初中数学中考复习 2020年中考数学专题复习：解直角三角形培优

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题型一：构造直角三角形及三角板拼图
思路导航
在一些几何证明题或者解答题中，往往通过构造直角三角形利用勾股定理、相似或者三角函数来达到解题的目的．
典题精练
四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么 ．
（或0.6）
四边形的对角线的长分别为m，n，可以证明当时（如图1），四边形的面积，那么当所夹的锐角为时（如图2），四边形的面积 ．（用含的式子表示）
A
B
C
D
图1
B
A
D
C
图2
.
已知两个不同型号的三角板拼在一起（互不重叠），并且其中的两条边完全重合.
⑴ 这样的拼法共有几种?请分别画出.
⑵ 当两个三角形的斜边重合时，求出此时四边形对角线夹角的正切值．
⑴ 如图所示，一共有九种拼法
⑵ 如图，分别过、作，，垂足为、．
设，则，，
∵，∴，
∴，
设，∵，∴
∴，∴
∵
∴，∴
∴
题型二：解直角三角形的复杂应用
思路导航

解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：
⑴ 分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；
⑵ 找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；
⑶ 根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；
⑷ 按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．
60
30
A
C
B
D
典题精练

某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为 米.
【解析】9米．
如图，大海中有和两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线上点处测得，；在点处测得，，．
⑴ 判断、的数量关系，并说明理由
⑵ 求两个岛屿和之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，
，，，，）
AD
BAD
EBAD
FEBAD
QFEBAD
PQFEBAD

【解析】（1）相等，证明：∵，，∴，
．又∵，∴．
在与中，，，，
∴，∴．
（2）作，垂足为，
设，则，，．
中，，∴，即，
∴，即．
题型三：阅读理解
典题精练
随着科学技术的发展，机器人已经能按照设计的指令完成各种动作，在坐标平面上，根据指令，（，）机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度，再朝其面对的方向沿直线行走距离．
⑴ 填空：如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对轴的正方向，现要使其移动到点，，则给机器人发出的指令应是_________
⑵ 机器人在完成上述指令后，发现，处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动，已知小球的滚动速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器原地旋转时间，请你给机器人发一个指令，使它能最快截住小球．（如图，点为机器人最快截住小球的位置）（角度精确到度；参考数据：，，，）

⑴ ，
⑵ 设在轴上的，处正好截住小球，过作轴于．
∵机器人和小球速度相同，∴
∴，即，解得，
∴，，∴, ，
∴在中，
∴，∴，即，
∵，即．∴所下指令为，
如图，在海面上产生了一股强台风，台风中心（记为点）位于滨海市（记作点）的南偏西，距离为千米，且位于临海市（记作点）正西方向千米处．台风中心正以千米/时的速度沿北偏东的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭．
滨海市和临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说 明理由．
若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时 间有多少小时？
⑴ 如图设台风中心运行的路线为射线，于是，
过作于，故是等腰直角三角形
∵，∴，
∴滨海市不会受到台风的影响；
过作于，
∵，
∴，
因此临海市会受到台风的影响；
⑵如图以为圆心为半径作圆与交于，
则，
在中，，
∴，∴是等边三角形，
∴
∴台风中心经过线段上所用的时间（小时），
因此临海市受到台风侵袭的时间为小时．
复习巩固
题型一 构造直角三角形及三角板拼图
公园里有一块形如四边形的草地，测得米，，．请你求出这块草地的面积．
延长交于，连结，
∵，∴，∴是等边三角形，
∵，∴，∴，，
∵，∴，∴，
，
∴这块草地的面积为平方米．
我们知道，“直角三角形斜边上的高线将三角形分成两个与原三角形相似的直角三角形”用这一方法，将矩形ABCD分割成大小不同的七个相似直角三角形．按从大到小的顺序编号为①至⑦，从而割成一副“三角七巧板”．已知线段，．
⑴ 请用的三角函数表示线段BE的长 ；
⑵ 图中与线段BE相等的线段是 ；
⑶ 仔细观察图形，求出⑦中最短的直角边DH的长（用的三角函数表示）．
⑴ ⑵
⑶ 由⑴、⑵知
由题意易得
∴
在中
∵， ∴
在中 ∵， ∴
题型二 解直角三角形的复杂应用
如图，水坝的横截面为梯形，坝顶宽，坡面，的坡度为，，求水坝的横截面积．
过分别作，垂足为．
则，由，
∴，且四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，∴，
在中，由的坡度为，则，
∴，
∴，
∴．
答：水坝的横截面积为平方米．
如图，在某海域内有三个港口、、．港口在港口北偏东方向上，港口在港口北偏西方向上．一艘船以每小时海里的速度沿北偏东的方向驶离港口小时后到达点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每分钟吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过吨时，船将沉入海中．同时在处测得港口在处的南偏东方向上．若船上的抽水机每小时可将吨的海水排出船外，问此船在处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．
连结、、、，延长，过作于，与交于点．
过作于点．
由已知得，，（海里），
在和中，，，
∴．
∵，∴，从而（海里）．
∵港口在处的南偏东方向上，∴．
在等腰中，（海里），∴．
是直角三角形，∴．
综上，可得港口离点位置最近．∴此船应转向南偏东方向上直接驶向港口．
设由B驶向港口C船的速度为每小时海里，
则据题意应有，解不等式，得（海里）．
答：此船应转向沿南偏东的方向向港口航行，且航行速度至少不低于每小时海里，能保证船在抵达港口前不会沉没．
题型三 阅读理解
在例题6的第⑵问中，将“小球的滚动速度与机器人行走的速度相同”改为“小球速度为机器人的”，则要在最短时间内截住小球应下的指令为 ．
【解析】设在轴上的，处正好截住小球，过作轴于，
∵小球速度为机器人的，
∴
∴，即，
解得，（增根舍去）．
∴，，
∴，
在中，，
∴，∴，即
∵，，
∴所下指令为，
课后测
【测试1】如图，在中，，，沿的中线CM将折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，则的值为（ ）．
【解析】
【测试2】在一次夏令营活动中，小明从营地点出发，沿北偏东方向走了500米到达点，然后再沿北偏西方向走了250米到达目的地点，则、两地之间的距离为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【解析】C
【测试3】如图，小明在楼上点A处观察旗杆，测得旗杆顶部B的仰角为，测得旗杆底部C的俯角为，已知点A距地面的高为．求旗杆的高度．
【解析】过点A作，垂足为E，得矩形，
∴．
中，
∵，，
∴．
中，
∵，．
∴．
答：旗杆的高度为．