高中数学4.4 对数函数教案设计

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师生互动

设计

意图

复习

引入

1.复习函数及反函数的定义域、值域、图象之间的关系.

2.指数式与对数式比较.

3.画出函数y=2x与函数y=log2x的图象.

老师提问，学生回答.

为学习新知作准备.

形成

概念

反函数概念

指数函数y=ax（x∈R）与对数函数y=logax（x∈（0，+∞））互为反函数.

课堂练习：

求下列函数的反函数：

（1）y=0.2－x+1；

（2）y=loga（4－x）.

师：在指数函数y=2x中，x为自变量（x∈R），y是x的函数（y∈（0，+∞）），而且它是R上的单调递增函数.可以发现，过y轴正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y=2x的图象有且只有一个交点.另一方面，根据指数与对数的关系，由指数式y=2x可得到对数式x=log2y.这样，对于任意一个y∈（0，+∞），通过式子x=log2y，x在R中都有唯一确定的值和它对应.也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这时我们就说x=log2y（y∈（0，+∞））是函数y=2x（x∈R）的反函数.

师：请同学仿照上述过程，说明对数函数y=logax（a＞0，且a≠1）和指数函数y=ax（a＞0，且a≠1）互为反函数.

生：在函数x=logay中，y是自变量，x是函数.但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数.为此，我们常对调函数x=logay中的字母x、y，把它写成y=logax.这样，对数函数y=logax（x∈（0，+∞））是指数函数y=ax（x∈R）的反函数.

由上述讨论可知，对数函数y=logax（x∈（0，+∞））是指数函数y=ax（x∈R）的反函数；同时，指数函数y=ax（x∈R）也是对数函数y=logax（x∈（0，+∞））的反函数.因此，指数函数y=ax（x∈R）与对数函数y=logax（x∈（0，+∞））互为反函数.

课堂练习答案

（1）；

（2）

理解反函数的概念.

应用举例

例1 已知函数y=loga（1－ax）

（a＞0，a≠1）.

（1）求函数的定义域与值域；

（2）求函数的单调区间；

（3）证明函数图象关于y=x对称.

例2 已知函数f（x）=（）x（x＞0）和定义在R上的奇函数g（x）.当x＞0时，g（x）=f（x），试求g（x）的反函数.

例3 探究函数y=log3（x+2）的图象与函数y=log3x的图象间的关系.

例1分析：有关于对数函数的定义域要注意真数大于0；函数的值域取决于1－ax的范围，可应用换元法，令t=1－ax以减小思维难度；运用复合函数单调性的判定法求单调区间；函数图象关于y=x对称等价于原函数的反函数就是自身，本题要注意对字母参数a的范围讨论.

解：（1）1－ax＞0，即ax＜1，

∴a＞1时，定义域为（－∞，0）；0＜a＜1时，定义域为（0，+∞）.

令t=1－ax，则0＜t＜1，而y=loga（1－ax）=logat.

∴a＞1时，值域为（－∞，0）；0＜a＜1时，值域为（0，+∞）.

（2）∵a＞1时，t=1－ax在（－∞，0）上单调递减，y=logat关于t单调递增，

∴y=loga（1－ax）在（－∞，0）上单调递减.

∵0＜a＜1时，t=1－ax在（0，+∞）上单调递增，而y=logat关于t单调递减，

∴y=loga（1－ax）在（0，+∞）上单调递减.

（3）∵y=loga（1－ax），

∴ay=1－ax.

∴ax=1－ay，x=loga（1－ay）.

∴反函数为y=loga（1－ax），即原函数的反函数就是自身.

∴函数图象关于y=x对称.

例2分析：分段函数的反函数应注意分类讨论.由于f（x）为奇函数，故应考虑x＞0，x＜0，x=0三种情况.

解：∵g（x）是R上的奇函数，

∴g（－0）=－g（0），g（0）=0.

设x＜0，则－x＞0，∴g（－x）=（）－x.

∴g（x）=－g（－x）=－（）－x=－2x.

∴g（x）=  

当x＞0时，由y=（）x

得0＜y＜1且x=logy，

∴g－1（x）=logx（0＜x＜1＝；

当x=0时，由y=0，得g－1（x）=0（x=0）；

当x＜0时，由y=－2x，

得－1＜y＜0，且x=log2（－y），

∴g－1（x）

=log2（－x）（－1＜x＜0＝.

综上，g（x）的反函数为

g－1（x）=

例3分析：函数的图象实际上是一系列点的集合，因此研究函数

y=log3（x+2）的图象与函数y=log3x的图象间的关系可以转化为研究两个函数图象上对应点的坐标之间的关系.

解：将对数函数y=log3x的图象向左平移2个单位长度，就得到函数y=log3（x+2）的图象.

小结：由函数y=f（x）的图象得到函数y=f（x+a）的图象的变化规律为：

当a＞0时，只需将函数y=f（x）的图象向左平移a个单位就可得到函数y=f（x+a）的图象；

当a＜0时，只需将函数y=f（x）的图象向右平移|a|个单位就可得到函数y=f（x+a）的图象.

（2）由函数y=f（x）的图象得到函数y=f（x）+b的图象的变化规律为：

当b＞0时，只需将函数y=f（x）的图象向上平移b个单位就可得到函数y=f（x）+b的图象；

当b＜0时，只需将函数y=f（x）的图象向下平移|b|个单位就可得到函数y=f（x）+b的图象.

进一步掌握对数函数的应用.

掌握根据奇偶性求函数表达式.

掌握函数图象之间的变换关系

归纳

总结

（1）指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线y=x对称.

（2）求对数函数的定义域、值域、单调区间、及奇偶性的判定都依赖于定义法、数形结合及函数本身的性质.应熟练掌握对数函数的相关性质.

学生先自回顾反思，教师点评完善．

形成知识体系.

课后

作业

作业：2.2 第六课时  习案

学生独立完成

巩固新知

提升能力