初中数学中考复习 2020年中考数学专题复习：圆中三大切线定理

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题型一：切线的性质定理
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题目中已知圆的切线，可以“连半径，标直角”，然后在直角三角形中利用勾股、相似或锐角三角函数解决问题。
典题精练
如图，在△ABC中，，以AC为直径的⊙0与BC边
交于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AB于点E，若
DE⊥AB．求证：．
连接、，由切线的性质定理可得，
又∵DE⊥AB，
∴
则为的中位线，
为中点，
又∵，
则为的垂直平分线，
∴，为等边三角形，
∴，
∴．
题型二：切线的判定定理
思路导航
判定切线共有三种方法：定义法、距离法和定理法，其中常用的是距离法和定理法，可以总结为六字口诀，定理法是“连半径，证垂直”，距离法是“作垂直，证半径”，定理法的使用频率最高，必须熟练掌握。
典题精练
如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC
于点E，过点A作⊙O的切线 交OE的延长线于点F，
连结CF并延长交BA的延长线于点P.
⑴ 求证：PC是⊙O的切线.
⑵ 若AB=4，，求CF的长.
【解析】⑴ 证明：连结OC ．
∵ OE⊥AC，∴ AE=CE ．
 ∴ FA=FC．∴ ∠FAC=∠FCA．
∵ OA=OC，∴ ∠OAC=∠OCA．
 ∴ ∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA．
 即∠FAO=∠FCO ．
 ∵ FA与⊙O相切，且AB是⊙O的直径，
 ∴ FA⊥AB．∴ ∠FCO=∠FAO=90°．
 ∴ PC是⊙O的切线．
⑵ ∵∠PCO=90°，即∠ACO +∠ACP =90°.
又∵∠BCO+∠ACO =90°，∴ ∠ACP=∠BCO.
∵ BO=CO，∴ ∠BCO=∠B，∴ ∠ACP=∠B.
∵ ∠P公共角，∴ △PCA∽△PBC .
∴.
∵，∴.
∵ ∠AEO=∠ACB=90°，∴ OF∥BC.
∴.∴.∴.
∵ AB=4，∴ AO=2 .∴ AF=1 .∴ CF=1 .
如图，已知中，，平分，以为圆心、长为半径作，与的另一个交点为．
⑴ 求证：与相切；
⑵ 若，求的长．

⑴ 证明：过点作于．
∵平分，，，
∴．
∵是的半径，∴与相切．
⑵ 解：设的半径为．
在中，，，
∴．
由⑴可知切于，切于，∴，
∴．
又，
∴在中，，
∴，即，解得．
∴．
另：该问还可以用求得的长．
还可以用面积的求法，.
已知：如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交 的延长线于点，连结．
⑴ 求证：与相切；
⑵ 连结并延长交于点，，
求的长．
【解析】⑴ 证明：连结.
与⊙相切，为切点.

直线是线段的垂直平分线.

是⊙的直径.
与⊙相切.
⑵ 解：过点作于点，则∥.
在中，

由勾股定理得
在中，同理得

是的中点，

∥，

题型三 切线长定理
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切线长和切线长定理：
⑴ 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
⑵ 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
例题精讲
【引例】已知：如图，分别与相切于两点．求证：⑴ ；
⑵ ；⑶ 垂直平分线段．
连结
∵分别与相切，
∴，
∵，OP=OP
∴
∴．
∴，
由等腰三角形“三线合一”可知：且，
∴垂直平分线段．
典题精练
⑴ 如图，分别切于，若，
周长为，求的半径．
⑵ 梯形中，，是上一点，以为圆心的半圆与都相切．已知，，求的长．
⑴ 连结
∵都与相切，
∴，
∴周长

∴
∴，即的半径为．
⑵ 连接，
∵都是半圆的切线，
由切线长定理得平分，平分，
∵，∴，，
∴．
⑴ 如右图所示，的内切圆与三边、、分别切于、、.，，，求、、的长．
C
B
A
D
O
⑵ 如图，在中，，，，圆为
的内切圆，点是斜边的中点，则 .
（2012启东市模拟）
⑴ ∵、、与相切，∴，，
设 ，，，
，解得，
即、、的长分别为、和．
⑵ 2．
已知：是半圆的直径，点在的延长线上运动（点与点不重合），以为直径的半圆与半圆交于点，的平分线与半圆交于点．
D
E
O
B
A
M
C
图1
(1) 求证：是半圆的切线（图1）；
(2) 作于点（图2），猜想与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明.
D
C
A
M
F
O
E
图2
B
⑴ 连结，则为半圆的半径．
∵为半圆的直径，
∴．
∴是半圆的切线．
B
D
O
A
M
C
图4
K
G
E
F
⑵ 猜想：．
证法一：
如图4，连结，延长交于点，作于点，则．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵是半圆的直径，为半圆上的一点，
∴．
∵为公共边，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
证法二：
如图5，以为直径作，
延长交于点，连结．
∵，
∴，．
∵平分，
∴．
∴．
D
O
B
A
M
C
图6
E
F
H
∴．
∴．
D
O
B
A
M
C
图5
E
F
P
∴．
证法三：如图6，连结，相交于点．
∵平分，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
精讲：三角形内切圆相关性质和结论探究；
【探究对象】三角形内切圆相关性质和结论
【探究过程】
【探究1】角的相关性质探究：、、均为角平分
线，且；
【探究2】直角三角形内切圆半径计算方法探究：
直角三角形的内切圆半径，或(其中、为直角边，为
斜边)
例：如图，为的内切圆，，求内切圆半径．
分析：方法一：
连接，
∵，
∴
∵，
设三角形的底各为，
即，∴
方法二：
设切，于，三点，
由切线长定理可知：
∴
∵，∴，
由可证得四边形为正方形．
∴，即的半径．
【探究3】普通三角形内切圆半径计算方法探究：
普通三角形的内切圆半径(其中、为直角边，为
斜边，)
分析：由【探究2】的方法一可知，，由海伦公式可得；
【探究4】增加内切圆的个数；
例：如图，和为的内切等圆，，求的半径．
分析：连接．
则，
即，解得．
【探究5】继续增加内切圆的个数；
例：如图，为的内切等圆，，求的半径．
分析：参见前一变式的解法，由面积易得，
∵，
即，
∴．
【探究6】改变内切圆的位置；
例：如图，若两等圆与的边及的延长线相切，且两等圆外
切，求此时两等圆的半径．
分析：连接，
∵，
即，解得，．
例：若将上面变式中的个等圆，放到外相邻两圆相外切，且与线段相切，与线
段的延长线相切，求这些圆的半径．
分析：连接，
则，
即，解得．
【总结】求直角三角形内切圆半径通常办法有两种：⑴ 面积法；⑵ 利用切线长定理．
求其它三角形内切圆半径的方法也有两种：
⑴ 面积法：知道三角形的三边，利用勾股定理可求出任意一边上的高，于是就可以求出三角形的面积，接着仿照例题中的方法利用面积即可求出其内切圆的半径．
⑵ 利用切线长定理：利用切线长定理可求出三角形任意一顶点到内切圆的切线长，利用三角函数可求出三角形以这个顶点为角的内角度数，再解以这个顶点到圆心的线段、内切圆的半径、这个顶点到内切圆的切线长为三边的直角三角形即可．
【探究7】圆外切四边形的性质探究：
圆外切四边形的对边和相等：；
分析：由切线长定理可设线段长度如图所示；
则；
复习巩固
题型一 切线的性质定理 巩固练习
如图，与相切于点，线段与弦垂直于点，
，，则切线 .
．
题型二 切线的判定定理 巩固练习
在平行四边形中，，以为直径作，
⑴ 求圆心到的距离（用含的代数式来表示）；
⑵ 当取何值时，与相切．
⑴ 分别过两点作，垂足分别为点，
∴，就是圆心到的距离．
∵四边形是平行四边形，
∴，∴．
在中，，
∴，则，
∴，
∴圆心到的距离为．
⑵ 由⑴得，
∵为的直径，且，
∴当时，与相切于点，
即，解得，
∴当时，与相切．
已知：如图，由正方形的顶点引一条直线分别交、
及的延长线于点、、，求证：和的外接圆相切．
连结
由是正方形，容易证明，
∴，
∵是直角三角形，∴外接圆圆心为中点，
∴，∴．
∵，∴，
∴，∴与相切．
如图，是的直径，于点，连接交于点，弦，弦 于点．
⑴ 求证：点是的中点；
⑵ 求证：是的切线；
⑶ 若，的半径为，求的长．
⑴ ∵，∴，
∴，∴．
⑵ 连结
由⑴知
在和中，，
∴
∴，
又∵，∴，
即是的切线．
⑶ 解法一：在中，，
设
∵，∴，
又∵的半径为，∴，
∵，即，
解得（舍去），∴．
解法二：连结
∵是直径，∴，
∵的半径为，∴，，
∵，∴，
在中，，
∴，
∴．
题型三 切线长定理 巩固练习
⑴ 如图，是的内切圆，是切点，，，，又直线切于，交于，则的周长为______________．
⑵ 中，，则的内切圆半径________．
⑶ 等腰梯形外切于圆，且中位线的长为，那么这个等腰梯形的周长是_____．
⑴ ；⑵ 2；⑶ ．
课后测
如图，切于点，直线交于点，弦，求证：．
∵是的切线，∴，
∵，∴，
∵是直径，∴，即，
∴．
如图，四边形ABCD内接于，BD是的直径，
于点E，DA平分．
(1) 求证：AE是的切线；
(2) 如果，，求的半径．
【解析】(1) 证明：联结OA，∵OA=OD，∴∠1=∠2．
∵DA平分，∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．∴OA∥DE． ∴∠OAE=∠4，
∵，∴∠4=90°．∴∠OAE=90°，即OA⊥AE．
又∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线.
(2) 解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°．
∵∠5=90°，∴∠BAD=∠5．
又∵∠2=∠3，∴△BAD∽△AED．
∴，∵BA=4，AE=2，∴BD=2AD．
在Rt△BAD中，根据勾股定理，
得BD=．
∴⊙O半径为．
巴雷尼与诺贝尔奖
巴雷尼小时候因病成了残疾，母亲的心就像刀绞一样，但她还是强忍住自己的悲痛。她想，孩子现在最需要的是鼓励和帮助，而不是妈妈的眼泪。
母亲来到巴雷尼的病床前，拉着他的手说：“孩子，妈妈相信你是个有志气的人，希望你能用自己的双腿，在人生的道路上勇敢地走下去！好巴雷尼，你能够答应妈妈吗？”
母亲的话，像铁锤一样撞击着巴雷尼的心扉，他“哇”地一声，扑到母亲怀里大哭起来。从那以后，妈妈只要一有空，就给巴雷尼练习走路，做体操，常常累得满头大汗。有一次妈妈得了重感冒，她想，做母亲的不仅要言传，还要身教。尽管发着高烧，她还是下床按计划帮助巴雷尼练习走路。黄豆般的汗水从妈妈脸上淌下来，她用干毛巾擦擦，咬紧牙，硬是帮巴雷尼完成了当天的锻炼计划。
体育锻炼弥补了由于残疾给巴雷尼带来的不便。母亲的榜样作用，更是深深教育了巴雷尼，他终于经受住了命运给他的严酷打击。他刻苦学习，学习成绩一直在班上名列前茅。
最后，以优异的成绩考进了维也纳大学医学院。大学毕业后，巴雷尼以全部精力，致力于耳科神经学的研究。最后，终于登上了诺贝尔生理学和医学奖的领奖台。
今天我学到了