初中数学中考复习 2020年中考数学专题复习：二次函数图象综合应用

这是一份初中数学中考复习 2020年中考数学专题复习：二次函数图象综合应用，共16页。试卷主要包含了5．，∴ mA=2，mB=1等内容，欢迎下载使用。

知识互联网

题型一：二次函数图象与其解析式系数的关系
思路导航
例题精讲
二次函数的图象如图所示，判断，，，，，，的符号
由图知：图象开口向上，所以；
函数的对称轴，所以；
函数图象与轴的交点小于，所以；
函数图象与轴有两个不同的交点，所以；
同时，所以；
所对应的函数值小于，所以；
所对应的函数值大于，所以
典题精练
⑴ 二次函数的图象如图所示，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
⑵ 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ）

A． B． C． D．
= 3 \* GB2 ⑶ 一次函数、二次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，点的坐标为，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
⑴ B. ⑵ B． = 3 \* GB2 ⑶D.
⑴ 如图，抛物线，，下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
）
⑵ 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，若，则的值为 ．

⑴ A．提示：把代入即可．
⑵ ．提示：先把B代入，
得，再把代入即可．
⑴ 函数与的图象如图所示，有以下结论：①＞0；②；③；④当1＜x＜3时，．其中正确的为 ．
⑵ 已知二次函数的图象如图所示，有下列
个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）；⑥ ；⑦，⑧，其中正确的结论有（ ）
A．个B．个C．个D．个
⑴ ③④
⑵ C．
对称轴在轴的右边得（由开口向下得，故），抛物线与轴交于正半轴得，∴，①不正确；
当时，函数值为，②不正确；
当时，函数值，③正确；
其实和到对称轴的距离相等，函数值相等得，∴代入，，即，④正确；
当，∵，，可知⑤正确；
由对称轴得，故⑥正确；
抛物线与轴有两个交点，故，故⑦不正确；
，，故，故⑧不正确．
题型二：二次函数的最值
思路导航

对于二次函数（表示的最大值，表示的最小值）
⑴ 若自变量的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处时，取到最值．
⑵ 若，如图②，当，；当，．
⑶ 若，如图③，当，；当，．
⑷ 若，且，,如图④，当，；
当，．
例题精讲
⑴ 若为任意实数，求函数的最小值；
⑵ 若，求的最大值、最小值；
⑶ 若，求的最大值、最小值；
⑷ 若，求的最大值、最小值；
⑸ 若为整数，求函数的最小值．
⑴ 套用求最值公式（建议教师讲配方法）：
当时，的最小值是．
⑵ 由图象可知：当时，函数单调递增，
当时，最小，且，
当时，最大，且．
⑶ 由图象可知：当时，函数是先减后增，
∴当，最小，且．
∵当时，；当时， ，
∴当时，最大，且．
⑷ 由函数图象开口向上，且，
故当时，取最大值为，当时，取最小值为．
⑸ ∵，当时，取最小值为．
由此题我们可以得到：求二次函数在给定区域内的最值，得看抛物线顶点横坐标是否在给定区域内．若在，则在顶点处取到一个最值，若不在，则在端点处取得最大值和最小值（其实求出端点值和顶点值，这三个值中最大的为最大值，最小的为最小值）．
典题精练
⑴ 已知m、n、k为非负实数，且，则代数式的最小值
为 ．
⑵ 已知实数满足，则的最大值为 ．
⑶ 当时，二次函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
⑴∵m、n、k为非负实数，且，
∴m、n、k最小为0，当n=0时，k最大为：；∴，故最小值为2.5．
⑵ ．提示：，令，当，的最大值为．本题属于为全体实数，求二次函数的最值，配方法要熟练掌握．
⑶ B．提示：二次函数的对称轴为，且抛物线的开口向上，故时，的最小值为．
如图，抛物线经过点，且与抛物线相交于两点．
y
x
P
A
O
B
M
E
N
F
⑴ 求值；
⑵ 设与轴分别交于两点（点在点的左边），与轴分别交于两点（点在点的左边），观察四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；
⑶ 设两点的横坐标分别记为，若在轴上有一动点，且，过作一条垂直于轴的直线，与两条抛物线分别交于两点，试问当为何值时，线段有最大值？其最大值为多少？
y
x
P
A
O
B
D
Q
C
⑴ ∵点在抛物线上，
∴，解得．
N
F
E
M
⑵ 由⑴知，
∴抛物线，．
当时，解得，．
∵点在点的左边，∴，．
当时，解得，．
∵点在点的左边，∴，．
∵，，
∴点与点关于轴对称，点与点关于轴对称．
⑶ ∵．∴抛物线开口向下，抛物线开口向上．
根据题意，得．
又，消可解得，
则当时，的最大值为．
⑴ 二次函数的图象的一部分如图所示，求的取值范围
⑵ 二次函数的图象的一部分如图所示，试求的取值范围．
⑴ 根据二次函数图象可知，
又此二次函数图象经过，
则有，，得，
∵，据图象得对称轴在轴左侧，∴
∴，∴
于是有．
⑵ 由图象可知．
又顶点在轴的右侧，在轴的下方，则：
，，∴．
又∵当时，
当时，，∴
∴
∴．
∴
∴，即．
精讲：数形结合思想在二次函数中的应用探究
【探究对象】数形结合思想在二次函数中的应用
【探究过程】
【探究1】数形结合思想在含参二次函数中求参数的取值范围的应用；
二次函数的图像信息：
⑴ 根据抛物线的开口方向判断的正负性．
⑵ 根据抛物线的对称轴的位置判断与之间的关系．
⑶ 根据抛物线与轴的交点，判断的大小．
⑷ 根据抛物线与轴有无交点，判断的正负性．
⑸ 根据抛物线所经过的特殊点的坐标，可得到关于的等式．
⑹ 根据抛物线的顶点，判断的大小．
例. 的图象如图所示．设，
则（ ）
A． B． C． D．不能确定为正，为负或为
分析：依题意得，，∴，，，
又当时，，当时，，
故，故选C．
☆【探究2】数形结合思想在求解二次函数的区间最值中的应用；(区间最值问题为高中二
次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大
前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲)
区间最值分三种类型: “轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”；
1、轴定区间定：2、轴动区间定：
例．求在上的最大值和最小值．
分析：先求最小值．
因为的对称轴是，可分以下三种情况：
⑴ 当时，在上为增函数，所以；
⑵ 当时，为最小值，；
⑶ 当时，在上为减函数，所以．
综上所述：
最大值为与中较大者：，
（1）当时，，则；
（2）当时，，则．
故
点评：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴
是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴
与区间的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较与
的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两
种情况．
3、轴定区间动：
例．若函数当时的最小值为，求函数当时
的最值．
分析：，按直线与区间的不同位置关系分类讨论：
若，则；
若，即，则；
若，即，则．
∴
函数在内是减函数，在内是常值函数，在内是增函数，又，故在区间内，（当时取得），．
小结：（i）解此类问题时，心中要有图象；（ii）含参数问题有两种：一种是“轴变区间定”，另一种是“轴定区间变”．讨论时，要紧紧抓住对称轴与所给区间的相对位置关系，这是进行正确划分的关键．
☆【探究3】数形结合思想在求解二次函数的区间根中的应用；(区间根问题同样为高中二
次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大
前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲）
二次方程的根其实质就是其相应二次函数的图像与轴交点的横坐标．因此，
可以借助于二次函数及其图像，利用数形结合的方法来研究二次方程的实根分
布问题．设二次方程的两个实根、，
，方程对应的二次函数为．
1．当方程有一根大于，另一根小于时，对应二次函数的图像有下列两种情形：
方程系数所满足的充要条件：；
2．当方程两根均大于时，对应函数的图像有下列两种情形：
方程系数所满足的充要条件：， ，；
3．当方程两根均在区间内，对应二次函数的图像有下列两种情形：
方程系数所满足的充要条件：， ，，；
4．当两根中仅有一根在区间内，对应函数的图像有下列四种情形：
方程系数所满足的充要条件： ；
5．当两根在区间之外时：对应函数的图像有下列两种情形：
方程系数所满足的充要条件：，；
6．当两根分别在区间、内，且，对应函数的图像有下列两种情形：
方程系数所满足的充要条件：，，， ．
小结： 由函数图像与轴交点的位置写出相应的充要条件，一般考虑三个方面：①判别式
的符号；②对称轴的位置分布；③二次函数在实根分布界点处
函数值的符号．
例．若方程的两个根均大于2，求实数的取值范围．
分析：令，如图得充要条件：
，解得．
思维拓展训练(选讲)
已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（ ）
A B C D
B．由，且，可得， ，且过点，由，且=0，利用不等式性质，可以进一步推出下列不等关系：，∴，
∴．
另一方法：∵，∴，，从而得到．
已知二次函数与轴交点的横坐标为、，则对于下列结论：⑴ 当时，；⑵ 当时，；⑶ 方程有两个不相等的实数根、；⑷，；⑸，其中所有正确的结论是______.（只需填写序号）
⑴⑶⑷．当时，代入得，故⑴正确；
因为的符号不确定，故开口不确定，因此无法确定当时，，故⑵不正确；
联立方程可得，抛物线与轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根．
当时，，若，，若，，故⑷正确．
，故⑸不正确.
如图所示，二次函数的图象交轴于和，交轴于，当线段最短时，求线段的长．
设，，，，
则，是方程的两根，
则
当时，取最小值，即最短，此时，抛物线为，
可求得的纵坐标为，即线段的长是．
小明为了通过描点法作出函数的图象，先取自变量的个值满足：，再分别算出对应的值，列出表：
表1：
记，，，，…；
，，，…
⑴ 判断、、之间关系；
⑵ 若将函数“”改为“”，列出表2：
表2：
其他条件不变，判断、、之间关系，并说明理由；
⑶ 小明为了通过描点法作出函数的图象，列出表3：
表3：
由于小明的粗心，表3中有一个值算错了，请指出算错的值（直接写答案）．
⑴ ；
⑵ ．证明：
同理，．
∴．
⑶ 表中的改为．

复习巩固
题型一 二次函数图象与其解析式系数的关系 巩固练习
⑴ 函数与在同一坐标系中图象大致是图中的（ ）
⑵ 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）
⑴ A．⑵ D．
如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经点和且与轴交于负半轴．
下列四个结论：①；②；③；④，
其中正确的结论的序号是 ．
⑵给出下列四个结论：①；②；
③；④．其中正确的结论的序号是 ．
⑴图象开口向上得；对称轴可得；当时，，即；由时，，即．故①④．
⑵由⑴可知；对称轴，∴；
∵点和在抛物线上，代入解析式得
两式相加得，得，∵，∴，即．
故②③④．
如图，表示抛物线的一部分图象，它与轴的一个交点为，与轴交于点．则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
B．
二次函数的图象大致如图所示，
⑴判别，，和的符号，并说明理由；
⑵如果，求证：
⑴ 解：因为抛物线开口向上，．因为抛物线与轴
交于负半轴，．又因为抛物线对称轴在轴的右侧，，即，异号，由，得．
因为抛物线与轴有两个交点，所以方程有两个不相等的实根，所以其判别式．
⑵ 证明：由于点坐标为，而，所以点坐标为，
把代入，得．
因为，所以．
题型二 二次函数的最值 巩固练习
已知：关于x的一元二次方程①.
⑴ 求证：方程①有两个实数根；
⑵ 若，求证方程①有一个实数根为；
⑶ 在⑵的条件下，设方程①的另一个根为. 当时，关于m的函数与的图象交于点、（点在点的左侧），平行于轴的直线与、的图象分别交于点、. 当沿由点平移到点时，求的最大值.
⑴ 证明：.
∵， ∴.
∴方程①有两个实数根.
⑵ 解：由，得
当x=1时，等号左边
.
等号右边=0.
∴左边=右边.
∴ 是方程①的一个实数根.
⑶ 解：由求根公式，得.
x =m或
∵ ， ∴ .
当时，，
如图，当l沿AB由点A平移到点B时，

由，得
解得m=2或m=1.∴ mA=2，mB=1.
∵2