2022-2023学年天津市南开区中考数学突破提升破仿真模拟卷（3月4月）含解析

这是一份2022-2023学年天津市南开区中考数学突破提升破仿真模拟卷（3月4月）含解析，共64页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年天津市南开区中考数学突破提升破仿真模拟卷
（3月）
一、选一选（本大题共10小题，每小题2分，满分20分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 2017的相反数是( )
A. B. C. -2017 D. 2017
2. 下列运算正确的是（　　）．
A a2•a3=a6 B. 5a﹣2a=3a2 C. （a3）4=a12 D. （x+y）2=x2+y2
3. 下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形是（   ）
A. B. C. D.
4. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个没有相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5
5. 11名同学参加数学竞赛初赛，他们的等分互没有相同，按从高分录到低分的原则，取前6名同学参加复赛，现在小明同学已经知道自己的分数，如果他想知道自己能否进入复赛，那么还需知道所有参赛学生成绩的（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
6. 下列命题中，错误的是（ ）
A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D. 内错角相等
7. 如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA＝2，∠P＝60°，则的长为( )

A. π B. π C. π D. π
8. 当k＞0时，反比例函数y＝和函数y＝kx+2的图象大致是（　　）
A. B. C. D.
9. “数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（ ）
A. CnH2n+2 B. CnH2n C. CnH2n﹣2 D. CnHn+3
10. （2016湖南省娄底市）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C没有重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（　　）

A. 没有变 B. 增大 C. 减小 D. 先变大再变小
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11. 根据“精准扶贫”，每年要减贫约11700000人，将数据11700000用科学记数法表示为__________．
12. 二元方程组的解为_______________.
13. 若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B， 则点B的坐标为_______．
14. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是______．（只需写一个条件，没有添加辅助线和字母）

15. 从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个图形中任取一个，取到既是轴对称图形又是对称图形的概率是_____．
16. 如图，直线AB∥CD，AE平分∠CAB．AE与CD相交于点E，∠ACD=40°，则∠BAE的度数是_____．

17. 如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB=7，BC=6，则△BCD的周长为_____．

18. （2016湖南省娄底市）当a、b满足条件a＞b＞0时，表示焦点在x轴上的椭圆．若表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是______________．
三、解 答 题（本大题共11小题，满分76分）
19. 计算：（π﹣）0+|﹣1|+（）﹣1﹣2sin45°．
20. 先化简，再求值：，其中，.
21. 解没有等式组：．
22. 在2016CCTV英语风采大赛中，娄底市参赛选手表现突出，成绩均没有低于60分．为了地了解娄底赛区的成绩分布情况，随机抽取利了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行了整理，得到下面两幅没有完整的统计图表：
根据所给信息，解答下列问题：
（1）在表中的频数分布表中，m=　　　　　　，n=　　　　　　．
成绩
频数
频率
60≤x＜70
60
0.30
70≤x＜80
m
0.40
80≤x＜90
40
n
90≤x≤100
20
010
（2）请补全图中的频数分布直方图．
（3）按规定，成绩在80分以上（包括80分）的选手进入决赛．若娄底市共有4000人参赛，请估计约有多少人进入决赛？

23. 某大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果到0.1米， ≈1.73）

24. 甲、乙两同学家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
25. 如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝4，点E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．

26. 如图，函数y=kx+b的图象与反比例函数y= （x＞0）的图象交于A（2，﹣1），B（，n）两点，直线y=2与y轴交于点C. 

（1）求函数与反比例函数的解析式； 
（2）求△ABC的面积.
27. 如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB=∠DCO=90°，O为AB的中点．


（1）求证：∠B=∠ACD．
（2）已知点E在AB上，且BC2=AB•BE．
①若tan∠ACD=，BC=10，求CE的长；
②试判定CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由．
28. 如图，是正方形的对角线，.边在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为，连接、，并过点作，垂足为，连接、
(1)请直接写出线段在平移过程中，四边形是什么四边形；
(2)请判断、之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
(3)在平移变换过程中，设，，求与之间的函数关系式.

29. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，.

（1）若直线、两点，求直线和抛物线解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；
（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标.































2022-2023学年天津市南开区中考数学突破提升破仿真模拟卷
（3月）
一、选一选（本大题共10小题，每小题2分，满分20分，每小题给出的四个选
中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 2017相反数是( )
A. B. C. -2017 D. 2017
【正确答案】C

【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号，求解即可．
【详解】解：2017的相反数是-2017，
故选C．
本题考查了相反数意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．没有要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2. 下列运算正确的是（　　）．
A. a2•a3=a6 B. 5a﹣2a=3a2 C. （a3）4=a12 D. （x+y）2=x2+y2
【正确答案】C

【详解】试题分析：选项A，根据同底数幂的乘法可得a2•a3=a5，故此选项错误；选项B，根据合并同类项法则可得5a﹣2a=3a，故此选项错误；选项C，根据幂的乘方可得（a3）4=a12，正确；选项D，根据完全平方公式可得（x+y）2=x2+y2+2xy，故此选项错误；故答案选C．
考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．
3. 下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（   ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】A、主视图为等腰三角形，俯视图为圆以及圆心，故A选项错误；
B、主视图为矩形，俯视图为矩形，故B选项正确；
C、主视图是矩形，俯视图均为圆，故C选项错误；
D、主视图为梯形，俯视图为矩形，故D选项错误.
故选：B
4. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个没有相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5
【正确答案】B

【详解】∵关于x的一元二次方程方程有两个没有相等的实数根，
∴，即，
解得：k＜5且k≠1．
故选：B．
5. 11名同学参加数学竞赛初赛，他们的等分互没有相同，按从高分录到低分的原则，取前6名同学参加复赛，现在小明同学已经知道自己的分数，如果他想知道自己能否进入复赛，那么还需知道所有参赛学生成绩的（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
【正确答案】B

【详解】∵总共有11个人，且他们的分数互没有相同，
∴第6的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，知道中位数即可．
故选：B．
6. 下列命题中，错误的是（ ）
A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D. 内错角相等
【正确答案】D

【详解】试题分析：选项A，根据平行四边形的判定可知，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确．选项B，根据矩形的判定可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确．选项C，根据菱形的判定可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确．选项D，内错角相等，错误，缺少条件两直线平行．故答案选D．
考点：命题.
7. 如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA＝2，∠P＝60°，则的长为( )

A. π B. π C. π D. π
【正确答案】C

【详解】试题解析：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
在四边形APBO中，∠P=60°，
∴∠AOB=120°，
∵OA=2，
∴的长l=.
故选C.
8. 当k＞0时，反比例函数y＝和函数y＝kx+2的图象大致是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】当k＞0时，反比例函数的图象在一、三象限，同时函数y=kx+2的图象、二、三象限.故选C.
点睛:当k＞0时，反比例函数图象分别在、三象限，函数图象成上升趋势，当k＜0时，反比例函数图象分别在第二、四象限，函数图象成下降趋势；根据函数图象性质和反比例函数图象的性质，题目中的已知条件k＞0，即可得出答案.
9. “数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（ ）
A. CnH2n+2 B. CnH2n C. CnH2n﹣2 D. CnHn+3
【正确答案】A

【详解】试题分析：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，观察可知：a1=4=2×1+2，a2=6=2×2+2，a3=8=2×3+2，…，即可得an=2n+2．所以碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为CnH2n+2．故答案选A．
考点：数字规律探究题.
10. （2016湖南省娄底市）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C没有重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（　　）

A. 没有变 B. 增大 C. 减小 D. 先变大再变小
【正确答案】C

【详解】试题分析：已知BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，可得CF∥BE，根据平行线的性质得∠DCF=∠DBE，设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DBE=α，所以CF=DC•cosα，BE=DB•cosα，即可得BE+CF=（DB+DC）cosα=BC•cosα，因∠ABC=90°，所以O＜α＜90°，当点D从B→D运动时，α是逐渐增大的，cosα的值是逐渐减小的，所以BE+CF=BC•cosα的值是逐渐减小的．故答案选C．
考点：锐角三角函数的增减性．
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11. 根据“精准扶贫”，每年要减贫约11700000人，将数据11700000用科学记数法表示为__________．
【正确答案】1.17×107

【详解】解：11700000=1.17×107．故答案为1.17×107．
12. 二元方程组的解为_______________.
【正确答案】

【详解】试题解析：，
①+②得，3x=9，
解得x=3，
把x=3代入①得，3+y=5，
解得y=2，
∴方程组的解是．
13. 若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B， 则点B的坐标为_______．
【正确答案】（﹣1，﹣1）

【详解】试题解析：点B的横坐标为1-2=-1，纵坐标为3-4=-1，
所以点B的坐标是（-1，-1）．
本题考查点的平移规律；用到的知识点为：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．
14. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是______．（只需写一个条件，没有添加辅助线和字母）

【正确答案】∠B=∠DEC（没有）

【详解】可添加，理由如下：


故
15. 从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个图形中任取一个，取到既是轴对称图形又是对称图形的概率是_____．
【正确答案】.

【详解】试题分析：在线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形这五个图形中，既是对称图形又是轴对称图形的有线段、圆、矩形、正六边形，共4个，所以取到的图形既是对称图形又是轴对称图形的概率为.
本题考查概率公式，掌握图形特点是解题关键，难度没有大.
16. 如图，直线AB∥CD，AE平分∠CAB．AE与CD相交于点E，∠ACD=40°，则∠BAE的度数是_____．

【正确答案】70°

【详解】∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠BAC=180°，
∵∠ACD=40°，
∴∠BAC=180°−40°=140°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE=∠BAC=×140°=70°，
故答案为70°
17. 如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB=7，BC=6，则△BCD的周长为_____．

【正确答案】13

【详解】试题解析：∵将△ABC沿直线DE折叠后，使得点A与点C重合，
∴AD=CD，
∵AB=7，BC=6，
∴△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=7+6=13．
18. （2016湖南省娄底市）当a、b满足条件a＞b＞0时，表示焦点在x轴上的椭圆．若表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是______________．
【正确答案】3＜m＜8．

【详解】试题解析：∵表示焦点在x轴上的椭圆，a＞b＞0，
∵表示焦点在x轴上的椭圆，
∴，
解得3＜m＜8，
∴m的取值范围是3＜m＜8，
三、解 答 题（本大题共11小题，满分76分）
19. 计算：（π﹣）0+|﹣1|+（）﹣1﹣2sin45°．
【正确答案】2

【详解】分析：根据整数指数幂的运算性质可知 =1， =2，根据值的定义可知 =-1，根据角三角函数值可知，将以上各式代入原式，根据实数的运算法则进行计算即可.
本题解析：
解：（π﹣）0+|﹣1|+（）﹣1﹣2sin45°
=1+﹣1+2﹣
=2．
20. 先化简，再求值：，其中，.
【正确答案】原式=,当，时， 原式=.

【分析】根据整式的运算法则化简后再代入求值即可.
【详解】解：原式==.
当，时，
原式==.
考点：整式的化简求值.
21. 解没有等式组：．
【正确答案】．

【详解】试题分析：分别求出每一个没有等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、小小无解了确定没有等式组的解集．
试题解析：解没有等式5x+2≥3（x﹣1），得：，解没有等式，得：，故没有等式组的解集为：．
考点：解一元没有等式组．
22. 在2016CCTV英语风采大赛中，娄底市参赛选手表现突出，成绩均没有低于60分．为了地了解娄底赛区的成绩分布情况，随机抽取利了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行了整理，得到下面两幅没有完整的统计图表：
根据所给信息，解答下列问题：
（1）在表中的频数分布表中，m=　　　　　　，n=　　　　　　．
成绩
频数
频率
60≤x＜70
60
0.30
70≤x＜80
m
0.40
80≤x＜90
40
n
90≤x≤100
20
0.10
（2）请补全图中的频数分布直方图．
（3）按规定，成绩在80分以上（包括80分）的选手进入决赛．若娄底市共有4000人参赛，请估计约有多少人进入决赛？

【正确答案】（1）80，0.20；（2）详见解析；（3）1200.

【详解】试题分析：（1）用抽查的总人数乘以成绩在70≤x＜80段的人数所占的百分比即可求得m；用成绩在80≤x＜90段的频数除以总人数即可求得n；（2）根据（1）求出的m的值，直接补全频数分布直方图即可；（3）用娄底市共有的人数乘以80分以上（包括80分）所占的百分比，即可得出答案．
试题解析：（1）根据题意得：
m=200×0.40=80（人），
n=40÷200=0.20；
（2）根据（1）可得：70≤x＜80的人数有80人，补图如下：

（3）根据题意得：
4000×（0.20+0.10）=1200（人）．
答：估计约有1200人进入决赛．
考点：频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本估计总体．
23. 某大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果到0.1米， ≈1.73）

【正确答案】立柱BH的长约为16.3米．

【分析】设DH=x米，由三角函数得出CH=x，即可得BH=BC+CH=2+x，再求得AH=BH=+3x，由AH=AD+DH得出方程+3x=20+x，，解方程求出x，即可得出结果．
【详解】解：设DH=x米，
∵∠CDH=60°，∠H=90°，
∴CH=DH•tan60°=，
∴BH=BC+CH=，
∵∠A=30°，
∴AH=BH=，
∵AH=AD+DH，
∴=20+x，
解得：，
∴BH=2+（10﹣）=≈16.3（米）．
答：立柱BH的长约为16.3米．
24. 甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
【正确答案】（1）乙骑自行车的速度为300米/分钟；（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．

【分析】（1）设乙骑自行车的速度为米/分钟，则甲步行速度为米/分钟，公交车速度为米/分钟，根据题意列方程即可得到结论；
（2）300×2=600米即可得到结果．
【详解】（）设乙骑自行车的速度为米/分钟，则甲步行速度为米/分钟，公交车速度为米/分钟，根据题意得：
，
解得．
所以乙骑自行车的速度为米/分钟．
（）当甲到达学校时，乙同学离校还有米．
25. 如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝4，点E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．

【正确答案】（1）见试题解析；（2）2

【分析】（1）由□ABCD可得AB=CD，BC=AD，∠ABC=∠CDA，再点E、F分别是BC、AD的中点即可证得结论；
（2）当四边形AECF为菱形时，可得△ABE为等边三角形，根据等边三角形的性质即可求得结果．
【详解】∵在□ABCD中，AB=CD，
∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．
又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，
∴BE=DF．
∴△ABE≌△CDF．
（2）当四边形AECF为菱形时，△ABE为等边三角形，
四边形ABCD的高为 ,
∴菱形AECF的面积为2.
本题考查的是平行四边形的性质，菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的对边平行且相等，对角相等；菱形的四条边相等．
26. 如图，函数y=kx+b的图象与反比例函数y= （x＞0）的图象交于A（2，﹣1），B（，n）两点，直线y=2与y轴交于点C. 

（1）求函数与反比例函数的解析式； 
（2）求△ABC的面积.
【正确答案】（1）y=2x﹣5，；（2）．

【详解】试题分析：（1）把A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出反比例解析式，再将B坐标代入求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入函数解析式求出k与b的值，即可确定出函数解析式；
（2）用矩形面积减去周围三个小三角形的面积，即可求出三角形ABC面积．
试题解析：（1）把A（2，﹣1）代入反比例解析式得：﹣1=，即m=﹣2，∴反比例解析式为，把B（，n）代入反比例解析式得：n=﹣4，即B（，﹣4），把A与B坐标代入y=kx+b中得：，解得：k=2，b=﹣5，则函数解析式为y=2x﹣5；
（2）
如图，
S△ABC=
考点：反比例函数与函数的交点问题；函数及其应用；反比例函数及其应用．
27. 如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB=∠DCO=90°，O为AB的中点．


（1）求证：∠B=∠ACD．
（2）已知点E在AB上，且BC2=AB•BE．
①若tan∠ACD=，BC=10，求CE的长；
②试判定CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）①CE=6；②直线CD与⊙A相切，证明见解析．

【分析】（1）因为∠ACB=∠DCO=90°，所以∠ACD=∠OCB，又因为点O是Rt△ACB中斜边AB的中点，所以OC=OB，所以∠OCB=∠B，利用等量代换可知∠ACD=∠B；
（2）①因为BC2=AB•BE，所以△ABC∽△CBE，所以∠ACB=∠CEB=90°，因为tan∠ACD=tan∠B，利用勾股定理即可求出CE的值；
②过点A作AF⊥CD于点F，易证∠DCA=∠ACE，即可得CA是∠DCE的平分线，所以AF=AE，所以直线CD与⊙A相切．
【小问1详解】
解：∵∠ACB=∠DCO=90°，
∴∠ACB﹣∠ACO=∠DCO﹣∠ACO，
即∠ACD=∠OCB，
又∵点O是AB的中点，
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∴∠ACD=∠B；
【小问2详解】
①∵BC2=AB•BE，
∴，
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBE，
∴∠ACB=∠CEB=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴tan∠ACD=tan∠B=，
设BE=4x，CE=3x，
由勾股定理可知：BE2+CE2=BC2，
∴（4x）2+（3x）2=100，
∴解得x=2，
∴CE=6；
②如图：过点A作AF⊥CD于点F，


∵∠CEB=90°，
∴∠B+∠ECB=90°，
∵∠ACE+∠ECB=90°，
∴∠B=∠ACE，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ACD=∠ACE，
∴CA平分∠DCE，
∵AF⊥CE，AE⊥CE，
∴AF=AE，
∴直线CD与⊙A相切．
本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理的应用、切线的证明，做题的关键是证明△ABC∽△CBE．
28. 如图，是正方形的对角线，.边在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为，连接、，并过点作，垂足为，连接、
(1)请直接写出线段在平移过程中，四边形是什么四边形；
(2)请判断、之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
(3)在平移变换过程中，设，，求与之间的函数关系式.

【正确答案】(1)四边形是平行四边形；(2)且，证明见解析；(3)见解析.

【分析】（1）根据平移的性质，可得PQ=BC=AD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案；
（2）根据正方形的性质，平移的性质，可得PQ与AB的关系，根据等腰直角三角形的判定与性质，可得∠PQO，根据全等三角形的判定与性质，可得AO与OP的数量关系，根据余角的性质，可得AO与OP的位置关系；
（3）根据等腰直角三角形的性质，可得OE的长，根据三角形的面积公式，可得函数关系式.
【详解】(1)根据平移的性质可得，PQ=BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AD，BC∥AD，
∴PQ=AD，PQ∥AD，
∴四边形是平行四边形.
(2)且.证明如下：
①当向右平移时，如图，

∵四边形是正方形，
∴，.
∵，∴.
∵，
∴，
∴
∴，
∴.
和中，
∴，
∴，.
∵，
∴，即.
∴，
∴且.
②当向左平移时，如图，

同理可证，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴且.
(3)过点作于.
在中，，
∴.
①当向右平移时，如图，

，
∴.
∵，
∴.
②当向左平移时，如图，

，
∴.
∵.
∴
本题考查了二次函数综合题，利用平行四边形的判定是解题关键；利用全等三角形的判定与性质是解题关键；利用等腰直角三角形的性质的出OE的长是解题关键.

29. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，.

（1）若直线、两点，求直线和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；
（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标.
【正确答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为.（2）；（3）的坐标为或或或.

【详解】分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．
详解：（1）依题意得：，解得：，
∴抛物线的解析式为.
∵对称轴为，且抛物线，
∴把、分别代入直线，
得，解之得：，
∴直线的解析式为.

（2）直线与对称轴的交点为，则此时的值最小，把代入直线得，
∴.即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为.
（注：本题只求坐标没说要求证明为何此时的值最小，所以答案未证明的值最小的原因）.
（3）设，又，，
∴，，，
①若点为直角顶点，则，即：解得：，
②若点为直角顶点，则，即：解得：，
③若点为直角顶点，则，即：解得：
，.
综上所述的坐标为或或或.
点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度没有是很大，是一道没有错的中考压轴题．



























2022-2023学年天津市南开区中考数学突破提升破仿真模拟卷
（4月）
第I卷（选一选）

评卷人
得分



一、单 选 题
1．2022的倒数是（       ）
A．2022 B． C． D．
2．如图是某几何体的三视图，该几何体是（       ）


A．长方体 B．三棱柱 C．圆锥 D．圆柱
3．图①是苏州园林内的一种窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案，该图案是由4个全等的图形组成的，则该图案（       ）

A．既是轴对称图形又是对称图形 B．是轴对称图形但并没有是对称图形
C．是对称图形但并没有是轴对称图形 D．既没有是轴对称图形也没有是对称图形
4．为了了解某初中学校学生的视力情况，需要抽取部分学生进行．下列抽取学生的方法最合适的是（　　）
A．随机抽取该校一个班级的学生 B．随机抽取该校一个年级的学生
C．随机抽取该校一部分男生 D．分别从该校初一、初二、初三年级中各随机抽取10%的学生
5．方程的解是（　　　）．
A． B． C． D．
6．如图，若随机向正方形网格内投针，则针尖落在阴影部分的概率为（       ）

A． B． C． D．
7．如图，在中，，，BE平分交AD于E，CF平分交AD于F，则EF等于（       ）


A．1 B．1.5 C．2 D．3
8．如图，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，，反比例函数的图像点A，且与BC相交于点D．若的面积为20，则k的值为（       ）


A．12 B．18 C．24 D．32
9．我国古代数学的经典著作《九章算术》中有一道“盈没有足术”问题：“今有共买羊，人出五，没有足四十五：人出七，没有足三．问人数、羊价各几何？”译文：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？该问题中的羊价为（       ）
A．21钱 B．65钱 C．150钱 D．165钱
10．如图①，②，③，④，两次折叠等腰三角形纸片ABC，先使AB与AC重合，折痕为AD，展平纸片：再使点A与点C重合，折痕为EF，展平纸片，AD、EF交于点G．若，，则DG的长为（       ）


A． B． C．1cm D．
第II卷（非选一选）

评卷人
得分



二、填 空 题
11．计算：________．
12．疫情期间，易加学院全面助力“居家学习”，截至2022年5月16日，访问总量超过38000000人次．38000000用科学记数法可以表示为________．
13．半径为6cm，圆心角为120°的扇形弧长为________cm．
14．若，则________．
15．如图，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．过点C作轴，交该图像于点D．若、，则的面积为________．

16．如图，在中，，，，则________．

17．如图，在中，，，．将绕点A旋转得，连接，B′B，则面积的值为________．

18．如图所示的正方形瓷砖是由8个全等的三角形和8个全等的筝形拼成的．已知该瓷砖的边长为100cm，则1个三角形的面积为________．

评卷人
得分



三、解 答 题
19．计算：．
20．解没有等式组：．
21．已知：如图，，，．求证：．

22．求代数式的值，其中．
23．“减少外出减少运动”．为便于同学们居家锻炼，苏州推出了居家健身小课堂．某校为了学生三月份参加居家健身锻炼的情况，从全校1500名学生中随机抽取了200名进行了，并将的数据整理如下：
学生参加健身锻炼次数的频数分布表
锻炼次数n（代号）




频数
10
a
68
80
频率
0.05
b
0.34
c


(1)表格中________；
(2)将扇形统计图补充完整；
(3)估计该校三月份参加健身锻炼超过14次的学生人数．
24．甲、乙、丙3名同学进行羽毛球单打比赛，现需选取2名同学打场比赛．
(1)若已确定甲打场，需再从另2名同学中随机选取1名，则选中乙的概率为________；
(2)求随机选取2名同学，其中有乙同学的概率．
25．如图，AB为的直径，点C在上，点D在AB的延长线上，过点O作于点E，交CD于点F，且．


(1)求证：CD是的切线；
(2)已知，，求的值．
26．如图①是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图②所示，已知晾衣臂，支撑脚，展开角，晾衣臂支架，且．

(1)当晾衣臂OA与支撑脚OD垂直时，求点A距离地面的高度；
(2)当晾衣臂OB从水平状态绕点O旋转到（D、O、在同一条直线上）时，点N也随之旋转到上的点处，求点N在晾衣臂OB上滑动的距离．
27．[理解概念]
如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图①，矩形ABDE即为的“矩形框”．


(1)三角形面积等于它的“矩形框”面积的________；
(2)钝角三角形的“矩形框”有________个；
(3)[巩固新知]
如图①，的“矩形框”ABDE的边，，则周长的最小值为________cm：
(4)如图②，已知中，，，，求的“矩形框”的周长；
(5)[解决问题]
如图③，锐角三角形木板ABC的边，，，求出该木板的“矩形框”周长的最小值．
28．定义：若一个函数的图像上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图像的“好点”．例如，点是函数的图像的“好点”．
(1)在函数①，②，③的图像上，存在“好点”的函数是________；（填序号）
(2)设函数与的图像的“好点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求k的值；
(3)若将函数的图像在直线下方的部分沿直线翻折，翻折后的部分与图像的其余部分组成了一个新的图像．当该图像上恰有3个“好点”时，求m的值．

答案：
1．C

【分析】
根据倒数的定义作答即可．
【详解】
2022的倒数是，
故选：C．

本题考查了倒数的概念，即乘积为1的两个数互为倒数，牢记倒数的概念是解题的关键．
2．A

【分析】
长方体的三视图特征判断即可；
【详解】
解：∵长方体的三视图都是长方形；三棱柱的三视图中有三角形；圆锥和圆柱的三视图中有圆；
∴该几何体符合长方体的三视图特征，
故选： A．

本题考查了三视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图；掌握常见几何体的三视图特征是解题关键．
3．C

【分析】
根据轴对称图形和对称图形的定义判断即可；
【详解】
解：∵该图形没有对称轴，
∴没有是轴对称图形，
∵该图形绕点旋转180°后与原图重合，
∴是对称图形，
故选： C．

本题考查了轴对称图形与对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；对称图形是要寻找对称，旋转180°后与原图重合．
4．D

【详解】
因为要了解初中的视力情况范围较大、难度较大，所以应采取抽样的方法比较合适，本题考查的是方法的选择，正确选择方式要根据全面的优缺点再实际情况去分析，故只有D符合实际并具有普遍性，故选D．
5．A

【分析】
根据解分式方程的基本步骤进行求解即可．先两边同时乘最简公分母，化为一元方程；然后按常规方法，解一元方程；检验所得一元方程的解是否为分式方程的解．
【详解】
解：方程两边都乘，得

解这个方程，得

检验：将代入原方程，得
左边，右边，左边=右边．
所以，是原方程的根．
故选：A．

本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤和验根是解题的关键．
6．D

【分析】
利用割补法求得阴影面积，再根据几何概率计算求值即可；
【详解】
解：将上边和左边的弓形面积补到下边和右边可得阴影面积为5×5=25，
该图形总面积为8×8=64，
∴针尖落在阴影部分的概率=，
故选： D．

本题考查了几何概率：的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示．
7．D

【分析】
根据平行四边形的性质可得∠AEB=∠CBE，∠CFD=∠BCF，再由BE平分，CF平分，可得∠ABE=∠CBE，∠BCF=∠DCF，从而得到∠ABE=∠AEB，∠CFD =∠DCF，进而得到AE=AB=5，DF=CD=5，进而得到DE=2，即可求解．
【详解】
解∶ 在中，AD∥BC，AB=CD=5，
∴∠AEB=∠CBE，∠CFD=∠BCF，
∵BE平分，CF平分，
∴∠ABE=∠CBE，∠BCF=∠DCF，
∴∠ABE=∠AEB，∠CFD =∠DCF，
∴AE=AB=5，DF=CD=5，
∵BC=7，
∴DE=2，
∴EF=DF-DE=3．
故选：D

本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的判定是解题的关键．
8．C

【分析】
连接AC，过点A作AE⊥OC于点E，根据菱形的性质可得△AOD的面积=△AOC的面积=20，再根据，可设，然后根据勾股定理可得，继而得到，从而得到△AOE的面积为，即可求解．
【详解】
解：如图，连接AC，过点A作AE⊥OC于点E，


∵四边形OACB是菱形，
∴OA=OC，OA∥BC，
∴△AOD的面积=△AOC的面积=20，
∵，
可设，
∴，
∴，
∴，
∴△AOE的面积为，
∵反比例函数的图像点A，
∴，解得：，
∵图像位于象限内，
∴k=24．
故选：C

本题考查了解直角三角形，反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，根据题目的已知条件并图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9．C

【分析】
根据人数乘以每人出钱数加差价可列出方程，解方程即可．
【详解】
根据题意可列方程组，设人数为x人，
则：，
解得：x＝21，
5×21+45=150，
故选C．

本题考查一元方程的应用，也可用二元方程组解决，能够找到等量关系是解决本题的关键．
10．B

【分析】
由折叠的性质可得CD、CF，解Rt△ADC可得sin∠CAD、tan∠CAD，由同角的余角相等可得∠CAD=∠CEF，解Rt△CFE可得CE，进而求得DE，再解Rt△EDG可得DG；
【详解】
解：由折叠的性质可得：AD垂直平分BC，EF垂直平分AC，
∴CD=3cm，CF=cm，
Rt△ADC中，AD==4cm，
∴sin∠CAD==，tan∠CAD=，
∵∠C+∠CAD=90°，∠C+∠CEF=90°，
∴∠CAD=∠CEF，
Rt△CFE中，CE=CF÷sin∠CEF=÷=cm，
∴DE=CE-DC=-3=cm，
Rt△EDG中，DG=DE•tan∠DEG=×=cm，
故选：B．

本题考查了折叠的性质，解直角三角形等知识；掌握正弦和正切三角函数是解题关键．
11．

【分析】
先用积的乘方法则把和分别平方，而后再用幂的乘方的法则计算．
【详解】
解：．
故．

本题考查了积的乘方和幂的乘方，解题的关键是熟练掌握积的乘方法则和幂的乘方法则．
12．

【分析】
根据科学记数法的定义计算求值即可；
【详解】
解：38000000=3.8×107，
故3.8×107；

本题考查了科学记数法：把一个值大于1的数表示成a×10n的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．
13．

【分析】
根据弧长的公式l＝，计算即可．
【详解】
解：根据弧长的公式l＝，
得l＝＝4πcm，
故4π．

本题考查了弧长的公式l＝，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
14．1

【分析】
将化简为含有a﹣b的代数式，然后整体代入即可求出所求的结果．
【详解】
解：∵a﹣b＝1，
∴
＝
＝a+b﹣2b
＝a﹣b
＝1，
故1．

此题考查了提公因式法分解因式，从多项式中整理成已知条件的形式，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
15．20

【分析】
由抛物线的对称性及点D，B的坐标可得点A，C的坐标，进而求解．
【详解】
解：∵CD∥x轴，点A，B为抛物线与x轴交点，
∴A，B关于抛物线对称轴对称，C，D关于抛物线对称轴对称，
∵D（6，4），
∴点C坐标为（0，4），
∴抛物线对称轴为直线x=3，
由B（8，0）可得点A坐标为（-2，0），
∴S△ABC=AB•OC=×10×4=20，
故20．

本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质．
16．##

【分析】
由题意易得△CAB是等腰三角形，且△CAB∽△ABD，由相似三角形的性质可得关于AD的方程，解方程即可．
【详解】
∵AB=AD，，
∴．
∵AD=CD，
∴，
∴∠CAB=∠BAD+∠CAD=72°=∠ABD．
∴BC=AC=2CA．
∵∠ABD=∠ADB=∠CAB=∠ABD=72°，
∴△CAB∽△ABD．
∴即．
∵AB=AD，，
∴．
解得：或（舍去）．
∴．
故．

本题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识，判定△CAB是等腰三角形从而有三角形相似是关键．
17．16

【分析】
根据B′点轨迹求得B′到直线BC的距离为B′A+AC，再由勾股定理求得AC即可解答；
【详解】
解：如图，B′的轨迹在以A为圆心，AB为半径的圆上，点D、A、C三点共线，


∠ACB=90°，则DC⊥BC，
当B′与点A、C没有共线时，B′C＜B′A+AC，
∵B′C与BC没有垂直，
由垂线段的性质可得：B′到直线BC的距离小于B′C，
∴B到直线BC的距离小于B′A+AC，
当B′与点D重合时，B′到直线BC的距离= B′A+AC，
∴B′到直线BC的距离为B′A+AC，
∴当B′与点D重合时，△B′CB的面积，
Rt△ABC中，AC=，
∴△B′CB面积值为DC•BC=（5+3）×4=16，
故16；

本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形的三边关系，掌握垂线段的性质是解题关键．
18．

【分析】
如图1，分别连接BD、FG、EK、EI、IJ、JK、OC、OH，先求出等腰Rt△ABD的面积，如图2，连接剩下两个筝形的短的对角线，再求出一个三角形的面积即可．
【详解】
解：如图1，分别连接BD、FG、EK、EI、IJ、JK、OC、OH，
∵图中的三角形都是全等的，筝形也都是全等的，且它们对称分布在正方形内，
∴ 点O为正方形的，OC＝OH，∠EOI＝∠EOK＝∠KOJ＝∠IOJ＝∠BAD＝90°，
∵筝形的对角线互相垂直，且关于一条对角线对称，
∴ OE＝OI＝OK＝OJ＝AB＝AD＝FL＝LG，
∴△BAD，△FLG，△EOK，△KOJ，△IOJ，△EOI都是等腰直角三角形，
∴四边形EKJI为正方形，
∴EKIJ，
∵筝形的对角线互相垂直，
∴EK⊥OC，IJ⊥OH，
∴OC，OH在一条直线上，
∴EK⊥CH，IJ⊥CH，
∴点O在CH上，且为线段CH的中点，
∵点C、H都为正方形的边的中点，
∴CHAL，
∴四边形EKJI为正方形，
∴ EK⊥EI，
∴EICH，
∴ EIAL，
∴ ∠DME＝∠IEM，
∵图中的筝形都全等，且关于一条对角线对称，
∴EB＝ED＝ME＝MI，
∴图中的三角形都是等腰三角形，
∴∠DME＝∠MDE，∠EIM＝∠IEM，
∴△DEM≌△IME，
∴图中筝形就是由一个等腰直角三角形和一个与图中三角形全等的三角形组成，
∴DM＝EI，
∵图中三角形都是全等的，筝形也都是全等的，
∴DM＝MF＝EI＝BD＝FG，
∵在正方形中，∠A＝∠L＝90°，
在筝形中，AB＝AD＝FL＝LG，
∴△ABD，△FLG都是等腰直角三角形，
设AB＝AD＝FL＝LG＝x厘米，
则BD＝FG＝，
∵AL＝AD＋DM＋MF＋FL，
∴AL＝x＋＋＋x，
∴AL＝（2＋）x，
∵AL＝100厘米，
∴（2＋）x＝100，
∴x＝，
∴AB＝AD＝FL＝LG＝50（－1）厘米，
∴等腰Rt△ABD的面积
＝
＝平方厘米，
如图2，连接剩下两个筝形的短的对角线，可以看出，正方形中除了8个全等的等腰直角三角形外，剩下的16个三角形都是全等的，
∴一个三角形的面积
＝
＝
＝
＝
＝平方厘米．
故．
        

此题考查了正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、二次根式的混合运算等知识，添加适当的辅助线是解题的关键．
19．8

【分析】
根据值的意义，零指数幂，算术平方根的定义计算求值即可；
【详解】
解：原式=5-1+4=8；

本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
20．

【分析】
分别求出每一个没有等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、小小找没有到确定没有等式组的解集．
【详解】
解：，
解没有等式①得：x≥-2，
解没有等式②得：x＜，
则没有等式组的解集为．

本题考查的是解一元没有等式组，正确求出每一个没有等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；小小找没有到”的原则是解答此题的关键．
21．见解析

【分析】
先根据，得出，再根据，，利用“SAS”证明，即可证明结论．
【详解】
证明：∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴（SAS），
∴．

本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握两边对应相等，且这两条边所夹的角也对应相等的两个三角形全等，是解题的关键．
22．，；

【分析】
根据分式的混合运算法则，因式分解化简即可；
【详解】
解：原式=，
代入得：原式=；

本题考查了分式的化简求值，二次根式的化简；掌握相关运算法则是解题关键．
23．(1)42
(2)见解析
(3)960人

【分析】
（1）根据参与的人数为200人即可得到答案；
（2）分别求出b、c的值，然后补全统计图即可；
（3）用1500乘以样本中锻炼超过14次的学生人数占比即可得到答案．
(1)
解：由题意得：；
(2)
解：，
补全统计图如下：

(3)
解：
∴该校三月份参加健身锻炼超过14次的学生人数为960人．

本题主要考查了频数与频率分布表，扇形统计图，用样本估计总体，正确读懂题意是解题的关键．
24．(1)
(2)

【分析】
（1）由一共有2种等可能性的结果，其中恰好选中乙同学的有1种，即可求得答案；
（2）先求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．
(1)
解：若已确定甲打场，需再从另2名同学中随机选取1名，
则选中乙的概率为； 故；
(2)
画树状图如下：

所有的等可能的结果数有6种，符合条件的结果数有4种，
所有随机选取2名同学，其中有乙同学的概率为

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以没有重复没有遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25．(1)见解析
(2)

【分析】
（1）连接OC.，由圆周角定理得，由等腰三角形性质得，推出，可得结果；
（2）由等腰三角形性质得，由中位线性质得，，再证明，可得，，，求出OC，求出的值．
(1)
如答图①，连接OC.


∵AB为的直径，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵OC为半径，
∴CD是的切线．
(2)
∵，，
∴，
又∵，
∴OE为的中位线，
∴，，
∵，
∴.
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，，
∴，
在中，．

此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理中位线定理、解直角三角形以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形思想的应用．
26．(1)
(2)40cm

【分析】
（1）作交CD于E，交OE反向延长线于F，由等腰三角形的性质求出，利用角的三角函数值的求法得到OE和OF，再利用
来求解；
（2）图②中作交OB于G，易得为等边三角形，再利用等边三角形的性质，角的三角函数值的求法OG，GM，再由勾股定理求出NG，进而得到，图③中作交OD于H，角的三角函数值的求法和勾股定理求出，用
来求解．
(1)
解：如图②，作交CD于E，交OE反向延长线于F．
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴点A距离地面的高度为；
(2)
解：如图②，作交OB于G．
∵，，
∴为等边三角形，
∴．
∵，
∴，
在中，
∵，，
∴，．
在中，
∵，
∴，
∴，
如图③，作交OD于H．
在中，
∵，，
∴，．
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点N在晾衣臂OB上滑动的距离为．


本题考查解直角三角形的应用，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
27．(1)或一半
(2)1
(3)
(4)14cm或
(5)

【分析】
（1）利用面积公式可直接得到答案；
（2）由钝角三角形夹钝角的两边没有能作为矩形的边，从而可得答案；
（3）如图，作A关于DE的对称点M，连接BM，交DE于C，则此时的周长最短，且 再利用勾股定理可得答案；
（4）当AC或BC与“矩形框”一边重合时，利用矩形的性质直接可得答案；当AB与“矩形框”一边重合时，如答图④，作交AB于D．再利用等面积法求解CD，从而可得答案；
（5）分三种情况讨论：当AB与“矩形框”一边重合时，如答图⑤，作交AB于F．再利用勾股定理求解．可得此时矩形框的周长为： 当BC与“矩形框”一边重合时，作交BC于D．求解．可得此时矩形框的周长为： 当AC与“矩形框”一边重合时，作交AC于E．求解．可得此时矩形框的周长为： 从而可得答案．
(1)
解：

故或一半；
(2)
由矩形框的含义可得：钝角三角形夹钝角的两边没有能作为矩形的边，
所以钝角三角形的矩形框只有1个，
故答案为1
(3)
如图，作A关于DE的对称点M，连接BM，交DE于C，则此时的周长最短，



由对称的性质可得 而

此时：
故
(4)
当AC或BC与“矩形框”一边重合时，周长为；
当AB与“矩形框”一边重合时，如答图④，作交AB于D．


∵在中，，
∴，
∴．
∵．
∴，
∴周长为．
综上，的“矩形框”的周长为14cm或．
(5)
当AB与“矩形框”一边重合时，如答图⑤，作交AB于F．


设，则，
在中，∵，∴．
在中，∵，∴．
∴，解得，
∴．
此时矩形框的周长为：
当BC与“矩形框”一边重合时，作交BC于D．
∵．
∴．
此时矩形框的周长为：
当AC与“矩形框”一边重合时，作交AC于E．
∵，
∴．
此时矩形框的周长为：
∴当BC与“矩形框”一边重合时，周长最小，
可知该木板的“矩形框”周长的最小值为

本题考查的勾股定理的应用，矩形的性质，二次根式的化简，清晰的分类是解本题的关键．
28．(1)③
(2)2或或
(3)或0

【分析】
（1）根据题目中给出的定义进行判断即可；
（2）令，求出点A的坐标，得出，根据“好点”特点，判断出点B一定在直线OA上，然后分AB=AC，AB=BC，AC=BC，三种情况求出点B的坐标，然后将点B代入求出k的值即可；
（3）令，解得：，，确定原函数图象上有2个“好点”，根据翻折，求出翻折后的函数关系式，，根据翻折后的函数图象与直线y=-x只有一个交点，求出m的值；由于当m=0时，翻折后的函数图象上与原函数图象上的一个“好点”重合，得出m=0也符合题意．
(1)
解：①把代入得：，
∵无解，
∴函数上面没有存在“好点”；
②把代入得：，
∵无解，
∴函数上面没有存在“好点”；
③把代入得：，
∵有两个没有相等的实数解，
∴函数上面存在“好点”；
综上分析可知，存在“好点”的函数是③．
故③．
(2)
令，解得或（舍去），
∴，
，
由题意得，点B一定在上，即直线AO上，
当AC=CB时，点B的坐标为（0，0），
此时点（0，0）没有可能在上；
当AB=BC时，，
∴，
∴，
∵，
∴AB=BO，即点B为OA的中点，
所以此时点B的坐标为（-1，1），
把（-1，1）代入得：，解得；
当AB=AC，点B在点A的上面时，，
∵点B在直线上，
∴B点坐标为：，
把代入得：，解得；
当AB=AC，点B在点A的下面时，，
∵点B在直线上，
∴B点坐标为：，
把代入得：，解得；
综上分析可知，或或．

(3)
令，
∴，解得：，，
∴此时该函数图象上有两个“好点”，
①该函数图象的顶点坐标为（-1，-1，），其关于的对称点为，
∴函数沿直线翻折后的部分对应的函数表达式为：
，
∵新图像上恰有3个“好点”，
∴直线与翻折后的图像只有一个公共点，
∴，即，
∴，
∴；
②当时，该函数图象的顶点坐标为（-1，-1，）关于，即x轴的对称点为，
∴函数沿直线翻折后的部分对应的函数表达式为：，
令，即，
解得：，，
∴其中一个“好点”与原函数图象的一个“好点”重合，
∴此时新的图象上恰有3个“好点”，符合题意；
综上分析可知：或0．

本题主要考查了二次函数的综合，理解“好点”为该函数图象与直线y=-x的交点，是解题的关键．