. C. D.
7. 没有等式组的解集在数轴上表示正确的是
A. B. C. D.
8. 初三体育素质测试，某小组5名同学成绩如下表所示，有两个数据被遮盖，如下表：
编号
1
2
3
4
5
方差
平均成绩
得分
38
34
37
40
37
那么被遮盖两个数据依次是（ ）
A. 35，2 B. 36，4 C. 35，3 D. 36，5
9. 济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60 m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略没有计，≈1.7，结果到1m，则该楼的高度CD为( )
A. 47m B. 51m C. 53m D. 54m
10. 已知关于一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A B. 且 C. D. 且
11. 如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴，y轴上，连OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置，若OB=，tan∠BOC=，则点A′的坐标（ ）
A. B. （﹣，） C. （﹣，） D. （﹣，）
12. 如图，在平面直角坐标系中条直线为,直线交轴于点,交轴于点,直线交轴于点,过点作轴的平行线交于点,点关于轴对称,抛物线过三点，下列判断中:①;②;③抛物线关于直线对称;④抛物线过点;⑤四边形,其中正确的个数有（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13. 分解因式：2a2﹣8a+8＝__________．
14. 没有透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同，从中任意摸出一个，放回摇匀，再从中摸一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是_____．
15. 已知，满足方程组，则______．
16. 如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为_____．
17. 如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y=在象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是_____．
18. 如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM=BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为4，则线段CF的最小值是_____．
三、解 答 题（本大题共9小题，共计78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：（3﹣π）0﹣（）﹣1+|2﹣|+2cos45°
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，在矩形ABCD，AD＝AE，DF⊥AE于点F．求证：AB＝DF．
22. 工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度没有计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？
23. 为响应“书香校园”号召，重庆一中在九年级学生中随机抽取某班学生对2016年全年阅读中外名著的情况进行，整理结果发现，每名学生阅读中外名著的本数，至少的有5本，至多的有8本，并根据结果绘制了如图所示的没有完整的折线统计图和扇形统计图．
（1）该班学生共有 名，扇形统计图中阅读中外名著本数为7本所对应的扇形圆心角的度数是 度，并补全折线统计图；
（2）根据情况，班主任决定在阅读中外名著本数为5本和8本的学生中任选两名学生进行交流，请用树状图或表格求出这两名学生阅读的本数均为8本的概率．
24. 如图1，□OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC＝3，A(2，1)，反比例函数y＝ (x＞0)的图象点B．
（1）求点B的坐标和反比例函数的关系式；
（2）如图2，将线段OA延长交y＝ (x＞0)的图象于点D，过B，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，①求直线BD的解析式；②求线段ED的长度．
25. 定义：若以一条线段为对角线作正方形，则称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图①中正方形ABCD即为线段BD的“对角线正方形”．如图②，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，点P从点C出发，沿折线CA﹣AB以5cm/s的速度运动，当点P与点B没有重合时，作线段PB的“对角线正方形”，设点P的运动时间为t（s），线段PB的“对角线正方形”的面积为S（cm2）．
（1）如图③，借助虚线的小正方形网格，画出线段AB的“对角线正方形”．
（2）当线段PB的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，求t的值．
（3）当点P沿折线CA﹣AB运动时，求S与t之间的函数关系式．
（4）在整个运动过程中，当线段PB的“对角线正方形”至少有一个顶点落在∠A的平分线上时，直接写出t的值．
26. 如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cosA＝，D是AB边中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF．
（1）如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；
（2）如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持没有变，请求出∠DFE的正切值；
（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长．
27. 如图1，抛物线，A（1，0）、B（7，0）两点，交y轴于D点，以AB为边在x轴上方作等边△ABC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点M，是S△ABM=S△ABC？若存在，请求出点M的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．
①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系及∠APB的度数，并说明理由；
②若AF=BE，当点E由A运动到C时，请直接写出点P的路径长（没有需要写过程）．
2022-2023学年福建省泉州市中考数学专项提升仿真模拟卷
（一模）
一、选一选（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 国家在2018年新年贺词中说道：“安得广厦千万间，大庇天下寒士俱欢颜！2017年我国3400000贫困人口实现易地扶贫搬迁、有了温暖的新家．”其中3400000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.34×107 B. 3.4×106 C. 3.4×105 D. 34×105
【正确答案】B
【详解】解：3400000=.
故选B.
2. 甲是某零件的直观图，则它的主视图为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据主视图是从正面看得到的视图判定即可．
【详解】解：∵该几何体从正面看到的图形是：
故选A．
本题考查了简单集合体的三视图，理解三视图的作法是解题关键．
3. 如图，已知AB∥CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A＝120°，则∠D的度数为（ ）
A. 30° B. 60° C. 50° D. 40°
【正确答案】A
【详解】分析：根据平行线的性质求出∠C，求出∠DEC的度数，根据三角形内角和定理求出∠D的度数即可．
详解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C=180°．
∵∠A=120°，∴∠C=60°．
∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠D=180°﹣∠C﹣∠DEC=30°．
故选A．
点睛：本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理的应用，能根据平行线的性质求出∠C的度数是解答此题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. a4•a3＝a7 B. a4+a3＝a7 C. （2a3）4＝8a12 D. a4÷a3＝1
【正确答案】A
【分析】根据同底数幂的乘除法法则，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判断即可．
【详解】解：∵a4•a3＝a7，
∴选项A符合题意；
∵a4+a3≠a7，
∴选项B没有符合题意；
∵（2a3）4＝16a12，
∴选项C没有符合题意；
∵a4÷a3＝a，
∴选项D没有符合题意．
故选A．
此题主要考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数没有变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0没有能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而没有是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
5. 如图，△ABC内接于⊙O，连接OA，OB，∠C=40°，则∠OBA的度数是（ ）
A. 60° B. 50° C. 45° D. 40°
【正确答案】B
【详解】试题分析：∵∠C＝40°，
∴∠AOB＝80°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°．
故选B．
点睛：此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍求出∠AOB是解决此题的关键．
6. 下列图形中既是对称图形又是轴对称图形的是
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据轴对称图形与对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；对称图形是图形沿对称旋转180度后与原图重合.
【详解】A、是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意；
B、是轴对称图形，也是对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意；
D、没有是轴对称图形，是对称图形，没有符合题意．
故选B．
7. 没有等式组的解集在数轴上表示正确的是
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】分别求出各没有等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
故此没有等式组的解集为：．
在数轴上表示为：
故选：C．
本题考查的是在数轴上表示没有等式组的解集，熟知解没有等式组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
8. 初三体育素质测试，某小组5名同学成绩如下表所示，有两个数据被遮盖，如下表：
编号
1
2
3
4
5
方差
平均成绩
得分
38
34
37
40
37
那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
A. 35，2 B. 36，4 C. 35，3 D. 36，5
【正确答案】B
【详解】试题分析：本题主要考查的就是平均数和方差的计算法则．根据平均数的计算法则可得：个数据为：37×5-(38+34+37+40)=36，然后根据方差的计算法则可得：方差=++++]=4.
9. 济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60 m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略没有计，≈1.7，结果到1m，则该楼的高度CD为( )
A. 47m B. 51m C. 53m D. 54m
【正确答案】B
【分析】由题意易得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，即可证得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案．
详解】根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，
∴∠ADB=∠DBC-∠A=30°，
∴∠ADB=∠A=30°，
∴BD=AB=60m，
∴CD=BD•sin60°=60×=30≈51（m）．
故选B．
此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．注意证得△ABD是等腰三角形，利用角的三角函数值求解是关键．
10. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. D. 且
【正确答案】D
【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义得出没有等式组，求出没有等式组的解集即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
△且，
解得：且，
故选：D．
本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，解题的关键是能根据题意得出没有等式组的解．
11. 如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴，y轴上，连OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置，若OB=，tan∠BOC=，则点A′的坐标（ ）
A. B. （﹣，） C. （﹣，） D. （﹣，）
【正确答案】C
【分析】即求A点关于OB的对称点的坐标．通过解方程组求解．
【详解】∵tan∠BOC=，∴OC=2BC．
∵OC2+BC2=OB2=5，∴BC=1，OC=2．
所以A（1，0），B（1，2）．
直线OB方程：y﹣2=2（x﹣1），A′和A关于OB对称，假设A′（x0，y0），AA'中点为M（x，y），则x=，y=．
∵M（x，y）直线OB： y﹣2=2（x﹣1）上，∴﹣2=2（﹣1），即y0=2（x0+1）．
∵x02+y02=OA'2=OA2=1，∴x02+4（x0+1）2=1，∴5x02+8x0+3=0．
解得：x0=﹣1或者x0=﹣，
当x0=﹣1时，y0=0，没有合题意，舍去；
当x0=﹣时，y0=．
所以A（﹣）．
故选C．
主要考查了坐标与图形的性质，矩形的性质和翻折变换，三角函数的运用以及函数的应用．要熟练掌握才会灵活运用．
12. 如图，在平面直角坐标系中条直线为,直线交轴于点,交轴于点,直线交轴于点,过点作轴的平行线交于点,点关于轴对称,抛物线过三点，下列判断中:①;②;③抛物线关于直线对称;④抛物线过点;⑤四边形,其中正确的个数有（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】首先根据题意判定A（1,0），B（0,3），D（3,0），C（2,3）E（-1,0），代入抛物线解析式，得出关系式，①结论正确；解出，即可判断②结论错误，④结论正确；进而得出抛物线的解析式，得出对称轴，可判定③结论正确；平行四边形ABCD的面积即可算得6，⑤结论错误.
【详解】解：由题意得，A（1,0），B（0,3），D（3,0），C（2,3）E（-1,0）
又∵抛物线过三点
将三点坐标代入，得
∴①结论正确；
解得
∴抛物线解析式为
∴，②结论错误；
抛物线的对称轴为，③结论正确；
点即为（2,3），抛物线过此点，④结论正确；
，⑤结论错误.
故正确的个数是3，选C.
此题考查了函数和二次函数的综合运用，熟练掌握即可解题.
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13. 分解因式：2a2﹣8a+8＝__________．
【正确答案】2（a﹣2）2
【分析】首先提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】解：2a2﹣8a+8
＝2（a2﹣4a+4）
＝2（a﹣2）2．
故2（a﹣2）2．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
14. 没有透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同，从中任意摸出一个，放回摇匀，再从中摸一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是_____．
【正确答案】
【详解】分析：画树状图列举出所有情况，看两次摸到球的颜色相同的情况占总情况的多少即可．
详解：画树状图如下：
由树状图知共有9种等可能，两次摸到球的颜色相同的有5种，所以两次摸到球的颜色相同的概率是．
故答案为．
点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以没有重复没有遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15. 已知，满足方程组，则______．
【正确答案】3
【分析】方程组两方程左右两边相加，再整理即可解答．
【详解】解：，
①+②得：3x+3y＝9，
则x+y＝3．
故填3．
【点评】本题主要考查了解二元方程组，灵活运用整体思想成为解答本题的关键．
16. 如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为_____．
【正确答案】
【分析】过点O作OD⊥AB，先根据等腰三角形的性质得出∠OAD的度数，由直角三角形的性质得出OD的长，再根据S阴影=S扇形OAB﹣S△AOB进行计算即可．
【详解】解：过点O作OD⊥AB．
∵∠AOB=120°，OA=2，
∴∠OAD==30°，
∴OD=OA=×2=1，AD===，
∴AB=2AD=2，
∴S阴影=S扇形OAB﹣S△AOB=﹣×2×1=﹣．
故答案为﹣．
本题考查的是扇形面积的计算及三角形的面积，根据题意得出S阴影=S扇形OAB﹣S△AOB是解答此题的关键．
17. 如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y=在象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是_____．
【正确答案】2≤k≤
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数和三角形有交点的临界条件分别是交点为A、与线段BC有交点，由此求解即可．
【详解】解：反比例函数和三角形有交点的个临界点是交点为A．
∵过点A（1，2）反比例函数解析式为y=，
∴k≥2．
随着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意，
B（2，5），C（6，1）的直线解析式为y=﹣x+7，
由，得：x2﹣7x+k=0．
根据△≥0，得：k≤．
综上可知：2≤k≤．
故答案为2≤k≤．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，有一定难度．注意自变量的取值范围．
18. 如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM=BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为4，则线段CF的最小值是_____．
【正确答案】2﹣2
【详解】分析：根据正方形的性质可得AD=BC=CD，∠ADC=∠BCD，∠DCE=∠BCE，然后利用“HL”证明Rt△ADM和Rt△BCN全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△DCE和△BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AFD=90°，取AD的中点O，连接OF、OC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF=AD=2，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，CF的长度最小．
详解：在正方形ABCD中，AD=BC=CD，∠ADC=∠BCD，∠DCE=∠BCE．在Rt△ADM和Rt△BCN中，，∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴∠1=∠2．在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠3，∴∠1=∠3．
∵∠ADF+∠3=∠ADC=90°，∴∠1+∠ADF=90°，∴∠AFD=180°﹣90°=90°，取AD的中点O，连接OF、OC，则OF=DO=AD=2．在Rt△ODC中，OC===2，根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值=OC﹣OF=2﹣2．
故答案为2﹣2．
点睛：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出CF最小时点F的位置是解题的关键，也是本题的难点．
三、解 答 题（本大题共9小题，共计78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：（3﹣π）0﹣（）﹣1+|2﹣|+2cos45°
【正确答案】3﹣4
【详解】分析：原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，值的代数意义，以及角的三角函数值计算即可求出值．
详解：原式=1﹣3+2﹣2+=3﹣4．
点睛：本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20. 先化简，再求值：，其中．
【正确答案】2a+4，8.
【分析】先对括号内的分式进行通分进行加减法运算，然后再按运算顺序进行运算，代入数值即可.
【详解】解：原式=
==，
当时，
原式=.
21. 如图，在矩形ABCD，AD＝AE，DF⊥AE于点F．求证：AB＝DF．
【正确答案】见解析
【分析】利用矩形和直角三角形的性质得到∠AEB=∠EAD、∠AFD=∠B，从而证得两个三角形全等，可得结论．
【详解】∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，∠B=90°
∴∠AEB=∠DAE
∵DF⊥AE
∴∠AFD=∠B=90°．
在△ABE和△DFA中
∵
∴△ABE≌△DFA
∴AB=DF．
本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质的知识，属于基础题，难度没有是很大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键．
22. 工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度没有计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？
【正确答案】裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.
【详解】试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x）dm，宽为（6-2x）dm，根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.
试题解析：
设裁掉的正方形的边长为xdm，
由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，
即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，
答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.
23. 为响应“书香校园”号召，重庆一中在九年级学生中随机抽取某班学生对2016年全年阅读中外名著的情况进行，整理结果发现，每名学生阅读中外名著的本数，至少的有5本，至多的有8本，并根据结果绘制了如图所示的没有完整的折线统计图和扇形统计图．
（1）该班学生共有 名，扇形统计图中阅读中外名著本数为7本所对应的扇形圆心角的度数是 度，并补全折线统计图；
（2）根据情况，班主任决定在阅读中外名著本数为5本和8本的学生中任选两名学生进行交流，请用树状图或表格求出这两名学生阅读的本数均为8本的概率．
【正确答案】（1）50，108，补全图见解析；
（2）树状图见解析，这两名学生阅读本数均为8本的概率为．
【分析】（1）由折线图可知阅读6本名著的人数为30人，占60%，即可得出全班的人数为50人；用15除以50再乘360°得出阅读7本年名著所对应的圆心角的度数；再由50-2-30-15得出阅读8本名著的人数为3人；
（2）根据题意画出图表，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）该班学生共有30÷60%=50名，
扇形统计图7本所对应的圆心角的度数为360°×=108°
补全如图：
故答案为∶50；108；
(2)分别用A，B表示阅读5本的学生，用C，D表示阅读8本的学生，
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽到的两名学生都阅读了8本有2种结果
∴抽到的两名学生都阅读了8本的概率为：．
24. 如图1，□OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC＝3，A(2，1)，反比例函数y＝ (x＞0)的图象点B．
（1）求点B的坐标和反比例函数的关系式；
（2）如图2，将线段OA延长交y＝ (x＞0)的图象于点D，过B，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，①求直线BD的解析式；②求线段ED的长度．
【正确答案】（1）B(2，4)，反比例函数的关系式为y＝；（2）①直线BD的解析式为y＝－x＋6；②ED＝2
【详解】试题分析：（1）过点A作AP⊥x轴于点P，由平行四边形的性质可得BP=4， 可得B(2，4)，把点B坐标代入反比例函数解析式中即可；
（2）①先求出直线OA的解析式，和反比例函数解析式联立，解方程组得到点D的坐标，再由待定系数法求得直线BD的解析式； ②先求得点E的坐标，过点D分别作x轴的垂线，垂足为G（4，0），由沟谷定理即可求得ED长度.
试题解析：（1）过点A作AP⊥x轴于点P，
则AP＝1，OP＝2，
又∵AB＝OC＝3，
∴B(2，4).，
∵反比例函数y＝ (x＞0)的图象的B，
∴4＝，
∴k＝8.
∴反比例函数的关系式为y＝；
（2）①由点A（2，1）可得直线OA的解析式为y＝x．
解方程组，得，．
∵点D在象限，
∴D(4，2)．
由B(2，4)，点D(4，2)可得直线BD的解析式为y＝－x＋6；
②把y＝0代入y＝－x＋6，解得x＝6，
∴E(6，0)，
过点D分别作x轴的垂线，垂足分别为G，则G（4，0），
由勾股定理可得：ED＝.
点睛：本题考查函数、反比例函数、平行四边形等几何知识，综合性较强，要求学生有较强的分析问题和解决问题的能力.
25. 定义：若以一条线段为对角线作正方形，则称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图①中正方形ABCD即为线段BD的“对角线正方形”．如图②，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，点P从点C出发，沿折线CA﹣AB以5cm/s的速度运动，当点P与点B没有重合时，作线段PB的“对角线正方形”，设点P的运动时间为t（s），线段PB的“对角线正方形”的面积为S（cm2）．
（1）如图③，借助虚线的小正方形网格，画出线段AB的“对角线正方形”．
（2）当线段PB的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，求t的值．
（3）当点P沿折线CA﹣AB运动时，求S与t之间的函数关系式．
（4）在整个运动过程中，当线段PB的“对角线正方形”至少有一个顶点落在∠A的平分线上时，直接写出t的值．
【正确答案】（1）见解析；（2）；（3）S=；
（4）t的值为s 或1s或s
【详解】试题分析：（1）t=0时，正方形的对角线为4，由此即可求出面积．
（2）如图1中，当线段PB的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，设正方形的边长为x，由PE∥AB，可得 ==，解得x=，再求出PC的长即可解决问题．
（3）分两种情形分别求解①如图2中，当0≤t≤1时，作PH⊥BC于H．求出PB2即可．②如图3中，当1＜t＜时，求出PB2即可．
（4）分三种情形讨论①如图4中，当D、E在∠BAC平分线上时．②当点P运动到点A时，满足条件，此时t=1s．③如图5中，当点E在∠BAC的角平分线上时，分别求解即可．
试题解析：解：（1）线段AB的“对角线正方形”如图所示：
（2）如图1中，当线段PB的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，设正方形的边长为x．∵PE∥AB，∴=，∴=，解得x=，∴PE=，CE=4﹣=，∴PC==，∴t==s；
（3）①如图2中，当0≤t≤1时，作PH⊥BC于H．
∵PC=5t，则HC=4t，PH=3t．在Rt△PHB中，PB2=PH2+BH2=（3t）2+（4﹣4t）2=25t2﹣32t+16，∴S=PB2=t2﹣16t+8．
②如图3中，当1＜t＜时，∵PB=8﹣5t，∴S=PB2=t2﹣40t+32．
综上所述：S=；
（4）①如图4中，当D、E在∠BAC的平分线上时，易知AB=AP=3，PC=2，∴t=s．
②当点P运动到点A时，满足条件，此时t=1s．
③如图5中，当点E在∠BAC的角平分线上时，作EH⊥BC于H．
易知EB平分∠ABC，∴点E是△ABC的内心，四边形EOBH是正方形，OB=EH=EO=BH==1（直角三角形内切圆半径公式），∴PB=2OB=2，∴AP=1，∴t=s．综上所述：在整个运动过程中，当线段PB的“对角线正方形”至少有一个顶点落在∠CAB的平分线上时，t的值为 s 或1s或 s；
点睛：本题考查了四边形综合题、正方形的性质、角平分线的定义、勾股定理直角三角形的内切圆半径、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
26. 如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cosA＝，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF．
（1）如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；
（2）如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持没有变，请求出∠DFE的正切值；
（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长．
【正确答案】（1）；（2）没有变；（3）或3或.
【详解】试题分析：（1）由已知条件易求DE=3，DF=4，再由勾股定理EF=5；
（2）过点作，，垂足分别为点、，由（1）可得DH=3，DG=4；再证，即可得出结论；
（3）分三种情况讨论即可.
（1）∵，
∴
∵
∴
∵是边的中点
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵在中，
∴
∵
∴
又∵
∴四边形是矩形
∴
∵在中，
∴
（2）没有变
过点作，，垂足分别为点、
由（1）可得，
∵，
∴
又∵，
∴四边形是矩形
∴
∵
∴ 即
又∵
∴
∴
∵
∴
（3）1° 当时，易证，即
又∵，D是AB的中点
∴
∴
2° 当时，易证
∵在中，
∴设，则，
当时，易证，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴ 解得
∴
∴
3° 在BC边上截取BK=BD=5，由勾股定理得出
当时，易证
∴设，则，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴ 解得
∴
∴
27. 如图1，抛物线，A（1，0）、B（7，0）两点，交y轴于D点，以AB为边在x轴上方作等边△ABC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点M，是S△ABM=S△ABC？若存在，请求出点M的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．
①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系及∠APB的度数，并说明理由；
②若AF=BE，当点E由A运动到C时，请直接写出点P的路径长（没有需要写过程）．
【正确答案】（1）；（2）点M的坐标为（9，4）或（﹣1，4）；（3）①AF=BE，∠APB=120°；②或．
【详解】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+．
∵将点A、B的坐标代入得：解得：a=，b=﹣2，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+．
（2）存在点M，使得S△AMB=S△ABC．
理由：如图所示：过点C作CK⊥x轴，垂足为K．
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=6，∠ACB=60°．
∵CK⊥AB，
∴KA=BK=3，∠ACK=30°．
∴CK=3．
∴S△ABC=AB•CK=×6×3=9．
∴S△ABM=×=12．
设M（a，a2﹣2a+）．
∴AB•|yM|=12，即×6×（a2﹣2a+）=12．
解得=9，=﹣1．
∴M1（9，4），M2（﹣1，4）．
（3）①结论：AF=BE，∠APB=120°．
理由：如图所示；
∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AB，∠C=∠ABF．
∵在△BEC和△AFB中，，
∴△BEC≌△AFB．
∴AF=BE，∠CBE=∠BAF．
∴∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°．
∴∠APB=180°﹣∠PAB﹣∠ABP=180°﹣60°=120°．
②点P的路径长为或3．
2022-2023学年福建省泉州市中考数学专项提升仿真模拟卷
（二模）
一、选一选（本大题共12小题，每小题4分，满分48分）
1. ﹣的相反数是（ ）
A. ﹣5 B. 5 C. ﹣ D.
2. 如图，已知直线则（ ）
A. B.
C. D.
3. 数据4402万用科学记数法表示正确的是( )
A. 4.402×107 B. 44.02×108 C. 44.02×107 D. 4.402×108
4. 下列图形中，是轴对称图形但没有是对称图形的是（ ）
A. 平行四边形 B. 等腰三角形 C. 矩形 D. 正方形
5. 下列各式中，计算正确是（ ）
A. 3x+5y=8xy B. x3•x5=x8 C. x6÷x3=x2 D. （﹣x3）3=x6
6. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，有一直角三角形纸片ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点B与点A重合，DE＝1，则BC长度为( )
A. 2 B. ＋2 C. 3 D. 2
8. 一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
9. 某校准备在国庆节期间组织学生到泰山进行研学旅行，已知老师与学生一共25人参加此次研学旅行，购买门票共花费1700元，门票费用如表格所示，求参加研学旅行的老师和学生各有多少人？设老师有x人，学生有y人，则可列方程组为（ ）
景点
票价
开放时间
泰山门票
旺季：125元/人
淡季：100元/人
全天
说明：（1）旺季时间（2月～11月)，淡季时间（12月－次年1月）；
（2）老年人（60岁～70岁）、学生、儿童（1.2米～1.4米）享受5折优惠；
（3）教师、劳模、英模、道德模范享受8折优惠；
（4）现役军人、伤残军人、70岁以上老年人、残疾人，凭本人有效证件进山；
（5）享受优惠的游客请出示本人有效证件．
A. B. C. D.
10. 如图，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细没有计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A. π cm B. 2π cm C. 3π cm D. 5π cm
11. 二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）图象如图所示，对称轴是x=﹣1．下列结论：①ab＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+2c＜0；④8a+c＜0．其中正确的是（ ）
A. ③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
12. 邻边没有相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为次操作；在余下的四边形中减去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…，以此类推，若第n次操作后余下的四边形是正方形，则称原矩形是n阶矩形．如图，矩形ABCD中，若AB=1，AD=2，则矩形ABCD是1阶矩形．已知一个矩形是2阶矩形，较短边长为2，则较长边的长度为( )
A. 6 B. 8 C. 5或8 D. 3或6
二、填 空 题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．）
13. 因式分解：__________．
14. 计算：＋(π－1)0＝__________________；
15. 在一个没有透明的口袋中装有6个红球．2个绿球，这些球除颜色外无其它差别，从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为__________________；
16. 正六边形的角等于______度．
17. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠BAC的正切为__________________；
18. 在平面直角坐标系中，已知点A(0，－2)、B(0，3)，点C是x轴正半轴上的一点，当∠BCA＝45°时，点C的坐标为__________________；
三、解 答 题（本大题共9个小题，共78分懈答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 在平面直角坐标系中，直线l点A（－1,3）和点B（，8），请问将直线l沿x轴向右平移几个单位时，正好原点？
21. 已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．
22. 2018年1月25日，济南至成都方向的高铁线路正式开通，高铁平均时速为普快平均时速的4倍，从济南到成都的高铁运行时间比普快列车减少了26小时．已知济南到成都的火车行车里程约为2288千米，求高铁列车的平均时速．
23. 在大课间中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
分 组
频数
频率
组（0≤x＜15）
3
0.15
第二组（15≤x＜30）
6
a
第三组（30≤x＜45）
7
0.35
第四组（45≤x＜60）
b
0.20
（1）频数分布表中a=_____，b=_____，并将统计图补充完整；
（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？
（3）已知组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？
24. 如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，以AD为半径的⊙A分别与边AC、AB交于点E和点F，DE∥AB，延长CA交⊙A于点G，连接BG.
(1)求证：BG是⊙A的切线；
(2)若∠ACB＝30°，AD＝3，求图中阴影部分的面积．
25. 如图，函数y＝－x＋1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在象限作等边△ABC，
(1)若点C在反比例函数y＝的图象上，求该反比例函数的解析式；
(2)点P(2，m)在象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD与△OAB相似时，P点是否在(1)中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果没有在，请加以说明.
26. 在Rt△ACB和△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE.
发现：
如图1，若点E、F分别落边AB，AC上，则结论：PC＝PE成立（没有要求证明）．
问题探究：
把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转．
(1)如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若没有成立，请说明理由；
(2)如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若没有成立，请说明理由；
(3)记＝k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出后的值，没有必说）
27. 已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1,0），且a＜b.
（1）求抛物线顶点Q坐标（用含a的代数式表示）；
（2）说明直线与抛物线有两个交点；
（3）直线与抛物线的另一个交点记为N.
（Ⅰ）若-1≤a≤，求线段MN长度的取值范围；
（Ⅱ）求△QMN面积的最小值.
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（二模）
一、选一选（本大题共12小题，每小题4分，满分48分）
1. ﹣的相反数是（ ）
A. ﹣5 B. 5 C. ﹣ D.
【正确答案】D
【分析】互为相反数的两个数和为零,据此即可解题.
【详解】∵（）+=0
∴的相反数为.
故选D.
点睛：此题主要考查了求一个数相反数，关键是明确相反数的概念.
2. 如图，已知直线则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】如图，在△ABC中，根据外角性质，求出∠4度数，再根据平行线性质，求出∠3度数即可．
【详解】如图，在△中，
∵，
∵
．
故选：D
本题考查了三角形的外角性质和平行线的性质，比较简单．本题的解法有多种，方法没有.
3. 数据4402万用科学记数法表示正确的是( )
A. 4.402×107 B. 44.02×108 C. 44.02×107 D. 4.402×108
【正确答案】A
【详解】分析: 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同.
详解: 4402万=44020000=4.402×107
故选：A.
点睛: 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值
4. 下列图形中，是轴对称图形但没有是对称图形的是（ ）
A. 平行四边形 B. 等腰三角形 C. 矩形 D. 正方形
【正确答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念和对称图形的概念进行分析判断．
【详解】解： 选项A，平行四边形没有是轴对称图形，是对称图形，错误；
选项B，等腰三角形是轴对称图形，没有是对称图形，正确．
选项C，矩形是轴对称图形，也是对称图形；错误；
选项D，正方形是轴对称图形，也是对称图形，错误；
故答案选B．
本题考查轴对称图形的概念和对称图形的概念，正确理解概念是解题关键．
5. 下列各式中，计算正确的是（ ）
A. 3x+5y=8xy B. x3•x5=x8 C. x6÷x3=x2 D. （﹣x3）3=x6
【正确答案】B
【详解】选项A，没有是同类项，没有能合并，错误；
选项B，根据同底数幂的乘法运算法则可得x3•x5=x8，正确；
选项C，根据同底数幂的除法运算法则可得x6÷x3=x3，错误；
选项D，根据积的乘方运算法则可得（﹣x3）3=﹣x9，错误；
故选：B．
6. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：原式=
=
故选B．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
7. 如图，有一直角三角形纸片ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点B与点A重合，DE＝1，则BC的长度为( )
A. 2 B. ＋2 C. 3 D. 2
【正确答案】C
【详解】分析: 先由∠B＝30°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点B与点A重合，DE＝1，得到AD=BD=2, 再根据∠C＝90°，∠B＝30°得∠CAD=30°,然后在Rt△ACD中，利用30°的角所对的直角边是斜边的一半求得CD=1,从而求得BC的长度.
详解: ∵△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，
∴AD＝BD，∠B＝∠CAD= 30°, ∠DEB=90°,
∴AD=BD=2, ∠CAD=30°,
∴CD=AD=1
∴BC=BD+CD=2+1=3
故选：C．
点睛: 本题考查了翻折变换，主要利用了翻折前后对应边相等，此类题目，难点在于利用直角三角形中30°的角所对应的直角边是斜边的一半来解决问题.
8. 一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
【正确答案】D
【详解】解：A．原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A与要求没有符；
B．原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B与要求没有符；
C．原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与要求没有符；
D．原来数据的方差==，
添加数字2后的方差==，
故方差发生了变化．
故选D．
9. 某校准备在国庆节期间组织学生到泰山进行研学旅行，已知老师与学生一共25人参加此次研学旅行，购买门票共花费1700元，门票费用如表格所示，求参加研学旅行的老师和学生各有多少人？设老师有x人，学生有y人，则可列方程组为（ ）
景点
票价
开放时间
泰山门票
旺季：125元/人
淡季：100元/人
全天
说明：（1）旺季时间（2月～11月)，淡季时间（12月－次年1月）；
（2）老年人（60岁～70岁）、学生、儿童（1.2米～1.4米）享受5折优惠；
（3）教师、劳模、英模、道德模范享受8折优惠；
（4）现役军人、伤残军人、70岁以上老年人、残疾人，凭本人有效证件进山；
（5）享受优惠的游客请出示本人有效证件．
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】分析: 由“成人和学生共25人”和“购买门票共花费1700元”列出方程组解决问题,其中门票费用中的第二条学生享受5折优惠,第三条教师享受8折优惠;又由于是在国庆节期间所以票价的原价是125元/人.
详解: 设购买成人门票x张，学生门票y张，由题意得
化简为
故选:A.
点睛: 此题考查二元方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键.
10. 如图，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细没有计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A. π cm B. 2π cm C. 3π cm D. 5π cm
【正确答案】C
【详解】试题分析：根据定滑轮的性质得到重物上升的即为转过的弧长，利用弧长公式得：l==3πcm，则重物上升了3πcm，故选C.
考点：旋转的性质．
11. 二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，对称轴是x=﹣1．下列结论：①ab＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+2c＜0；④8a+c＜0．其中正确的是（ ）
A. ③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
【正确答案】C
【详解】分析: 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可．
详解: ①对称轴在y轴的左侧,a,b同号,
∴ab＞0,
故①正确;
②由图知：抛物线与x轴有两个没有同的交点，
则△＝b²−4ac＞0，
∴b2＞4ac，
故②正确；
③∵x＝-1时，y＞0，
∴a-b＋c＞0，
而c＞0，
∴a－b＋2c＞0，所以④错误;
④由图知：当x＝2时y<0，所以4a+2b＋c<0，因为b＝2a，所以4a＋4a＋c<0，即8a＋c<0，故⑤正确；
故选:C.
点睛: 本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解题的关键．
12. 邻边没有相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为次操作；在余下的四边形中减去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…，以此类推，若第n次操作后余下的四边形是正方形，则称原矩形是n阶矩形．如图，矩形ABCD中，若AB=1，AD=2，则矩形ABCD是1阶矩形．已知一个矩形是2阶矩形，较短边长为2，则较长边的长度为( )
A. 6 B. 8 C. 5或8 D. 3或6
【正确答案】D
【分析】如果一个矩形是2阶矩形,通过操作画图可以得出次应该减去是一个边长为2的正方形，就剩下一个宽为2长为4的矩形或一个宽为1长为2的矩形，，故可得出较长边的长度.
【详解】详解:如图,根据2阶矩形的定义做出如下两种图形:
故可知矩形较长边的长度为3或6.
故选D.
点睛: 本题考查了矩形的性质和正方形的性质的运用，轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，分类讨论思想在几何题目中的运用，解答时根据题意正确画出图形是关键．
二、填 空 题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．）
13. 因式分解：__________．
【正确答案】
【分析】根据平方差公式直接进行因式分解即可．
【详解】解：原式
故．
本题考查因式分解，常用的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法．
14. 计算：＋(π－1)0＝__________________；
【正确答案】3
【详解】分析: 分别根据立方根、0指数幂计算出各数，再根据实数运算的法则进行计算即可．
详解:＋(π－1)0
＝2+1
=3
故答案为3.
点睛: 本题考查的是实数的运算，熟知立方根、0指数幂的运算法则是解答此题的关键
15. 在一个没有透明的口袋中装有6个红球．2个绿球，这些球除颜色外无其它差别，从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为__________________；
【正确答案】
【详解】分析: 先求出总的球的个数，再根据概率公式即可得出摸到红球的概率
详解: ：∵袋中装有6个红球，2个绿球，
∴共有8个球，
∴摸到红球的概率为=；
故答案为: .
点睛: 本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比
16. 正六边形的角等于______度．
【正确答案】60°
【分析】根据正n边形角的公式直接求解即可.
【详解】解：正六边形的圆心角等于一个周角，即为，正六边形有6个角，所以每个角=
故60°
本题考查正六边形，解答本题的关键是掌握正六边形的性质，熟悉正六边形的角的概念
17. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠BAC的正切为__________________；
【正确答案】
【分析】根据题意，作CD⊥AB于点D，可以求得CD、AD的长，从而可以求出tan∠BAC的值
【详解】如图，
作CD⊥AB于点D，则CD=，AD==2，
故tan∠BAC===．
故．
本题考查的是勾股定理及解直角三角形，解题的关键是明确题意，构造直角三角形，利用锐角三角函数解答问题．
18. 在平面直角坐标系中，已知点A(0，－2)、B(0，3)，点C是x轴正半轴上的一点，当∠BCA＝45°时，点C的坐标为__________________；
【正确答案】（6，0）
【详解】如图，作△ABC的外接圆⊙P，过点P作PE⊥BA，PF⊥OC于F，
∴AE=BE，
∵A(0，－2)、B(0，3)，
∴AB=5，
∴E（0，），
∵∠BCA =45°，
∴∠APB =90°，
PE= AB=，
∴P
在直角△PBE中，PE=BE=，由勾股定理得：PB=，
在直角△PFC中，PF=，PC=PB=，
由勾股定理得：FC=，
OC=OF+CF=+=6，
点C坐标为（6，0）.
故答案为: （6，0）
三、解 答 题（本大题共9个小题，共78分懈答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 先化简，再求值：，其中．
【正确答案】，3
【分析】原式利用单项式乘以多项式法则,完全平方公式计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】原式
，
当时，
原式.
此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
20. 在平面直角坐标系中，直线l点A（－1,3）和点B（，8），请问将直线l沿x轴向右平移几个单位时，正好原点？
【正确答案】2
【详解】分析:先求出直线l的解析式,再求出直线l与x轴的交点,从而可知直线l沿x轴向右平移2几个单位时，原点.
详解:设直线l的解析式为y=kx+b
把点A（-1,3）和点B（，8）代入得
解得：
∴y=3x+6
当y=0时，3x+6=0解得x=－2
∴直线l过点（－2,0）
∴直线l沿x轴向右平移2个单位时，原点.
点睛: 本题考查了函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移法则是解题的关键．
21. 已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．
【正确答案】证明过程见解析
【分析】由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形BEF与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．
【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠C=90°
∵EF⊥DF
∴∠EFD=90°
∴∠EFB+∠CFD=90°
∵∠EFB+∠BEF=90°
∴∠BEF=∠CFD
在△BEF和△CFD中，
∴△BEF≌△CFD（ASA）
∴BF=CD．
考点：（1）矩形的性质；（2）全等三角形的判定与性质
22. 2018年1月25日，济南至成都方向高铁线路正式开通，高铁平均时速为普快平均时速的4倍，从济南到成都的高铁运行时间比普快列车减少了26小时．已知济南到成都的火车行车里程约为2288千米，求高铁列车的平均时速．
【正确答案】高铁列车的平均时速为264千米/小时
【详解】分析: 设普快的平均时速为x千米/小时，高铁列车的平均时速为4x千米/小时，根据题意可得，高铁走2288千米比普快减少了26小时，据此列方程求解；
详解:
设普快列车的平均时速为x千米/小时，
根据题意得
解得x=66
经检验，x=66没有是增根，
∴原方程的解为x=66
∴4x=66×4=264
答：高铁列车的平均时速为264千米/小时.
点睛: 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验.
23. 在大课间中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
分 组
频数
频率
组（0≤x＜15）
3
0.15
第二组（15≤x＜30）
6
a
第三组（30≤x＜45）
7
0.35
第四组（45≤x＜60）
b
0.20
（1）频数分布表中a=_____，b=_____，并将统计图补充完整；
（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？
（3）已知组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？
【正确答案】【答题空1】0.3
【答题空2】4
【分析】（1）由统计图易得a与b的值，继而将统计图补充完整；
（2）利用用样本估计总体的知识求解即可求得答案；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两人正好都是甲班学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）a=1﹣0.15﹣0.35﹣0.20=0.3；
∵总人数为：3÷0.15=20（人），∴b=20×0.20=4（人）；
故答案为0.3，4；
补全统计图得：
（2）估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有：180×（0.35+0.20）=99（人）；
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，所选两人正好都是甲班学生的有3种情况，∴所选两人正好都是甲班学生的概率是：=．
本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24. 如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，以AD为半径的⊙A分别与边AC、AB交于点E和点F，DE∥AB，延长CA交⊙A于点G，连接BG.
(1)求证：BG是⊙A的切线；
(2)若∠ACB＝30°，AD＝3，求图中阴影部分的面积．
【正确答案】（1）证明见解析（2）
【详解】分析:(1) 根据DE∥AB得出∠BAD=∠ADE，∠GAB=∠AED,再依据AD=AE得出∠BAD=∠GAB,从而证明△GAB≌△DAB,即可得出∠ADB=∠AGB =90°,从而说明BG是⊙A的切线;
(2)证四边形AFDE为菱形,从而得到阴影部分的面积等于扇形AFD的面积.
详解:
（1）∵DE∥AB
∴∠BAD=∠ADE，∠GAB=∠AED
∵AD=AE
∴∠AED=∠ADE
∴∠BAD=∠GAB
在△GAB和△DAB中
∴△GAB≌△DAB
∴∠AGB =∠ADB
∵AD⊥BC
∴∠ADB=90°
∴∠AGB =90°
∴BG是⊙A的切线.
（2）连接FD
∵∠ACB=30°，∠ADC=90°
∴∠CAD=60°
∵AD=AE
∴△ADE为等边三角形
∴DE=AE=AF
又∵DE∥AB
∴四边形AFDE为菱形
∴AE∥FD
∴S△AFD= S△EFD
∴S阴影= S扇形AFD
∵∠FAD=60°，AD=3
∴S阴影= S扇形AFD=
点睛: 本题考查了等腰三角形的性质,平行线的性质和判定,切线的判定,三角形的面积,扇形的面积计算等知识点,主要考查学生综合运用定理进行推理的能力,综合性比较强,有一定的难度.
25. 如图，函数y＝－x＋1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在象限作等边△ABC，
(1)若点C在反比例函数y＝的图象上，求该反比例函数的解析式；
(2)点P(2，m)在象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD与△OAB相似时，P点是否在(1)中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果没有在，请加以说明.
【正确答案】 ； P点坐标为
【详解】试题分析：（1）由直线解析式可求得A、B坐标，在Rt△AOB中，利用三角函数定义可求得∠BAO=30°，且可求得AB的长，从而可求得CA⊥OA，则可求得C点坐标，利用待定系数法可求得反比例函数解析式；
（2）分△PAD∽△ABO和△PAD∽△BAO两种情况，分别利用相似三角形的性质可求得m的值，可求得P点坐标，代入反比例函数解析式进行验证即可．
试题解析：解：（1）在中，令y=0可解得x=，令x=0可得y=1，∴A（，0），B（0，1），∴tan∠BAO=，∴∠BAO=30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠=90°，在Rt△BOA中，由勾股定理可得AB=2，∴AC=2，∴C（，2），∵点C在反比例函数的图象上，∴k=2×=，∴反比例函数解析式为；
（2）∵P（，m）在象限，∴AD=OD﹣OA=﹣=，PD=m，当△ADP∽△AOB时，则有，即，解得m=1，此时P点坐标为（，1）；
当△PDA∽△AOB时，则有，即，解得m=3，此时P点坐标为（，3）；
把P（，3）代入可得3≠，∴P（，3）没有在反比例函数图象上，把P（，1）代入反比例函数解析式得1=，∴P（，1）在反比例函数图象上；
综上可知P点坐标为（，1）．
点睛：本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、等边三角形的性质、三角函数、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中求得C点坐标是解题的关键，在（2）中利用相似三角形的性质得到m的方程是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
26. 在Rt△ACB和△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF中点，连接PC，PE.
发现：
如图1，若点E、F分别落在边AB，AC上，则结论：PC＝PE成立（没有要求证明）．
问题探究：
把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转．
(1)如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若没有成立，请说明理由；
(2)如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若没有成立，请说明理由；
(3)记＝k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出后的值，没有必说）
【正确答案】 成立 ，成立 当k为时，总是等边三角形
【分析】（1）过点P作PM⊥CE于点M，由EF⊥AE，BC⊥AC，得到EF∥MP∥CB，从而有，再根据点P是BF的中点，可得EM=MC，据此得到PC=PE．
（2）过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，先证△DAF≌△EAF，即可得出AD=AE；再证△DAP≌△EAP，即可得出PD=PE；根据FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，可得FD∥BC∥PM，再根据点P是BF的中点，推得PC=PD，再根据PD=PE，即可得到结论．
（3）因为△CPE总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；根据，=tan30°，求出当△CPE总是等边三角形时，k的值是多少即可．
【详解】解：（1）PC=PE成立，理由如下：
如图2，过点P作PM⊥CE于点M，∵EF⊥AE，BC⊥AC，∴EF∥MP∥CB，∴，∵点P是BF的中点，∴EM=MC，又∵PM⊥CE，∴PC=PE；
（2）PC=PE成立，理由如下：
如图3，过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，∵∠DAF=∠EAF，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF和△EAF中
，∵∠DAF=∠EAF，∠FDA=∠FEA，AF=AF，
∴△DAF≌△EAF（AAS），
∴AD=AE，在△DAP和△EAP中，
∵AD=AE，∠DAP=∠EAP，AP=AP，
∴△DAP≌△EAP（SAS），
∴PD=PE，
∵FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，
∴FD∥BC∥PM，
∴，
∵点P是BF的中点，
∴DM=MC，又∵PM⊥AC，
∴PC=PD，又∵PD=PE，
∴PC=PE；
（3）如图4，∵△CPE总是等边三角形，
∴∠CEP=60°，
∴∠CAB=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°，
∵，=tan30°，
∴k=tan30°=，
∴当k为时，△CPE总是等边三角形．
考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．
27. 已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1,0），且a＜b.
（1）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）说明直线与抛物线有两个交点；
（3）直线与抛物线的另一个交点记为N.
（Ⅰ）若-1≤a≤，求线段MN长度的取值范围；
（Ⅱ）求△QMN面积的最小值.
【正确答案】（1）抛物线的顶点Q的坐标是（-，）；（2）证明见解析；（3）（Ⅰ）；
(Ⅱ) .
【详解】分析: （1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；
（2）由直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，再判断其判别式大于0即可；
（3）①由（2）的方程，可求得N点坐标，利用勾股定理可求得MN2，利用二次函数性质可求得MN长度的取值范围；②设抛物线对称轴交直线与点E，则可求得E点坐标，利用S△QMN=S△QEN+S△QEM可用a表示出△QMN的面积，再整理成关于a的一元二次方程，利用判别式可得其面积的取值范围，可求得答案
详解:
（1）∵M（1，0），
∴b=-2a，
∴y=ax2+ax+b
=ax2+ax-2a
= a(x+)2－
∴顶点Q的坐标为（－，－）.
（2）由直线y=2x+m点M（1，0），可得m=－2.
∴y=2x-2
∴ax2+（a-2）x-2a+2=0
∴△=（a-2）2－4×a×（－2a+2）=（3a－2）2
∵2a +b=0，a
∴△>0
∴方程有两个没有相等的实数根，
∴直线与抛物线有两个交点.
（3）把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a，得ax2+（a-2）x-2a+2=0，
即x2+(1- )x-2+=0，
∴（x-1）（x+2-）=0,
解得x1=1,x2 =-2，
∴点N（-2，-6）.
（i）根据勾股定理得，
MN2=[（-2）-1]2+（-6）2=20（）2，
∵-1≤a≤-，
∴-2≤ ≤-1，
∴<0，
∴MN=2 （ ）=3 ，
∴5≤MN≤7.
（ii）作直线x=－ 交直线y=2x-2于点E，
把x=－代入y=2x-2得，y=-3，
即E（－，-3），
∵M（1，0），N（-2，-6），且由（2）知a<0，
∴S△QMN =S△QEN+S△QEM= = ，
即27a2+(8S-54)a+24=0，
∵关于a的方程有实数根，
∴△=（8S-54）2-4×27×24≥0，
即（8S-54）2≥（36 ）2，
又∵a<0，
∴S=> ,
∴8S-54>0，
∴8S-54≥36，即S≥ ，
当S=时，由方程可得a=- 满足题意.
∴△QMN面积的最小值为.
点睛: 本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、勾股定理、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得N点的坐标是解题的关键，在一小题中用a表示出△QMN的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大.
2022-2023学年福建省泉州市中考数学专项提升仿真模拟卷
（一模）
一、选一选（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 国家在2018年新年贺词中说道：“安得广厦千万间，大庇天下寒士俱欢颜！2017年我国3400000贫困人口实现易地扶贫搬迁、有了温暖的新家．”其中3400000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.34×107 B. 3.4×106 C. 3.4×105 D. 34×105
2. 甲是某零件的直观图，则它的主视图为（ ）
A B. C. D.
3. 如图，已知AB∥CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A＝120°，则∠D的度数为（ ）
A. 30° B. 60° C. 50° D. 40°
4. 下列计算正确的是（ ）
A. a4•a3＝a7 B. a4+a3＝a7 C. （2a3）4＝8a12 D. a4÷a3＝1
5. 如图，△ABC内接于⊙O，连接OA，OB，∠C=40°，则∠OBA的度数是（ ）
A. 60° B. 50° C. 45° D. 40°
6. 下列图形中既是对称图形又是轴对称图形的是
A. B. C. D.
7. 没有等式组的解集在数轴上表示正确的是
A. B. C. D.
8. 初三体育素质测试，某小组5名同学成绩如下表所示，有两个数据被遮盖，如下表：
编号
1
2
3
4
5
方差
平均成绩
得分
38
34
37
40
37
那么被遮盖两个数据依次是（ ）
A. 35，2 B. 36，4 C. 35，3 D. 36，5
9. 济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60 m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略没有计，≈1.7，结果到1m，则该楼的高度CD为( )
A. 47m B. 51m C. 53m D. 54m
10. 已知关于一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A B. 且 C. D. 且
11. 如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴，y轴上，连OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置，若OB=，tan∠BOC=，则点A′的坐标（ ）
A. B. （﹣，） C. （﹣，） D. （﹣，）
12. 如图，在平面直角坐标系中条直线为,直线交轴于点,交轴于点,直线交轴于点,过点作轴的平行线交于点,点关于轴对称,抛物线过三点，下列判断中:①;②;③抛物线关于直线对称;④抛物线过点;⑤四边形,其中正确的个数有（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13. 分解因式：2a2﹣8a+8＝__________．
14. 没有透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同，从中任意摸出一个，放回摇匀，再从中摸一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是_____．
15. 已知，满足方程组，则______．
16. 如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为_____．
17. 如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y=在象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是_____．
18. 如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM=BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为4，则线段CF的最小值是_____．
三、解 答 题（本大题共9小题，共计78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：（3﹣π）0﹣（）﹣1+|2﹣|+2cos45°
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，在矩形ABCD，AD＝AE，DF⊥AE于点F．求证：AB＝DF．
22. 工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度没有计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？
23. 为响应“书香校园”号召，重庆一中在九年级学生中随机抽取某班学生对2016年全年阅读中外名著的情况进行，整理结果发现，每名学生阅读中外名著的本数，至少的有5本，至多的有8本，并根据结果绘制了如图所示的没有完整的折线统计图和扇形统计图．
（1）该班学生共有 名，扇形统计图中阅读中外名著本数为7本所对应的扇形圆心角的度数是 度，并补全折线统计图；
（2）根据情况，班主任决定在阅读中外名著本数为5本和8本的学生中任选两名学生进行交流，请用树状图或表格求出这两名学生阅读的本数均为8本的概率．
24. 如图1，□OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC＝3，A(2，1)，反比例函数y＝ (x＞0)的图象点B．
（1）求点B的坐标和反比例函数的关系式；
（2）如图2，将线段OA延长交y＝ (x＞0)的图象于点D，过B，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，①求直线BD的解析式；②求线段ED的长度．
25. 定义：若以一条线段为对角线作正方形，则称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图①中正方形ABCD即为线段BD的“对角线正方形”．如图②，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，点P从点C出发，沿折线CA﹣AB以5cm/s的速度运动，当点P与点B没有重合时，作线段PB的“对角线正方形”，设点P的运动时间为t（s），线段PB的“对角线正方形”的面积为S（cm2）．
（1）如图③，借助虚线的小正方形网格，画出线段AB的“对角线正方形”．
（2）当线段PB的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，求t的值．
（3）当点P沿折线CA﹣AB运动时，求S与t之间的函数关系式．
（4）在整个运动过程中，当线段PB的“对角线正方形”至少有一个顶点落在∠A的平分线上时，直接写出t的值．
26. 如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cosA＝，D是AB边中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF．
（1）如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；
（2）如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持没有变，请求出∠DFE的正切值；
（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长．
27. 如图1，抛物线，A（1，0）、B（7，0）两点，交y轴于D点，以AB为边在x轴上方作等边△ABC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点M，是S△ABM=S△ABC？若存在，请求出点M的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．
①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系及∠APB的度数，并说明理由；
②若AF=BE，当点E由A运动到C时，请直接写出点P的路径长（没有需要写过程）．
2022-2023学年福建省泉州市中考数学专项提升仿真模拟卷
（一模）
一、选一选（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 国家在2018年新年贺词中说道：“安得广厦千万间，大庇天下寒士俱欢颜！2017年我国3400000贫困人口实现易地扶贫搬迁、有了温暖的新家．”其中3400000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.34×107 B. 3.4×106 C. 3.4×105 D. 34×105
【正确答案】B
【详解】解：3400000=.
故选B.
2. 甲是某零件的直观图，则它的主视图为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据主视图是从正面看得到的视图判定即可．
【详解】解：∵该几何体从正面看到的图形是：
故选A．
本题考查了简单集合体的三视图，理解三视图的作法是解题关键．
3. 如图，已知AB∥CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A＝120°，则∠D的度数为（ ）
A. 30° B. 60° C. 50° D. 40°
【正确答案】A
【详解】分析：根据平行线的性质求出∠C，求出∠DEC的度数，根据三角形内角和定理求出∠D的度数即可．
详解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C=180°．
∵∠A=120°，∴∠C=60°．
∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠D=180°﹣∠C﹣∠DEC=30°．
故选A．
点睛：本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理的应用，能根据平行线的性质求出∠C的度数是解答此题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. a4•a3＝a7 B. a4+a3＝a7 C. （2a3）4＝8a12 D. a4÷a3＝1
【正确答案】A
【分析】根据同底数幂的乘除法法则，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判断即可．
【详解】解：∵a4•a3＝a7，
∴选项A符合题意；
∵a4+a3≠a7，
∴选项B没有符合题意；
∵（2a3）4＝16a12，
∴选项C没有符合题意；
∵a4÷a3＝a，
∴选项D没有符合题意．
故选A．
此题主要考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数没有变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0没有能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而没有是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
5. 如图，△ABC内接于⊙O，连接OA，OB，∠C=40°，则∠OBA的度数是（ ）
A. 60° B. 50° C. 45° D. 40°
【正确答案】B
【详解】试题分析：∵∠C＝40°，
∴∠AOB＝80°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°．
故选B．
点睛：此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍求出∠AOB是解决此题的关键．
6. 下列图形中既是对称图形又是轴对称图形的是
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据轴对称图形与对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；对称图形是图形沿对称旋转180度后与原图重合.
【详解】A、是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意；
B、是轴对称图形，也是对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意；
D、没有是轴对称图形，是对称图形，没有符合题意．
故选B．
7. 没有等式组的解集在数轴上表示正确的是
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】分别求出各没有等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
故此没有等式组的解集为：．
在数轴上表示为：
故选：C．
本题考查的是在数轴上表示没有等式组的解集，熟知解没有等式组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
8. 初三体育素质测试，某小组5名同学成绩如下表所示，有两个数据被遮盖，如下表：
编号
1
2
3
4
5
方差
平均成绩
得分
38
34
37
40
37
那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
A. 35，2 B. 36，4 C. 35，3 D. 36，5
【正确答案】B
【详解】试题分析：本题主要考查的就是平均数和方差的计算法则．根据平均数的计算法则可得：个数据为：37×5-(38+34+37+40)=36，然后根据方差的计算法则可得：方差=++++]=4.
9. 济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60 m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略没有计，≈1.7，结果到1m，则该楼的高度CD为( )
A. 47m B. 51m C. 53m D. 54m
【正确答案】B
【分析】由题意易得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，即可证得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案．
详解】根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，
∴∠ADB=∠DBC-∠A=30°，
∴∠ADB=∠A=30°，
∴BD=AB=60m，
∴CD=BD•sin60°=60×=30≈51（m）．
故选B．
此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．注意证得△ABD是等腰三角形，利用角的三角函数值求解是关键．
10. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. D. 且
【正确答案】D
【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义得出没有等式组，求出没有等式组的解集即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
△且，
解得：且，
故选：D．
本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，解题的关键是能根据题意得出没有等式组的解．
11. 如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴，y轴上，连OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置，若OB=，tan∠BOC=，则点A′的坐标（ ）
A. B. （﹣，） C. （﹣，） D. （﹣，）
【正确答案】C
【分析】即求A点关于OB的对称点的坐标．通过解方程组求解．
【详解】∵tan∠BOC=，∴OC=2BC．
∵OC2+BC2=OB2=5，∴BC=1，OC=2．
所以A（1，0），B（1，2）．
直线OB方程：y﹣2=2（x﹣1），A′和A关于OB对称，假设A′（x0，y0），AA'中点为M（x，y），则x=，y=．
∵M（x，y）直线OB： y﹣2=2（x﹣1）上，∴﹣2=2（﹣1），即y0=2（x0+1）．
∵x02+y02=OA'2=OA2=1，∴x02+4（x0+1）2=1，∴5x02+8x0+3=0．
解得：x0=﹣1或者x0=﹣，
当x0=﹣1时，y0=0，没有合题意，舍去；
当x0=﹣时，y0=．
所以A（﹣）．
故选C．
主要考查了坐标与图形的性质，矩形的性质和翻折变换，三角函数的运用以及函数的应用．要熟练掌握才会灵活运用．
12. 如图，在平面直角坐标系中条直线为,直线交轴于点,交轴于点,直线交轴于点,过点作轴的平行线交于点,点关于轴对称,抛物线过三点，下列判断中:①;②;③抛物线关于直线对称;④抛物线过点;⑤四边形,其中正确的个数有（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】首先根据题意判定A（1,0），B（0,3），D（3,0），C（2,3）E（-1,0），代入抛物线解析式，得出关系式，①结论正确；解出，即可判断②结论错误，④结论正确；进而得出抛物线的解析式，得出对称轴，可判定③结论正确；平行四边形ABCD的面积即可算得6，⑤结论错误.
【详解】解：由题意得，A（1,0），B（0,3），D（3,0），C（2,3）E（-1,0）
又∵抛物线过三点
将三点坐标代入，得
∴①结论正确；
解得
∴抛物线解析式为
∴，②结论错误；
抛物线的对称轴为，③结论正确；
点即为（2,3），抛物线过此点，④结论正确；
，⑤结论错误.
故正确的个数是3，选C.
此题考查了函数和二次函数的综合运用，熟练掌握即可解题.
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13. 分解因式：2a2﹣8a+8＝__________．
【正确答案】2（a﹣2）2
【分析】首先提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】解：2a2﹣8a+8
＝2（a2﹣4a+4）
＝2（a﹣2）2．
故2（a﹣2）2．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
14. 没有透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同，从中任意摸出一个，放回摇匀，再从中摸一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是_____．
【正确答案】
【详解】分析：画树状图列举出所有情况，看两次摸到球的颜色相同的情况占总情况的多少即可．
详解：画树状图如下：
由树状图知共有9种等可能，两次摸到球的颜色相同的有5种，所以两次摸到球的颜色相同的概率是．
故答案为．
点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以没有重复没有遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15. 已知，满足方程组，则______．
【正确答案】3
【分析】方程组两方程左右两边相加，再整理即可解答．
【详解】解：，
①+②得：3x+3y＝9，
则x+y＝3．
故填3．
【点评】本题主要考查了解二元方程组，灵活运用整体思想成为解答本题的关键．
16. 如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为_____．
【正确答案】
【分析】过点O作OD⊥AB，先根据等腰三角形的性质得出∠OAD的度数，由直角三角形的性质得出OD的长，再根据S阴影=S扇形OAB﹣S△AOB进行计算即可．
【详解】解：过点O作OD⊥AB．
∵∠AOB=120°，OA=2，
∴∠OAD==30°，
∴OD=OA=×2=1，AD===，
∴AB=2AD=2，
∴S阴影=S扇形OAB﹣S△AOB=﹣×2×1=﹣．
故答案为﹣．
本题考查的是扇形面积的计算及三角形的面积，根据题意得出S阴影=S扇形OAB﹣S△AOB是解答此题的关键．
17. 如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y=在象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是_____．
【正确答案】2≤k≤
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数和三角形有交点的临界条件分别是交点为A、与线段BC有交点，由此求解即可．
【详解】解：反比例函数和三角形有交点的个临界点是交点为A．
∵过点A（1，2）反比例函数解析式为y=，
∴k≥2．
随着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意，
B（2，5），C（6，1）的直线解析式为y=﹣x+7，
由，得：x2﹣7x+k=0．
根据△≥0，得：k≤．
综上可知：2≤k≤．
故答案为2≤k≤．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，有一定难度．注意自变量的取值范围．
18. 如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM=BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为4，则线段CF的最小值是_____．
【正确答案】2﹣2
【详解】分析：根据正方形的性质可得AD=BC=CD，∠ADC=∠BCD，∠DCE=∠BCE，然后利用“HL”证明Rt△ADM和Rt△BCN全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△DCE和△BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AFD=90°，取AD的中点O，连接OF、OC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF=AD=2，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，CF的长度最小．
详解：在正方形ABCD中，AD=BC=CD，∠ADC=∠BCD，∠DCE=∠BCE．在Rt△ADM和Rt△BCN中，，∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴∠1=∠2．在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠3，∴∠1=∠3．
∵∠ADF+∠3=∠ADC=90°，∴∠1+∠ADF=90°，∴∠AFD=180°﹣90°=90°，取AD的中点O，连接OF、OC，则OF=DO=AD=2．在Rt△ODC中，OC===2，根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值=OC﹣OF=2﹣2．
故答案为2﹣2．
点睛：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出CF最小时点F的位置是解题的关键，也是本题的难点．
三、解 答 题（本大题共9小题，共计78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：（3﹣π）0﹣（）﹣1+|2﹣|+2cos45°
【正确答案】3﹣4
【详解】分析：原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，值的代数意义，以及角的三角函数值计算即可求出值．
详解：原式=1﹣3+2﹣2+=3﹣4．
点睛：本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20. 先化简，再求值：，其中．
【正确答案】2a+4，8.
【分析】先对括号内的分式进行通分进行加减法运算，然后再按运算顺序进行运算，代入数值即可.
【详解】解：原式=
==，
当时，
原式=.
21. 如图，在矩形ABCD，AD＝AE，DF⊥AE于点F．求证：AB＝DF．
【正确答案】见解析
【分析】利用矩形和直角三角形的性质得到∠AEB=∠EAD、∠AFD=∠B，从而证得两个三角形全等，可得结论．
【详解】∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，∠B=90°
∴∠AEB=∠DAE
∵DF⊥AE
∴∠AFD=∠B=90°．
在△ABE和△DFA中
∵
∴△ABE≌△DFA
∴AB=DF．
本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质的知识，属于基础题，难度没有是很大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键．
22. 工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度没有计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？
【正确答案】裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.
【详解】试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x）dm，宽为（6-2x）dm，根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.
试题解析：
设裁掉的正方形的边长为xdm，
由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，
即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，
答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.
23. 为响应“书香校园”号召，重庆一中在九年级学生中随机抽取某班学生对2016年全年阅读中外名著的情况进行，整理结果发现，每名学生阅读中外名著的本数，至少的有5本，至多的有8本，并根据结果绘制了如图所示的没有完整的折线统计图和扇形统计图．
（1）该班学生共有 名，扇形统计图中阅读中外名著本数为7本所对应的扇形圆心角的度数是 度，并补全折线统计图；
（2）根据情况，班主任决定在阅读中外名著本数为5本和8本的学生中任选两名学生进行交流，请用树状图或表格求出这两名学生阅读的本数均为8本的概率．
【正确答案】（1）50，108，补全图见解析；
（2）树状图见解析，这两名学生阅读本数均为8本的概率为．
【分析】（1）由折线图可知阅读6本名著的人数为30人，占60%，即可得出全班的人数为50人；用15除以50再乘360°得出阅读7本年名著所对应的圆心角的度数；再由50-2-30-15得出阅读8本名著的人数为3人；
（2）根据题意画出图表，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）该班学生共有30÷60%=50名，
扇形统计图7本所对应的圆心角的度数为360°×=108°
补全如图：
故答案为∶50；108；
(2)分别用A，B表示阅读5本的学生，用C，D表示阅读8本的学生，
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽到的两名学生都阅读了8本有2种结果
∴抽到的两名学生都阅读了8本的概率为：．
24. 如图1，□OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC＝3，A(2，1)，反比例函数y＝ (x＞0)的图象点B．
（1）求点B的坐标和反比例函数的关系式；
（2）如图2，将线段OA延长交y＝ (x＞0)的图象于点D，过B，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，①求直线BD的解析式；②求线段ED的长度．
【正确答案】（1）B(2，4)，反比例函数的关系式为y＝；（2）①直线BD的解析式为y＝－x＋6；②ED＝2
【详解】试题分析：（1）过点A作AP⊥x轴于点P，由平行四边形的性质可得BP=4， 可得B(2，4)，把点B坐标代入反比例函数解析式中即可；
（2）①先求出直线OA的解析式，和反比例函数解析式联立，解方程组得到点D的坐标，再由待定系数法求得直线BD的解析式； ②先求得点E的坐标，过点D分别作x轴的垂线，垂足为G（4，0），由沟谷定理即可求得ED长度.
试题解析：（1）过点A作AP⊥x轴于点P，
则AP＝1，OP＝2，
又∵AB＝OC＝3，
∴B(2，4).，
∵反比例函数y＝ (x＞0)的图象的B，
∴4＝，
∴k＝8.
∴反比例函数的关系式为y＝；
（2）①由点A（2，1）可得直线OA的解析式为y＝x．
解方程组，得，．
∵点D在象限，
∴D(4，2)．
由B(2，4)，点D(4，2)可得直线BD的解析式为y＝－x＋6；
②把y＝0代入y＝－x＋6，解得x＝6，
∴E(6，0)，
过点D分别作x轴的垂线，垂足分别为G，则G（4，0），
由勾股定理可得：ED＝.
点睛：本题考查函数、反比例函数、平行四边形等几何知识，综合性较强，要求学生有较强的分析问题和解决问题的能力.
25. 定义：若以一条线段为对角线作正方形，则称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图①中正方形ABCD即为线段BD的“对角线正方形”．如图②，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，点P从点C出发，沿折线CA﹣AB以5cm/s的速度运动，当点P与点B没有重合时，作线段PB的“对角线正方形”，设点P的运动时间为t（s），线段PB的“对角线正方形”的面积为S（cm2）．
（1）如图③，借助虚线的小正方形网格，画出线段AB的“对角线正方形”．
（2）当线段PB的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，求t的值．
（3）当点P沿折线CA﹣AB运动时，求S与t之间的函数关系式．
（4）在整个运动过程中，当线段PB的“对角线正方形”至少有一个顶点落在∠A的平分线上时，直接写出t的值．
【正确答案】（1）见解析；（2）；（3）S=；
（4）t的值为s 或1s或s
【详解】试题分析：（1）t=0时，正方形的对角线为4，由此即可求出面积．
（2）如图1中，当线段PB的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，设正方形的边长为x，由PE∥AB，可得 ==，解得x=，再求出PC的长即可解决问题．
（3）分两种情形分别求解①如图2中，当0≤t≤1时，作PH⊥BC于H．求出PB2即可．②如图3中，当1＜t＜时，求出PB2即可．
（4）分三种情形讨论①如图4中，当D、E在∠BAC平分线上时．②当点P运动到点A时，满足条件，此时t=1s．③如图5中，当点E在∠BAC的角平分线上时，分别求解即可．
试题解析：解：（1）线段AB的“对角线正方形”如图所示：
（2）如图1中，当线段PB的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，设正方形的边长为x．∵PE∥AB，∴=，∴=，解得x=，∴PE=，CE=4﹣=，∴PC==，∴t==s；
（3）①如图2中，当0≤t≤1时，作PH⊥BC于H．
∵PC=5t，则HC=4t，PH=3t．在Rt△PHB中，PB2=PH2+BH2=（3t）2+（4﹣4t）2=25t2﹣32t+16，∴S=PB2=t2﹣16t+8．
②如图3中，当1＜t＜时，∵PB=8﹣5t，∴S=PB2=t2﹣40t+32．
综上所述：S=；
（4）①如图4中，当D、E在∠BAC的平分线上时，易知AB=AP=3，PC=2，∴t=s．
②当点P运动到点A时，满足条件，此时t=1s．
③如图5中，当点E在∠BAC的角平分线上时，作EH⊥BC于H．
易知EB平分∠ABC，∴点E是△ABC的内心，四边形EOBH是正方形，OB=EH=EO=BH==1（直角三角形内切圆半径公式），∴PB=2OB=2，∴AP=1，∴t=s．综上所述：在整个运动过程中，当线段PB的“对角线正方形”至少有一个顶点落在∠CAB的平分线上时，t的值为 s 或1s或 s；
点睛：本题考查了四边形综合题、正方形的性质、角平分线的定义、勾股定理直角三角形的内切圆半径、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
26. 如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cosA＝，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF．
（1）如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；
（2）如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持没有变，请求出∠DFE的正切值；
（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长．
【正确答案】（1）；（2）没有变；（3）或3或.
【详解】试题分析：（1）由已知条件易求DE=3，DF=4，再由勾股定理EF=5；
（2）过点作，，垂足分别为点、，由（1）可得DH=3，DG=4；再证，即可得出结论；
（3）分三种情况讨论即可.
（1）∵，
∴
∵
∴
∵是边的中点
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵在中，
∴
∵
∴
又∵
∴四边形是矩形
∴
∵在中，
∴
（2）没有变
过点作，，垂足分别为点、
由（1）可得，
∵，
∴
又∵，
∴四边形是矩形
∴
∵
∴ 即
又∵
∴
∴
∵
∴
（3）1° 当时，易证，即
又∵，D是AB的中点
∴
∴
2° 当时，易证
∵在中，
∴设，则，
当时，易证，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴ 解得
∴
∴
3° 在BC边上截取BK=BD=5，由勾股定理得出
当时，易证
∴设，则，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴ 解得
∴
∴
27. 如图1，抛物线，A（1，0）、B（7，0）两点，交y轴于D点，以AB为边在x轴上方作等边△ABC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点M，是S△ABM=S△ABC？若存在，请求出点M的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．
①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系及∠APB的度数，并说明理由；
②若AF=BE，当点E由A运动到C时，请直接写出点P的路径长（没有需要写过程）．
【正确答案】（1）；（2）点M的坐标为（9，4）或（﹣1，4）；（3）①AF=BE，∠APB=120°；②或．
【详解】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+．
∵将点A、B的坐标代入得：解得：a=，b=﹣2，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+．
（2）存在点M，使得S△AMB=S△ABC．
理由：如图所示：过点C作CK⊥x轴，垂足为K．
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=6，∠ACB=60°．
∵CK⊥AB，
∴KA=BK=3，∠ACK=30°．
∴CK=3．
∴S△ABC=AB•CK=×6×3=9．
∴S△ABM=×=12．
设M（a，a2﹣2a+）．
∴AB•|yM|=12，即×6×（a2﹣2a+）=12．
解得=9，=﹣1．
∴M1（9，4），M2（﹣1，4）．
（3）①结论：AF=BE，∠APB=120°．
理由：如图所示；
∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AB，∠C=∠ABF．
∵在△BEC和△AFB中，，
∴△BEC≌△AFB．
∴AF=BE，∠CBE=∠BAF．
∴∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°．
∴∠APB=180°﹣∠PAB﹣∠ABP=180°﹣60°=120°．
②点P的路径长为或3．
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（二模）
一、选一选（本大题共12小题，每小题4分，满分48分）
1. ﹣的相反数是（ ）
A. ﹣5 B. 5 C. ﹣ D.
2. 如图，已知直线则（ ）
A. B.
C. D.
3. 数据4402万用科学记数法表示正确的是( )
A. 4.402×107 B. 44.02×108 C. 44.02×107 D. 4.402×108
4. 下列图形中，是轴对称图形但没有是对称图形的是（ ）
A. 平行四边形 B. 等腰三角形 C. 矩形 D. 正方形
5. 下列各式中，计算正确是（ ）
A. 3x+5y=8xy B. x3•x5=x8 C. x6÷x3=x2 D. （﹣x3）3=x6
6. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，有一直角三角形纸片ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点B与点A重合，DE＝1，则BC长度为( )
A. 2 B. ＋2 C. 3 D. 2
8. 一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
9. 某校准备在国庆节期间组织学生到泰山进行研学旅行，已知老师与学生一共25人参加此次研学旅行，购买门票共花费1700元，门票费用如表格所示，求参加研学旅行的老师和学生各有多少人？设老师有x人，学生有y人，则可列方程组为（ ）
景点
票价
开放时间
泰山门票
旺季：125元/人
淡季：100元/人
全天
说明：（1）旺季时间（2月～11月)，淡季时间（12月－次年1月）；
（2）老年人（60岁～70岁）、学生、儿童（1.2米～1.4米）享受5折优惠；
（3）教师、劳模、英模、道德模范享受8折优惠；
（4）现役军人、伤残军人、70岁以上老年人、残疾人，凭本人有效证件进山；
（5）享受优惠的游客请出示本人有效证件．
A. B. C. D.
10. 如图，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细没有计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A. π cm B. 2π cm C. 3π cm D. 5π cm
11. 二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）图象如图所示，对称轴是x=﹣1．下列结论：①ab＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+2c＜0；④8a+c＜0．其中正确的是（ ）
A. ③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
12. 邻边没有相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为次操作；在余下的四边形中减去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…，以此类推，若第n次操作后余下的四边形是正方形，则称原矩形是n阶矩形．如图，矩形ABCD中，若AB=1，AD=2，则矩形ABCD是1阶矩形．已知一个矩形是2阶矩形，较短边长为2，则较长边的长度为( )
A. 6 B. 8 C. 5或8 D. 3或6
二、填 空 题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．）
13. 因式分解：__________．
14. 计算：＋(π－1)0＝__________________；
15. 在一个没有透明的口袋中装有6个红球．2个绿球，这些球除颜色外无其它差别，从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为__________________；
16. 正六边形的角等于______度．
17. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠BAC的正切为__________________；
18. 在平面直角坐标系中，已知点A(0，－2)、B(0，3)，点C是x轴正半轴上的一点，当∠BCA＝45°时，点C的坐标为__________________；
三、解 答 题（本大题共9个小题，共78分懈答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 在平面直角坐标系中，直线l点A（－1,3）和点B（，8），请问将直线l沿x轴向右平移几个单位时，正好原点？
21. 已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．
22. 2018年1月25日，济南至成都方向的高铁线路正式开通，高铁平均时速为普快平均时速的4倍，从济南到成都的高铁运行时间比普快列车减少了26小时．已知济南到成都的火车行车里程约为2288千米，求高铁列车的平均时速．
23. 在大课间中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
分 组
频数
频率
组（0≤x＜15）
3
0.15
第二组（15≤x＜30）
6
a
第三组（30≤x＜45）
7
0.35
第四组（45≤x＜60）
b
0.20
（1）频数分布表中a=_____，b=_____，并将统计图补充完整；
（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？
（3）已知组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？
24. 如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，以AD为半径的⊙A分别与边AC、AB交于点E和点F，DE∥AB，延长CA交⊙A于点G，连接BG.
(1)求证：BG是⊙A的切线；
(2)若∠ACB＝30°，AD＝3，求图中阴影部分的面积．
25. 如图，函数y＝－x＋1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在象限作等边△ABC，
(1)若点C在反比例函数y＝的图象上，求该反比例函数的解析式；
(2)点P(2，m)在象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD与△OAB相似时，P点是否在(1)中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果没有在，请加以说明.
26. 在Rt△ACB和△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE.
发现：
如图1，若点E、F分别落边AB，AC上，则结论：PC＝PE成立（没有要求证明）．
问题探究：
把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转．
(1)如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若没有成立，请说明理由；
(2)如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若没有成立，请说明理由；
(3)记＝k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出后的值，没有必说）
27. 已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1,0），且a＜b.
（1）求抛物线顶点Q坐标（用含a的代数式表示）；
（2）说明直线与抛物线有两个交点；
（3）直线与抛物线的另一个交点记为N.
（Ⅰ）若-1≤a≤，求线段MN长度的取值范围；
（Ⅱ）求△QMN面积的最小值.
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（二模）
一、选一选（本大题共12小题，每小题4分，满分48分）
1. ﹣的相反数是（ ）
A. ﹣5 B. 5 C. ﹣ D.
【正确答案】D
【分析】互为相反数的两个数和为零,据此即可解题.
【详解】∵（）+=0
∴的相反数为.
故选D.
点睛：此题主要考查了求一个数相反数，关键是明确相反数的概念.
2. 如图，已知直线则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】如图，在△ABC中，根据外角性质，求出∠4度数，再根据平行线性质，求出∠3度数即可．
【详解】如图，在△中，
∵，
∵
．
故选：D
本题考查了三角形的外角性质和平行线的性质，比较简单．本题的解法有多种，方法没有.
3. 数据4402万用科学记数法表示正确的是( )
A. 4.402×107 B. 44.02×108 C. 44.02×107 D. 4.402×108
【正确答案】A
【详解】分析: 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同.
详解: 4402万=44020000=4.402×107
故选：A.
点睛: 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值
4. 下列图形中，是轴对称图形但没有是对称图形的是（ ）
A. 平行四边形 B. 等腰三角形 C. 矩形 D. 正方形
【正确答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念和对称图形的概念进行分析判断．
【详解】解： 选项A，平行四边形没有是轴对称图形，是对称图形，错误；
选项B，等腰三角形是轴对称图形，没有是对称图形，正确．
选项C，矩形是轴对称图形，也是对称图形；错误；
选项D，正方形是轴对称图形，也是对称图形，错误；
故答案选B．
本题考查轴对称图形的概念和对称图形的概念，正确理解概念是解题关键．
5. 下列各式中，计算正确的是（ ）
A. 3x+5y=8xy B. x3•x5=x8 C. x6÷x3=x2 D. （﹣x3）3=x6
【正确答案】B
【详解】选项A，没有是同类项，没有能合并，错误；
选项B，根据同底数幂的乘法运算法则可得x3•x5=x8，正确；
选项C，根据同底数幂的除法运算法则可得x6÷x3=x3，错误；
选项D，根据积的乘方运算法则可得（﹣x3）3=﹣x9，错误；
故选：B．
6. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：原式=
=
故选B．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
7. 如图，有一直角三角形纸片ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点B与点A重合，DE＝1，则BC的长度为( )
A. 2 B. ＋2 C. 3 D. 2
【正确答案】C
【详解】分析: 先由∠B＝30°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点B与点A重合，DE＝1，得到AD=BD=2, 再根据∠C＝90°，∠B＝30°得∠CAD=30°,然后在Rt△ACD中，利用30°的角所对的直角边是斜边的一半求得CD=1,从而求得BC的长度.
详解: ∵△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，
∴AD＝BD，∠B＝∠CAD= 30°, ∠DEB=90°,
∴AD=BD=2, ∠CAD=30°,
∴CD=AD=1
∴BC=BD+CD=2+1=3
故选：C．
点睛: 本题考查了翻折变换，主要利用了翻折前后对应边相等，此类题目，难点在于利用直角三角形中30°的角所对应的直角边是斜边的一半来解决问题.
8. 一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
【正确答案】D
【详解】解：A．原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A与要求没有符；
B．原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B与要求没有符；
C．原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与要求没有符；
D．原来数据的方差==，
添加数字2后的方差==，
故方差发生了变化．
故选D．
9. 某校准备在国庆节期间组织学生到泰山进行研学旅行，已知老师与学生一共25人参加此次研学旅行，购买门票共花费1700元，门票费用如表格所示，求参加研学旅行的老师和学生各有多少人？设老师有x人，学生有y人，则可列方程组为（ ）
景点
票价
开放时间
泰山门票
旺季：125元/人
淡季：100元/人
全天
说明：（1）旺季时间（2月～11月)，淡季时间（12月－次年1月）；
（2）老年人（60岁～70岁）、学生、儿童（1.2米～1.4米）享受5折优惠；
（3）教师、劳模、英模、道德模范享受8折优惠；
（4）现役军人、伤残军人、70岁以上老年人、残疾人，凭本人有效证件进山；
（5）享受优惠的游客请出示本人有效证件．
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】分析: 由“成人和学生共25人”和“购买门票共花费1700元”列出方程组解决问题,其中门票费用中的第二条学生享受5折优惠,第三条教师享受8折优惠;又由于是在国庆节期间所以票价的原价是125元/人.
详解: 设购买成人门票x张，学生门票y张，由题意得
化简为
故选:A.
点睛: 此题考查二元方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键.
10. 如图，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细没有计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A. π cm B. 2π cm C. 3π cm D. 5π cm
【正确答案】C
【详解】试题分析：根据定滑轮的性质得到重物上升的即为转过的弧长，利用弧长公式得：l==3πcm，则重物上升了3πcm，故选C.
考点：旋转的性质．
11. 二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，对称轴是x=﹣1．下列结论：①ab＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+2c＜0；④8a+c＜0．其中正确的是（ ）
A. ③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
【正确答案】C
【详解】分析: 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可．
详解: ①对称轴在y轴的左侧,a,b同号,
∴ab＞0,
故①正确;
②由图知：抛物线与x轴有两个没有同的交点，
则△＝b²−4ac＞0，
∴b2＞4ac，
故②正确；
③∵x＝-1时，y＞0，
∴a-b＋c＞0，
而c＞0，
∴a－b＋2c＞0，所以④错误;
④由图知：当x＝2时y<0，所以4a+2b＋c<0，因为b＝2a，所以4a＋4a＋c<0，即8a＋c<0，故⑤正确；
故选:C.
点睛: 本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解题的关键．
12. 邻边没有相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为次操作；在余下的四边形中减去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…，以此类推，若第n次操作后余下的四边形是正方形，则称原矩形是n阶矩形．如图，矩形ABCD中，若AB=1，AD=2，则矩形ABCD是1阶矩形．已知一个矩形是2阶矩形，较短边长为2，则较长边的长度为( )
A. 6 B. 8 C. 5或8 D. 3或6
【正确答案】D
【分析】如果一个矩形是2阶矩形,通过操作画图可以得出次应该减去是一个边长为2的正方形，就剩下一个宽为2长为4的矩形或一个宽为1长为2的矩形，，故可得出较长边的长度.
【详解】详解:如图,根据2阶矩形的定义做出如下两种图形:
故可知矩形较长边的长度为3或6.
故选D.
点睛: 本题考查了矩形的性质和正方形的性质的运用，轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，分类讨论思想在几何题目中的运用，解答时根据题意正确画出图形是关键．
二、填 空 题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．）
13. 因式分解：__________．
【正确答案】
【分析】根据平方差公式直接进行因式分解即可．
【详解】解：原式
故．
本题考查因式分解，常用的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法．
14. 计算：＋(π－1)0＝__________________；
【正确答案】3
【详解】分析: 分别根据立方根、0指数幂计算出各数，再根据实数运算的法则进行计算即可．
详解:＋(π－1)0
＝2+1
=3
故答案为3.
点睛: 本题考查的是实数的运算，熟知立方根、0指数幂的运算法则是解答此题的关键
15. 在一个没有透明的口袋中装有6个红球．2个绿球，这些球除颜色外无其它差别，从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为__________________；
【正确答案】
【详解】分析: 先求出总的球的个数，再根据概率公式即可得出摸到红球的概率
详解: ：∵袋中装有6个红球，2个绿球，
∴共有8个球，
∴摸到红球的概率为=；
故答案为: .
点睛: 本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比
16. 正六边形的角等于______度．
【正确答案】60°
【分析】根据正n边形角的公式直接求解即可.
【详解】解：正六边形的圆心角等于一个周角，即为，正六边形有6个角，所以每个角=
故60°
本题考查正六边形，解答本题的关键是掌握正六边形的性质，熟悉正六边形的角的概念
17. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠BAC的正切为__________________；
【正确答案】
【分析】根据题意，作CD⊥AB于点D，可以求得CD、AD的长，从而可以求出tan∠BAC的值
【详解】如图，
作CD⊥AB于点D，则CD=，AD==2，
故tan∠BAC===．
故．
本题考查的是勾股定理及解直角三角形，解题的关键是明确题意，构造直角三角形，利用锐角三角函数解答问题．
18. 在平面直角坐标系中，已知点A(0，－2)、B(0，3)，点C是x轴正半轴上的一点，当∠BCA＝45°时，点C的坐标为__________________；
【正确答案】（6，0）
【详解】如图，作△ABC的外接圆⊙P，过点P作PE⊥BA，PF⊥OC于F，
∴AE=BE，
∵A(0，－2)、B(0，3)，
∴AB=5，
∴E（0，），
∵∠BCA =45°，
∴∠APB =90°，
PE= AB=，
∴P
在直角△PBE中，PE=BE=，由勾股定理得：PB=，
在直角△PFC中，PF=，PC=PB=，
由勾股定理得：FC=，
OC=OF+CF=+=6，
点C坐标为（6，0）.
故答案为: （6，0）
三、解 答 题（本大题共9个小题，共78分懈答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 先化简，再求值：，其中．
【正确答案】，3
【分析】原式利用单项式乘以多项式法则,完全平方公式计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】原式
，
当时，
原式.
此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
20. 在平面直角坐标系中，直线l点A（－1,3）和点B（，8），请问将直线l沿x轴向右平移几个单位时，正好原点？
【正确答案】2
【详解】分析:先求出直线l的解析式,再求出直线l与x轴的交点,从而可知直线l沿x轴向右平移2几个单位时，原点.
详解:设直线l的解析式为y=kx+b
把点A（-1,3）和点B（，8）代入得
解得：
∴y=3x+6
当y=0时，3x+6=0解得x=－2
∴直线l过点（－2,0）
∴直线l沿x轴向右平移2个单位时，原点.
点睛: 本题考查了函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移法则是解题的关键．
21. 已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．
【正确答案】证明过程见解析
【分析】由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形BEF与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．
【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠C=90°
∵EF⊥DF
∴∠EFD=90°
∴∠EFB+∠CFD=90°
∵∠EFB+∠BEF=90°
∴∠BEF=∠CFD
在△BEF和△CFD中，
∴△BEF≌△CFD（ASA）
∴BF=CD．
考点：（1）矩形的性质；（2）全等三角形的判定与性质
22. 2018年1月25日，济南至成都方向高铁线路正式开通，高铁平均时速为普快平均时速的4倍，从济南到成都的高铁运行时间比普快列车减少了26小时．已知济南到成都的火车行车里程约为2288千米，求高铁列车的平均时速．
【正确答案】高铁列车的平均时速为264千米/小时
【详解】分析: 设普快的平均时速为x千米/小时，高铁列车的平均时速为4x千米/小时，根据题意可得，高铁走2288千米比普快减少了26小时，据此列方程求解；
详解:
设普快列车的平均时速为x千米/小时，
根据题意得
解得x=66
经检验，x=66没有是增根，
∴原方程的解为x=66
∴4x=66×4=264
答：高铁列车的平均时速为264千米/小时.
点睛: 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验.
23. 在大课间中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
分 组
频数
频率
组（0≤x＜15）
3
0.15
第二组（15≤x＜30）
6
a
第三组（30≤x＜45）
7
0.35
第四组（45≤x＜60）
b
0.20
（1）频数分布表中a=_____，b=_____，并将统计图补充完整；
（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？
（3）已知组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？
【正确答案】【答题空1】0.3
【答题空2】4
【分析】（1）由统计图易得a与b的值，继而将统计图补充完整；
（2）利用用样本估计总体的知识求解即可求得答案；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两人正好都是甲班学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）a=1﹣0.15﹣0.35﹣0.20=0.3；
∵总人数为：3÷0.15=20（人），∴b=20×0.20=4（人）；
故答案为0.3，4；
补全统计图得：
（2）估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有：180×（0.35+0.20）=99（人）；
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，所选两人正好都是甲班学生的有3种情况，∴所选两人正好都是甲班学生的概率是：=．
本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24. 如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，以AD为半径的⊙A分别与边AC、AB交于点E和点F，DE∥AB，延长CA交⊙A于点G，连接BG.
(1)求证：BG是⊙A的切线；
(2)若∠ACB＝30°，AD＝3，求图中阴影部分的面积．
【正确答案】（1）证明见解析（2）
【详解】分析:(1) 根据DE∥AB得出∠BAD=∠ADE，∠GAB=∠AED,再依据AD=AE得出∠BAD=∠GAB,从而证明△GAB≌△DAB,即可得出∠ADB=∠AGB =90°,从而说明BG是⊙A的切线;
(2)证四边形AFDE为菱形,从而得到阴影部分的面积等于扇形AFD的面积.
详解:
（1）∵DE∥AB
∴∠BAD=∠ADE，∠GAB=∠AED
∵AD=AE
∴∠AED=∠ADE
∴∠BAD=∠GAB
在△GAB和△DAB中
∴△GAB≌△DAB
∴∠AGB =∠ADB
∵AD⊥BC
∴∠ADB=90°
∴∠AGB =90°
∴BG是⊙A的切线.
（2）连接FD
∵∠ACB=30°，∠ADC=90°
∴∠CAD=60°
∵AD=AE
∴△ADE为等边三角形
∴DE=AE=AF
又∵DE∥AB
∴四边形AFDE为菱形
∴AE∥FD
∴S△AFD= S△EFD
∴S阴影= S扇形AFD
∵∠FAD=60°，AD=3
∴S阴影= S扇形AFD=
点睛: 本题考查了等腰三角形的性质,平行线的性质和判定,切线的判定,三角形的面积,扇形的面积计算等知识点,主要考查学生综合运用定理进行推理的能力,综合性比较强,有一定的难度.
25. 如图，函数y＝－x＋1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在象限作等边△ABC，
(1)若点C在反比例函数y＝的图象上，求该反比例函数的解析式；
(2)点P(2，m)在象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD与△OAB相似时，P点是否在(1)中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果没有在，请加以说明.
【正确答案】 ； P点坐标为
【详解】试题分析：（1）由直线解析式可求得A、B坐标，在Rt△AOB中，利用三角函数定义可求得∠BAO=30°，且可求得AB的长，从而可求得CA⊥OA，则可求得C点坐标，利用待定系数法可求得反比例函数解析式；
（2）分△PAD∽△ABO和△PAD∽△BAO两种情况，分别利用相似三角形的性质可求得m的值，可求得P点坐标，代入反比例函数解析式进行验证即可．
试题解析：解：（1）在中，令y=0可解得x=，令x=0可得y=1，∴A（，0），B（0，1），∴tan∠BAO=，∴∠BAO=30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠=90°，在Rt△BOA中，由勾股定理可得AB=2，∴AC=2，∴C（，2），∵点C在反比例函数的图象上，∴k=2×=，∴反比例函数解析式为；
（2）∵P（，m）在象限，∴AD=OD﹣OA=﹣=，PD=m，当△ADP∽△AOB时，则有，即，解得m=1，此时P点坐标为（，1）；
当△PDA∽△AOB时，则有，即，解得m=3，此时P点坐标为（，3）；
把P（，3）代入可得3≠，∴P（，3）没有在反比例函数图象上，把P（，1）代入反比例函数解析式得1=，∴P（，1）在反比例函数图象上；
综上可知P点坐标为（，1）．
点睛：本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、等边三角形的性质、三角函数、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中求得C点坐标是解题的关键，在（2）中利用相似三角形的性质得到m的方程是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
26. 在Rt△ACB和△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF中点，连接PC，PE.
发现：
如图1，若点E、F分别落在边AB，AC上，则结论：PC＝PE成立（没有要求证明）．
问题探究：
把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转．
(1)如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若没有成立，请说明理由；
(2)如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若没有成立，请说明理由；
(3)记＝k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出后的值，没有必说）
【正确答案】 成立 ，成立 当k为时，总是等边三角形
【分析】（1）过点P作PM⊥CE于点M，由EF⊥AE，BC⊥AC，得到EF∥MP∥CB，从而有，再根据点P是BF的中点，可得EM=MC，据此得到PC=PE．
（2）过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，先证△DAF≌△EAF，即可得出AD=AE；再证△DAP≌△EAP，即可得出PD=PE；根据FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，可得FD∥BC∥PM，再根据点P是BF的中点，推得PC=PD，再根据PD=PE，即可得到结论．
（3）因为△CPE总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；根据，=tan30°，求出当△CPE总是等边三角形时，k的值是多少即可．
【详解】解：（1）PC=PE成立，理由如下：
如图2，过点P作PM⊥CE于点M，∵EF⊥AE，BC⊥AC，∴EF∥MP∥CB，∴，∵点P是BF的中点，∴EM=MC，又∵PM⊥CE，∴PC=PE；
（2）PC=PE成立，理由如下：
如图3，过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，∵∠DAF=∠EAF，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF和△EAF中
，∵∠DAF=∠EAF，∠FDA=∠FEA，AF=AF，
∴△DAF≌△EAF（AAS），
∴AD=AE，在△DAP和△EAP中，
∵AD=AE，∠DAP=∠EAP，AP=AP，
∴△DAP≌△EAP（SAS），
∴PD=PE，
∵FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，
∴FD∥BC∥PM，
∴，
∵点P是BF的中点，
∴DM=MC，又∵PM⊥AC，
∴PC=PD，又∵PD=PE，
∴PC=PE；
（3）如图4，∵△CPE总是等边三角形，
∴∠CEP=60°，
∴∠CAB=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°，
∵，=tan30°，
∴k=tan30°=，
∴当k为时，△CPE总是等边三角形．
考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．
27. 已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1,0），且a＜b.
（1）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）说明直线与抛物线有两个交点；
（3）直线与抛物线的另一个交点记为N.
（Ⅰ）若-1≤a≤，求线段MN长度的取值范围；
（Ⅱ）求△QMN面积的最小值.
【正确答案】（1）抛物线的顶点Q的坐标是（-，）；（2）证明见解析；（3）（Ⅰ）；
(Ⅱ) .
【详解】分析: （1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；
（2）由直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，再判断其判别式大于0即可；
（3）①由（2）的方程，可求得N点坐标，利用勾股定理可求得MN2，利用二次函数性质可求得MN长度的取值范围；②设抛物线对称轴交直线与点E，则可求得E点坐标，利用S△QMN=S△QEN+S△QEM可用a表示出△QMN的面积，再整理成关于a的一元二次方程，利用判别式可得其面积的取值范围，可求得答案
详解:
（1）∵M（1，0），
∴b=-2a，
∴y=ax2+ax+b
=ax2+ax-2a
= a(x+)2－
∴顶点Q的坐标为（－，－）.
（2）由直线y=2x+m点M（1，0），可得m=－2.
∴y=2x-2
∴ax2+（a-2）x-2a+2=0
∴△=（a-2）2－4×a×（－2a+2）=（3a－2）2
∵2a +b=0，a
∴△>0
∴方程有两个没有相等的实数根，
∴直线与抛物线有两个交点.
（3）把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a，得ax2+（a-2）x-2a+2=0，
即x2+(1- )x-2+=0，
∴（x-1）（x+2-）=0,
解得x1=1,x2 =-2，
∴点N（-2，-6）.
（i）根据勾股定理得，
MN2=[（-2）-1]2+（-6）2=20（）2，
∵-1≤a≤-，
∴-2≤ ≤-1，
∴<0，
∴MN=2 （ ）=3 ，
∴5≤MN≤7.
（ii）作直线x=－ 交直线y=2x-2于点E，
把x=－代入y=2x-2得，y=-3，
即E（－，-3），
∵M（1，0），N（-2，-6），且由（2）知a<0，
∴S△QMN =S△QEN+S△QEM= = ，
即27a2+(8S-54)a+24=0，
∵关于a的方程有实数根，
∴△=（8S-54）2-4×27×24≥0，
即（8S-54）2≥（36 ）2，
又∵a<0，
∴S=> ,
∴8S-54>0，
∴8S-54≥36，即S≥ ，
当S=时，由方程可得a=- 满足题意.
∴△QMN面积的最小值为.
点睛: 本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、勾股定理、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得N点的坐标是解题的关键，在一小题中用a表示出△QMN的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大.
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