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2022-2023学年北京市东城区中考数学提升突破破仿真模拟卷（一模二模）含解析
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这是一份2022-2023学年北京市东城区中考数学提升突破破仿真模拟卷（一模二模）含解析，共55页。试卷主要包含了单 选 题，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市东城区中考数学提升突破破仿真模拟卷
（一模）
一、单 选 题
1. －的值是( )
A － B. － C. D. 5
2. 某种计算机完成基本运算的时间约为0.000 000 001 s，把0.000 000 001 s用科学记数法可表示为（ ）
A. 0.1×10－8 s B. 0.1×10－9 s C. 1×10－8 s D. 1×10－9 s
3. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 计算a·a5-(2a3)2的结果为( )
A. a6-2a5 B. -a6 C. a6-4a5 D. -3a6
5. 如图，线段平移得到线段，其中点，的对应点分别为点，，这四个点都在格点上．若线段上有一个点 ，，则点在上的对应点的坐标为
A. B. C. D.
6. A、B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A、B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为
A. B. C. D.
7. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ）
A. 175πcm2 B. 350πcm2 C. πcm2 D. 150πcm2
8. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ）
A. x＜-2或x＞2 B. x＜-2或0＜x＜2
C. -2＜x＜0或0＜x＜2 D. -2＜x＜0或x＞2
二、填 空 题
9 计算：=_____．
10. “万人马拉松”组委会计划制作运动衫分发给参与者，为此，了部分参与者，以决定制作橙色、黄色、白色、红色四种颜色运动衫的数量．根据得到的数据，绘制成如图所示的扇形统计图．若本次共有12000名参与者，则估计其中选择红色运动衫的约有________名．
11. 如图AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD=________．
12. 把一个长、宽、高分别为3cm、2cm、1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S(cm2)与高h(cm)之间的函数关系式为________.
13. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为_____________________ ．
14. 如图，以边长为20cm正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积为________cm3．
三、解 答 题
15. 已知：线段a及∠ACB．
求作：⊙O，使⊙O在∠ACB的内部，CO=a，且⊙O与∠ACB的两边分别相切．
16. 计算
（1）化简：；
（2）关于x的一元二次方程2x2+3x﹣m=0有两个没有相等的实数根，求m的取值范围．
17.
小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个没有透明的袋子中装有编号为1～4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
18. 小明在热气球上看到正前方横跨河流两岸的大桥，并测得、两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥与地面在同一水平面上，其长度为，求热气球离地面的高度_________．（结果保留整数）（参考数据：，，）
19. 甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均成绩/环
中位数/环
众数/环
方差
甲
a
7
7
1.2
乙
7
b
8
c
（1）写出表格中a，b，c的值；
（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员．
20. 某厂制作甲、乙两种环保包装盒．已知同样用6m的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料．
（1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？
（2）如果制作甲、乙两种包装盒3000个，且甲盒的数量没有少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需材料总长度与甲盒数量n（个）之间的函数关系式，并求出至少需要多少米材料．
21. 已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．
22. 如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度没有超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
23.
问题提出：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种没有同的等腰三角形？
问题探究：没有妨假设能搭成m种没有同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以从入手，通过试验、观察、类比，归纳、猜测得出结论．
探究一：
用3根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的三角形？
此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1
用4根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的三角形？
只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，没有能搭成三角形
所以，当n=4时，m=0
用5根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则没有能搭成三角形
若分为2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形
所以，当n=5时，m=1
用6根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则没有能搭成三角形
若分为2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形
所以，当n=6时，m=1
综上所述，可得表①
探究二：
用7根相同木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的等腰三角形？
（仿照上述探究方法，写出解答过程，并把结果填在表②中）
分别用8根、9根、10根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的等腰三角形？
（只需把结果填在表②中）
你没有妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，……
解决问题：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种没有同的等腰三角形？
（设n分别等于4k-1、4k、4k+1、4k+2，其中k是整数，把结果填在表③中）
问题应用：用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种没有同的等腰三角形？（要求写出解答过程）
其中面积的等腰三角形每个腰用了__________________根木棒．（只填结果）
24. 已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？
（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若没有存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年北京市东城区中考数学提升突破破仿真模拟卷
（一模）
一、单 选 题
1. －的值是( )
A. － B. － C. D. 5
【正确答案】C
【分析】数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的值.
【详解】﹣的值是|﹣|=
故选C
本题考核知识点：值.解题关键点：理解值的意义.
2. 某种计算机完成基本运算的时间约为0.000 000 001 s，把0.000 000 001 s用科学记数法可表示为（ ）
A 0.1×10－8 s B. 0.1×10－9 s C. 1×10－8 s D. 1×10－9 s
【正确答案】D
【分析】值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法没有同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.000 000 001 s用科学记数法可表示为s．
故选：D．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义进行分析．
【详解】解：选项A是对称图形；选项B是对称图形，也是轴对称图形；选项C是轴对称图形；选项D是对称图形．
故选B．
本题考核知识点：轴对称图形和对称图形.解题关键点：理解轴对称图形和对称图形的定义．
4. 计算a·a5-(2a3)2的结果为( )
A. a6-2a5 B. -a6 C. a6-4a5 D. -3a6
【正确答案】D
【详解】试题解析：原式
故选D.
点睛：同底数幂相乘，底数没有变指数相加.
5. 如图，线段平移得到线段，其中点，的对应点分别为点，，这四个点都在格点上．若线段上有一个点 ，，则点在上的对应点的坐标为
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据点A、B平移后横纵坐标的变化可得线段AB向左平移2个单位，向上平移了3个单位，然后再确定a、b的值，进而可得答案．
【详解】由题意可得线段AB向左平移2个单位，向上平移了3个单位，
则P（a−2，b＋3），
故选：A．
此题主要考查了坐标与图形的变化−−平移，解题的关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
6. A、B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A、B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】直接利用在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h，利用时间差值得出等式即可．
【详解】解：设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为：
﹣=1．
故选A．
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题的关键．
7. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ）
A. 175πcm2 B. 350πcm2 C. πcm2 D. 150πcm2
【正确答案】B
【分析】贴纸部分的面积等于大扇形的面积减去小扇形ADE的面积，由此即可解答．
【详解】∵AB=25，BD=15，
∴AD=10，
∴S贴纸= =175π×2=350cm2，
故选B．
本题主要考查扇形面积的计算的应用，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式．
8. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ）
A. x＜-2或x＞2 B. x＜-2或0＜x＜2
C. -2＜x＜0或0＜x＜2 D. -2＜x＜0或x＞2
【正确答案】D
【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，再由函数图象即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∵点A的横坐标为2，∴点B的横坐标为-2，
∵由函数图象可知，当-2＜x＜0或x＞2时函数y1=k1x的图象在的上方，
∴当y1＞y2时，x的取值范围是-2＜x＜0或x＞2．
故选：D．
本题考查的是反比例函数与函数的交点问题，能根据数形求出y1＞y2时x的取值范围是解答此题的关键．
二、填 空 题
9. 计算：=_____．
【正确答案】2
【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后再进行二次根式的除法运算即可得出答案．
【详解】原式＝（4﹣2）÷
＝2÷
＝2．
故答案为2．
本题考查了二次根式的混合运算.把二次根式化为最简二次根式，再根据混合运算顺序进行计算是解题的关键．
10. “万人马拉松”组委会计划制作运动衫分发给参与者，为此，了部分参与者，以决定制作橙色、黄色、白色、红色四种颜色运动衫的数量．根据得到的数据，绘制成如图所示的扇形统计图．若本次共有12000名参与者，则估计其中选择红色运动衫的约有________名．
【正确答案】2400
【详解】解：估计其中选择红色运动衫的约有12000×20%=2400（名），
故答案为2400
11. 如图AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD=________．
【正确答案】62°
【详解】试题分析：连接AD，根据AB是直径，可知∠ADB=90°，然后根据同弧所对的圆周角可得∠BAD=∠DCB=28°，然后根据直角三角形的两锐角互补可得∠ABD=62°.
故62.
点睛：此题主要考查了圆周角定理，解题时先利用直径所对的圆周角为直角，得到直角三角形，然后根据同弧所对的圆周角相等即可求解.
12. 把一个长、宽、高分别为3cm、2cm、1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S(cm2)与高h(cm)之间的函数关系式为________.
【正确答案】
【详解】试题分析：根据题意可得铜块的体积=3×2×1=6，则圆柱体的体积=Sh=6，则S=.
考点：反比例函数的应用
13. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为_____________________ ．
【正确答案】
【分析】由直角三角形的中线，求出DE的长度，利用三角形中位线定理和勾股定理，求出BE的长度，即可求出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCE=90°，OD=OB，
∵DF=FE，
∴CF=FE=FD，
∵EC+EF+CF=18，EC=5，
∴EF+FC=13，
∴DE=13，
∴DC=，
∴BC=CD=12，
∴BE=BC-EC=7，
∵OD=OB，DF=FE，
∴OF=BE=；
故．
本题考查正方形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14. 如图，以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积为________cm3．
【正确答案】144
【详解】解：如图由题意得：△ABC为等边三角形，△OPQ为等边三角形，AD=AK=BE=BF=CG=CH=4cm，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，∠POQ=60°，∴∠ADO=∠AKO=90°．
连结AO，作QM⊥OP于M．在Rt△AOD中，∠OAD=∠OAK=30°，∴OD=AD=cm．∵PQ=OP=DE=20﹣2×4=12（cm），∴QM=OP•sin60°=12×=（cm），∴无盖柱形盒子的容积==144（cm3）；故答案为144．
三、解 答 题
15. 已知：线段a及∠ACB．
求作：⊙O，使⊙O在∠ACB的内部，CO=a，且⊙O与∠ACB的两边分别相切．
【正确答案】作图见解析
【详解】试题分析：根据基本作图作出一个角等于已知角，然后作出这个角的角平分线，然后截取线段OC的长，作垂线，再垂线段的长为半径，以O点作圆即可.
试题解析：如图所示：⊙O即为所求．
16. 计算
（1）化简：；
（2）关于x的一元二次方程2x2+3x﹣m=0有两个没有相等的实数根，求m的取值范围．
【正确答案】（1）；（2）m＞﹣.
【详解】试题分析：（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）根据方程有两个没有相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．
试题解析：解：（1）原式=•=•=；
（2）∵方程2x2+3x﹣m=0有两个没有相等的实数根，∴△=9+8m＞0，解得：m＞﹣．
点睛：本题考查了分式的混合运算，以及根的判别式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17.
小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个没有透明的袋子中装有编号为1～4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【正确答案】没有公平；理由见解析
【详解】试题分析：根据题意画出树状图，再分别求出两次数字之和大于5和两次数字之和没有大于5的概率，如果概率相等，则游戏公平，如果没有概率相等，则游戏没有公平；
试题解析：
根据题意，画树状图如下：
∴P（两次数字之和大于5）＝ ，P（两次数字之和没有大于5）＝ ，
∵≠，
∴游戏没有公平；
18. 小明在热气球上看到正前方横跨河流两岸的大桥，并测得、两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥与地面在同一水平面上，其长度为，求热气球离地面的高度_________．（结果保留整数）（参考数据：，，）
【正确答案】233m
【分析】作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，表示出DB和DC，根据正切的概念求出x的值即可．
【详解】解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，
由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，
在Rt△ADB中，∠ABD=45°，
∴DB=x，
在Rt△ADC中，∠ACD=35°，
，
，
解得，x≈233．
所以，热气球离地面的高度约为233米．
故233．
本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形．
19. 甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均成绩/环
中位数/环
众数/环
方差
甲
a
7
7
1.2
乙
7
b
8
c
（1）写出表格中a，b，c的值；
（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员．
【正确答案】（1）a=7，b=7.5，c=4.2；（2）派乙队员参赛，理由见解析
【分析】（1）根据加权平均数的计算公式，中位数的确定方法及方差的计算公式即可得到a、b、c的值；
（2）根据平均数、中位数、众数、方差依次进行分析即可得到答案.
【详解】（1），
将乙射击的环数重新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，
∴乙射击中位数，
∵乙射击的次数是10次，
∴=4.2；
（2）从平均成绩看，甲、乙的成绩相等，都是7环；从中位数看，甲射中7环以上的次数小于乙；从众数看，甲射中7环的次数至多，而乙射中8环的次数至多；从方差看，甲的成绩比乙稳定，综合以上各因素，若派一名同学参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能性更大.
此题考查数据的统计计算，根据方程作出决策，掌握加权平均数的计算公式，中位数的计算公式，方差的计算公式是解题的关键.
20. 某厂制作甲、乙两种环保包装盒．已知同样用6m的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料．
（1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？
（2）如果制作甲、乙两种包装盒3000个，且甲盒的数量没有少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需材料总长度与甲盒数量n（个）之间的函数关系式，并求出至少需要多少米材料．
【正确答案】甲盒用0.6m材料；制作每个乙盒用0.5m材料；l=0.1n+1500，1700．
【分析】首先设制作每个乙盒用m材料，则制作甲盒用（1+20%）m材料，根据乙的数量－甲的数量=2列出分式方程进行求解；根据题意得出n的取值范围，然后根据l与n的关系列出函数解析式，根据函数的增减性求出最小值．
【详解】解：（1）设制作每个乙盒用m材料，则制作甲盒用（1+20%）m材料
由题可得：
解得x=0.5（m）
经检验x=0.5是原方程的解，所以制作甲盒用0.6m
答：制作每个甲盒用0.6m材料；制作每个乙盒用0.5m材料
（2）由题
∴
∵，
∴l随n增大而增大，
∴当时，
本题考查了分式方程的应用，函数的性质，根据题意得出相关的等量关系式是解题的关键．
21. 已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）四边形BEDF是菱形；理由见解析.
【详解】试题分析：（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，∠BAE=∠DCF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出DE=BF，得出四边形BEDF是平行四边形，得出OB=OD，再由等腰三角形的三线合一性质得出EF⊥BD，即可得出四边形BEDF是菱形．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）四边形BEDF是菱形；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴DE=BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴OB=OD，
∵DG=BG，
∴EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
22. 如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面高度相等，如果灯离地面的高度没有超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
【正确答案】（1）抛物线的函数关系式为y=x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10m；（2）可以通过，理由见解析（3）两排灯的水平距离最小是．
【分析】（1）根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标；
（2）根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就没有能通过；
（3）将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值．
【详解】解：（1）由题知点在抛物线上
所以，
解得，
∴，
∴当时，
∴抛物线解析式为，拱顶D到地面OA的距离为10米；
（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0））
当x=2或x=10时，，
所以可以通过；
（3）令，即，可得，解得
答：两排灯的水平距离最小是
23.
问题提出：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种没有同的等腰三角形？
问题探究：没有妨假设能搭成m种没有同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以从入手，通过试验、观察、类比，归纳、猜测得出结论．
探究一：
用3根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的三角形？
此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1
用4根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的三角形？
只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，没有能搭成三角形
所以，当n=4时，m=0
用5根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则没有能搭成三角形
若分为2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形
所以，当n=5时，m=1
用6根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则没有能搭成三角形
若分为2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形
所以，当n=6时，m=1
综上所述，可得表①
探究二：
用7根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的等腰三角形？
（仿照上述探究方法，写出解答过程，并把结果填在表②中）
分别用8根、9根、10根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的等腰三角形？
（只需把结果填在表②中）
你没有妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，……
解决问题：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种没有同的等腰三角形？
（设n分别等于4k-1、4k、4k+1、4k+2，其中k是整数，把结果填在表③中）
问题应用：用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种没有同的等腰三角形？（要求写出解答过程）
其中面积的等腰三角形每个腰用了__________________根木棒．（只填结果）
【正确答案】n=7，m=2；503个；672．
【分析】(1)、根据给出的解题方法得出答案；(2)、根据题意将表格填写完整；应用：(1)、根据题意得出k的值，从而得出三角形的个数；根据三角形的性质得出答案.
【详解】试题解析：探究二
(1)若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则没有能搭成三角形
若分为2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形
若分为3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形
(2)所以，当n=7时，m=2
问题应用：(1)∵2016=4×504 所以k=504，则可以搭成k-1=503个没有同的等腰三角形；
(2) 672
考点：规律题
24. 已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？
（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若没有存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）或5；（2）；（3）；（4）2.88.
【详解】试题分析：（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO，根据相似三角形的性质得到AP=t=，②当AP=AO=t=5，于是得到结论；
（2）作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，根据全等三角形的性质得到CE=AP=t，根据相似三角形的性质表示出EH，根据相似三角形的性质表示出QM，FQ，根据图形的面积即可得到结论；
（3）根据题意列方程得到t的值，于是得到结论；
（4）由角平分线的性质得到DM的长，根据勾股定理得到ON的长，由三角形的面积公式表示出OP，根据勾股定理列方程即可得到结论．
试题解析：（1）∵在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm，
∴AC=10，
①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO，
∴AM=AO=，
∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，
∴△APM∽△ADC，
∴，
∴AP=t=，
②当AP=AO=t=5，
∴当t为或5时，△AOP是等腰三角形；
（2）作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，在△APO与△CEO中，
∵∠PAO=∠ECO，AO=OC，∠AOP=∠COE，
∴△AOP≌△COE，
∴CE=AP=t，
∵△CEH∽△ABC，
∴，
∴EH=，
∵DN==，
∵QM∥DN，
∴△CQM∽△CDN，
∴，即，
∴QM=，
∴DG==，
∵FQ∥AC，
∴△DFQ∽△DOC，
∴，
∴FQ=，
∴S五边形OECQF=S△OEC+S四边形OCQF==，
∴S与t的函数关系式为；
（3）存，
∵S△ACD=×6×8=24，
∴S五边形OECQF：S△ACD=（）：24=9：16，解得t=，t=0，（没有合题意，舍去），
∴t=时，S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16；
（4）如图3，过D作DM⊥AC于M，DN⊥AC于N，
∵∠POD=∠COD，
∴DM=DN=，
∴ON=OM==，
∵OP•DM=3PD，
∴OP=，
∴PM=，
∵，
∴，解得：t≈15（没有合题意，舍去），t≈2.88，
∴当t=2.88时，OD平分∠COP．
2022-2023学年北京市东城区中考数学提升突破破仿真模拟卷
（二模）
一、选一选（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的倒数是（ ）
A. 5 B. C. D.
2. 如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=58°，则∠2的度数为（ ）
A. 30° B. 32° C. 42° D. 58°
3. 下列运算正确的是（ ）
A. a+2a=2a2 B. += C. （x﹣3）2=x2﹣9 D. （x2）3=x6
4. 2018届安徽全省高校毕业生人数达34.9万人，创历史新高，将34.9万用科学记数法表示应为（ ）
A. 34.9×104 B. 3.49×106 C. 3.49×105 D. 0.349×106
5. 如图，是由相同小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）
A. B. C. D.
6. 小兰画了一个函数的图象如图，那么关于x的分式方程的解是（ ）
A. x=1 B. x=2 C. x=3 D. x=4
7. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的参加比赛，应该选择（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
8. 在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点没有可能在（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
10. 如图，矩形ABCD中，P为CD中点，点Q为AB上的动点（没有与A，B重合）．过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N．设AQ的长度为x，QM与QN的长度和为y．则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是
A B. C. D.
二、填 空 题（本题共4小题，每题5分，共20分）
11. 把代数式4a2b﹣3b2（4a﹣3b）进行因式分解得：_____．
12. 一件衣服先按成本提高50%标价，再以8折（标价80%）出售，结果获利28元，那么这件衣服的成本是_____元．
13. 如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧ABC上，AB=8，BC=3，则DP=_____．
14. 如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是_____________．
三、（本题共2小题，每题8分，共16分）
15. 计算：4sin60°+|3﹣|﹣（）﹣1+（π﹣2016）0．
16. 解没有等式组：，并把解集表示在数轴上；
四、（本题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．
18. 阅读理解题：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在位的数称为第1项，记为a1，依次类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=3．
则：（1）等比数列3，6，12，…的公比q为 ，第4项是 ．
（2）如果一个数列a1，a2，a3，a3，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：
，……．
∴a2=a1q，a3=a2q=（a1q）q=a1q2，a4=a3q=（a1q2）q= a1q3,……
由此可得：an= （用a1和q的代数式表示）
（3）若一等比数列的公比q=2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．
五、（本题共2小题，每题10分，共20分）
19. 如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结果没有取近似值）
20. 如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A=∠ADE；
（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．
21. 某校在践行“核心观”演讲比赛中，对名列前20名的选手的综合分数m进行分组统计，结果如表所示：
组号
分组
频数
一
6≤m＜7
2
二
7≤m＜8
7
三
8≤m＜9
a
四
9≤m≤10
2
(1)求a的值.
(2)若用扇形统计图来描述，求分数在8≤m＜9内所对应的扇形的圆心角的度数.
(3)将在组内的两名选手记为A1，A2，在第四组内的两名选手记为B1，B2， 从组和第四组中随机选取2名选手进行调研座谈，求组至少有1名选手被选中的概率.
七、（本题共1小题，共12分）
22. 已知：关于x的函数y=kx2+k2x﹣2的图象与y轴交于点C，
（1）当k=﹣2时，求图象与x轴公共点个数；
（2）若图象与x轴有一个交点为A，当△AOC是等腰三角形时，求k的值．
（3）若x≥1时函数y随着x增大而减小，求k的取值范围．
八、（本题共1小题，共14分）
23. 我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件没有变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（没有必证明）
2022-2023学年北京市东城区中考数学提升突破破仿真模拟卷
（二模）
一、选一选（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的倒数是（ ）
A. 5 B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：的倒数是5．
故选A．
本题考查倒数的定义，掌握乘积是1的两个数互为倒数是本题的解题关键．
2. 如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=58°，则∠2的度数为（ ）
A. 30° B. 32° C. 42° D. 58°
【正确答案】B
【详解】解：如图，过点A作，
∴∠3=∠1=58°，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠4=90°﹣∠3=32°，
∵
∴，
∴∠2=∠4=32°，
故选B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. a+2a=2a2 B. += C. （x﹣3）2=x2﹣9 D. （x2）3=x6
【正确答案】D
【详解】分别根据合并同类项的法则、完全平方公式及幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可．
解：A、a+2a=2a≠2a2，故本选项错误；
B、与没有是同类项，没有能合并，故本选项错误；
C、（x﹣3）2=x2﹣6x+9，故本选项错误；
D、（x2）3=x6，故本选项正确．
故选D．
4. 2018届安徽全省高校毕业生人数达34.9万人，创历史新高，将34.9万用科学记数法表示应为（ ）
A. 34.9×104 B. 3.49×106 C. 3.49×105 D. 0.349×106
【正确答案】C
【详解】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值>1时，n是正数；当原数的值<1时，n是负数．
详解：34.9万用科学记数法表示为3.49×105，
故选C.
点睛：本题考查了科学记数法—表示较大的数.
5. 如图，是由相同小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【详解】解：从正面看可得到共有4列，每一列小正方形的个数从左到右依次为3、1、1、2，
观察只有D选项符合，
故选D．
本题考查了三视图的知识，熟练掌握主视图是从物体的正面看得到的图形是解题的关键．
6. 小兰画了一个函数的图象如图，那么关于x的分式方程的解是（ ）
A. x=1 B. x=2 C. x=3 D. x=4
【正确答案】A
【分析】根据图象过点（3，0），代入解析式可求得a的值，继而将y=2代入求得x的值即可得答案．
【详解】由图可知当x=3时，y=0，即，
解得a=3，
当y=2时，
解得x=1，
经检验x=1是方程的根，且符合题意，
所以x=1，
故选：A．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
7. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的参加比赛，应该选择（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【正确答案】A
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【详解】∵=>=，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵=<<，
∴选择甲参赛，
故选A．
此题主要考查了平均数和方差的应用，解题关键是明确平均数越高，成绩越高，方差越小，成绩越稳定.
8. 在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点没有可能在（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【正确答案】D
【详解】∵直线y=4x+1过一、二、三象限；
∴当b＞0时，直线y=﹣x+b过一、二、四象限，
两直线交点可能在一或二象限；
当b＜0时，直线y=﹣x+b过二、三、四象限，
两直线交点可能在二或三象限；
综上所述，直线y=4x+1与直线y=﹣x+b的交点没有可能在第四象限，
故选D．
9. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【正确答案】D
【分析】由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.
【详解】解：①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，
∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.
在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，
∴△BCE≌△DCG，
∴BE=DG，
故结论①正确.
②如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O
由①可知，△BCE≌△DCG，
∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.
又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，
∴∠DOM=∠MCB=90°，
∴BE⊥DG.
故②结论正确.
③如图所示，连接BD、EG，
由②知，BE⊥DG，
则在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，
在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，
在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，
在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，
∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.
在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，
在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，
∴BG2+DE2=2a2+2b2.
故③结论正确.
故选：D.
本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，正方形的性质.
10. 如图，矩形ABCD中，P为CD中点，点Q为AB上的动点（没有与A，B重合）．过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N．设AQ的长度为x，QM与QN的长度和为y．则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】如图，连接PQ，作PE⊥AB垂足为E，
∵过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N，
∴S△PAB=PE×AB，S△PAB=S△PAQ+S△PQB=×QN•PB+×PA×MQ．
∵矩形ABCD中，P为CD中点，∴PA=PB．
∵QM与QN的长度和为y，
∴S△PAB=S△PAQ+S△PQB=×QN×PB+×PA×MQ=PB（QM+QN）=PBy．
∴S△PAB=PE×AB=PBy，∴．
∵PE=AD，∴PB，AB，PE都为定值．
∴y的值为定值，符合要求的图形为D．
故选D．
二、填 空 题（本题共4小题，每题5分，共20分）
11. 把代数式4a2b﹣3b2（4a﹣3b）进行因式分解得：_____．
【正确答案】b（2a﹣3b）2
【详解】分析：原式去括号整理后，提取b，再利用完全平方公式分解即可．
详解：原式=4b−12a+9=b(4−12ab+9)=b.
故答案为b.
点睛：本题考查了提公因式法与公式法的综合运用.
12. 一件衣服先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利28元，那么这件衣服的成本是_____元．
【正确答案】140
【详解】解：设这件衣服的成本是x元，根据题意得：
x（1+50%）×80%﹣x=28，
解得：x=140．
答：这件衣服的成本是140元；
故140．
13. 如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧ABC上，AB=8，BC=3，则DP=_____．
【正确答案】5.5.
【分析】由AB和DE是⊙O的直径，可推出OA=OB=OD=4，∠C=90°，又有DE⊥AC，得到OP∥BC，于是有△AOP∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】∵AB和DE是⊙O的直径，
∴OA=OB=OD=4，∠C=90°，
又∵DE⊥AC，
∴∠DPA=90°，
∴∠DPA=∠C，
又∵∠A=∠A，
∴△AOP∽△ABC，
∴，
∴，
∴OP=1.5．
∴DP=OP+OD=5.5.
故答案为5.5
本题主要考查了圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
14. 如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是_____________．
【正确答案】或或5
【详解】解：如图所示：
①当AP=AE=5时，∵∠BAD=90°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴底边PE=AE=；
②当PE=AE=5时，
∵BE=AB﹣AE=8﹣5=3，∠B=90°，
∴PB==4，
∴底边AP===；
③当PA=PE时，底边AE=5；
综上所述：等腰三角形AEP的对边长为或或5；
故答案为或或5．
三、（本题共2小题，每题8分，共16分）
15. 计算：4sin60°+|3﹣|﹣（）﹣1+（π﹣2016）0．
【正确答案】4﹣4
【详解】分析：根据实数的运算顺序，首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式4sin60°+|3﹣|﹣（）﹣1+（π﹣2016）0的值是多少即可．
本题解析：
4sin60°+|3﹣|﹣（）﹣1+（π﹣2016）0
=4×+2﹣3﹣2+1
=2+2﹣4
=4﹣4
16. 解没有等式组：，并把解集表示在数轴上；
【正确答案】，见解析
【分析】分别求出各没有等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可．
【详解】∵解没有等式得：，
解没有等式得：，
∴没有等式组的解集是，
在数轴上表示没有等式组的解集为：
本题考查了解一元没有等式组以及在数轴上表示没有等式组的解集的应用，求没有等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小小中间找，小小解没有了．
四、（本题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．
【正确答案】（1）见解析（2）
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．
【详解】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，
过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，
由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），
故AD=2，CD=6，，
∴，
即．
此题考查了作图−位似变换，平移变换，以及解直角三角形，熟练掌握位似及平移的性质是解本题的关键．
18. 阅读理解题：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在位的数称为第1项，记为a1，依次类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=3．
则：（1）等比数列3，6，12，…的公比q为 ，第4项是 ．
（2）如果一个数列a1，a2，a3，a3，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：
，……．
∴a2=a1q，a3=a2q=（a1q）q=a1q2，a4=a3q=（a1q2）q= a1q3,……
由此可得：an= （用a1和q的代数式表示）
（3）若一等比数列的公比q=2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．
【正确答案】（1）2，24（2）an=a1qn-1（3）5， 40
【详解】试题分析：（1）由第二项除以项求出公比q的值，继而确定出第4项即可；（2）根据题中的定义归纳总结得到第n项；（3）由公比q与第二项的值求出项的值，利用（2）中的规律，确定出第4项的值即可．
试题解析：
（1）q==2，第4项是12×2=24；
（2）根据题目中所给的规律可得：an=a1•qn-1；
（3）∵等比数列的公比q=2，第二项为10，
∴；
a4=a1•q3=5×23=40．
点睛：本题是数字规律变化题，解决这类问题的基本思路是弄清题中的规律，利用所得的规律解决问题．
五、（本题共2小题，每题10分，共20分）
19. 如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结果没有取近似值）
【正确答案】．
【详解】【试题分析】如图（见解析）作于于E，则四边形EMFQ是矩形．PQ=PF+FE=PF+MN-NE.
在中，设，则，利用勾股定理得：，，
解得：，所以：，因为，;
在中，，．
【试题解析】
如图作于于E，则四边形EMFQ矩形．
在中，设，则，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
．
【方法点睛】本题目是一道三角函数解 答 题.两次利用三角函数，注意：在利用三角函数时，需要注明在某个直角三角形中.
20. 如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A=∠ADE；
（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）15．
【分析】（1）只要证明∠A+∠B=90°，∠ADE+∠B=90°即可解决问题；
（2）首先证明AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC==12，设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202，可得x2+122=（x+16）2﹣202，解方程即可解决问题；
【详解】（1）证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE=90°，∴∠ADE+∠BDO=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OD=OB，∴∠B=∠BDO，∴∠ADE=∠A．
（2）连接CD．
∵∠ADE=∠A，∴AE=DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED=EC，∴AE=EC，∵DE=10，∴AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC==12，设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202，∴x2+122=（x+16）2﹣202，解得x=9，∴BC==15．
考点：切线的性质；勾股定理．
21. 某校在践行“核心观”演讲比赛中，对名列前20名的选手的综合分数m进行分组统计，结果如表所示：
组号
分组
频数
一
6≤m＜7
2
二
7≤m＜8
7
三
8≤m＜9
a
四
9≤m≤10
2
(1)求a的值.
(2)若用扇形统计图来描述，求分数在8≤m＜9内所对应的扇形的圆心角的度数.
(3)将在组内的两名选手记为A1，A2，在第四组内的两名选手记为B1，B2， 从组和第四组中随机选取2名选手进行调研座谈，求组至少有1名选手被选中的概率.
【正确答案】（1）9；（2）36°；（3）
【详解】试题分析：（1）根据被人数为20和表格中的数据可以求得a的值；
（2）根据表格中的数据可以得到分数在8≤m<9内所对应的扇形图的圆心角大；
（3）根据题意可以写出所有的可能性，从而可以得出组至少有一名选手被选中的概率.
试题解析：（1）由题意可得，
a=20﹣2﹣7﹣2=9，
即a的值是9；
（2）由题意可得，
分数在8≤m＜9内所对应的扇形图的圆心角为：360°× =162°；
（3）由题意可得，所有的可能性如下图所示，
故组至少有1名选手被选中的概率是：，
即组至少有1名选手被选中概率是
七、（本题共1小题，共12分）
22. 已知：关于x的函数y=kx2+k2x﹣2的图象与y轴交于点C，
（1）当k=﹣2时，求图象与x轴的公共点个数；
（2）若图象与x轴有一个交点为A，当△AOC是等腰三角形时，求k的值．
（3）若x≥1时函数y随着x的增大而减小，求k的取值范围．
【正确答案】（1）图象与x轴公共点只有一个；（2）k的值为﹣1+或﹣1﹣或1；（3）﹣2≤k＜0．
【详解】分析：（1）△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点（或者把k=-2代入函数关系，直接求得抛物线与x轴的交点横坐标）；
（2）根据△AOC是等腰直角三角形易求点A的坐标为（2，0）或（-2，0）．把点A的坐标代入函数解析式，通过方程来求k的值；
（3）由“k≥1时函数y随着x的增大而减小”可知，抛物线开口向下．则k<0，且对称轴在直线x=1的左侧，故﹣≤1，即≤1.
详解：（1）方法一：当k=﹣2时，函数y=﹣2x2+4x﹣2，
∵b2﹣4ac=42﹣4×（﹣2）×（﹣2）=0.
∴图象与x轴公共点只有一个．
方法二：当k=﹣2时，函数为y=﹣2x2+4x﹣2，
令y=0，则﹣2x2+4x﹣2=0，
解得：x1=x2=1，
∴图象与x轴公共点只有一个；
（2）当△AOC是等腰三角形时，
∵∠AOC=90°，OC=2，
∴可得OA=OC=2.
∴点A的坐标为（2，0）或（﹣2，0）．
把x=2，y=0代入解析式 得2k2+4k﹣2=0，
解得 k1=﹣1+，k1=﹣1﹣，
把x=﹣2，y=0代入解析式 得﹣2k2+4k﹣2=0，
解得 k1=k2=1．
∴k的值为﹣1+或﹣1﹣或1；
（3）由“x≥1时函数y随着x的增大而减小”可知，抛物线开口向下，
∴k＜0，且对称轴在直线x=1的左侧，
∴﹣≤1，即≤1．
解没有等式组，
解得﹣2≤k＜0．
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点、 等腰三角形的性质.
八、（本题共1小题，共14分）
23. 我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件没有变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（没有必证明）
【正确答案】（1）证明见解析；（2）四边形EFGH是菱形，证明见解析；（3）四边形EFGH是正方形
【分析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可．
（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可．
（3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明．
【详解】（1）证明：如图1中，连接BD．
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH=BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH是菱形．
证明：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，
即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，
∴△APC≌△BPD（SAS），
∴AC=BD．
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF=AC，FG=BD，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）四边形EFGH是正方形．
证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠DMO=∠CMP，
∴∠COD=∠CPD=90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
本题考查平行四边形的判定与性质和中点四边形，综合性较强，作出适当辅助线是本题的关键．
2022-2023学年北京市东城区中考数学提升突破破仿真模拟卷
（一模）
一、单 选 题
1. －的值是( )
A － B. － C. D. 5
2. 某种计算机完成基本运算的时间约为0.000 000 001 s，把0.000 000 001 s用科学记数法可表示为（ ）
A. 0.1×10－8 s B. 0.1×10－9 s C. 1×10－8 s D. 1×10－9 s
3. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 计算a·a5-(2a3)2的结果为( )
A. a6-2a5 B. -a6 C. a6-4a5 D. -3a6
5. 如图，线段平移得到线段，其中点，的对应点分别为点，，这四个点都在格点上．若线段上有一个点 ，，则点在上的对应点的坐标为
A. B. C. D.
6. A、B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A、B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为
A. B. C. D.
7. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ）
A. 175πcm2 B. 350πcm2 C. πcm2 D. 150πcm2
8. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ）
A. x＜-2或x＞2 B. x＜-2或0＜x＜2
C. -2＜x＜0或0＜x＜2 D. -2＜x＜0或x＞2
二、填 空 题
9 计算：=_____．
10. “万人马拉松”组委会计划制作运动衫分发给参与者，为此，了部分参与者，以决定制作橙色、黄色、白色、红色四种颜色运动衫的数量．根据得到的数据，绘制成如图所示的扇形统计图．若本次共有12000名参与者，则估计其中选择红色运动衫的约有________名．
11. 如图AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD=________．
12. 把一个长、宽、高分别为3cm、2cm、1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S(cm2)与高h(cm)之间的函数关系式为________.
13. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为_____________________ ．
14. 如图，以边长为20cm正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积为________cm3．
三、解 答 题
15. 已知：线段a及∠ACB．
求作：⊙O，使⊙O在∠ACB的内部，CO=a，且⊙O与∠ACB的两边分别相切．
16. 计算
（1）化简：；
（2）关于x的一元二次方程2x2+3x﹣m=0有两个没有相等的实数根，求m的取值范围．
17.
小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个没有透明的袋子中装有编号为1～4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
18. 小明在热气球上看到正前方横跨河流两岸的大桥，并测得、两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥与地面在同一水平面上，其长度为，求热气球离地面的高度_________．（结果保留整数）（参考数据：，，）
19. 甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均成绩/环
中位数/环
众数/环
方差
甲
a
7
7
1.2
乙
7
b
8
c
（1）写出表格中a，b，c的值；
（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员．
20. 某厂制作甲、乙两种环保包装盒．已知同样用6m的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料．
（1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？
（2）如果制作甲、乙两种包装盒3000个，且甲盒的数量没有少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需材料总长度与甲盒数量n（个）之间的函数关系式，并求出至少需要多少米材料．
21. 已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．
22. 如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度没有超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
23.
问题提出：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种没有同的等腰三角形？
问题探究：没有妨假设能搭成m种没有同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以从入手，通过试验、观察、类比，归纳、猜测得出结论．
探究一：
用3根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的三角形？
此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1
用4根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的三角形？
只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，没有能搭成三角形
所以，当n=4时，m=0
用5根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则没有能搭成三角形
若分为2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形
所以，当n=5时，m=1
用6根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则没有能搭成三角形
若分为2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形
所以，当n=6时，m=1
综上所述，可得表①
探究二：
用7根相同木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的等腰三角形？
（仿照上述探究方法，写出解答过程，并把结果填在表②中）
分别用8根、9根、10根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的等腰三角形？
（只需把结果填在表②中）
你没有妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，……
解决问题：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种没有同的等腰三角形？
（设n分别等于4k-1、4k、4k+1、4k+2，其中k是整数，把结果填在表③中）
问题应用：用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种没有同的等腰三角形？（要求写出解答过程）
其中面积的等腰三角形每个腰用了__________________根木棒．（只填结果）
24. 已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？
（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若没有存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年北京市东城区中考数学提升突破破仿真模拟卷
（一模）
一、单 选 题
1. －的值是( )
A. － B. － C. D. 5
【正确答案】C
【分析】数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的值.
【详解】﹣的值是|﹣|=
故选C
本题考核知识点：值.解题关键点：理解值的意义.
2. 某种计算机完成基本运算的时间约为0.000 000 001 s，把0.000 000 001 s用科学记数法可表示为（ ）
A 0.1×10－8 s B. 0.1×10－9 s C. 1×10－8 s D. 1×10－9 s
【正确答案】D
【分析】值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法没有同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.000 000 001 s用科学记数法可表示为s．
故选：D．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义进行分析．
【详解】解：选项A是对称图形；选项B是对称图形，也是轴对称图形；选项C是轴对称图形；选项D是对称图形．
故选B．
本题考核知识点：轴对称图形和对称图形.解题关键点：理解轴对称图形和对称图形的定义．
4. 计算a·a5-(2a3)2的结果为( )
A. a6-2a5 B. -a6 C. a6-4a5 D. -3a6
【正确答案】D
【详解】试题解析：原式
故选D.
点睛：同底数幂相乘，底数没有变指数相加.
5. 如图，线段平移得到线段，其中点，的对应点分别为点，，这四个点都在格点上．若线段上有一个点 ，，则点在上的对应点的坐标为
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据点A、B平移后横纵坐标的变化可得线段AB向左平移2个单位，向上平移了3个单位，然后再确定a、b的值，进而可得答案．
【详解】由题意可得线段AB向左平移2个单位，向上平移了3个单位，
则P（a−2，b＋3），
故选：A．
此题主要考查了坐标与图形的变化−−平移，解题的关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
6. A、B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A、B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】直接利用在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h，利用时间差值得出等式即可．
【详解】解：设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为：
﹣=1．
故选A．
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题的关键．
7. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ）
A. 175πcm2 B. 350πcm2 C. πcm2 D. 150πcm2
【正确答案】B
【分析】贴纸部分的面积等于大扇形的面积减去小扇形ADE的面积，由此即可解答．
【详解】∵AB=25，BD=15，
∴AD=10，
∴S贴纸= =175π×2=350cm2，
故选B．
本题主要考查扇形面积的计算的应用，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式．
8. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ）
A. x＜-2或x＞2 B. x＜-2或0＜x＜2
C. -2＜x＜0或0＜x＜2 D. -2＜x＜0或x＞2
【正确答案】D
【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，再由函数图象即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∵点A的横坐标为2，∴点B的横坐标为-2，
∵由函数图象可知，当-2＜x＜0或x＞2时函数y1=k1x的图象在的上方，
∴当y1＞y2时，x的取值范围是-2＜x＜0或x＞2．
故选：D．
本题考查的是反比例函数与函数的交点问题，能根据数形求出y1＞y2时x的取值范围是解答此题的关键．
二、填 空 题
9. 计算：=_____．
【正确答案】2
【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后再进行二次根式的除法运算即可得出答案．
【详解】原式＝（4﹣2）÷
＝2÷
＝2．
故答案为2．
本题考查了二次根式的混合运算.把二次根式化为最简二次根式，再根据混合运算顺序进行计算是解题的关键．
10. “万人马拉松”组委会计划制作运动衫分发给参与者，为此，了部分参与者，以决定制作橙色、黄色、白色、红色四种颜色运动衫的数量．根据得到的数据，绘制成如图所示的扇形统计图．若本次共有12000名参与者，则估计其中选择红色运动衫的约有________名．
【正确答案】2400
【详解】解：估计其中选择红色运动衫的约有12000×20%=2400（名），
故答案为2400
11. 如图AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD=________．
【正确答案】62°
【详解】试题分析：连接AD，根据AB是直径，可知∠ADB=90°，然后根据同弧所对的圆周角可得∠BAD=∠DCB=28°，然后根据直角三角形的两锐角互补可得∠ABD=62°.
故62.
点睛：此题主要考查了圆周角定理，解题时先利用直径所对的圆周角为直角，得到直角三角形，然后根据同弧所对的圆周角相等即可求解.
12. 把一个长、宽、高分别为3cm、2cm、1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S(cm2)与高h(cm)之间的函数关系式为________.
【正确答案】
【详解】试题分析：根据题意可得铜块的体积=3×2×1=6，则圆柱体的体积=Sh=6，则S=.
考点：反比例函数的应用
13. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为_____________________ ．
【正确答案】
【分析】由直角三角形的中线，求出DE的长度，利用三角形中位线定理和勾股定理，求出BE的长度，即可求出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCE=90°，OD=OB，
∵DF=FE，
∴CF=FE=FD，
∵EC+EF+CF=18，EC=5，
∴EF+FC=13，
∴DE=13，
∴DC=，
∴BC=CD=12，
∴BE=BC-EC=7，
∵OD=OB，DF=FE，
∴OF=BE=；
故．
本题考查正方形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14. 如图，以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积为________cm3．
【正确答案】144
【详解】解：如图由题意得：△ABC为等边三角形，△OPQ为等边三角形，AD=AK=BE=BF=CG=CH=4cm，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，∠POQ=60°，∴∠ADO=∠AKO=90°．
连结AO，作QM⊥OP于M．在Rt△AOD中，∠OAD=∠OAK=30°，∴OD=AD=cm．∵PQ=OP=DE=20﹣2×4=12（cm），∴QM=OP•sin60°=12×=（cm），∴无盖柱形盒子的容积==144（cm3）；故答案为144．
三、解 答 题
15. 已知：线段a及∠ACB．
求作：⊙O，使⊙O在∠ACB的内部，CO=a，且⊙O与∠ACB的两边分别相切．
【正确答案】作图见解析
【详解】试题分析：根据基本作图作出一个角等于已知角，然后作出这个角的角平分线，然后截取线段OC的长，作垂线，再垂线段的长为半径，以O点作圆即可.
试题解析：如图所示：⊙O即为所求．
16. 计算
（1）化简：；
（2）关于x的一元二次方程2x2+3x﹣m=0有两个没有相等的实数根，求m的取值范围．
【正确答案】（1）；（2）m＞﹣.
【详解】试题分析：（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）根据方程有两个没有相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．
试题解析：解：（1）原式=•=•=；
（2）∵方程2x2+3x﹣m=0有两个没有相等的实数根，∴△=9+8m＞0，解得：m＞﹣．
点睛：本题考查了分式的混合运算，以及根的判别式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17.
小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个没有透明的袋子中装有编号为1～4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【正确答案】没有公平；理由见解析
【详解】试题分析：根据题意画出树状图，再分别求出两次数字之和大于5和两次数字之和没有大于5的概率，如果概率相等，则游戏公平，如果没有概率相等，则游戏没有公平；
试题解析：
根据题意，画树状图如下：
∴P（两次数字之和大于5）＝ ，P（两次数字之和没有大于5）＝ ，
∵≠，
∴游戏没有公平；
18. 小明在热气球上看到正前方横跨河流两岸的大桥，并测得、两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥与地面在同一水平面上，其长度为，求热气球离地面的高度_________．（结果保留整数）（参考数据：，，）
【正确答案】233m
【分析】作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，表示出DB和DC，根据正切的概念求出x的值即可．
【详解】解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，
由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，
在Rt△ADB中，∠ABD=45°，
∴DB=x，
在Rt△ADC中，∠ACD=35°，
，
，
解得，x≈233．
所以，热气球离地面的高度约为233米．
故233．
本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形．
19. 甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均成绩/环
中位数/环
众数/环
方差
甲
a
7
7
1.2
乙
7
b
8
c
（1）写出表格中a，b，c的值；
（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员．
【正确答案】（1）a=7，b=7.5，c=4.2；（2）派乙队员参赛，理由见解析
【分析】（1）根据加权平均数的计算公式，中位数的确定方法及方差的计算公式即可得到a、b、c的值；
（2）根据平均数、中位数、众数、方差依次进行分析即可得到答案.
【详解】（1），
将乙射击的环数重新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，
∴乙射击中位数，
∵乙射击的次数是10次，
∴=4.2；
（2）从平均成绩看，甲、乙的成绩相等，都是7环；从中位数看，甲射中7环以上的次数小于乙；从众数看，甲射中7环的次数至多，而乙射中8环的次数至多；从方差看，甲的成绩比乙稳定，综合以上各因素，若派一名同学参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能性更大.
此题考查数据的统计计算，根据方程作出决策，掌握加权平均数的计算公式，中位数的计算公式，方差的计算公式是解题的关键.
20. 某厂制作甲、乙两种环保包装盒．已知同样用6m的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料．
（1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？
（2）如果制作甲、乙两种包装盒3000个，且甲盒的数量没有少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需材料总长度与甲盒数量n（个）之间的函数关系式，并求出至少需要多少米材料．
【正确答案】甲盒用0.6m材料；制作每个乙盒用0.5m材料；l=0.1n+1500，1700．
【分析】首先设制作每个乙盒用m材料，则制作甲盒用（1+20%）m材料，根据乙的数量－甲的数量=2列出分式方程进行求解；根据题意得出n的取值范围，然后根据l与n的关系列出函数解析式，根据函数的增减性求出最小值．
【详解】解：（1）设制作每个乙盒用m材料，则制作甲盒用（1+20%）m材料
由题可得：
解得x=0.5（m）
经检验x=0.5是原方程的解，所以制作甲盒用0.6m
答：制作每个甲盒用0.6m材料；制作每个乙盒用0.5m材料
（2）由题
∴
∵，
∴l随n增大而增大，
∴当时，
本题考查了分式方程的应用，函数的性质，根据题意得出相关的等量关系式是解题的关键．
21. 已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）四边形BEDF是菱形；理由见解析.
【详解】试题分析：（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，∠BAE=∠DCF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出DE=BF，得出四边形BEDF是平行四边形，得出OB=OD，再由等腰三角形的三线合一性质得出EF⊥BD，即可得出四边形BEDF是菱形．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）四边形BEDF是菱形；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴DE=BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴OB=OD，
∵DG=BG，
∴EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
22. 如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面高度相等，如果灯离地面的高度没有超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
【正确答案】（1）抛物线的函数关系式为y=x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10m；（2）可以通过，理由见解析（3）两排灯的水平距离最小是．
【分析】（1）根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标；
（2）根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就没有能通过；
（3）将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值．
【详解】解：（1）由题知点在抛物线上
所以，
解得，
∴，
∴当时，
∴抛物线解析式为，拱顶D到地面OA的距离为10米；
（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0））
当x=2或x=10时，，
所以可以通过；
（3）令，即，可得，解得
答：两排灯的水平距离最小是
23.
问题提出：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种没有同的等腰三角形？
问题探究：没有妨假设能搭成m种没有同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以从入手，通过试验、观察、类比，归纳、猜测得出结论．
探究一：
用3根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的三角形？
此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1
用4根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的三角形？
只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，没有能搭成三角形
所以，当n=4时，m=0
用5根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则没有能搭成三角形
若分为2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形
所以，当n=5时，m=1
用6根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则没有能搭成三角形
若分为2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形
所以，当n=6时，m=1
综上所述，可得表①
探究二：
用7根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的等腰三角形？
（仿照上述探究方法，写出解答过程，并把结果填在表②中）
分别用8根、9根、10根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种没有同的等腰三角形？
（只需把结果填在表②中）
你没有妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，……
解决问题：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种没有同的等腰三角形？
（设n分别等于4k-1、4k、4k+1、4k+2，其中k是整数，把结果填在表③中）
问题应用：用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种没有同的等腰三角形？（要求写出解答过程）
其中面积的等腰三角形每个腰用了__________________根木棒．（只填结果）
【正确答案】n=7，m=2；503个；672．
【分析】(1)、根据给出的解题方法得出答案；(2)、根据题意将表格填写完整；应用：(1)、根据题意得出k的值，从而得出三角形的个数；根据三角形的性质得出答案.
【详解】试题解析：探究二
(1)若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则没有能搭成三角形
若分为2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形
若分为3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形
(2)所以，当n=7时，m=2
问题应用：(1)∵2016=4×504 所以k=504，则可以搭成k-1=503个没有同的等腰三角形；
(2) 672
考点：规律题
24. 已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？
（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若没有存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）或5；（2）；（3）；（4）2.88.
【详解】试题分析：（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO，根据相似三角形的性质得到AP=t=，②当AP=AO=t=5，于是得到结论；
（2）作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，根据全等三角形的性质得到CE=AP=t，根据相似三角形的性质表示出EH，根据相似三角形的性质表示出QM，FQ，根据图形的面积即可得到结论；
（3）根据题意列方程得到t的值，于是得到结论；
（4）由角平分线的性质得到DM的长，根据勾股定理得到ON的长，由三角形的面积公式表示出OP，根据勾股定理列方程即可得到结论．
试题解析：（1）∵在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm，
∴AC=10，
①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO，
∴AM=AO=，
∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，
∴△APM∽△ADC，
∴，
∴AP=t=，
②当AP=AO=t=5，
∴当t为或5时，△AOP是等腰三角形；
（2）作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，在△APO与△CEO中，
∵∠PAO=∠ECO，AO=OC，∠AOP=∠COE，
∴△AOP≌△COE，
∴CE=AP=t，
∵△CEH∽△ABC，
∴，
∴EH=，
∵DN==，
∵QM∥DN，
∴△CQM∽△CDN，
∴，即，
∴QM=，
∴DG==，
∵FQ∥AC，
∴△DFQ∽△DOC，
∴，
∴FQ=，
∴S五边形OECQF=S△OEC+S四边形OCQF==，
∴S与t的函数关系式为；
（3）存，
∵S△ACD=×6×8=24，
∴S五边形OECQF：S△ACD=（）：24=9：16，解得t=，t=0，（没有合题意，舍去），
∴t=时，S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16；
（4）如图3，过D作DM⊥AC于M，DN⊥AC于N，
∵∠POD=∠COD，
∴DM=DN=，
∴ON=OM==，
∵OP•DM=3PD，
∴OP=，
∴PM=，
∵，
∴，解得：t≈15（没有合题意，舍去），t≈2.88，
∴当t=2.88时，OD平分∠COP．
2022-2023学年北京市东城区中考数学提升突破破仿真模拟卷
（二模）
一、选一选（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的倒数是（ ）
A. 5 B. C. D.
2. 如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=58°，则∠2的度数为（ ）
A. 30° B. 32° C. 42° D. 58°
3. 下列运算正确的是（ ）
A. a+2a=2a2 B. += C. （x﹣3）2=x2﹣9 D. （x2）3=x6
4. 2018届安徽全省高校毕业生人数达34.9万人，创历史新高，将34.9万用科学记数法表示应为（ ）
A. 34.9×104 B. 3.49×106 C. 3.49×105 D. 0.349×106
5. 如图，是由相同小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）
A. B. C. D.
6. 小兰画了一个函数的图象如图，那么关于x的分式方程的解是（ ）
A. x=1 B. x=2 C. x=3 D. x=4
7. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的参加比赛，应该选择（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
8. 在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点没有可能在（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
10. 如图，矩形ABCD中，P为CD中点，点Q为AB上的动点（没有与A，B重合）．过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N．设AQ的长度为x，QM与QN的长度和为y．则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是
A B. C. D.
二、填 空 题（本题共4小题，每题5分，共20分）
11. 把代数式4a2b﹣3b2（4a﹣3b）进行因式分解得：_____．
12. 一件衣服先按成本提高50%标价，再以8折（标价80%）出售，结果获利28元，那么这件衣服的成本是_____元．
13. 如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧ABC上，AB=8，BC=3，则DP=_____．
14. 如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是_____________．
三、（本题共2小题，每题8分，共16分）
15. 计算：4sin60°+|3﹣|﹣（）﹣1+（π﹣2016）0．
16. 解没有等式组：，并把解集表示在数轴上；
四、（本题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．
18. 阅读理解题：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在位的数称为第1项，记为a1，依次类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=3．
则：（1）等比数列3，6，12，…的公比q为 ，第4项是 ．
（2）如果一个数列a1，a2，a3，a3，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：
，……．
∴a2=a1q，a3=a2q=（a1q）q=a1q2，a4=a3q=（a1q2）q= a1q3,……
由此可得：an= （用a1和q的代数式表示）
（3）若一等比数列的公比q=2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．
五、（本题共2小题，每题10分，共20分）
19. 如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结果没有取近似值）
20. 如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A=∠ADE；
（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．
21. 某校在践行“核心观”演讲比赛中，对名列前20名的选手的综合分数m进行分组统计，结果如表所示：
组号
分组
频数
一
6≤m＜7
2
二
7≤m＜8
7
三
8≤m＜9
a
四
9≤m≤10
2
(1)求a的值.
(2)若用扇形统计图来描述，求分数在8≤m＜9内所对应的扇形的圆心角的度数.
(3)将在组内的两名选手记为A1，A2，在第四组内的两名选手记为B1，B2， 从组和第四组中随机选取2名选手进行调研座谈，求组至少有1名选手被选中的概率.
七、（本题共1小题，共12分）
22. 已知：关于x的函数y=kx2+k2x﹣2的图象与y轴交于点C，
（1）当k=﹣2时，求图象与x轴公共点个数；
（2）若图象与x轴有一个交点为A，当△AOC是等腰三角形时，求k的值．
（3）若x≥1时函数y随着x增大而减小，求k的取值范围．
八、（本题共1小题，共14分）
23. 我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件没有变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（没有必证明）
2022-2023学年北京市东城区中考数学提升突破破仿真模拟卷
（二模）
一、选一选（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的倒数是（ ）
A. 5 B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：的倒数是5．
故选A．
本题考查倒数的定义，掌握乘积是1的两个数互为倒数是本题的解题关键．
2. 如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=58°，则∠2的度数为（ ）
A. 30° B. 32° C. 42° D. 58°
【正确答案】B
【详解】解：如图，过点A作，
∴∠3=∠1=58°，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠4=90°﹣∠3=32°，
∵
∴，
∴∠2=∠4=32°，
故选B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. a+2a=2a2 B. += C. （x﹣3）2=x2﹣9 D. （x2）3=x6
【正确答案】D
【详解】分别根据合并同类项的法则、完全平方公式及幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可．
解：A、a+2a=2a≠2a2，故本选项错误；
B、与没有是同类项，没有能合并，故本选项错误；
C、（x﹣3）2=x2﹣6x+9，故本选项错误；
D、（x2）3=x6，故本选项正确．
故选D．
4. 2018届安徽全省高校毕业生人数达34.9万人，创历史新高，将34.9万用科学记数法表示应为（ ）
A. 34.9×104 B. 3.49×106 C. 3.49×105 D. 0.349×106
【正确答案】C
【详解】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值>1时，n是正数；当原数的值<1时，n是负数．
详解：34.9万用科学记数法表示为3.49×105，
故选C.
点睛：本题考查了科学记数法—表示较大的数.
5. 如图，是由相同小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【详解】解：从正面看可得到共有4列，每一列小正方形的个数从左到右依次为3、1、1、2，
观察只有D选项符合，
故选D．
本题考查了三视图的知识，熟练掌握主视图是从物体的正面看得到的图形是解题的关键．
6. 小兰画了一个函数的图象如图，那么关于x的分式方程的解是（ ）
A. x=1 B. x=2 C. x=3 D. x=4
【正确答案】A
【分析】根据图象过点（3，0），代入解析式可求得a的值，继而将y=2代入求得x的值即可得答案．
【详解】由图可知当x=3时，y=0，即，
解得a=3，
当y=2时，
解得x=1，
经检验x=1是方程的根，且符合题意，
所以x=1，
故选：A．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
7. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的参加比赛，应该选择（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【正确答案】A
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【详解】∵=>=，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵=<<，
∴选择甲参赛，
故选A．
此题主要考查了平均数和方差的应用，解题关键是明确平均数越高，成绩越高，方差越小，成绩越稳定.
8. 在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点没有可能在（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【正确答案】D
【详解】∵直线y=4x+1过一、二、三象限；
∴当b＞0时，直线y=﹣x+b过一、二、四象限，
两直线交点可能在一或二象限；
当b＜0时，直线y=﹣x+b过二、三、四象限，
两直线交点可能在二或三象限；
综上所述，直线y=4x+1与直线y=﹣x+b的交点没有可能在第四象限，
故选D．
9. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【正确答案】D
【分析】由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.
【详解】解：①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，
∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.
在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，
∴△BCE≌△DCG，
∴BE=DG，
故结论①正确.
②如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O
由①可知，△BCE≌△DCG，
∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.
又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，
∴∠DOM=∠MCB=90°，
∴BE⊥DG.
故②结论正确.
③如图所示，连接BD、EG，
由②知，BE⊥DG，
则在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，
在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，
在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，
在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，
∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.
在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，
在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，
∴BG2+DE2=2a2+2b2.
故③结论正确.
故选：D.
本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，正方形的性质.
10. 如图，矩形ABCD中，P为CD中点，点Q为AB上的动点（没有与A，B重合）．过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N．设AQ的长度为x，QM与QN的长度和为y．则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】如图，连接PQ，作PE⊥AB垂足为E，
∵过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N，
∴S△PAB=PE×AB，S△PAB=S△PAQ+S△PQB=×QN•PB+×PA×MQ．
∵矩形ABCD中，P为CD中点，∴PA=PB．
∵QM与QN的长度和为y，
∴S△PAB=S△PAQ+S△PQB=×QN×PB+×PA×MQ=PB（QM+QN）=PBy．
∴S△PAB=PE×AB=PBy，∴．
∵PE=AD，∴PB，AB，PE都为定值．
∴y的值为定值，符合要求的图形为D．
故选D．
二、填 空 题（本题共4小题，每题5分，共20分）
11. 把代数式4a2b﹣3b2（4a﹣3b）进行因式分解得：_____．
【正确答案】b（2a﹣3b）2
【详解】分析：原式去括号整理后，提取b，再利用完全平方公式分解即可．
详解：原式=4b−12a+9=b(4−12ab+9)=b.
故答案为b.
点睛：本题考查了提公因式法与公式法的综合运用.
12. 一件衣服先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利28元，那么这件衣服的成本是_____元．
【正确答案】140
【详解】解：设这件衣服的成本是x元，根据题意得：
x（1+50%）×80%﹣x=28，
解得：x=140．
答：这件衣服的成本是140元；
故140．
13. 如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧ABC上，AB=8，BC=3，则DP=_____．
【正确答案】5.5.
【分析】由AB和DE是⊙O的直径，可推出OA=OB=OD=4，∠C=90°，又有DE⊥AC，得到OP∥BC，于是有△AOP∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】∵AB和DE是⊙O的直径，
∴OA=OB=OD=4，∠C=90°，
又∵DE⊥AC，
∴∠DPA=90°，
∴∠DPA=∠C，
又∵∠A=∠A，
∴△AOP∽△ABC，
∴，
∴，
∴OP=1.5．
∴DP=OP+OD=5.5.
故答案为5.5
本题主要考查了圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
14. 如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是_____________．
【正确答案】或或5
【详解】解：如图所示：
①当AP=AE=5时，∵∠BAD=90°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴底边PE=AE=；
②当PE=AE=5时，
∵BE=AB﹣AE=8﹣5=3，∠B=90°，
∴PB==4，
∴底边AP===；
③当PA=PE时，底边AE=5；
综上所述：等腰三角形AEP的对边长为或或5；
故答案为或或5．
三、（本题共2小题，每题8分，共16分）
15. 计算：4sin60°+|3﹣|﹣（）﹣1+（π﹣2016）0．
【正确答案】4﹣4
【详解】分析：根据实数的运算顺序，首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式4sin60°+|3﹣|﹣（）﹣1+（π﹣2016）0的值是多少即可．
本题解析：
4sin60°+|3﹣|﹣（）﹣1+（π﹣2016）0
=4×+2﹣3﹣2+1
=2+2﹣4
=4﹣4
16. 解没有等式组：，并把解集表示在数轴上；
【正确答案】，见解析
【分析】分别求出各没有等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可．
【详解】∵解没有等式得：，
解没有等式得：，
∴没有等式组的解集是，
在数轴上表示没有等式组的解集为：
本题考查了解一元没有等式组以及在数轴上表示没有等式组的解集的应用，求没有等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小小中间找，小小解没有了．
四、（本题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．
【正确答案】（1）见解析（2）
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．
【详解】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，
过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，
由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），
故AD=2，CD=6，，
∴，
即．
此题考查了作图−位似变换，平移变换，以及解直角三角形，熟练掌握位似及平移的性质是解本题的关键．
18. 阅读理解题：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在位的数称为第1项，记为a1，依次类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=3．
则：（1）等比数列3，6，12，…的公比q为 ，第4项是 ．
（2）如果一个数列a1，a2，a3，a3，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：
，……．
∴a2=a1q，a3=a2q=（a1q）q=a1q2，a4=a3q=（a1q2）q= a1q3,……
由此可得：an= （用a1和q的代数式表示）
（3）若一等比数列的公比q=2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．
【正确答案】（1）2，24（2）an=a1qn-1（3）5， 40
【详解】试题分析：（1）由第二项除以项求出公比q的值，继而确定出第4项即可；（2）根据题中的定义归纳总结得到第n项；（3）由公比q与第二项的值求出项的值，利用（2）中的规律，确定出第4项的值即可．
试题解析：
（1）q==2，第4项是12×2=24；
（2）根据题目中所给的规律可得：an=a1•qn-1；
（3）∵等比数列的公比q=2，第二项为10，
∴；
a4=a1•q3=5×23=40．
点睛：本题是数字规律变化题，解决这类问题的基本思路是弄清题中的规律，利用所得的规律解决问题．
五、（本题共2小题，每题10分，共20分）
19. 如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结果没有取近似值）
【正确答案】．
【详解】【试题分析】如图（见解析）作于于E，则四边形EMFQ是矩形．PQ=PF+FE=PF+MN-NE.
在中，设，则，利用勾股定理得：，，
解得：，所以：，因为，;
在中，，．
【试题解析】
如图作于于E，则四边形EMFQ矩形．
在中，设，则，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
．
【方法点睛】本题目是一道三角函数解 答 题.两次利用三角函数，注意：在利用三角函数时，需要注明在某个直角三角形中.
20. 如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A=∠ADE；
（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）15．
【分析】（1）只要证明∠A+∠B=90°，∠ADE+∠B=90°即可解决问题；
（2）首先证明AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC==12，设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202，可得x2+122=（x+16）2﹣202，解方程即可解决问题；
【详解】（1）证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE=90°，∴∠ADE+∠BDO=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OD=OB，∴∠B=∠BDO，∴∠ADE=∠A．
（2）连接CD．
∵∠ADE=∠A，∴AE=DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED=EC，∴AE=EC，∵DE=10，∴AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC==12，设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202，∴x2+122=（x+16）2﹣202，解得x=9，∴BC==15．
考点：切线的性质；勾股定理．
21. 某校在践行“核心观”演讲比赛中，对名列前20名的选手的综合分数m进行分组统计，结果如表所示：
组号
分组
频数
一
6≤m＜7
2
二
7≤m＜8
7
三
8≤m＜9
a
四
9≤m≤10
2
(1)求a的值.
(2)若用扇形统计图来描述，求分数在8≤m＜9内所对应的扇形的圆心角的度数.
(3)将在组内的两名选手记为A1，A2，在第四组内的两名选手记为B1，B2， 从组和第四组中随机选取2名选手进行调研座谈，求组至少有1名选手被选中的概率.
【正确答案】（1）9；（2）36°；（3）
【详解】试题分析：（1）根据被人数为20和表格中的数据可以求得a的值；
（2）根据表格中的数据可以得到分数在8≤m<9内所对应的扇形图的圆心角大；
（3）根据题意可以写出所有的可能性，从而可以得出组至少有一名选手被选中的概率.
试题解析：（1）由题意可得，
a=20﹣2﹣7﹣2=9，
即a的值是9；
（2）由题意可得，
分数在8≤m＜9内所对应的扇形图的圆心角为：360°× =162°；
（3）由题意可得，所有的可能性如下图所示，
故组至少有1名选手被选中的概率是：，
即组至少有1名选手被选中概率是
七、（本题共1小题，共12分）
22. 已知：关于x的函数y=kx2+k2x﹣2的图象与y轴交于点C，
（1）当k=﹣2时，求图象与x轴的公共点个数；
（2）若图象与x轴有一个交点为A，当△AOC是等腰三角形时，求k的值．
（3）若x≥1时函数y随着x的增大而减小，求k的取值范围．
【正确答案】（1）图象与x轴公共点只有一个；（2）k的值为﹣1+或﹣1﹣或1；（3）﹣2≤k＜0．
【详解】分析：（1）△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点（或者把k=-2代入函数关系，直接求得抛物线与x轴的交点横坐标）；
（2）根据△AOC是等腰直角三角形易求点A的坐标为（2，0）或（-2，0）．把点A的坐标代入函数解析式，通过方程来求k的值；
（3）由“k≥1时函数y随着x的增大而减小”可知，抛物线开口向下．则k<0，且对称轴在直线x=1的左侧，故﹣≤1，即≤1.
详解：（1）方法一：当k=﹣2时，函数y=﹣2x2+4x﹣2，
∵b2﹣4ac=42﹣4×（﹣2）×（﹣2）=0.
∴图象与x轴公共点只有一个．
方法二：当k=﹣2时，函数为y=﹣2x2+4x﹣2，
令y=0，则﹣2x2+4x﹣2=0，
解得：x1=x2=1，
∴图象与x轴公共点只有一个；
（2）当△AOC是等腰三角形时，
∵∠AOC=90°，OC=2，
∴可得OA=OC=2.
∴点A的坐标为（2，0）或（﹣2，0）．
把x=2，y=0代入解析式 得2k2+4k﹣2=0，
解得 k1=﹣1+，k1=﹣1﹣，
把x=﹣2，y=0代入解析式 得﹣2k2+4k﹣2=0，
解得 k1=k2=1．
∴k的值为﹣1+或﹣1﹣或1；
（3）由“x≥1时函数y随着x的增大而减小”可知，抛物线开口向下，
∴k＜0，且对称轴在直线x=1的左侧，
∴﹣≤1，即≤1．
解没有等式组，
解得﹣2≤k＜0．
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点、 等腰三角形的性质.
八、（本题共1小题，共14分）
23. 我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件没有变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（没有必证明）
【正确答案】（1）证明见解析；（2）四边形EFGH是菱形，证明见解析；（3）四边形EFGH是正方形
【分析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可．
（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可．
（3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明．
【详解】（1）证明：如图1中，连接BD．
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH=BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH是菱形．
证明：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，
即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，
∴△APC≌△BPD（SAS），
∴AC=BD．
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF=AC，FG=BD，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）四边形EFGH是正方形．
证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠DMO=∠CMP，
∴∠COD=∠CPD=90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
本题考查平行四边形的判定与性质和中点四边形，综合性较强，作出适当辅助线是本题的关键．
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