初中数学中考复习 2020年中考专题复习：垂直模型中的相似及变形

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  模型中的相似  【引例】       如图，是一块锐角三角形余料，边mm，高mm，要把它加工成长方形零件，使长方形的边在上，其余两个顶点分别在上．⑴求这个长方形零件面积的最大值；⑵在这个长方形零件面积最大时，能否将余下的材料剪下再拼成（不计接缝用料及损耗）与长方形大小一样的长方形？若能，试给出一种拼法；若不能，试说明理由．【解析】       ⑴ 设长方形零件的边，则．∵∴，∴，∴∴ ，解得 所以长方形的面积当时，． （mm）．所以这个长方形零件面积的最大值是． ⑵ ∵，∴从理论上说，恰能拼成一个与长方形大小一样的长方形．拼法：作的中位线，分别过、作的垂线，垂足分别为、，过作的平行线，交、的延长线于、，易知，，所以将剪下拼接到的位置，即得四边形，此四边形即为与长方形零件面积最大时大小一样的长方形．【例1】         ⑴ 如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方场内的点B，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离MN=       米．⑵ 如右图，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是米和米．已知小华的身高为米，那么他所住楼房的高度为        米．⑶ 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上，若测得，，，则河的宽度等于A．         B．C．         D．⑷ 如图，正方形中，为的中点，于点，则等于（　　）A．   B．      C．       D． ⑸ 如图1，用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼成如图2所示的四边形．若，，那么这个四边形的面积是_____________．【解析】       ⑴ C；⑵ ；⑶ B；⑷ D；⑸ .      在中，，于，则在这个图形中，我们可以得到个直角三角形，这个直角三角形两两相似，即进而可以得到组比例关系，这组比例关系中，有个比例式比较特殊：⑴ ；⑵ ；⑶ ，这个比例式转化为乘积式为：⑴；⑵ ；⑶ ，这就是著名的“射影定理”【例2】         ⑴如图，在中，为直角，于点，，，写出其中的一对相似三角形是         和               ；并写出它的面积比         ． ⑵ 如图，中，于，一定能确定为直角三角形的条件的个数是（    ）①；   ②；  ③；④；     ⑤A．1　     B．2      C．3       D．4 ⑶ 如图，是斜边上的高，如果两条直角边，则         ．【解析】       ⑴ 答案不唯一，和，；⑵ C；  ⑶ 由题意，，，则，，又，，，，，则，∴． 【例3】         如图，已知中，，是边上中线，是边上的中线，且于点，于点，若，，求的长．【解析】       连结∵，∴，即，又∵，且则，，∴，，∵是边中线，是边中线，∴，∴，∴，在中，，∴，∴．  三垂直模型中包括三垂直全等和三垂直相似，在解题的过程中要善于发现和使用，并要学会根据具体情况构造三垂直模型. 【引例】       如图，在矩形中，点、分别在边、上，，，，，求的长．           【解析】       ∵∴，∴，∴；在中，【例4】         ⑴如图，梯形中，，，为上一点，且，若，，，则=      ． ⑵如图，已知，，是线段的中点，且，，，那么        ．  【解析】       ⑴ 10；⑵ 4    【例5】         ⑴ 如图，正方形ABCD的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则DE的长为             ．  ⑵ 如图，一个边长分别为、、的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点重合，另两个顶点分别在正方形的两条边、上，那么这个正方形的面积是         ． 【解析】       ⑴ 2．⑵ ．抓住相似模型．，∴设，，∴在中，，∴正方形的面积为． 【例6】         ⑴ 等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F. 如图，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.  ⑵ 如图，梯形中，∥，，，点 分别在线段上，且，若，求长．  【解析】⑴ 可证△EBP∽△PCF.∴ ．设BP=x，则 ．解得 .∴ PE的长为4或．⑵ 在梯形中，∥， ，，∴∴∵∴∴∴△∽△∴即： 解得：．   【例7】         如图，在矩形中，为中点，交于，连结．⑴与是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由．⑵设，是否存在这样的值，使得与相似，  若存在，证明你的结论，并求出的值；若不存在，说明理由． 【解析】       ⑴ 相似．在矩形中，．因为，、、共线，所以．又∵，∴∴∴∵∴又∵∴⑵ 存在，由于，∴只能是，．由⑴知，∴．∴．即．反过来，在时，，，，，∴．∴．
精讲: 相似三角形经典模型总结【探究一】模型介绍：⑴ A字型与反A字型；⑵ 8字型与反8字型；⑶ 双垂直模型与母子型；⑷ 三垂直模型与一线三等角模型；⑸ 手拉手相似模型；【探究二】模型联系：   
训练1.             如图，中，，于，平分交于，于．求证：．【解析】       由，，∴∴，即又∵和中，，∴∴，∴∵是的平分线，，∴，则训练2.             已知：如图，在正方形中，，点是边上的动点（点不与端点重合），的垂直平分线分别交于点，交的延长线于点．⑴ 设，试用含的代数式表示的值；⑵ 在⑴的条件下，当时，求的长．【解析】       ⑴ 过点作，分别交于两点．∵是线段的垂直平分线，∴．∵，∴∵H是AE的中点，∴M是AD的中点∴是的中位线，∴．∵四边形是正方形，∴四边形是矩形．∴．∴．∵，∴．∴，即．　⑵ 过点作于点，则四边形和四边形都是矩形．∵，解得．∴，．∵，∴，即．又∵∴解得．∴．　训练3.             已知，，，，为线段上的动点，点在射线上，且满足（如图1所示）．⑴ 当，且点与点重合时（如图2所示），求线段的长；⑵ 在图1中，连结．当，且点在线段上时，设点之间的距离为，，其中表示的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出自变量的范围； ⑶ 当，且点在线段的延长线上时（如图3所示），求的大小． 【解析】       ⑴ 中，，∴，∴，即，过点作于E，如图⑴则而⑵ 如图⑵，过点分别作于，于点.∵，∴∴设，则，∴,，∴⑶ 答：证明：如图⑶，过点分别作于，于点.∵，∴∴又∵，∴∴∴∴ 训练4.             等腰直角中，、分别为直角边、上的点，且，过、分别作的垂线，交斜边于、．求证：．【解析】       如图，延长至，使，连接则，于是可证于是∵∴∴∴∴∴． 
题型一  模型中的相似  巩固练习【练习1】   如图，是一块锐角三角形余料，边长毫米，高毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？【解析】       ∵四边形为正方形∴∴设边长为，，即∴（毫米）答：边长为毫米．题型二  模型中的相似  巩固练习【练习2】   如图，斜边上的高为，若，，则    ，     ，     ．【解析】       ，，． 【练习3】   如图，中，，于，是上任意一点，连结，过作于，求证：．【解析】       ∵，∴又∴∴，即又∵为直角三角形，∴又∴∴，即∴． 【练习4】   如图，在中，，，．点在斜边上，分别作，，垂足分别为、，得四边形．设，．⑴ 用含的代数式表示为        ；⑵ 求与之间的函数关系式，并求出的取值范围；⑶ 设四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值．【解析】       ⑴ ；⑵ 可证∴∴∴⑶ 当时，取到最大值为．
 题型三  三垂直的应用  巩固练习【练习5】   如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形．点为线段上一点（不包括端点），且，求的面积．     【解析】       如图，设，则．∵，∴．又，∴．又∵．∴∴．即． 解得，（不符合题意，舍去）．∴，即． 当时，，∴，，．