2022-2023学年北京市西城区中考数学专项提升仿真模拟卷（4月5月）含解析

这是一份2022-2023学年北京市西城区中考数学专项提升仿真模拟卷（4月5月）含解析，共54页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市西城区中考数学专项提升仿真模拟卷
（4月）
一、选一选：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 计算的结果是（　　）
A. 0 B. 1 C. ﹣1 D.
2. 下列语句描述的中，是随机的为（　　）
A. 水能载舟，亦能覆舟 B. 只手遮天，偷天换日
C. 瓜熟蒂落，水到渠成 D. 心想事成，万事如意
3. 下列图形中，没有是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
4. 若单项式am﹣1b2与和仍是单项式，则nm的值是（　　）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
5. 与最接近的整数是（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
6. 一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（　　）

A. B.
C. D.
7. 化简的结果为（　　）
A. B. a﹣1 C. a D. 1
8. 甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜场数相同，则丁胜的场数是（　　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
9. 如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（　　）

A 2π B. C. D.
10. “绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　）
A B.
C. D.
11. 如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（　　）


A. 4 B. 6 C. D. 8
12. 如图，P为等边三角形ABC内一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　）

A. B. C. D.
二、填 空 题（每题4分，共5个小题，满分20分，将直接填写结果）
13. 如图，直线a∥b，若∠1=140°，则∠2=__________°．

14. 分解因式：2x3﹣6x2+4x=__________．
15. 在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于__________．

16. 已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为__________．
17. 将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是__________．

三、解 答 题（本大题共7小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18. 先化简，再求值：a（a+2b）﹣（a+1）2+2a，其中．
19. 已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．

20. “推进全科阅读，培育时代新人”．某学校为了地开展学生读书，随机了八年级50名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表：
时间（小时）
6
7
8
9
10
人数
5
8
12
15
10
（1）写出这50名学生读书时间的众数、中位数、平均数；
（2）根据上述表格补全下面的条形统计图．
（3）学校欲从这50名学生中，随机抽取1名学生参加上级部门组织的读书，其中被抽到学生的读书时间没有少于9小时的概率是多少？

21. 如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）直接写出当x＞0时，没有等式x+b＞的解集；
（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．

22. 如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根．
（1）求证：PA•BD=PB•AE；
（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若没有存在，说明理由．

23. （1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是__________；位置关系是__________．
（2）类比思考：
如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件没有变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．
（3）深入研究：
如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件没有变，试判断△GMN的形状，并给与证明．

24. 如图，抛物线y=ax2+bx△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，﹣），O为坐标原点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；
（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和时，求∠BOC的大小及点C的坐标．













2022-2023学年北京市西城区中考数学专项提升仿真模拟卷
（4月）
一、选一选：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 计算的结果是（　　）
A. 0 B. 1 C. ﹣1 D.
【正确答案】A

【详解】分析：先计算值，再计算减法即可得．
详解：=﹣=0，
故选A．
点睛：本题主要考查值和有理数减法，解题的关键是掌握值的性质和有理数的减法法则．
2. 下列语句描述的中，是随机的为（　　）
A. 水能载舟，亦能覆舟 B. 只手遮天，偷天换日
C. 瓜熟蒂落，水到渠成 D. 心想事成，万事如意
【正确答案】D

【分析】直接利用随机以及必然、没有可能的定义分别分析得出答案．
【详解】解：A、水能载舟，亦能覆舟，是必然，故此选项错误；
B、只手遮天，偷天换日，是没有可能，故此选项错误；
C、瓜熟蒂落，水到渠成，是必然，故此选项错误；
D、心想事成，万事如意，是随机，故此选项正确．
故选D．
此题主要考查了随机以及必然、没有可能，正确把握相关定义是解题关键．
3. 下列图形中，没有是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】观察四个选项图形，根据轴对称图形的概念即可得出结论．
【详解】根据轴对称图形的概念，可知：选项A中的图形没有是轴对称图形．
故选A．
此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．
4. 若单项式am﹣1b2与的和仍是单项式，则nm的值是（　　）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
【正确答案】C

【详解】分析：首先可判断单项式am-1b2与a2bn是同类项，再由同类项的定义可得m、n的值，代入求解即可．
详解：∵单项式am-1b2与a2bn的和仍是单项式，
∴单项式am-1b2与a2bn是同类项，
∴m-1=2，n=2，
∴m=3，n=2，
∴nm=8．
故选C．
点睛：本题考查了合并同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项中的两个相同．
5. 与最接近的整数是（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【正确答案】B

【详解】分析：由题意可知36与37最接近，即与最接近，从而得出答案．
详解：∵36＜37＜49，
∴＜＜，即6＜＜7，
∵37与36最接近，
∴与最接近的是6．
故选B．
点睛：此题主要考查了无理数的估算能力，关键是整数与最接近，所以=6最接近．
6. 一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（　　）

A. B.
C. D.
【正确答案】A

【详解】分析：先利用正弦的定义得到sinA=0.15，然后利用计算器求锐角α．
详解：sinA=，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为

故选A．
点睛：本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
7. 化简的结果为（　　）
A. B. a﹣1 C. a D. 1
【正确答案】B

【分析】根据同分母分式加减法的运算法则进行计算即可求出答案．

【详解】解：原式=
=
=a－1
故选：B．

本题考查了同分母分式加减法的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．

8. 甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（　　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【正确答案】D

【详解】分析：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；由此进行分析即可．
详解：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，
所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；
若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾，
所以甲只能是胜两场，
即：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，也就是胜0场．
答：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，丁胜0场．
故选D．
点睛：此题是推理论证题目，解答此题的关键是先根据题意，通过分析，进而得出两种可能性，继而分析即可．
9. 如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（　　）

A. 2π B. C. D.
【正确答案】D

【分析】连接OC，根据∠BAC=50°，求出∠COA的度数，再根据弧长公式即可求出弧AC的长．
【详解】连接OC.

则∠BAC=∠OCA=50°，
∴∠AOC=80°，
∴
故选D
此题考查了扇形的弧长公式的应用，连接OC，由等边对等角及三角形内角和定理得到∠AOC=80°是解题的关键．
10. “绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【正确答案】C

【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率提前 30 天完成任务，即可得出关于x的分式方程．
【详解】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为万平方米，
依题意得：，
即．
故选C．
考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
11. 如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（　　）


A. 4 B. 6 C. D. 8
【正确答案】B

【分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，
∴∠ACB=2∠B，NM=NC，
∴∠B=30°，
∵AN=1，
∴MN=2，
∴AC=AN+NC=3，
∴BC=6，
故选B．
本题考查30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形的思想解答．
12. 如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】分析：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP于点F．AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．
详解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，

∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°．
∴∠APF=30°，
∴在直角△APF中，AF=AP=，PF=AP=．
∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+）2+（）2=25+12．
则△ABC的面积是•AB2=•（25+12）=9+．
故选A．
点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转的距离相等．
二、填 空 题（每题4分，共5个小题，满分20分，将直接填写结果）
13. 如图，直线a∥b，若∠1=140°，则∠2=__________°．

【正确答案】40

【分析】由两直线平行同旁内角互补得出∠1+∠2=180°，根据∠1的度数可得答案．
【详解】解：∵a∥b，
∴∠1+∠2=180°，
∵∠1=140°，
∴∠2=180°﹣∠1=40°，
故答案为40．
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同旁内角互补．
14. 分解因式：2x3﹣6x2+4x=__________．
【正确答案】2x（x﹣1）（x﹣2）．

【详解】分析：首先提取公因式2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案．
详解：2x3﹣6x2+4x
=2x（x2﹣3x+2）
=2x（x﹣1）（x﹣2）．
故答案为2x（x﹣1）（x﹣2）．
点睛：此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．
15. 在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于__________．

【正确答案】10

【详解】分析：要计算周长首先需要证明E、C、D共线，DE可求，问题得解．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，CD=AB=2
由折叠，∠DAC=∠EAC
∵∠DAC=∠ACB
∴∠ACB=∠EAC
∴OA=OC
∵AE过BC的中点O
∴AO=BC
∴∠BAC=90°
∴∠ACE=90°
由折叠，∠ACD=90°
∴E、C、D共线，则DE=4
∴△ADE的周长为：3+3+2+2=10
故答案为10
点睛：本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质和三点共线的证明．解题时注意没有能忽略E、C、D三点共线．
16. 已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为__________．
【正确答案】2或8

【分析】分两种情况：当点C在点B左侧时，如图，先根据三等分点的定义得：AC=BC=BD，由平移m个单位可知：AC=BD=m，计算点A和B的坐标可得AB的长，进一步即可求出m的值；当点C在点B右侧时，根据m=2AB求解即可．
【详解】解：①如图，当点C在点B左侧时，
∵B，C是线段AD的三等分点，
∴AC=BC=BD，
由题意得：AC=BD=m，
当y=0时，x2+2x﹣3=0，解得：x1=1，x2=﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB=3+1=4，
∴AC=BC=2，
∴m=2；
当点C在点B右侧时，AB=BC=CD=4，
∴m=AB+BC=4+4=8；
故2或8．

本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的平移及解一元二次方程等知识，属于常考题型，利用数形的思想和三等分点的定义解决问题是关键．
17. 将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是__________．

【正确答案】2018

【详解】分析：观察图表可知：第n行个数是n2，可得第45行个数是2025，推出第45行、第8列的数是2025﹣7=2018；
详解：观察图表可知：第n行个数是n2，
∴第45行个数是2025，
∴第45行、第8列的数是2025﹣7=2018，
故答案为2018．
点睛：本题考查规律型﹣数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题．
三、解 答 题（本大题共7小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18. 先化简，再求值：a（a+2b）﹣（a+1）2+2a，其中．
【正确答案】2ab﹣1，=1．

【详解】分析：先计算单项式乘以多项式与和的完全平方，再合并同类项，代入计算即可．
详解：原式=a2+2ab﹣（a2+2a+1）+2a
=a2+2ab﹣a2﹣2a﹣1+2a
=2ab﹣1，
当，时，
原式=2（+1）（-1）﹣1
=2﹣1
=1．
点睛：本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
19. 已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．

【正确答案】证明见解析

【详解】分析：过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°．
详解：如图，过点A作EF∥BC，

∵EF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°，
即∠A+∠B+∠C=180°．
点睛：本题考查了三角形的内角和定理的证明，作辅助线把三角形的三个内角转化到一个平角上是解题的关键．
20. “推进全科阅读，培育时代新人”．某学校为了地开展学生读书，随机了八年级50名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表：
时间（小时）
6
7
8
9
10
人数
5
8
12
15
10
（1）写出这50名学生读书时间众数、中位数、平均数；
（2）根据上述表格补全下面的条形统计图．
（3）学校欲从这50名学生中，随机抽取1名学生参加上级部门组织的读书，其中被抽到学生的读书时间没有少于9小时的概率是多少？

【正确答案】（1）众数是9；中位数是8.5；平均数是8.34；（2）补图见解析；（3）

【详解】分析：（1）先根据表格提示的数据得出50名学生读书的时间，然后除以50即可求出平均数；在这组样本数据中，9出现的次数至多，所以求出了众数；将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是8和9，从而求出中位数是8.5；
（2）根据题意直接补全图形即可．
（3）从表格中得知在50名学生中，读书时间没有少于9小时的有25人再除以50即可得出结论．
详解：（1）观察表格，可知这组样本数据的平均数为：
（6×5+7×8+8×12+9×15+10×10）÷50=8.34，
故这组样本数据的平均数为8.34；
∵这组样本数据中，9出现了15次，出现的次数至多，
∴这组数据的众数是9；
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是8和9，
∴这组数据的中位数为（8+9）=8.5；
（2）补全图形如图所示，

（3）∵读书时间是9小时的有15人，读书时间是10小时的有10人，
∴读书时间没有少于9小时的有15+10=25人，
∴被抽到学生的读书时间没有少于9小时的概率是
点睛：本题考查了加权平均数、众数以及中位数，用样本估计总体的知识，解题的关键是牢记概念及公式．
21. 如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）直接写出当x＞0时，没有等式x+b＞的解集；
（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．

【正确答案】（1）；（2）x＞1；（3）P（﹣，0）或（，0）

【详解】分析：（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=，可得y与x之间的函数关系式；
（2）依据A（1，3），可得当x＞0时，没有等式x+b＞的解集为x＞1；
（3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，则CP=BC=，或BP=BC=，即可得到OP=3﹣=，或OP=4﹣=，进而得出点P的坐标．
详解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，
∴A（1，3），
把A（1，3）代入双曲线y=，可得k=1×3=3，
∴y与x之间的函数关系式为：y=；
（2）∵A（1，3），
∴当x＞0时，没有等式x+b＞的解集为：x＞1；
（3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，
∴点B坐标为（4，0），
把A（1，3）代入y2=x+b，可得3=+b，
∴b=，
∴y2=x+，
令y2=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0），
∴BC=7，
∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，
∴CP=BC=，或BP=BC=
∴OP=3﹣=，或OP=4﹣=，
∴P（﹣，0）或（，0）．
点睛：本题考查了反比例函数与函数的交点问题：求反比例函数与函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
22. 如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根．
（1）求证：PA•BD=PB•AE；
（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若没有存在，说明理由．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）存在，

【详解】分析：（1）易证∠APE=∠BPD，∠EAP=∠B，从而可知△PAE∽△PBD，利用相似三角形的性质即可求出答案．
（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，易求得AE=2，BD=3，由（1）可知：，从而可知cos∠BDF=cos∠BAC=cos∠APC=，从而可求出AD和DG的长度，进而证明四边形ADFE是菱形，此时F点即为M点，利用平行四边形的面积即可求出菱形ADFE的面积．
详解：（1）∵PD平分∠APB，
∴∠APE=∠BPD，
∵AP与⊙O相切，
∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°，
∴∠EAP=∠B，
∴△PAE∽△PBD，
∴，
∴PA•BD=PB•AE；
（2）如图，过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，

∵PD平分∠APB，AD⊥AP，DF⊥PB，
∴AD=DF，
∵∠EAP=∠B，
∴∠APC=∠BAC，
易证：DF∥AC，
∴∠BDF=∠BAC，
由于AE，BD（AE＜BD）的长是x2﹣5x+6=0的两个实数根，
解得：AE=2，BD=3，
∴由（1）可知：，
∴cos∠APC=，
∴cos∠BDF=cos∠APC=，
∴，
∴DF=2，
∴DF=AE，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∵AD=DF，
∴四边形ADFE是菱形，此时点F即为M点，
∵cos∠BAC=cos∠APC=，
∴sin∠BAC=，
∴，
∴DG=，
∴菱形ADME的面积为：DG•AE=2×=.
点睛：本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，锐角三角函数的定义，平行四边形的判定及其面积公式，相似三角形的判定与性质，综合程度较高，考查学生的灵活运用知识的能力．
23. （1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是__________；位置关系是__________．
（2）类比思考：
如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件没有变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．
（3）深入研究：
如图③，小明在（2）基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件没有变，试判断△GMN的形状，并给与证明．

【正确答案】（1）MG=NG； MG⊥NG；（2）成立，MG=NG，MG⊥NG；（3）等腰直角三角，证明见解析

【分析】（1）利用SAS判断出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而判断出∠BDC+∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，用三角形中位线定理即可得出结论；
（2）同（1）的方法即可得出结论；
（3）同（1）的方法得出MG=NG，利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论．
【详解】解：（1）连接BE，CD相交于H，如图1，

∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°
∴∠CAD=∠BAE，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，
∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠BHD=90°，
∴CD⊥BE，
∵点M，G分别是BD，BC的中点，
∴MG∥CD且MG=CD，
同理：NG∥BE且NG=BE，
∴MG=NG，MG⊥NG；
（2）连接CD，BE，相交于H，如图2，

∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠BAE，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，
∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠BHD=90°，
∴CD⊥BE，
∵点M，G分别是BD，BC的中点，
∴MG∥CD且MG=CD，
同理：NG∥BE且NG=BE，
∴MG=NG，MG⊥NG；
（3）连接EB，DC并延长相交于点H，如图3，

同（1）的方法得，MG=NG，
同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，
∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°，
∴∠DHE=90°，
同（1）的方法得，MG⊥NG．
∴△GMN等腰直角三角形．
此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键．
24. 如图，抛物线y=ax2+bx△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，﹣），O为坐标原点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；
（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和时，求∠BOC的大小及点C的坐标．

【正确答案】（1）；（2）t＞4；（3）∠BOC=60°，C

【详解】分析：（1）将已知点坐标代入y=ax2+bx，求出a、b的值即可；
（2）利用抛物线增减性可解问题；
（3）观察图形，点A，点B到直线OC的距离之和小于等于AB；同时用点A（1，），点B（3，﹣）求出相关角度．
详解：（1）把点A（1，），点B（3，﹣）分别代入y=ax2+bx得
，解得
∴y=﹣
（2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x=，
当x＞时，y随x的增大而减小，
∴当t＞4时，n＜m．
（3）如图，设抛物线交x轴于点F，分别过点A、B作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E

∵AC≥AD，BC≥BE，
∴AD+BE≤AC+BE=AB，
∴当OC⊥AB时，点A，点B到直线OC的距离之和．
∵A（1，），点B（3，﹣），
∴∠AOF=60°，∠BOF=30°，
∴∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°．
当OC⊥AB时，∠BOC=60°，点C坐标为．
点睛：本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式，抛物线的增减性．解答问题时注意线段最值问题的转化方法．













2022-2023学年北京市西城区中考数学专项提升仿真模拟卷
（5月）
一、选一选
1. 2的倒数是（   ）
A. 2 B. C. D. -2
2. 下列运算正确的是（   ）
A. B. C. D.
3. 如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝35°,∠C＝24°,则∠D的度数是（   ）

A. 24° B. 59° C. 60° D. 69°
4. 函数 中，自变量x的取值范围是（   ）
A. x≠0 B. x＜1 C. x＞1 D. x≠1
5. 若a＜b，则下列结论没有一定成立是（ ）
A. a-1＜b-1 B. 2a＜2b C. D.
6. 若实数m、n满足 ，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 （   ）
A. 12 B. 10 C. 8或10 D. 6
7. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（   ）

A. B. 2 C. D. 4
8. 在平面直角坐标系中，过点（1,2）作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是（   ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
二、填 空 题
9. 一组数据：2,5,3,1,6，则这组数据的中位数是________.
10. 地球上海洋总面积约为360 000 000km2，将360 000 000用科学记数法表示________.
11. 分解因式：_________．
12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
13. 已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是________cm2.
14. 在平面直角坐标系中，将点（3，﹣2）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得点的坐标是_____．
15. 为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵数是________.
16. 小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有7根火柴棒，每次取1根或2根，取完者获胜.若由小明先取，且小明获胜是必然，则小明次应该取走火柴棒根数是________.
17. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）与正比例函数y=kx、 （k＞1）的图象分别交于点A、B，若∠AOB＝45°，则△AOB的面积是________.

18. 如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点A，B分别落在x、y轴的正半轴上，∠OAB＝60°，点A的坐标为（1，0），将三角板ABC沿x轴向右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°，…）当点B次落在x轴上时，则点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是________.

三、解 答 题
19. 解方程组：
20. 计算：
21. 某市举行“传承好家风”征文比赛，已知每篇参赛征文成绩记m分（60≤m≤100），组委会从1000篇征文中随机抽取了部分参赛征文，统计了他们的成绩，并绘制了如下没有完整的两幅统计图表.

 
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）征文比赛成绩频数分布表中c的值是________；
（2）补全征文比赛成绩频数分布直方图；
（3）若80分以上（含80分）的征文将被评为一等奖，试估计全市获得一等奖征文的篇数.
22. 如图，在□ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB、CD交于点G、H，求证：AG＝CH.

23. 有2部没有同的电影A、B，甲、乙、丙3人分别从中任意选择1部观看.
（1）求甲选择A部电影概率；
（2）求甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率（请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果）
24. 某种型号汽车油箱容量为40L，每行驶100km耗油10L.设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为x（km），行驶过程中油箱内剩余油量为y（L）
（1）求y与x之间函数表达式；
（2）为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量没有低于油箱容量的四分之一，按此建议，求该辆汽车至多行驶的路程.
25. 如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为450 ，然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达B点处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是600和300，设PQ垂直于AB，且垂足为C.

（1）求∠BPQ的度数；
（2）求树PQ的高度（结果到0.1m， ）
26. 如图，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P．连接PC并延长与AB的延长线交于点F．

（1）求证：PC是半⊙O的切线；
（2）若∠CAB=30°，AB=10，求线段BF的长．
27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；
（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若没有能，请说明理由.


2022-2023学年北京市西城区中考数学专项提升仿真模拟卷
（5月）
一、选一选
1. 2的倒数是（   ）
A. 2 B. C. D. -2
【正确答案】B

【详解】【分析】倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数，由此即可得出答案.
【详解】∵2×=1，
∴2的倒数是，
故选B .
本题考查了倒数的定义，熟知乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键.

2. 下列运算正确的是（   ）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项的法则逐项进行计算即可得.
【详解】A. ，故A选项错误；
B. a2与a1没有是同类项，没有能合并，故B选项错误；
C. ，故C选项正确；
D. ，故D选项错误，
故选C.
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项等运算，熟练掌握有关的运算法则是解题的关键.
3. 如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝35°,∠C＝24°,则∠D的度数是（   ）

A. 24° B. 59° C. 60° D. 69°
【正确答案】B

【详解】【分析】根据三角形外角性质得∠DBC=∠A+∠C，再由平行线性质得∠D=∠DBC.
【详解】∵∠A=35°，∠C=24°，
∴∠DBC=∠A+∠C=35°+24°=59°，
又∵DE∥BC，
∴∠D=∠DBC=59°，
故选B.
本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
4. 函数 中，自变量x的取值范围是（   ）
A. x≠0 B. x＜1 C. x＞1 D. x≠1
【正确答案】D

【详解】【分析】根据分式有意义的条件：分母没有为0，计算即可得出答案.
【详解】依题可得：x-1≠0，
∴x≠1，
故选D.
本题考查了函数自变量的取值范围，熟知分式有意义的条件是分母没有为0是解本题的关键.
5. 若a＜b，则下列结论没有一定成立的是（ ）
A. a-1＜b-1 B. 2a＜2b C. D.
【正确答案】D

【分析】根据没有等式的性质逐项进行判断即可得答案．
【详解】解：A、∵a＜b，
∴ a-1＜b-1，正确，故A没有符合题意；
B、∵a＜b，
∴ 2a＜2b，正确，故B没有符合题意；
C、∵a＜b，
∴ ，正确，故C没有符合题意；
D、当a＜b＜0时，
a2>b2，故D选项错误，符合题意，
故选D．
本题考查了没有等式的基本性质，熟练掌握没有等式的性质是解题的关键．
6. 若实数m、n满足 ，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 （   ）
A. 12 B. 10 C. 8或10 D. 6
【正确答案】B

【分析】根据值和二次根式的非负性得m、n的值，再分情况讨论：①若腰为2，底为4，由三角形两边之和大于第三边，舍去；②若腰为4，底为2，再由三角形周长公式计算即可.
【详解】由题意得：m-2=0，n-4=0，∴m=2，n=4，
又∵m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，
①若腰为2，底为4，此时没有能构成三角形，舍去，
②若腰为4，底为2，则周长为：4+4+2=10，
故选B.
本题考查了非负数的性质以及等腰三角形的性质，根据非负数的性质求出m、n的值是解题的关键.
7. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（   ）

A. B. 2 C. D. 4
【正确答案】A

【详解】【分析】根据菱形的性质得菱形边长为4，AC⊥BD，由一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形；在Rt△AOD中，根据勾股定理得AO=2，AC=2AO=4，根据三角形面积公式得S△ACD=OD·AC=4，根据中位线定理得OE∥AD，根据相似三角形的面积比等于相似比继而可求出△OCE的面积.
【详解】∵菱形ABCD的周长为16，∴菱形ABCD的边长为4，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
又∵O是菱形对角线AC、BD的交点，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOD中，
∴AO=，
∴AC=2AO=4，
∴S△ACD=OD·AC= ×2×4=4，
又∵O、E分别是中点，
∴OE∥AD，
∴△COE∽△CAD，
∴，
∴，
∴S△COE=S△CAD=×4=，
故选A.
本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，图形熟练应用相关性质是解题的关键.
8. 在平面直角坐标系中，过点（1,2）作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是（   ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【正确答案】C

【详解】【分析】设直线l解析式为：y=kx+b，由l与x轴交于点A（-，0），与y轴交于点B（0，b），依题可得关于k和b的二元方程组，代入消元即可得出k的值，从而得出直线条数.
【详解】设直线l解析式为：y=kx+b，则l与x轴交于点A（- ，0），与y轴交于点B（0，b），
∴，
∴（2-k）2=8|k|，
∴k2-12k+4=0或（k+2）2=0，
∴k=6±4或k=-2，
∴满足条件直线有3条，
故选C.
本题考查了函数图象与坐标轴交点问题，三角形的面积等，解本题的关键是确定出直线y=kx+b与x轴、y轴的交点坐标.
二、填 空 题
9. 一组数据：2,5,3,1,6，则这组数据的中位数是________.
【正确答案】3

【详解】【分析】根据中位数的定义进行求解即可得出答案.
【详解】将数据从小到大排列：1，2，3，5，6，
处于最中间的数是3，
∴中位数3，
故答案为3.
本题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小排列，处于最中间（中间两数的平均数）的数即为这组数据的中位数.
10. 地球上海洋总面积约为360 000 000km2，将360 000 000用科学记数法表示是________.
【正确答案】3.6×108

【详解】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值>1时，n是正数；当原数的值<1时，n是负数．
【详解】360 000 000将小数点向左移8位得到3.6，
所以360 000 000用科学记数法表示为：3.6×108，
故答案为3.6×108.
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11. 分解因式：_________．
【正确答案】y（x+1）（x﹣1）．

【详解】试题分析：x2y﹣y=y（x2﹣1）=y（x+1）（x﹣1），故答案为y（x+1）（x﹣1）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解．

12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
【正确答案】8

【详解】解：设边数为n，由题意得，
180（n-2）=3603，
解得n=8．
所以这个多边形的边数是8．
故8．
13. 已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是________cm2.
【正确答案】15π

【分析】设圆锥母线长为l，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案.
【详解】解：设圆锥母线长为l，
∵r=3cm，h=4cm，
∴母线l=cm，
∴S侧=×2πr×5=×2π×3×5=15πcm2，
故答案为15π.
本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键.
14. 在平面直角坐标系中，将点（3，﹣2）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得点的坐标是_____．
【正确答案】（5，1）

【详解】【分析】根据点坐标平移特征：左减右加，上加下减，即可得出平移之后的点坐标.
【详解】∵点（3，-2）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴所得的点的坐标为：（5，1），
故答案为（5，1）.
本题考查了点的平移，熟知点的坐标的平移特征是解题的关键.
15. 为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵数是________.
【正确答案】120

【详解】【分析】设原计划每天种树x棵，则实际每天种树2x棵，根据题意列出分式方程，解之即可.
【详解】设原计划每天种树x棵，则实际每天种树2x棵，
依题可得：，
解得：x=120，
经检验x=120是原分式方程的根，
故答案为120.
本题考查了列分式方程解应用题，弄清题意，找出等量关系是解题关键.
16. 小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有7根火柴棒，每次取1根或2根，取完者获胜.若由小明先取，且小明获胜是必然，则小明次应该取走火柴棒的根数是________.
【正确答案】1

【详解】【分析】要保证小明获胜是必然，则小明必然要取到第7根火柴，进行倒推，可以发现只要两人所取的根数之和为3就能保证小明获胜.
【详解】如果小明次取走1根，剩下了6根，后面无论如取，只要保证每轮两人所取的根数之和为3，就能保证小明将取走一根火柴，
而6是3的倍数，因此小明次应该取走1根，
故答案为1.
本题考查了随机，概率的意义，理解题目信息，判断出使两人所取的根数之和是3是解题的关键．
17. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）与正比例函数y=kx、 （k＞1）的图象分别交于点A、B，若∠AOB＝45°，则△AOB的面积是________.

【正确答案】2

【详解】【分析】作BD⊥x轴，AC⊥y轴，OH⊥AB（如图），设A（x1，y1），B（x2 ， y2），根据反比例函数k的几何意义得x1y1=x2y2=2；将反比例函数分别与y=kx，y=联立，解得x1=，x2=，从而得x1x2=2，所以y1=x2， y2=x1， 根据SAS得△ACO≌△BDO，由全等三角形性质得AO=BO，∠AOC=∠BOD，由垂直定义和已知条件得∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，根据AAS得△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，根据三角形面积公式得S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=x1y1+ x2y2= ×2+ ×2=2.
【详解】如图：作BD⊥x轴，AC⊥y轴，OH⊥AB，

设A（x1，y1），B（x2 ， y2），
∵A、B在反比例函数上，
∴x1y1=x2y2=2，
∵，
解得：x1=，
又∵，
解得：x2=，
∴x1x2=×=2，
∴y1=x2， y2=x1，
即OC=OD，AC=BD，
∵BD⊥x轴，AC⊥y轴，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∴△ACO≌△BDO（SAS），
∴AO=BO，∠AOC=∠BOD，
又∵∠AOB＝45°，OH⊥AB，
∴∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，
∴S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=x1y1+ x2y2= ×2+ ×2=2，
故答案为2.
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数与函数的交点问题，全等三角形的判定与性质等，正确添加辅助线是解题的关键.
18. 如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点A，B分别落在x、y轴的正半轴上，∠OAB＝60°，点A的坐标为（1，0），将三角板ABC沿x轴向右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°，…）当点B次落在x轴上时，则点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是________.

【正确答案】+π

【详解】【分析】在Rt△AOB中，由A点坐标得OA=1，根据锐角三角形函数可得AB=2，OB=，在旋转过程中，三角板的角度和边的长度没有变，所以点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积：S=，计算即可得出答案.
【详解】在Rt△AOB中，∵A（1，0），∴OA=1，
又∵∠OAB＝60°，
∴cos60°=，
∴AB=2，OB=，
∵在旋转过程中，三角板的角度和边的长度没有变，
∴点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积：
S==π，
故答案为π.

本题考查了扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，旋转的性质等，根据题意正确画出图形是解题的关键.
三、解 答 题
19. 解方程组：
【正确答案】原方程组的解为

【分析】利用代入法进行求解即可得．
【详解】 ，
由①得：x=-2y ③
将③代入②得：3(-2y)+4y=6，
解得：y=-3，
将y=-3代入③得：x=6，
∴原方程组的解为．
本题考查了解二元方程组，熟练掌握二元方程组的解法是解题的关键．
20. 计算：
【正确答案】5

【详解】【分析】按顺序先进行平方运算、0次幂运算、值的化简、角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可.
【详解】原式=4-1+（2-）+2×，
=4-1+2-+，
=5.
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算顺序、角的三角函数值是解题的关键.
21. 某市举行“传承好家风”征文比赛，已知每篇参赛征文成绩记m分（60≤m≤100），组委会从1000篇征文中随机抽取了部分参赛征文，统计了他们的成绩，并绘制了如下没有完整的两幅统计图表.

 
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）征文比赛成绩频数分布表中c的值是________；
（2）补全征文比赛成绩频数分布直方图；
（3）若80分以上（含80分）的征文将被评为一等奖，试估计全市获得一等奖征文的篇数.
【正确答案】（1）0.2；（2）补全征文比赛成绩频数分布直方图见解析；（3）全市获得一等奖征文的篇数为300篇.

【详解】【分析】（1）由频率之和为1，用1减去其余各组的频率即可求得c的值；
（2）由频数分布表可知 60≤m＜70的频数为：38，频率为：0.38，根据总数=频数÷频率得样本容量，再由频数=总数×频率求出a、b的值，根据a、b的值补全图形即可；
（3）由频数分布表可知评为一等奖的频率为：0.2+0.1=0.3，再用总篇数×一等奖的频率=全市一等奖征文篇数.
【详解】（1）c=1-0.38-0.32-0.1=0.2，
故答案为0.2；
（2）38÷0.38=100，a=100×0.32=32，b=100×0.2=20，
补全征文比赛成绩频数分布直方图如图所示：

（3）由频数分布表可知评为一等奖的频率为：0.2+0.1=0.3，
∴全市获得一等奖征文的篇数为：1000×0.3=300（篇），
答：全市获得一等奖征文的篇数为300篇.
本题考查了频数分布表、频数分布直方图，熟知频数、频率、总数之间的关系是解本题的关键.
22. 如图，在□ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB、CD交于点G、H，求证：AG＝CH.

【正确答案】证明见解析.

【详解】【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，∠A=∠C，根据平行线的性质得∠E=∠F，再已知条件可得AF=CE，根据ASA得△CEH≌△AFG，根据全等三角形对应边相等得证.
【详解】∵在四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∠A=∠C，
∴∠E=∠F，
又∵BE＝DF，
∴AD+DF=CB+BE，
即AF=CE，
在△CEH和△AFG中，
，
∴△CEH≌△AFG，
∴CH=AG.
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
23. 有2部没有同的电影A、B，甲、乙、丙3人分别从中任意选择1部观看.
（1）求甲选择A部电影的概率；
（2）求甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率（请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果）
【正确答案】（1）甲选择A部电影的概率为；（2）甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率为.

【详解】【分析】（1）甲可选择电影A或B，根据概率公式即可得甲选择A部电影的概率.
（2）用树状图表示甲、乙、丙3人选择电影的所有情况，由图可知总共有8种情况，甲、乙、丙3人选择同一部电影的情况有2种，根据概率公式即可得出答案.
【详解】（1）∵甲可选择电影A或B，∴甲选择A部电影的概率P=，
答：甲选择A部电影概率为；
（2）甲、乙、丙3人选择电影情况如图：

由图可知总共有8种情况，甲、乙、丙3人选择同一部电影的情况有2种，
∴甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率P=，
答：甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率为.
本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24. 某种型号汽车油箱容量为40L，每行驶100km耗油10L.设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为x（km），行驶过程中油箱内剩余油量为y（L）
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量没有低于油箱容量的四分之一，按此建议，求该辆汽车至多行驶的路程.
【正确答案】 （1）y与x之间的函数表达式为：y=40-x（0≤x≤400）；（2）该辆汽车至多行驶的路程为300.

【详解】【分析】（1）根据题意可得y与x之间的函数表达式为：y=40-x（0≤x≤400）；
（2）根据题意可得没有等式：40-x≥40× ，解之即可得出答案.
【详解】（1）由题意得：y=40-x，即y=40-x（0≤x≤400），
答：y与x之间的函数表达式为：y=40-x（0≤x≤400）；
（2）解：依题可得：40- x≥40×，∴-x≥-30，
∴x≤300.
答：该辆汽车至多行驶的路程为300km.
本题考查了函数的应用、一元没有等式的应用，弄清题意，找出各个量之间的关系是解题的关键.
25. 如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为450 ，然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达B点处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是600和300，设PQ垂直于AB，且垂足为C.

（1）求∠BPQ的度数；
（2）求树PQ的高度（结果到0.1m， ）
【正确答案】（1）∠BPQ=30°；（2）树PQ的高度约为15.8m.

【分析】(1）根据题意题可得：∠A=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，AB=10m，在Rt△PBC中，根据三角形内角和定理即可得∠BPQ度数；
（2）设CQ=x，在Rt△QBC中，根据30度所对的直角边等于斜边的一半得BQ=2x，由勾股定理得BC=x；根据角的计算得∠PBQ=∠BPQ=30°，由等角对等边得PQ=BQ=2x，用含x的代数式表示PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+x，又∠A=45°，得出AC=PC，建立方程解之求出x，再将x值代入PQ代数式求之即可.
【详解】（1）依题可得：∠A=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，AB=10m，
在Rt△PBC中，
∵∠PBC=60°，∠PCB=90°，
∴∠BPQ=30°；
（2）设CQ=x，
在Rt△QBC中，
∵∠QBC=30°，∠QCB=90°，
∴BQ=2x，BC=x，
又∵∠PBC=60°，∠QBC=30°，
∴∠PBQ=30°，
由（1）知∠BPQ=30°，
∴PQ=BQ=2x，
∴PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+x，
又∵∠A=45°，
∴AC=PC，
即3x=10+x，
解得：x=，
∴PQ=2x=≈15.8（m），
答：树PQ的高度约为15.8m.
本题考查了解直角三角形的应用，涉及到三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等，准确识图是解题的关键.
26. 如图，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P．连接PC并延长与AB的延长线交于点F．

（1）求证：PC是半⊙O的切线；
（2）若∠CAB=30°，AB=10，求线段BF的长．
【正确答案】（1）见解析；（2）5.

【分析】（1）、连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可证得；（2）、依据切线的性质定理可知OC⊥PE，然后通过解直角三角函数，求得OF的值，再减去圆的半径即可．
【详解】解：（1）、连接OC，
∵OD⊥AC，OD圆心O，
∴AD=CD，
∴PA=PC，
在△OAP和△OCP中，，
∴△OAP≌△OCP（SSS），
∴∠OCP=∠OAP
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°．
∴∠OCP=90°，
即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
（2）、∵AB直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=30°，
∴∠COF=60°，
∵PC是⊙O的切线，AB=10，
∴OC⊥PF，OC=OB=AB=5，
∴OF==10，
∴BF=OF﹣OB=5．

27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；
（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若没有能，请说明理由.
【正确答案】（1）（1）A（a，0），B（3,0），D（0,3a）.（2）a的值为.（3）当a=时，D、O、C、B四点共圆.

【详解】【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴相交，则y=0，得出A（a，0），B（3，0），与y轴相交，则x=0，得出D（0，3a）.
（2）根据（1）中A、B、D的坐标，得出抛物线对称轴x=，AO=a，OD=3a，代入求得顶点C（，-），从而得PB=3- =，PC=；再分情况讨论：①当△AOD∽△BPC时，根据相似三角形性质得， 解得：a= 3（舍去）；
②△AOD∽△CPB，根据相似三角形性质得 ，解得：a1=3（舍），a2=；
（3）能；连接BD，取BD中点M，根据已知得D、B、O在以BD为直径，M（，a）为圆心的圆上，若点C也在此圆上，则MC=MB，根据两点间的距离公式得一个关于a的方程，解之即可得出答案.
【详解】（1）∵y=（x-a）（x-3）（0 ∴A（a，0），B（3，0），
当x=0时，y=3a，
∴D（0，3a）；
（2）∵A（a，0），B（3，0），D（0，3a）.∴对称轴x=，AO=a，OD=3a，
当x= 时，y=- ，
∴C（，-），
∴PB=3-=，PC=，
①当△AOD∽△BPC时，
∴，
即 ，  
解得：a= 3（舍去）；
②△AOD∽△CPB，
∴，
即 ，
解得：a1=3（舍），a2= .
综上所述：a的值为；
（3）能；连接BD，取BD中点M，

∵D、B、O三点共圆，且BD为直径，圆心为M（，a），
若点C也在此圆上，
∴MC=MB，
∴ ，
化简得：a4-14a2+45=0，
∴（a2-5）（a2-9）=0，
∴a2=5或a2=9，
∴a1=，a2=-，a3=3（舍），a4=-3（舍），
∵0 ∴a=，
∴当a=时，D、O、C、B四点共圆.
本题考查了二次函数、相似三角形的性质、四点共圆等，综合性较强，有一定的难度，正确进行分析，熟练应用相关知识是解题的关键.