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2022-2023学年河南省开封市中考数学专项突破仿真模拟卷（3月）含解析
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这是一份2022-2023学年河南省开封市中考数学专项突破仿真模拟卷（3月）含解析，共56页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省开封市中考数学专项突破仿真模拟卷
（3月）
一、选一选（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. ﹣2的相反数是（ ）
A. 2 B. C. ﹣2 D. 以上都没有对
2. 在游戏当中，小明将下面四张扑克牌中的三张旋转了180°，得到的图案和原来的一模一样，小芳看了后，很快知道没有旋转那张扑克牌是（ ）
A. 黑桃Q B. 梅花2 C. 梅花6 D. 方块9
3. 用6个相同的小正方体搭成一个几何体，若它的俯视图如图所示，则它的主视图没有可能是（ ）
A. B. C. D.
4. 地球表面积约为510000000km2，将510000000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.51×109 B. 5.1×108 C. 5.1×109 D. 51×107
5. 如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠EPF=70°，则∠BEP的度数为（ ）
A. 50° B. 55° C. 60° D. 65°
6. 下列运算，结果正确的是（ ）
A a3a2=a6 B. （2a2）2=24
C （x3）3=x6 D. （﹣ab）5÷（﹣ab）2=﹣a3b3
7. 某校八年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛．各参赛选手成绩的数据分析如下表所示，则以下判断错误的是
A. 八（2）班的总分高于八（1）班
B. 八（2）班的成绩比八（1）班稳定
C. 八（2）班的成绩集中在中上游
D. 两个班的分在八（2）班
8. 定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中没有正确的是（ ）
A. 当m=-3时，函数图象的顶点坐标是
B. 当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于
C 当m≠0时，函数图象同一个点
D. 当m<0时，函数在x>时，y随x的增大而减小
9. 没有透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外其他都相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后，放回摇匀，再从中摸出一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是( )
A. B. C. D.
10. 如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 随着数系没有断扩大，我们引进新数i，新 i满足交换律、律，并规定：i2=﹣1，那么（2+i）（2﹣i）=________（结果用数字表示）．
12. 关于x的正比例函数y=（m+2）x，若y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____．
13. 如图，在ABCD中，AM=AD，BD与MC相交于点O，则S△MOD∶S△BOC=_____．
14. 如图，正方形ABCD的边长为2，分别以A、D为圆心，2为半径画弧BD、AC，则图中阴影部分的面积为_____．
15. 如图，在菱形ABCD中，，，点M是对角线AC上的一个动点，过点M作交AB于点P，交AD于点Q，将沿PQ折叠，点A落在点E处，连接BE，当是等腰三角形时，AP的长为________．
三、解 答 题（共8小题，满分75分）
16. 先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=+1，y=﹣1．
17. 全民健身运动已成为一种时尚 ，为了解揭阳市居民健身运动的情况，某健身馆的工作人员开展了一项问卷，问卷内容包括五个项目:
A:健身房运动；B:跳广场舞；C:参加暴走团；D:散步；E:没有运动.
以下是根据结果绘制的统计图表的一部分，
运动形式
A
B
C
D
E
人数
请你根据以上信息，回答下列问题:
接受问卷的共有 人，图表中的 ， .
统计图中，类所对应的扇形的圆心角的度数是 度.
揭阳市环岛路是市民喜爱的运动场所之一，每天都有“暴走团”，若某社区约有人，请你估计一下该社区参加环岛路“暴走团”的人数.
18. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
(1) 求证：AD=AF；
(2) 当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形．并说明理由．
19. 如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；
（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果没有存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标．
20. 如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）
21. 某科技有限公司准备购进A和B两种机器人来搬运化工材料，已知购进A种机器人2个和B种机器人3个共需16万元，购进A种机器人3个和B种机器人2个共需14万元，请解答下列问题：
（1）求A、B两种机器人每个的进价；
（2）已知该公司购买B种机器人个数比购买A种机器人的个数的2倍多4个，如果需要购买A、B两种机器人的总个数没有少于28个，且该公司购买的A、B两种机器人的总费用没有超过106万元，那么该公司有哪几种购买？
22. 如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接CF，DF．
（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上时
①证明：△BFC是等腰三角形；
②请判断线段CF，DF的关系？并说明理由；
（2）如图2，将图1中的△ADE绕点A旋转到图2位置时，请判断（1）中②的结论是否仍然成立？并证明你的判断．
23. 已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，试求t的取值范围．
2022-2023学年河南省开封市中考数学专项突破仿真模拟卷
（3月）
一、选一选（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. ﹣2的相反数是（ ）
A. 2 B. C. ﹣2 D. 以上都没有对
【正确答案】A
【详解】﹣2的相反数是2，
故选:A.
2. 在游戏当中，小明将下面四张扑克牌中的三张旋转了180°，得到的图案和原来的一模一样，小芳看了后，很快知道没有旋转那张扑克牌是（ ）
A. 黑桃Q B. 梅花2 C. 梅花6 D. 方块9
【正确答案】C
【详解】牌黑桃Q、草花2、方块9是对称图形，旋转180度后与原图重合．若得到的图案和原来的一模一样，则需梅花6没有发生变化．
故选C．
3. 用6个相同的小正方体搭成一个几何体，若它的俯视图如图所示，则它的主视图没有可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：根据主视图和俯视图之间的关系可以得出答案．
详解： ∵主视图和俯视图的长要相等， ∴只有D选项中的长和俯视图没有相等，故选D．
点睛：本题主要考查的就是三视图的画法，属于基础题型．三视图的画法为：主视图和俯视图的长要相等；主视图和左视图的高要相等；左视图和俯视图的宽要相等．
4. 地球的表面积约为510000000km2，将510000000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.51×109 B. 5.1×108 C. 5.1×109 D. 51×107
【正确答案】B
【详解】试题分析：510 000 000=5.1×108．故选B．
考点：科学记数法—表示较大的数．
5. 如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠EPF=70°，则∠BEP的度数为（ ）
A. 50° B. 55° C. 60° D. 65°
【正确答案】A
【详解】分析：本题只要根据角平分线的性质得出∠EFD的度数，然后根据平行线的性质得出∠BEF的度数，从而得出答案．
详解：∵∠PEF=90°，∠EPF=70°， ∴∠EFP=20°，∵FP平分∠EFD， ∴∠EFD=40°，
∵AB∥CD， ∴∠BEF=180°－40°=140°， 又∵∠PEF=90°，∴∠BEP=50°，故选A．
点睛：本题主要考查的就是平行线的性质以及角平分线的性质，属于基础题型．熟记平行线的性质是解决本题的关键．
6. 下列运算，结果正确的是（ ）
A. a3a2=a6 B. （2a2）2=24
C. （x3）3=x6 D. （﹣ab）5÷（﹣ab）2=﹣a3b3
【正确答案】D
【详解】解：A、原式=，故错误；
B、原式=，故错误；
C、原式=，故错误；
D、原式=，正确，
本题故选D．
7. 某校八年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛．各参赛选手成绩的数据分析如下表所示，则以下判断错误的是
A. 八（2）班总分高于八（1）班
B. 八（2）班的成绩比八（1）班稳定
C. 八（2）班的成绩集中在中上游
D. 两个班的分在八（2）班
【正确答案】D
【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的性质就可以得出正确答案．
【详解】解：根据平均分可知八(1)班的总分为940分，八(2)班的总分为950分，故A正确；八(2)班的方差小于八(1)班的方差，则八(2)班的成绩比较稳定，故B正确；根据中位数和平均分可知八(2)班的成绩集中在中上游，故C正确；分从这张表格上无法显示，故D错误；故选D．
本题主要考查的就是平均数、中位数、方差及众数的作用，属于基础题型．解决本题的关键就是要明白各数据的作用．
8. 定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中没有正确的是（ ）
A. 当m=-3时，函数图象的顶点坐标是
B. 当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于
C. 当m≠0时，函数图象同一个点
D. 当m<0时，函数在x>时，y随x的增大而减小
【正确答案】D
【详解】分析：A、把m=-3代入[2m，1-m，-1-m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
B、令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；
C、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
D、根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．
详解：
因为函数y=ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；
A、当m=﹣3时，y=﹣6x2+4x+2=﹣6（x﹣）2+，顶点坐标是；此结论正确；
B、当m＞0时，令y=0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=0，解得：x1=1，x2=﹣﹣，
|x2﹣x1|=+＞，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，此结论正确；
C、当x=1时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）=0 即对任意m，函数图象都点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象x轴上一个定点此结论正确．
D、当m＜0时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，，即对称轴在x=右边，因此函数在x=右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；
根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的．
故选D．
点睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．
9. 没有透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外其他都相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后，放回摇匀，再从中摸出一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：画树状图如下：
易得共有3×3=9种可能，两次摸到球的颜色相同的有5种，所以概率是．
故选B．
本题考查列表法与树状图法．
10. 如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：本题需要分两种情况来进行计算得出函数解析式，即当点N和点D重合之前以及点M和点B重合之前，根据题意得出函数解析式．
详解：假设当∠A=45°时，AD=2，AB=4，则MN=t，当0≤t≤2时，AM=MN=t，则S=，为二次函数；当2≤t≤4时，S=t，为函数，故选C．
点睛：本题主要考查的就是函数图像的实际应用问题，属于中等难度题型．解答这个问题的关键就是得出函数关系式．
二、填 空 题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 随着数系没有断扩大，我们引进新数i，新 i满足交换律、律，并规定：i2=﹣1，那么（2+i）（2﹣i）=________（结果用数字表示）．
【正确答案】5
【详解】分析：利用平方差公式进行计算，即可得出答案．
详解：原式=．
点睛：本题主要考查的就是平方差公式的应用以及新运算的使用，属于简单题型．解决这个问题的时候理解新定义是解题的关键．
12. 关于x的正比例函数y=（m+2）x，若y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____．
【正确答案】m＜﹣2
【详解】分析：根据正比例函数的增减性即可求出m的取值范围．
详解：∵y随着x的增大而减小， ∴m+2＜0， 解得：m＜－2．
点睛：本题主要考查的就是正比例函数的增减性，属于基础题型．对于正比例函数y=kx，当k＞0时，y随着x的增大而增大；当k＜0时，y随着x的增大而减小．
13. 如图，在ABCD中，AM=AD，BD与MC相交于点O，则S△MOD∶S△BOC=_____．
【正确答案】4：9
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵AM=AD，
∴，
∵AD∥BC，
∴△DOM∽△BOC，
∴=（）2=，
故答案为4：9．
14. 如图，正方形ABCD的边长为2，分别以A、D为圆心，2为半径画弧BD、AC，则图中阴影部分的面积为_____．
【正确答案】2﹣
【分析】过点F作FE⊥AD于点E，则AE=AD=AF，故∠AFE=∠BAF=30°，再根据勾股定理求出EF的长，由S弓形AF=S扇形ADF－S△ADF可得出其面积，再根据S阴影=2(S扇形BAF－S弓形AF)即可得出结论
【详解】如图所示,过点F作FE⊥AD于点E，∵正方形ABCD的边长为2，
∴AE=AD=AF=1，∴∠AFE=∠BAF=30°，∴EF=．
∴S弓形AF=S扇形ADF－S△ADF=，
∴ S阴影=2(S扇形BAF－S弓形AF)=2×[]=2×()=．
本题考查了扇形的面积公式和长方形性质的应用，关键是根据图形的对称性分析，主要考查学生的计算能力．
15. 如图，在菱形ABCD中，，，点M是对角线AC上的一个动点，过点M作交AB于点P，交AD于点Q，将沿PQ折叠，点A落在点E处，连接BE，当是等腰三角形时，AP的长为________．
【正确答案】或
【详解】设BD与AC相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴，∵，，∴，∴，①当时，如解图①，则，，，∵，∴，∴，∴；②当时，如解图②，点E是BC的垂直平分线与AC的交点，作于点F，则，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，；③当时，E与A重合（舍）；综上所述，当是等腰三角形时，AP的长为或．
三、解 答 题（共8小题，满分75分）
16. 先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=+1，y=﹣1．
【正确答案】原式==
【详解】分析：首先将分式进行通分，然后根据除法的计算法则进行约分化简，将x和y的值代入化简后的式子进行计算得出答案．
详解：解：原式=，
当x=+1，y=﹣1时，原式=．
点睛：本题主要考查的就是分式的化简求值以及二次根式的计算，属于简单题型．在解答这个问题的时候，明确分式的化简法则是基础．
17. 全民健身运动已成为一种时尚 ，为了解揭阳市居民健身运动的情况，某健身馆的工作人员开展了一项问卷，问卷内容包括五个项目:
A:健身房运动；B:跳广场舞；C:参加暴走团；D:散步；E:没有运动.
以下是根据结果绘制的统计图表的一部分，
运动形式
A
B
C
D
E
人数
请你根据以上信息，回答下列问题:
接受问卷的共有 人，图表中的 ， .
统计图中，类所对应的扇形的圆心角的度数是 度.
揭阳市环岛路是市民喜爱的运动场所之一，每天都有“暴走团”，若某社区约有人，请你估计一下该社区参加环岛路“暴走团”的人数.
【正确答案】（1）150、45、36；（2）28.8°；（3）450人
【分析】（1）由B项目的人数及其百分比求得总人数，根据各项目人数之和等于总人数求得m=45，再用D项目人数除以总人数可得n的值；
（2）360°乘以A项目人数占总人数的比例可得；
（3）利用总人数乘以样本中C人数所占比例可得．
【详解】解：（1）接受问卷的共有30÷20%=150人，m=150-（12+30+54+9）=45，
∴n=36，
故150、45、36；
（2）A类所对应的扇形圆心角的度数为
故28.8°；
（3）（人）
答：估计该社区参加碧沙岗“暴走团”的大约有450人
本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从没有同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
(1) 求证：AD=AF；
(2) 当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形．并说明理由．
【正确答案】（1）见解析；（2）当AB=AC时，四边形ADCF是矩形，理由见解析
【分析】(1) 由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AEF≌△DEB，即可得AF=BD，又由在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得AD=BD=CD=BC，即可证得：AD=AF；
(2) 当AB=AC时，四边形ADCF是矩形．由AF=BD=DC，AF∥BC，可证得：四边形ADCF是平行四边形，又由AB=AC，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，AD=DC，继而可得四边形ADCF是正方形．
【详解】(1) 证明：∵AF∥BC，
∴∠EAF=∠EDB，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（ASA），
∴AF=BD，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，
∴AD=BD=DC=BC，
∴AD=AF．
(2) 当AB=AC时，四边形ADCF是矩形．
∵AF=BD=DC，AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB=AC，AD中线，
∴AD⊥BC，
∵AD=AF，
∴四边形ADCF是正方形，是的矩形.
查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形思想的应用．
19. 如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；
（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果没有存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标．
【正确答案】（1）y=，y=x﹣1；（2）x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方；（3）存在点C，点C的坐标为（﹣3，﹣2），，（﹣，﹣）．
【分析】（1）设反比例函数解析式为y=，将B点坐标代入，求出反比例函数解析式，将A点坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出点A的坐标，设直线AB 的解析式为y=ax+b，将A与B的坐标代入函数解析式求出a与b的值，即可确定出函数解析式；
（2）根据图像写出答案即可；
（3）分3中情况求解，延长AO交双曲线于点C1，由点A与点C1关于原点对称，求出点点C1的坐标；如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，将OB的解析式与C1C2的解析式联立，求出点C2的坐标；A作OB的平行线，交双曲线于点C3，，将AC3的解析式与反比例函数的解析式联立，求出点C3的坐标．
【详解】解：（1）设反比例函数解析式为y=，
把B（﹣2，﹣3）代入，可得k=﹣2×（﹣3）=6，
∴反比例函数解析式为y=；
把A（3，m）代入y=，可得3m=6，
即m=2，
∴A（3，2），
设直线AB 的解析式为y=ax+b，
把A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入，可得，
解得，
∴直线AB 的解析式为y=x﹣1；
（2）由题可得，当x满足：x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方；
（3）存在点C．
如图所示，延长AO交双曲线于点C1，
∵点A与点C1关于原点对称，
∴AO=C1O，
∴△OBC1的面积等于△OAB的面积，
此时，点C1的坐标为（﹣3，﹣2）；
如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，则△OBC2的面积等于△OBC1的面积，
∴△OBC2的面积等于△OAB的面积，
由B（﹣2，﹣3）可得OB的解析式为y=x，
可设直线C1C2解析式为y=x+b'，
把C1（﹣3，﹣2）代入，可得﹣2=×（﹣3）+b'，
解得b'=，
∴直线C1C2的解析式为y=x+，
解方程组，可得C2；
如图，过A作OB的平行线，交双曲线于点C3，则△OBC3的面积等于△OBA的面积，
设直线AC3的解析式为y=x+，
把A（3，2）代入，可得2=×3+，
解得=﹣，
∴直线AC3的解析式为y=x﹣，
解方程组，可得C3（﹣，﹣）；
综上所述，点C的坐标为（﹣3，﹣2），，（﹣，﹣）．
此题考查了反比例函数与函数的综合，涉及的知识有：坐标与图形性质，函数图像的交点与二元方程组的关系，反比例函数与函数的交点问题，利用函数图像解没有等式，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20. 如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）
【正确答案】（70﹣10）m．
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．通过解得到DF的长度；通过解得到CE的长度，则
【详解】如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．
则DE=BF=CH=10m，
中，∵AF=80m−10m=70m，
∴DF=AF=70m．
在中，∵DE=10m，
∴
∴
答：障碍物B，C两点间的距离为
21. 某科技有限公司准备购进A和B两种机器人来搬运化工材料，已知购进A种机器人2个和B种机器人3个共需16万元，购进A种机器人3个和B种机器人2个共需14万元，请解答下列问题：
（1）求A、B两种机器人每个的进价；
（2）已知该公司购买B种机器人的个数比购买A种机器人的个数的2倍多4个，如果需要购买A、B两种机器人的总个数没有少于28个，且该公司购买的A、B两种机器人的总费用没有超过106万元，那么该公司有哪几种购买？
【正确答案】（1）A种机器人每个的进价是2万元，B种机器人每个的进价是4万元；（2）有如下两种：（1）购买A种机器人的个数是8个，则购买B种机器人的个数是20个；（2）购买A种机器人的个数是9个，则购买B种机器人的个数是22个．
【详解】分析：(1)、首先设A种机器人每个的进价是x万元，B种机器人每个的进价是y万元，根据题意列出二元方程组，从而得出答案；(2)、设购买A种机器人的个数是m个，则购买B种机器人的个数是（2m+4）个，根据题意列出没有等式组，从而求出没有等式组的解，根据解为整数得出．
详解：解：(1)、设A种机器人每个的进价是x万元，B种机器人每个的进价是y万元，依题意有：， 解得：．
故A种机器人每个的进价是2万元，B种机器人每个的进价是4万元；
(2)、设购买A种机器人的个数是m个，则购买B种机器人的个数是（2m+4）个，依题意有
， 解得：8≤m≤9， ∵m是整数， ∴m=8或9，
故有如下两种：
(1)：m=8，2m+4=20，即购买A种机器人的个数是8个，则购买B种机器人的个数是20个；
(2)：m=9，2m+4=22，即购买A种机器人的个数是9个，则购买B种机器人的个数是22个．
点睛：本题主要考查的就是二元方程组和没有等式组的应用问题，属于基础题型．解答这个题目的关键就是要能够根据题意列出方程组和没有等式组．
22. 如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接CF，DF．
（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上时
①证明：△BFC是等腰三角形；
②请判断线段CF，DF的关系？并说明理由；
（2）如图2，将图1中的△ADE绕点A旋转到图2位置时，请判断（1）中②的结论是否仍然成立？并证明你的判断．
【正确答案】（1）①证明见解析；②结论：CF=DF且CF⊥DF．理由见解析；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析.
【详解】分析：(1)、根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CF=BF=EF，根据∠CFD=2∠ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°得出∠CFD=90°，从而得出答案；(2)、延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，首先证明△BFG和△EFD全等，然后再证明△BCG和△ACD全等，从而得出GC=DC，∠BCG=∠ACD，∠DCG=∠ACB=90°，根据直角三角形斜中线的性质得出答案．
详解：（1）①证明：∵∠BCE=90°．EF=FB，∴CF=BF=EF，∴△BFC是等腰三角形．
②解：结论：CF=DF且CF⊥DF．理由如下：
∵∠ADE=90°，∴∠BDE=90°，又∵∠BCE=90°，点F是BE的中点，∴CF=DF=BE=BF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠5=∠1+∠3=2∠1，∠6=∠2+∠4=2∠2，
∴∠CFD=∠5+∠6=2（∠1+∠2）=2∠ABC，
又∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∴∠CFD=90°，
∴CF=DF且CF⊥DF．
（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图，延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，∵F是BE的中点，∴BF=EF，
又∵∠BFG=∠EFD，GF=DF，∴△BFG≌△EFD（SAS），∴∠FBG=∠FED，BG=ED，
∴BG∥DE，∵△ADE和△ACB都是等腰直角三角形，
∴DE=DA，∠DAE=∠DEA=45°，AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°，
又∵∠CBG=∠EBG﹣∠EBA﹣∠ABC=∠DEF﹣（180°﹣∠AEB﹣∠EAB）﹣45°
=∠DEF﹣180°+∠AEB+∠EAB﹣45°=（∠DEF+∠AEB）+∠EAB﹣225°
=360°﹣∠DEA+∠EAB﹣225°=360°﹣45°+∠EAB﹣225°=90°+∠EAB，
而∠DAC=∠DAE+∠EAB+∠CAB=45°+∠EAB+45°=90°+∠EAB，
∴∠CBG=∠DAC，又∵BG=ED，DE=DA，∴BG=AD，又∵BC=AC，
∴△BCG≌△ACD（SAS），∴GC=DC，∠BCG=∠ACD，
∴∠DCG=∠DCB+∠BCG=∠DCB+∠ACD=∠ACB=90°，
∴△DCG是等腰直角三角形，又∵F是DG的中点，∴CF⊥DF且CF=DF．
点睛：主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定，及勾股定理的运用．要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．
23. 已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，试求t的取值范围．
【正确答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣，﹣）；（2）；（3） 2≤t＜．
【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；
（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；
（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个没有同的公共点时t的取值范围．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），
∴a+a+b=0，即b=-2a，
∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+）2-，
∴抛物线顶点D的坐标为（-，-）；
（2）∵直线y=2x+m点M（1，0），
∴0=2×1+m，解得m=-2，
∴y=2x-2，
则，
得ax2+（a-2）x-2a+2=0，
∴（x-1）（ax+2a-2）=0，
解得x=1或x=-2，
∴N点坐标为（-2，-6），
∵a＜b，即a＜-2a，
∴a＜0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，
∵抛物线对称轴为，
∴E（-，-3），
∵M（1，0），N（-2，-6），
设△DMN的面积为S，
∴S=S△DEN+S△DEM=|（ -2）-1|•|--（-3）|=−−a，
（3）当a=-1时，
抛物线的解析式为：y=-x2-x+2=-（x+）2+，
由，
-x2-x+2=-2x，
解得：x1=2，x2=-1，
∴G（-1，2），
∵点G、H关于原点对称，
∴H（1，-2），
设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，
-x2-x+2=-2x+t，
x2-x-2+t=0，
△=1-4（t-2）=0，
t=，
当点H平移后落在抛物线上时，坐标（1，0），
把（1，0）代入y=-2x+t，
t=2，
∴当线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，t的取值范围是2≤t＜．
本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
2022-2023学年河南省开封市中考数学专项突破仿真模拟卷
（4月）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 计算（﹣1）2018的结果是（ ）
A. 2017 B. ﹣2018 C. ﹣1 D. 1
2. 2018年春节期间共有7.68亿人选择使用红包传递新年祝福，收发红包总人数同比去年增加约10%，7.68亿用科学记数法可以表示为（ ）
A. 7.68×109 B. 7.68×108 C. 0.768×109 D. 0.768×1010
3. 如图由7个小正方体组合而成的几何体，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 分式方程=1的解为（ ）
A. x=﹣1 B. x= C. x=1 D. x=2
5. 一组从小到大排列的数据：a，3，4，4，6(a为正整数)，的众数是4，则该组数据的平均数是（ ）
A. 3.6 B. 3.8 C. 3.6或3.8 D. 4.2
6. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A. 开口向上 B. 与x轴有交点
C. 对称轴是直线 D. 当时，y随x的增大而减小
7. 如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM//AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）
A. 5 B. 4 C. D.
8. 一个没有透明的口袋中装有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后没有放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于6的概率为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（ ）
A. （2，7） B. （3，7） C. （3，8） D. （4，8）
10. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，若AO=OB=2，则阴影部分面积为（ ）
A. π B. π﹣1 C. +1 D.
二、填 空 题（每小题3分，共15分）
11. 计算:|-7+3|=________.
12. 没有等式组的最小整数解是 ；
13. 已知点(m－1，y1)，(m－3，y2)是反比例函数y＝(m<0)图象上的两点，则y1____y2 (填“>”“＝”或“<”)．
14. 如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，则y与x的解析式是_____．
15. 矩形纸片ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点P，且DP=3．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为________．
三、解 答 题（本题共共8小题，满分75分）
16. 先化简，然后从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
17. 随着科技的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅没有完整的统计图，请图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有2500名学生，请估计该校最喜欢用“”进行沟通的学生数有 名；
（4）某天甲、乙两名同学都想从“”、“”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
18. 如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O切线交于点D．
（1）若AC=6，BC=3，求OE的长．
（2）试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．
19. “C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据没有完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）
20. 如图，函数y=图象与双曲线y=(k≠0，x>0)相交于点A(3，m)和点B．
（1）求双曲线的解析式及点B的坐标；
（2）若点P在y轴上，连接PA，PB，求当PA+PB的值最小时点P的坐标．
21. 某宾馆准备购进一批换气扇，从电器商场了解到：一台A型换气扇和三台B型换气扇共需275元；三台A型换气扇和二台B型换气扇共需300元．
（1）求一台A型换气扇和一台B型换气扇售价各是多少元；
（2）若该宾馆准备同时购进这两种型号换气扇共80台，并且A型换气扇的数量没有多于B型换气扇数量的3倍，请设计出最的购买，并说明理由．
22. 【问题提出】
如图①，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF
试证明：AB=DB+AF
类比探究】
（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件没有变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由
（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件没有变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，没有必说明理由．
23. 如图1，抛物线 与轴交于A,B两点，与轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PHEO，垂足为H.设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系是（没有必写出m的取值范围），并求出l的值；
（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的M的坐标；若没有存在，请说明理由.
2022-2023学年河南省开封市中考数学专项突破仿真模拟卷
（4月）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 计算（﹣1）2018的结果是（ ）
A. 2017 B. ﹣2018 C. ﹣1 D. 1
【正确答案】D
【详解】试题解析：由负数的偶次幂是正数得：（-1）2018=1.
故选D.
2. 2018年春节期间共有7.68亿人选择使用红包传递新年祝福，收发红包总人数同比去年增加约10%，7.68亿用科学记数法可以表示为（ ）
A. 7.68×109 B. 7.68×108 C. 0.768×109 D. 0.768×1010
【正确答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值>1时，n是正数；当原数的值<1时，n是负数．
【详解】解：因为7.68亿＝7.68×108，
所以7.68亿用科学记数法可以表示为7.68×108，
故选B.
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 如图由7个小正方体组合而成的几何体，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：根据主视图的定义可知，此几何体的主视图是A中的图形，故选A．
考点：简单组合体的三视图．
4. 分式方程=1的解为（ ）
A. x=﹣1 B. x= C. x=1 D. x=2
【正确答案】A
【分析】先去分母转化为整式方程，然后求解，注意结果要检验．
【详解】解：去分母得：2x﹣1=x﹣2，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解，
所以分式方程的解为x=﹣1．
故选A．
本题考查解分式方程，掌握解题步骤正确计算是解题关键．
5. 一组从小到大排列的数据：a，3，4，4，6(a为正整数)，的众数是4，则该组数据的平均数是（ ）
A. 3.6 B. 3.8 C. 3.6或3.8 D. 4.2
【正确答案】C
【详解】∵数据：a，3，4，4，6（a为正整数），的众数是4，
∴a=1或2，
当a=1时，平均数为=3.6；
当a=2时，平均数为=3.8；
故选C．
6. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A. 开口向上 B. 与x轴有交点
C. 对称轴是直线 D. 当时，y随x的增大而减小
【正确答案】D
【分析】先把抛物线化为顶点式，再根据抛物线的性质即可判断A、C、D三项，令y=0，解关于x的方程即可判断B项，进而可得答案.
【详解】解：；
A、∵a=1>0，∴抛物线的开口向上，说确，所以本选项没有符合题意；
B、令y=0，则，该方程有两个相等的实数根，所以抛物线与x轴有交点，说确，所以本选项没有符合题意；
C、抛物线的对称轴是直线，说确，所以本选项没有符合题意；
D、当时，y随x的增大而减小，说法错误，应该是当时，y随x的增大而增大，所以本选项符合题意.
故选：D.
本题考查了二次函数的性质和抛物线与x轴的交点问题，属于基本题型，熟练掌握抛物线的性质是解题关键.
7. 如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM//AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）
A. 5 B. 4 C. D.
【正确答案】D
【分析】如图所示，连接OD，先求出，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接OD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，∠BAD=90°，
∵OM∥AB，
∴∠OMD=90°，
∴，
∴
故选D．
本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
8. 一个没有透明的口袋中装有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后没有放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于6的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】画树状图得出所有的情况，根据概率的求法计算概率即可.
【详解】画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于6的有2种情况，
∴两次摸出的小球标号之和等于6的概率
故选A．
考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.
9. 如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（ ）
A. （2，7） B. （3，7） C. （3，8） D. （4，8）
【正确答案】A
【详解】过C作CE⊥y轴于E，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ADC=90°，
∴∠ADO+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠ADO，∴△CDE∽△ADO，
∴，
∵OD=2OA=6，AD：AB=3：1，
∴OA=3，CD：AD=，∴CE=OD=2，DE=OA=1，
∴OE=7，∴C（2，7），
故选A．
10. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，若AO=OB=2，则阴影部分面积为（ ）
A. π B. π﹣1 C. +1 D.
【正确答案】D
【分析】图形的整体面积为S扇形BAA′＋S△A′BC′，空白部分的面积为S扇形BCC′＋S△ABC，S△A′BC′＝S△ABC，则阴影部分面积为两个扇形面积差，求解即可．
【详解】解：因为点O为AB的中点，所以OC＝OA＝OB＝2，BC＝．
由旋转的性质可知，A′B＝AB＝2OB＝4，所以∠AOA′＝60°，∠CBC′＝60°，
阴影部分的面积为：
S扇形BAA′＋S△A′BC′－(S扇形BCC′＋S△ABC)，
＝S扇形BAA′－S扇形BCC′，
＝．
故选D．
本题主要考查了扇形的面积，若阴影部分的面积是一个规则的图形或是几个规则图形的和与差，则可用面积公式直接求解，若阴影部分没有是规则图形，也没有是几个规则图形的和与差，则需要将原图形中的相关部分通过平移，旋转，翻折等方式转化为规则图形后再求．
二、填 空 题（每小题3分，共15分）
11. 计算:|-7+3|=________.
【正确答案】4
【详解】分析：先计算－7＋3，再根据值的意义求值.
详解：|－7＋3|＝|－4|＝4.
故答案为4.
点睛：本题考查了值的意义和有理数的加法，正数的值是它本身，负数的值是它的相反数，0的值是0．
12. 没有等式组的最小整数解是 ；
【正确答案】-3
【详解】解3x+10>0得，x>- ,解得,x< ,没有等式组的解集为-
13. 已知点(m－1，y1)，(m－3，y2)是反比例函数y＝(m<0)图象上的两点，则y1____y2 (填“>”“＝”或“<”)．
【正确答案】>
【详解】分析：m＜0，在每一个象限内，y随x的增大而增大.
详解：因为m＜0，所以m－3＜m－1＜0，这两个点都在第二象限内，
所以y2＜y1，即y1＞y2.
故答案＞.
点睛：对于反比例函数图象上的几个点，如果知道横坐标去比较纵坐标的大小或知道纵坐标去比较横坐标的大小，通常的做法是：(1)先判断这几个点是否在同一个象限内，如果没有在，则判断其正负，然后做出判断；(2)如果在同一个象限内，则可以根据反比例函数的性质来进行解答．
14. 如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，则y与x的解析式是_____．
【正确答案】y=x+1
【详解】分析：过点C作CD⊥OA于点D，则△ABO≌△CAD，由OB＝DA即可得到y与x的解析式.
详解：过点C作CD⊥OA于点D，则∠CDA＝∠BAC＝∠AOB＝90°，
因为∠CAD＋∠BAO＝90°，∠CAD＋∠ACD＝90°，所以∠BAO＝∠CAD，
又因为AC＝AB，所以△ABO≌△CAD，所以OB＝DA，
即x＝y－1，所以y＝x＋1.
故答案为y＝x＋1.
点睛：本题考查了列函数关系式和全等三角形的判定，一般在一条直线上有两个相等的直角时，可添加辅助线再出现一个直角，构造“K形图”，利用全等三角形求解.
15. 矩形纸片ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点P，且DP=3．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为________．
【正确答案】6或2．
【详解】试题分析：根据P点的没有同位置，此题分两种情况计算：①点P在CD上；②点P在AD上．①点P在CD上时,如图：
∵PD=3，CD=AB=9，∴CP=6，∵EF垂直平分PB，∴四边形PFBE是邻边相等的矩形即正方形，EF过点C，∵BF=BC=6，∴由勾股定理求得EF=；②点P在AD上时，如图：
先建立相似三角形，过E作EQ⊥AB于Q，∵PD=3，AD=6，∴AP=3，AB=9，由勾股定理求得PB==3，∵EF垂直平分PB，∴∠1=∠2（同角的余角相等），又∵∠A=∠EQF=90°，∴△ABP∽△EFQ（两角对应相等，两三角形相似），∴对应线段成比例：,代入相应数值：，∴EF=2．综上所述：EF长为6或2．
考点：翻折变换（折叠问题）．
三、解 答 题（本题共共8小题，满分75分）
16. 先化简，然后从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【正确答案】
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣＜x＜的范围内选取一个使得原分式有意义的整数作为x的值代入即可解答本题．
【详解】解：÷（﹣x+1）
=
=
=
=，
当x=﹣2时，原式= ．
本题考查分式的化简求值、估算无理数的大小，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
17. 随着科技的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅没有完整的统计图，请图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有2500名学生，请估计该校最喜欢用“”进行沟通的学生数有 名；
（4）某天甲、乙两名同学都想从“”、“”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
【正确答案】（1）100，108°；（2）补图见解析；（3）1000人；（4）
【详解】分析：(1)根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数; （2）计算出短信与的人数即可补全统计图;（3）用样本中喜欢用进行沟通的百分比来估计1000名学生中喜欢用进行沟通的人数即可;（4）列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况后，利用概率公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．
详解：（1）.
（2）使用短信的人数：100×5%=5；使用的人数：100-20-5-30-5=40,
条形统计图补充图如图：
（3）（人）
（4）如图所示：列出树状图如下：
所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，
因此，甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为.
点睛：本题考查了列表法与树状图，利用列表法或树状图法展示所有可能结果n，从中选出符合A或B的结果数目m，然后利用概率公式求A或B的概率．也考查了统计图和用样本估计总体．
18. 如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O切线交于点D．
（1）若AC=6，BC=3，求OE的长．
（2）试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）∠CDE=2∠A，理由见解析.
【详解】分析：(1)由勾股定理求AB，证明△AOE∽△ACB，根据相似三角形的对应线段成比例求OE；(2)连接OC，可知∠3＝2∠A，只需用同角的余角证∠D＝∠3即可.
详解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝900，
在Rt△ABC中，由勾股定理得:AB＝＝3，
∴OA＝AB＝.
∵OD⊥AB，∴∠AOE＝∠ACB＝900，由∵∠A＝∠A，∴△AOE∽△ACB，
∴，即，解得:OE＝.
(2)∠CDE＝2∠A，
理由如下:连接OC，如图所示：
∵OA＝OC，∴∠1＝∠A，
∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝900，∴∠2＋∠CDE＝900，
∵OD⊥AB，∴∠2＋∠3＝900，∴∠3＝∠CDE，∵∠3＝∠A＋∠1＝2∠A，
∴∠CDE＝2∠A.
点睛：本题考查了圆周角定理，切线的性质和相似三角形的判定与性质，在圆中有切线时，如果需要添加辅助线，一般是连接圆心与切点.
19. “C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据没有完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）
【正确答案】线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm．
【详解】试题分析：在Rt△BED中可先求得BE的长，过C作CF⊥AE于点F，则可求得AF的长，从而可求得EF的长，即可求得CD的长．
试题解析：∵BN∥ED，
∴∠D=∠BDE=37°，
∵AE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴BE=DE•tan∠BDE≈18.75（cm），
如图，过C作AE垂线，垂足为F，
∵∠FCA=∠CAM=45°，
∴AF=FC=25cm，
∵CD∥AE，
∴四边形CDEF为矩形，
∴CD=EF，
∵AE=AB+EB=35.75（cm），
∴CD=EF=AE-AF≈10.8（cm），
答：线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm．
本题考查了解直角三角形的应用，正确地添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.
20. 如图，函数y=的图象与双曲线y=(k≠0，x>0)相交于点A(3，m)和点B．
（1）求双曲线的解析式及点B的坐标；
（2）若点P在y轴上，连接PA，PB，求当PA+PB的值最小时点P的坐标．
【正确答案】（1）；点B的坐标为(6，3).（2）点P的坐标为(0，5).
【详解】分析：(1)由函数的解析式可得点A的坐标，从而求出反比例函数的解析式，解由函数与反比例函数的解析式组成的方程组可求点B的坐标；(2)作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，直线A′B与y的交点即为点P，用待定系数法求直线A′B的解析式后即可求点P的坐标.
详解：(1)把A(3，m)代入y＝2x，可得m＝2×3＝6，∴A(3，6)，
把A(3，6)代入y＝，可得k＝3×6＝18，
∴双曲线的解析式为y＝；
当x>3时，解方程组，可得或(舍去)
∴点B的坐标为(6，3).
(2)如图所示，作点A关于y轴的对称点A′(－3，6)，连接A′P，则A′P＝AP，
∴PA＋PB＝A′P＋BP≥A′B
当A′，P，B三点共线时，PA＋PB的最小值等于A′B的长.
设A′B的解析式为y＝ax＋b，
把A′(－3，6)，B(6，3)代入，可得，解得.
∴A′B的解析式为y＝x＋5，
令x＝0，则y＝5，
∴点P的坐标为(0，5).
点睛：本题考查了用待定系数法求函数的解析式及用轴对称的性质求最小值，求直线与双曲线的交点坐标即是把直线的解析式与双曲线的解析式组成一个方程组，由方程组的解即可求得交点的坐标，已知两个定点A，B，在定直线l上找一点P，使PA＋PB最小时，可作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，与直线l的交点即为点P.
21. 某宾馆准备购进一批换气扇，从电器商场了解到：一台A型换气扇和三台B型换气扇共需275元；三台A型换气扇和二台B型换气扇共需300元．
（1）求一台A型换气扇和一台B型换气扇的售价各是多少元；
（2）若该宾馆准备同时购进这两种型号的换气扇共80台，并且A型换气扇的数量没有多于B型换气扇数量的3倍，请设计出最的购买，并说明理由．
【正确答案】（1）一台A型换气扇50元，一台B型换气扇的售价为75元；（2）最的是购进60台A型换气扇，20台B型换气扇．
【详解】分析：(1)设一台A型换气扇的售价为x元，一台B型换气扇的售价为y元，列二元方程组求解；(2)设购进A型换气扇z台，总费用为w元，根据“A型换气扇的数量没有多于B型换气扇数量的3倍，”，求z的取值范围，根据“同时购进这两种型号的换气扇共80台”求w与z的函数关系，由函数的性质确定.
详解：(1)设一台A型换气扇的售价为x元，一台B型换气扇的售价为y元.
根据题意得：解得：
答:一台A型换气扇的售价为50元，一台B型换气扇的售价为75元.
(2)设购进A型换气扇z台，总费用为w元，
则有z≤3(80－z)，解得:z≤60，
∵z为换气扇的台数，∴z≤60且z为正整数，
w＝50z＋75(80－z)＝－25z＋6000，
∵－25<0，∴w随着z的增大而减小，
∴当z＝60时，w＝25×60＋6000＝4500，
此时80－z＝80－60＝20.
答:最的是购进60台A型换气扇，20台B型换气扇.
点睛：本题考查了二元方程组和一元没有等式的应用，对于方程组和没有等式组相的选择类问题，通常的做法是先列方程组求出某些量的具体值，然后根据题目中的没有等关系列没有等式或没有等式组，求出某个量的取值范围，再函数的性质确定.
22. 【问题提出】
如图①，已知△ABC等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF
试证明：AB=DB+AF
【类比探究】
（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件没有变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由
（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件没有变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，没有必说明理由．
【正确答案】【问题提出】证明见解析；【类比探究】（1）AB=BD﹣AF；（2）AF=AB+BD．
【问题提出】根据旋转的性质得出△EDB与FEA全等的条件BE=AF，再已知条件和旋转的性质推出∠D=∠AEF，∠EBD=∠EAF=120°，得出△EDB≌FEA，所以BD=AF，等量代换即可得出结论．
（1）先画出图形证明△DEB≌△EFA，方法类似于【问题提出】；
（2）画出图形根据图形直接写出结论即可．
【详解】证明：DE=CE=CF，△BCE
由旋转60°得△ACF，
∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=CE，
∴DE=EF，∠CAF=∠BAC=60°，
∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，
∵∠DBE=120°，
∴∠EAF=∠DBE，
又∵A，E，C，F四点共圆，
∴∠AEF=∠ACF，
又∵ED=DC，
∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，
∴∠D=∠AEF，
∴△EDB≌FEA，
∴BD=AF，AB=AE+BF，
∴AB=BD+AF．
类比探究（1）DE=CE=CF，△BCE由旋转60°得△ACF，
∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=CE，
∴DE=EF，∠EFC=∠BAC=60°，
∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，
∴∠FCG=∠FEA，
又∠FCG=∠EAD
∠D=∠EAD，
∴∠D=∠FEA，
由旋转知∠CBE=∠CAF=120°，
∴∠DBE=∠FAE=60°
∴△DEB≌△EFA，
∴BD=AE，EB=AF，
∴BD=FA+AB．
即AB=BD-AF．
（2）AF=BD+AB（或AB=AF-BD）
如图③，
，
ED=EC=CF，
∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，
∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=EC，
又∵ED=EC，
∴ED=EF，
∵AB=AC，BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
又∵∠CBE=∠CAF，
∴∠CAF=60°，
∴∠EAF=180°-∠CAF-∠BAC
=180°-60°-60°
=60°
∴∠DBE=∠EAF,
∵ED=EC，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC，
又∵∠EDC=∠EBC+∠BED，
∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC，
∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC，
∴∠BDE=∠AEF，
在△EDB和△FEA中，
∴△EDB≌△FEA（AAS），
∴BD=AE，EB=AF，
∵BE=AB+AE，
∴AF=AB+BD，
即AB，DB，AF之间的数量关系是：AF=AB+BD．
23. 如图1，抛物线 与轴交于A,B两点，与轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PHEO，垂足为H.设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系是（没有必写出m的取值范围），并求出l的值；
（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的M的坐标；若没有存在，请说明理由.
【正确答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；（2）l=﹣（m+）2+ ，值为；（3）（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．
【分析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其值；
（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标．
【详解】解：（1）∵矩形OBDC的边CD=1，
∴OB=1，
∵AB=4，
∴OA=3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得
，
解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；
（2）在y=﹣x2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2，
∴E（﹣2，2），
∴直线OE解析式为y=﹣x，
由题意可得P（m，﹣m2﹣m+2），
∵PG∥y轴，
∴G（m，﹣m），
∵P在直线OE的上方，
∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，
∵直线OE解析式为y=﹣x，
∴∠PGH=∠COE=45°，
∴l=PG=[﹣（m+）2+]=﹣（m+）2+，
∴当m=﹣时，l有值，值为；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，
则∠ALF=∠ACO=∠FNM，
在△MFN和△AOC中
∴△MFN≌△AOC（AAS），
∴MF=AO=3，
∴点M到对称轴的距离为3，
又y=﹣x2﹣x+2，
∴抛物线对称轴为x=﹣1，
设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，
当x=2时，y=﹣，当x=﹣4时，y=，
∴M点坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）；
②当AC为对角线时，设AC的中点为K，
∵A（﹣3，0），C（0，2），
∴K（﹣，1），
∵点N对称轴上，
∴点N的横坐标为﹣1，
设M点横坐标为x，
∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，
∴M（﹣2，2）；
综上可知点M的坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．
考点：二次函数综合题．
2022-2023学年河南省开封市中考数学专项突破仿真模拟卷
（3月）
一、选一选（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. ﹣2的相反数是（ ）
A. 2 B. C. ﹣2 D. 以上都没有对
2. 在游戏当中，小明将下面四张扑克牌中的三张旋转了180°，得到的图案和原来的一模一样，小芳看了后，很快知道没有旋转那张扑克牌是（ ）
A. 黑桃Q B. 梅花2 C. 梅花6 D. 方块9
3. 用6个相同的小正方体搭成一个几何体，若它的俯视图如图所示，则它的主视图没有可能是（ ）
A. B. C. D.
4. 地球表面积约为510000000km2，将510000000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.51×109 B. 5.1×108 C. 5.1×109 D. 51×107
5. 如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠EPF=70°，则∠BEP的度数为（ ）
A. 50° B. 55° C. 60° D. 65°
6. 下列运算，结果正确的是（ ）
A a3a2=a6 B. （2a2）2=24
C （x3）3=x6 D. （﹣ab）5÷（﹣ab）2=﹣a3b3
7. 某校八年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛．各参赛选手成绩的数据分析如下表所示，则以下判断错误的是
A. 八（2）班的总分高于八（1）班
B. 八（2）班的成绩比八（1）班稳定
C. 八（2）班的成绩集中在中上游
D. 两个班的分在八（2）班
8. 定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中没有正确的是（ ）
A. 当m=-3时，函数图象的顶点坐标是
B. 当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于
C 当m≠0时，函数图象同一个点
D. 当m<0时，函数在x>时，y随x的增大而减小
9. 没有透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外其他都相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后，放回摇匀，再从中摸出一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是( )
A. B. C. D.
10. 如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 随着数系没有断扩大，我们引进新数i，新 i满足交换律、律，并规定：i2=﹣1，那么（2+i）（2﹣i）=________（结果用数字表示）．
12. 关于x的正比例函数y=（m+2）x，若y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____．
13. 如图，在ABCD中，AM=AD，BD与MC相交于点O，则S△MOD∶S△BOC=_____．
14. 如图，正方形ABCD的边长为2，分别以A、D为圆心，2为半径画弧BD、AC，则图中阴影部分的面积为_____．
15. 如图，在菱形ABCD中，，，点M是对角线AC上的一个动点，过点M作交AB于点P，交AD于点Q，将沿PQ折叠，点A落在点E处，连接BE，当是等腰三角形时，AP的长为________．
三、解 答 题（共8小题，满分75分）
16. 先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=+1，y=﹣1．
17. 全民健身运动已成为一种时尚 ，为了解揭阳市居民健身运动的情况，某健身馆的工作人员开展了一项问卷，问卷内容包括五个项目:
A:健身房运动；B:跳广场舞；C:参加暴走团；D:散步；E:没有运动.
以下是根据结果绘制的统计图表的一部分，
运动形式
A
B
C
D
E
人数
请你根据以上信息，回答下列问题:
接受问卷的共有 人，图表中的 ， .
统计图中，类所对应的扇形的圆心角的度数是 度.
揭阳市环岛路是市民喜爱的运动场所之一，每天都有“暴走团”，若某社区约有人，请你估计一下该社区参加环岛路“暴走团”的人数.
18. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
(1) 求证：AD=AF；
(2) 当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形．并说明理由．
19. 如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；
（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果没有存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标．
20. 如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）
21. 某科技有限公司准备购进A和B两种机器人来搬运化工材料，已知购进A种机器人2个和B种机器人3个共需16万元，购进A种机器人3个和B种机器人2个共需14万元，请解答下列问题：
（1）求A、B两种机器人每个的进价；
（2）已知该公司购买B种机器人个数比购买A种机器人的个数的2倍多4个，如果需要购买A、B两种机器人的总个数没有少于28个，且该公司购买的A、B两种机器人的总费用没有超过106万元，那么该公司有哪几种购买？
22. 如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接CF，DF．
（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上时
①证明：△BFC是等腰三角形；
②请判断线段CF，DF的关系？并说明理由；
（2）如图2，将图1中的△ADE绕点A旋转到图2位置时，请判断（1）中②的结论是否仍然成立？并证明你的判断．
23. 已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，试求t的取值范围．
2022-2023学年河南省开封市中考数学专项突破仿真模拟卷
（3月）
一、选一选（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. ﹣2的相反数是（ ）
A. 2 B. C. ﹣2 D. 以上都没有对
【正确答案】A
【详解】﹣2的相反数是2，
故选:A.
2. 在游戏当中，小明将下面四张扑克牌中的三张旋转了180°，得到的图案和原来的一模一样，小芳看了后，很快知道没有旋转那张扑克牌是（ ）
A. 黑桃Q B. 梅花2 C. 梅花6 D. 方块9
【正确答案】C
【详解】牌黑桃Q、草花2、方块9是对称图形，旋转180度后与原图重合．若得到的图案和原来的一模一样，则需梅花6没有发生变化．
故选C．
3. 用6个相同的小正方体搭成一个几何体，若它的俯视图如图所示，则它的主视图没有可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：根据主视图和俯视图之间的关系可以得出答案．
详解： ∵主视图和俯视图的长要相等， ∴只有D选项中的长和俯视图没有相等，故选D．
点睛：本题主要考查的就是三视图的画法，属于基础题型．三视图的画法为：主视图和俯视图的长要相等；主视图和左视图的高要相等；左视图和俯视图的宽要相等．
4. 地球的表面积约为510000000km2，将510000000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.51×109 B. 5.1×108 C. 5.1×109 D. 51×107
【正确答案】B
【详解】试题分析：510 000 000=5.1×108．故选B．
考点：科学记数法—表示较大的数．
5. 如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠EPF=70°，则∠BEP的度数为（ ）
A. 50° B. 55° C. 60° D. 65°
【正确答案】A
【详解】分析：本题只要根据角平分线的性质得出∠EFD的度数，然后根据平行线的性质得出∠BEF的度数，从而得出答案．
详解：∵∠PEF=90°，∠EPF=70°， ∴∠EFP=20°，∵FP平分∠EFD， ∴∠EFD=40°，
∵AB∥CD， ∴∠BEF=180°－40°=140°， 又∵∠PEF=90°，∴∠BEP=50°，故选A．
点睛：本题主要考查的就是平行线的性质以及角平分线的性质，属于基础题型．熟记平行线的性质是解决本题的关键．
6. 下列运算，结果正确的是（ ）
A. a3a2=a6 B. （2a2）2=24
C. （x3）3=x6 D. （﹣ab）5÷（﹣ab）2=﹣a3b3
【正确答案】D
【详解】解：A、原式=，故错误；
B、原式=，故错误；
C、原式=，故错误；
D、原式=，正确，
本题故选D．
7. 某校八年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛．各参赛选手成绩的数据分析如下表所示，则以下判断错误的是
A. 八（2）班总分高于八（1）班
B. 八（2）班的成绩比八（1）班稳定
C. 八（2）班的成绩集中在中上游
D. 两个班的分在八（2）班
【正确答案】D
【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的性质就可以得出正确答案．
【详解】解：根据平均分可知八(1)班的总分为940分，八(2)班的总分为950分，故A正确；八(2)班的方差小于八(1)班的方差，则八(2)班的成绩比较稳定，故B正确；根据中位数和平均分可知八(2)班的成绩集中在中上游，故C正确；分从这张表格上无法显示，故D错误；故选D．
本题主要考查的就是平均数、中位数、方差及众数的作用，属于基础题型．解决本题的关键就是要明白各数据的作用．
8. 定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中没有正确的是（ ）
A. 当m=-3时，函数图象的顶点坐标是
B. 当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于
C. 当m≠0时，函数图象同一个点
D. 当m<0时，函数在x>时，y随x的增大而减小
【正确答案】D
【详解】分析：A、把m=-3代入[2m，1-m，-1-m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
B、令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；
C、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
D、根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．
详解：
因为函数y=ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；
A、当m=﹣3时，y=﹣6x2+4x+2=﹣6（x﹣）2+，顶点坐标是；此结论正确；
B、当m＞0时，令y=0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=0，解得：x1=1，x2=﹣﹣，
|x2﹣x1|=+＞，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，此结论正确；
C、当x=1时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）=0 即对任意m，函数图象都点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象x轴上一个定点此结论正确．
D、当m＜0时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，，即对称轴在x=右边，因此函数在x=右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；
根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的．
故选D．
点睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．
9. 没有透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外其他都相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后，放回摇匀，再从中摸出一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：画树状图如下：
易得共有3×3=9种可能，两次摸到球的颜色相同的有5种，所以概率是．
故选B．
本题考查列表法与树状图法．
10. 如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：本题需要分两种情况来进行计算得出函数解析式，即当点N和点D重合之前以及点M和点B重合之前，根据题意得出函数解析式．
详解：假设当∠A=45°时，AD=2，AB=4，则MN=t，当0≤t≤2时，AM=MN=t，则S=，为二次函数；当2≤t≤4时，S=t，为函数，故选C．
点睛：本题主要考查的就是函数图像的实际应用问题，属于中等难度题型．解答这个问题的关键就是得出函数关系式．
二、填 空 题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 随着数系没有断扩大，我们引进新数i，新 i满足交换律、律，并规定：i2=﹣1，那么（2+i）（2﹣i）=________（结果用数字表示）．
【正确答案】5
【详解】分析：利用平方差公式进行计算，即可得出答案．
详解：原式=．
点睛：本题主要考查的就是平方差公式的应用以及新运算的使用，属于简单题型．解决这个问题的时候理解新定义是解题的关键．
12. 关于x的正比例函数y=（m+2）x，若y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____．
【正确答案】m＜﹣2
【详解】分析：根据正比例函数的增减性即可求出m的取值范围．
详解：∵y随着x的增大而减小， ∴m+2＜0， 解得：m＜－2．
点睛：本题主要考查的就是正比例函数的增减性，属于基础题型．对于正比例函数y=kx，当k＞0时，y随着x的增大而增大；当k＜0时，y随着x的增大而减小．
13. 如图，在ABCD中，AM=AD，BD与MC相交于点O，则S△MOD∶S△BOC=_____．
【正确答案】4：9
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵AM=AD，
∴，
∵AD∥BC，
∴△DOM∽△BOC，
∴=（）2=，
故答案为4：9．
14. 如图，正方形ABCD的边长为2，分别以A、D为圆心，2为半径画弧BD、AC，则图中阴影部分的面积为_____．
【正确答案】2﹣
【分析】过点F作FE⊥AD于点E，则AE=AD=AF，故∠AFE=∠BAF=30°，再根据勾股定理求出EF的长，由S弓形AF=S扇形ADF－S△ADF可得出其面积，再根据S阴影=2(S扇形BAF－S弓形AF)即可得出结论
【详解】如图所示,过点F作FE⊥AD于点E，∵正方形ABCD的边长为2，
∴AE=AD=AF=1，∴∠AFE=∠BAF=30°，∴EF=．
∴S弓形AF=S扇形ADF－S△ADF=，
∴ S阴影=2(S扇形BAF－S弓形AF)=2×[]=2×()=．
本题考查了扇形的面积公式和长方形性质的应用，关键是根据图形的对称性分析，主要考查学生的计算能力．
15. 如图，在菱形ABCD中，，，点M是对角线AC上的一个动点，过点M作交AB于点P，交AD于点Q，将沿PQ折叠，点A落在点E处，连接BE，当是等腰三角形时，AP的长为________．
【正确答案】或
【详解】设BD与AC相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴，∵，，∴，∴，①当时，如解图①，则，，，∵，∴，∴，∴；②当时，如解图②，点E是BC的垂直平分线与AC的交点，作于点F，则，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，；③当时，E与A重合（舍）；综上所述，当是等腰三角形时，AP的长为或．
三、解 答 题（共8小题，满分75分）
16. 先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=+1，y=﹣1．
【正确答案】原式==
【详解】分析：首先将分式进行通分，然后根据除法的计算法则进行约分化简，将x和y的值代入化简后的式子进行计算得出答案．
详解：解：原式=，
当x=+1，y=﹣1时，原式=．
点睛：本题主要考查的就是分式的化简求值以及二次根式的计算，属于简单题型．在解答这个问题的时候，明确分式的化简法则是基础．
17. 全民健身运动已成为一种时尚 ，为了解揭阳市居民健身运动的情况，某健身馆的工作人员开展了一项问卷，问卷内容包括五个项目:
A:健身房运动；B:跳广场舞；C:参加暴走团；D:散步；E:没有运动.
以下是根据结果绘制的统计图表的一部分，
运动形式
A
B
C
D
E
人数
请你根据以上信息，回答下列问题:
接受问卷的共有 人，图表中的 ， .
统计图中，类所对应的扇形的圆心角的度数是 度.
揭阳市环岛路是市民喜爱的运动场所之一，每天都有“暴走团”，若某社区约有人，请你估计一下该社区参加环岛路“暴走团”的人数.
【正确答案】（1）150、45、36；（2）28.8°；（3）450人
【分析】（1）由B项目的人数及其百分比求得总人数，根据各项目人数之和等于总人数求得m=45，再用D项目人数除以总人数可得n的值；
（2）360°乘以A项目人数占总人数的比例可得；
（3）利用总人数乘以样本中C人数所占比例可得．
【详解】解：（1）接受问卷的共有30÷20%=150人，m=150-（12+30+54+9）=45，
∴n=36，
故150、45、36；
（2）A类所对应的扇形圆心角的度数为
故28.8°；
（3）（人）
答：估计该社区参加碧沙岗“暴走团”的大约有450人
本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从没有同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
(1) 求证：AD=AF；
(2) 当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形．并说明理由．
【正确答案】（1）见解析；（2）当AB=AC时，四边形ADCF是矩形，理由见解析
【分析】(1) 由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AEF≌△DEB，即可得AF=BD，又由在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得AD=BD=CD=BC，即可证得：AD=AF；
(2) 当AB=AC时，四边形ADCF是矩形．由AF=BD=DC，AF∥BC，可证得：四边形ADCF是平行四边形，又由AB=AC，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，AD=DC，继而可得四边形ADCF是正方形．
【详解】(1) 证明：∵AF∥BC，
∴∠EAF=∠EDB，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（ASA），
∴AF=BD，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，
∴AD=BD=DC=BC，
∴AD=AF．
(2) 当AB=AC时，四边形ADCF是矩形．
∵AF=BD=DC，AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB=AC，AD中线，
∴AD⊥BC，
∵AD=AF，
∴四边形ADCF是正方形，是的矩形.
查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形思想的应用．
19. 如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；
（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果没有存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标．
【正确答案】（1）y=，y=x﹣1；（2）x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方；（3）存在点C，点C的坐标为（﹣3，﹣2），，（﹣，﹣）．
【分析】（1）设反比例函数解析式为y=，将B点坐标代入，求出反比例函数解析式，将A点坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出点A的坐标，设直线AB 的解析式为y=ax+b，将A与B的坐标代入函数解析式求出a与b的值，即可确定出函数解析式；
（2）根据图像写出答案即可；
（3）分3中情况求解，延长AO交双曲线于点C1，由点A与点C1关于原点对称，求出点点C1的坐标；如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，将OB的解析式与C1C2的解析式联立，求出点C2的坐标；A作OB的平行线，交双曲线于点C3，，将AC3的解析式与反比例函数的解析式联立，求出点C3的坐标．
【详解】解：（1）设反比例函数解析式为y=，
把B（﹣2，﹣3）代入，可得k=﹣2×（﹣3）=6，
∴反比例函数解析式为y=；
把A（3，m）代入y=，可得3m=6，
即m=2，
∴A（3，2），
设直线AB 的解析式为y=ax+b，
把A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入，可得，
解得，
∴直线AB 的解析式为y=x﹣1；
（2）由题可得，当x满足：x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方；
（3）存在点C．
如图所示，延长AO交双曲线于点C1，
∵点A与点C1关于原点对称，
∴AO=C1O，
∴△OBC1的面积等于△OAB的面积，
此时，点C1的坐标为（﹣3，﹣2）；
如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，则△OBC2的面积等于△OBC1的面积，
∴△OBC2的面积等于△OAB的面积，
由B（﹣2，﹣3）可得OB的解析式为y=x，
可设直线C1C2解析式为y=x+b'，
把C1（﹣3，﹣2）代入，可得﹣2=×（﹣3）+b'，
解得b'=，
∴直线C1C2的解析式为y=x+，
解方程组，可得C2；
如图，过A作OB的平行线，交双曲线于点C3，则△OBC3的面积等于△OBA的面积，
设直线AC3的解析式为y=x+，
把A（3，2）代入，可得2=×3+，
解得=﹣，
∴直线AC3的解析式为y=x﹣，
解方程组，可得C3（﹣，﹣）；
综上所述，点C的坐标为（﹣3，﹣2），，（﹣，﹣）．
此题考查了反比例函数与函数的综合，涉及的知识有：坐标与图形性质，函数图像的交点与二元方程组的关系，反比例函数与函数的交点问题，利用函数图像解没有等式，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20. 如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）
【正确答案】（70﹣10）m．
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．通过解得到DF的长度；通过解得到CE的长度，则
【详解】如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．
则DE=BF=CH=10m，
中，∵AF=80m−10m=70m，
∴DF=AF=70m．
在中，∵DE=10m，
∴
∴
答：障碍物B，C两点间的距离为
21. 某科技有限公司准备购进A和B两种机器人来搬运化工材料，已知购进A种机器人2个和B种机器人3个共需16万元，购进A种机器人3个和B种机器人2个共需14万元，请解答下列问题：
（1）求A、B两种机器人每个的进价；
（2）已知该公司购买B种机器人的个数比购买A种机器人的个数的2倍多4个，如果需要购买A、B两种机器人的总个数没有少于28个，且该公司购买的A、B两种机器人的总费用没有超过106万元，那么该公司有哪几种购买？
【正确答案】（1）A种机器人每个的进价是2万元，B种机器人每个的进价是4万元；（2）有如下两种：（1）购买A种机器人的个数是8个，则购买B种机器人的个数是20个；（2）购买A种机器人的个数是9个，则购买B种机器人的个数是22个．
【详解】分析：(1)、首先设A种机器人每个的进价是x万元，B种机器人每个的进价是y万元，根据题意列出二元方程组，从而得出答案；(2)、设购买A种机器人的个数是m个，则购买B种机器人的个数是（2m+4）个，根据题意列出没有等式组，从而求出没有等式组的解，根据解为整数得出．
详解：解：(1)、设A种机器人每个的进价是x万元，B种机器人每个的进价是y万元，依题意有：， 解得：．
故A种机器人每个的进价是2万元，B种机器人每个的进价是4万元；
(2)、设购买A种机器人的个数是m个，则购买B种机器人的个数是（2m+4）个，依题意有
， 解得：8≤m≤9， ∵m是整数， ∴m=8或9，
故有如下两种：
(1)：m=8，2m+4=20，即购买A种机器人的个数是8个，则购买B种机器人的个数是20个；
(2)：m=9，2m+4=22，即购买A种机器人的个数是9个，则购买B种机器人的个数是22个．
点睛：本题主要考查的就是二元方程组和没有等式组的应用问题，属于基础题型．解答这个题目的关键就是要能够根据题意列出方程组和没有等式组．
22. 如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接CF，DF．
（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上时
①证明：△BFC是等腰三角形；
②请判断线段CF，DF的关系？并说明理由；
（2）如图2，将图1中的△ADE绕点A旋转到图2位置时，请判断（1）中②的结论是否仍然成立？并证明你的判断．
【正确答案】（1）①证明见解析；②结论：CF=DF且CF⊥DF．理由见解析；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析.
【详解】分析：(1)、根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CF=BF=EF，根据∠CFD=2∠ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°得出∠CFD=90°，从而得出答案；(2)、延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，首先证明△BFG和△EFD全等，然后再证明△BCG和△ACD全等，从而得出GC=DC，∠BCG=∠ACD，∠DCG=∠ACB=90°，根据直角三角形斜中线的性质得出答案．
详解：（1）①证明：∵∠BCE=90°．EF=FB，∴CF=BF=EF，∴△BFC是等腰三角形．
②解：结论：CF=DF且CF⊥DF．理由如下：
∵∠ADE=90°，∴∠BDE=90°，又∵∠BCE=90°，点F是BE的中点，∴CF=DF=BE=BF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠5=∠1+∠3=2∠1，∠6=∠2+∠4=2∠2，
∴∠CFD=∠5+∠6=2（∠1+∠2）=2∠ABC，
又∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∴∠CFD=90°，
∴CF=DF且CF⊥DF．
（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图，延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，∵F是BE的中点，∴BF=EF，
又∵∠BFG=∠EFD，GF=DF，∴△BFG≌△EFD（SAS），∴∠FBG=∠FED，BG=ED，
∴BG∥DE，∵△ADE和△ACB都是等腰直角三角形，
∴DE=DA，∠DAE=∠DEA=45°，AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°，
又∵∠CBG=∠EBG﹣∠EBA﹣∠ABC=∠DEF﹣（180°﹣∠AEB﹣∠EAB）﹣45°
=∠DEF﹣180°+∠AEB+∠EAB﹣45°=（∠DEF+∠AEB）+∠EAB﹣225°
=360°﹣∠DEA+∠EAB﹣225°=360°﹣45°+∠EAB﹣225°=90°+∠EAB，
而∠DAC=∠DAE+∠EAB+∠CAB=45°+∠EAB+45°=90°+∠EAB，
∴∠CBG=∠DAC，又∵BG=ED，DE=DA，∴BG=AD，又∵BC=AC，
∴△BCG≌△ACD（SAS），∴GC=DC，∠BCG=∠ACD，
∴∠DCG=∠DCB+∠BCG=∠DCB+∠ACD=∠ACB=90°，
∴△DCG是等腰直角三角形，又∵F是DG的中点，∴CF⊥DF且CF=DF．
点睛：主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定，及勾股定理的运用．要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．
23. 已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，试求t的取值范围．
【正确答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣，﹣）；（2）；（3） 2≤t＜．
【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；
（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；
（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个没有同的公共点时t的取值范围．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），
∴a+a+b=0，即b=-2a，
∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+）2-，
∴抛物线顶点D的坐标为（-，-）；
（2）∵直线y=2x+m点M（1，0），
∴0=2×1+m，解得m=-2，
∴y=2x-2，
则，
得ax2+（a-2）x-2a+2=0，
∴（x-1）（ax+2a-2）=0，
解得x=1或x=-2，
∴N点坐标为（-2，-6），
∵a＜b，即a＜-2a，
∴a＜0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，
∵抛物线对称轴为，
∴E（-，-3），
∵M（1，0），N（-2，-6），
设△DMN的面积为S，
∴S=S△DEN+S△DEM=|（ -2）-1|•|--（-3）|=−−a，
（3）当a=-1时，
抛物线的解析式为：y=-x2-x+2=-（x+）2+，
由，
-x2-x+2=-2x，
解得：x1=2，x2=-1，
∴G（-1，2），
∵点G、H关于原点对称，
∴H（1，-2），
设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，
-x2-x+2=-2x+t，
x2-x-2+t=0，
△=1-4（t-2）=0，
t=，
当点H平移后落在抛物线上时，坐标（1，0），
把（1，0）代入y=-2x+t，
t=2，
∴当线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，t的取值范围是2≤t＜．
本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
2022-2023学年河南省开封市中考数学专项突破仿真模拟卷
（4月）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 计算（﹣1）2018的结果是（ ）
A. 2017 B. ﹣2018 C. ﹣1 D. 1
2. 2018年春节期间共有7.68亿人选择使用红包传递新年祝福，收发红包总人数同比去年增加约10%，7.68亿用科学记数法可以表示为（ ）
A. 7.68×109 B. 7.68×108 C. 0.768×109 D. 0.768×1010
3. 如图由7个小正方体组合而成的几何体，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 分式方程=1的解为（ ）
A. x=﹣1 B. x= C. x=1 D. x=2
5. 一组从小到大排列的数据：a，3，4，4，6(a为正整数)，的众数是4，则该组数据的平均数是（ ）
A. 3.6 B. 3.8 C. 3.6或3.8 D. 4.2
6. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A. 开口向上 B. 与x轴有交点
C. 对称轴是直线 D. 当时，y随x的增大而减小
7. 如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM//AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）
A. 5 B. 4 C. D.
8. 一个没有透明的口袋中装有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后没有放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于6的概率为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（ ）
A. （2，7） B. （3，7） C. （3，8） D. （4，8）
10. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，若AO=OB=2，则阴影部分面积为（ ）
A. π B. π﹣1 C. +1 D.
二、填 空 题（每小题3分，共15分）
11. 计算:|-7+3|=________.
12. 没有等式组的最小整数解是 ；
13. 已知点(m－1，y1)，(m－3，y2)是反比例函数y＝(m<0)图象上的两点，则y1____y2 (填“>”“＝”或“<”)．
14. 如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，则y与x的解析式是_____．
15. 矩形纸片ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点P，且DP=3．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为________．
三、解 答 题（本题共共8小题，满分75分）
16. 先化简，然后从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
17. 随着科技的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅没有完整的统计图，请图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有2500名学生，请估计该校最喜欢用“”进行沟通的学生数有 名；
（4）某天甲、乙两名同学都想从“”、“”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
18. 如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O切线交于点D．
（1）若AC=6，BC=3，求OE的长．
（2）试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．
19. “C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据没有完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）
20. 如图，函数y=图象与双曲线y=(k≠0，x>0)相交于点A(3，m)和点B．
（1）求双曲线的解析式及点B的坐标；
（2）若点P在y轴上，连接PA，PB，求当PA+PB的值最小时点P的坐标．
21. 某宾馆准备购进一批换气扇，从电器商场了解到：一台A型换气扇和三台B型换气扇共需275元；三台A型换气扇和二台B型换气扇共需300元．
（1）求一台A型换气扇和一台B型换气扇售价各是多少元；
（2）若该宾馆准备同时购进这两种型号换气扇共80台，并且A型换气扇的数量没有多于B型换气扇数量的3倍，请设计出最的购买，并说明理由．
22. 【问题提出】
如图①，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF
试证明：AB=DB+AF
类比探究】
（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件没有变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由
（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件没有变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，没有必说明理由．
23. 如图1，抛物线 与轴交于A,B两点，与轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PHEO，垂足为H.设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系是（没有必写出m的取值范围），并求出l的值；
（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的M的坐标；若没有存在，请说明理由.
2022-2023学年河南省开封市中考数学专项突破仿真模拟卷
（4月）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 计算（﹣1）2018的结果是（ ）
A. 2017 B. ﹣2018 C. ﹣1 D. 1
【正确答案】D
【详解】试题解析：由负数的偶次幂是正数得：（-1）2018=1.
故选D.
2. 2018年春节期间共有7.68亿人选择使用红包传递新年祝福，收发红包总人数同比去年增加约10%，7.68亿用科学记数法可以表示为（ ）
A. 7.68×109 B. 7.68×108 C. 0.768×109 D. 0.768×1010
【正确答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值>1时，n是正数；当原数的值<1时，n是负数．
【详解】解：因为7.68亿＝7.68×108，
所以7.68亿用科学记数法可以表示为7.68×108，
故选B.
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 如图由7个小正方体组合而成的几何体，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：根据主视图的定义可知，此几何体的主视图是A中的图形，故选A．
考点：简单组合体的三视图．
4. 分式方程=1的解为（ ）
A. x=﹣1 B. x= C. x=1 D. x=2
【正确答案】A
【分析】先去分母转化为整式方程，然后求解，注意结果要检验．
【详解】解：去分母得：2x﹣1=x﹣2，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解，
所以分式方程的解为x=﹣1．
故选A．
本题考查解分式方程，掌握解题步骤正确计算是解题关键．
5. 一组从小到大排列的数据：a，3，4，4，6(a为正整数)，的众数是4，则该组数据的平均数是（ ）
A. 3.6 B. 3.8 C. 3.6或3.8 D. 4.2
【正确答案】C
【详解】∵数据：a，3，4，4，6（a为正整数），的众数是4，
∴a=1或2，
当a=1时，平均数为=3.6；
当a=2时，平均数为=3.8；
故选C．
6. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A. 开口向上 B. 与x轴有交点
C. 对称轴是直线 D. 当时，y随x的增大而减小
【正确答案】D
【分析】先把抛物线化为顶点式，再根据抛物线的性质即可判断A、C、D三项，令y=0，解关于x的方程即可判断B项，进而可得答案.
【详解】解：；
A、∵a=1>0，∴抛物线的开口向上，说确，所以本选项没有符合题意；
B、令y=0，则，该方程有两个相等的实数根，所以抛物线与x轴有交点，说确，所以本选项没有符合题意；
C、抛物线的对称轴是直线，说确，所以本选项没有符合题意；
D、当时，y随x的增大而减小，说法错误，应该是当时，y随x的增大而增大，所以本选项符合题意.
故选：D.
本题考查了二次函数的性质和抛物线与x轴的交点问题，属于基本题型，熟练掌握抛物线的性质是解题关键.
7. 如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM//AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）
A. 5 B. 4 C. D.
【正确答案】D
【分析】如图所示，连接OD，先求出，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接OD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，∠BAD=90°，
∵OM∥AB，
∴∠OMD=90°，
∴，
∴
故选D．
本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
8. 一个没有透明的口袋中装有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后没有放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于6的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】画树状图得出所有的情况，根据概率的求法计算概率即可.
【详解】画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于6的有2种情况，
∴两次摸出的小球标号之和等于6的概率
故选A．
考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.
9. 如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（ ）
A. （2，7） B. （3，7） C. （3，8） D. （4，8）
【正确答案】A
【详解】过C作CE⊥y轴于E，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ADC=90°，
∴∠ADO+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠ADO，∴△CDE∽△ADO，
∴，
∵OD=2OA=6，AD：AB=3：1，
∴OA=3，CD：AD=，∴CE=OD=2，DE=OA=1，
∴OE=7，∴C（2，7），
故选A．
10. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，若AO=OB=2，则阴影部分面积为（ ）
A. π B. π﹣1 C. +1 D.
【正确答案】D
【分析】图形的整体面积为S扇形BAA′＋S△A′BC′，空白部分的面积为S扇形BCC′＋S△ABC，S△A′BC′＝S△ABC，则阴影部分面积为两个扇形面积差，求解即可．
【详解】解：因为点O为AB的中点，所以OC＝OA＝OB＝2，BC＝．
由旋转的性质可知，A′B＝AB＝2OB＝4，所以∠AOA′＝60°，∠CBC′＝60°，
阴影部分的面积为：
S扇形BAA′＋S△A′BC′－(S扇形BCC′＋S△ABC)，
＝S扇形BAA′－S扇形BCC′，
＝．
故选D．
本题主要考查了扇形的面积，若阴影部分的面积是一个规则的图形或是几个规则图形的和与差，则可用面积公式直接求解，若阴影部分没有是规则图形，也没有是几个规则图形的和与差，则需要将原图形中的相关部分通过平移，旋转，翻折等方式转化为规则图形后再求．
二、填 空 题（每小题3分，共15分）
11. 计算:|-7+3|=________.
【正确答案】4
【详解】分析：先计算－7＋3，再根据值的意义求值.
详解：|－7＋3|＝|－4|＝4.
故答案为4.
点睛：本题考查了值的意义和有理数的加法，正数的值是它本身，负数的值是它的相反数，0的值是0．
12. 没有等式组的最小整数解是 ；
【正确答案】-3
【详解】解3x+10>0得，x>- ,解得,x< ,没有等式组的解集为-
13. 已知点(m－1，y1)，(m－3，y2)是反比例函数y＝(m<0)图象上的两点，则y1____y2 (填“>”“＝”或“<”)．
【正确答案】>
【详解】分析：m＜0，在每一个象限内，y随x的增大而增大.
详解：因为m＜0，所以m－3＜m－1＜0，这两个点都在第二象限内，
所以y2＜y1，即y1＞y2.
故答案＞.
点睛：对于反比例函数图象上的几个点，如果知道横坐标去比较纵坐标的大小或知道纵坐标去比较横坐标的大小，通常的做法是：(1)先判断这几个点是否在同一个象限内，如果没有在，则判断其正负，然后做出判断；(2)如果在同一个象限内，则可以根据反比例函数的性质来进行解答．
14. 如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，则y与x的解析式是_____．
【正确答案】y=x+1
【详解】分析：过点C作CD⊥OA于点D，则△ABO≌△CAD，由OB＝DA即可得到y与x的解析式.
详解：过点C作CD⊥OA于点D，则∠CDA＝∠BAC＝∠AOB＝90°，
因为∠CAD＋∠BAO＝90°，∠CAD＋∠ACD＝90°，所以∠BAO＝∠CAD，
又因为AC＝AB，所以△ABO≌△CAD，所以OB＝DA，
即x＝y－1，所以y＝x＋1.
故答案为y＝x＋1.
点睛：本题考查了列函数关系式和全等三角形的判定，一般在一条直线上有两个相等的直角时，可添加辅助线再出现一个直角，构造“K形图”，利用全等三角形求解.
15. 矩形纸片ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点P，且DP=3．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为________．
【正确答案】6或2．
【详解】试题分析：根据P点的没有同位置，此题分两种情况计算：①点P在CD上；②点P在AD上．①点P在CD上时,如图：
∵PD=3，CD=AB=9，∴CP=6，∵EF垂直平分PB，∴四边形PFBE是邻边相等的矩形即正方形，EF过点C，∵BF=BC=6，∴由勾股定理求得EF=；②点P在AD上时，如图：
先建立相似三角形，过E作EQ⊥AB于Q，∵PD=3，AD=6，∴AP=3，AB=9，由勾股定理求得PB==3，∵EF垂直平分PB，∴∠1=∠2（同角的余角相等），又∵∠A=∠EQF=90°，∴△ABP∽△EFQ（两角对应相等，两三角形相似），∴对应线段成比例：,代入相应数值：，∴EF=2．综上所述：EF长为6或2．
考点：翻折变换（折叠问题）．
三、解 答 题（本题共共8小题，满分75分）
16. 先化简，然后从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【正确答案】
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣＜x＜的范围内选取一个使得原分式有意义的整数作为x的值代入即可解答本题．
【详解】解：÷（﹣x+1）
=
=
=
=，
当x=﹣2时，原式= ．
本题考查分式的化简求值、估算无理数的大小，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
17. 随着科技的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅没有完整的统计图，请图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有2500名学生，请估计该校最喜欢用“”进行沟通的学生数有 名；
（4）某天甲、乙两名同学都想从“”、“”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
【正确答案】（1）100，108°；（2）补图见解析；（3）1000人；（4）
【详解】分析：(1)根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数; （2）计算出短信与的人数即可补全统计图;（3）用样本中喜欢用进行沟通的百分比来估计1000名学生中喜欢用进行沟通的人数即可;（4）列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况后，利用概率公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．
详解：（1）.
（2）使用短信的人数：100×5%=5；使用的人数：100-20-5-30-5=40,
条形统计图补充图如图：
（3）（人）
（4）如图所示：列出树状图如下：
所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，
因此，甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为.
点睛：本题考查了列表法与树状图，利用列表法或树状图法展示所有可能结果n，从中选出符合A或B的结果数目m，然后利用概率公式求A或B的概率．也考查了统计图和用样本估计总体．
18. 如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O切线交于点D．
（1）若AC=6，BC=3，求OE的长．
（2）试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）∠CDE=2∠A，理由见解析.
【详解】分析：(1)由勾股定理求AB，证明△AOE∽△ACB，根据相似三角形的对应线段成比例求OE；(2)连接OC，可知∠3＝2∠A，只需用同角的余角证∠D＝∠3即可.
详解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝900，
在Rt△ABC中，由勾股定理得:AB＝＝3，
∴OA＝AB＝.
∵OD⊥AB，∴∠AOE＝∠ACB＝900，由∵∠A＝∠A，∴△AOE∽△ACB，
∴，即，解得:OE＝.
(2)∠CDE＝2∠A，
理由如下:连接OC，如图所示：
∵OA＝OC，∴∠1＝∠A，
∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝900，∴∠2＋∠CDE＝900，
∵OD⊥AB，∴∠2＋∠3＝900，∴∠3＝∠CDE，∵∠3＝∠A＋∠1＝2∠A，
∴∠CDE＝2∠A.
点睛：本题考查了圆周角定理，切线的性质和相似三角形的判定与性质，在圆中有切线时，如果需要添加辅助线，一般是连接圆心与切点.
19. “C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据没有完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）
【正确答案】线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm．
【详解】试题分析：在Rt△BED中可先求得BE的长，过C作CF⊥AE于点F，则可求得AF的长，从而可求得EF的长，即可求得CD的长．
试题解析：∵BN∥ED，
∴∠D=∠BDE=37°，
∵AE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴BE=DE•tan∠BDE≈18.75（cm），
如图，过C作AE垂线，垂足为F，
∵∠FCA=∠CAM=45°，
∴AF=FC=25cm，
∵CD∥AE，
∴四边形CDEF为矩形，
∴CD=EF，
∵AE=AB+EB=35.75（cm），
∴CD=EF=AE-AF≈10.8（cm），
答：线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm．
本题考查了解直角三角形的应用，正确地添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.
20. 如图，函数y=的图象与双曲线y=(k≠0，x>0)相交于点A(3，m)和点B．
（1）求双曲线的解析式及点B的坐标；
（2）若点P在y轴上，连接PA，PB，求当PA+PB的值最小时点P的坐标．
【正确答案】（1）；点B的坐标为(6，3).（2）点P的坐标为(0，5).
【详解】分析：(1)由函数的解析式可得点A的坐标，从而求出反比例函数的解析式，解由函数与反比例函数的解析式组成的方程组可求点B的坐标；(2)作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，直线A′B与y的交点即为点P，用待定系数法求直线A′B的解析式后即可求点P的坐标.
详解：(1)把A(3，m)代入y＝2x，可得m＝2×3＝6，∴A(3，6)，
把A(3，6)代入y＝，可得k＝3×6＝18，
∴双曲线的解析式为y＝；
当x>3时，解方程组，可得或(舍去)
∴点B的坐标为(6，3).
(2)如图所示，作点A关于y轴的对称点A′(－3，6)，连接A′P，则A′P＝AP，
∴PA＋PB＝A′P＋BP≥A′B
当A′，P，B三点共线时，PA＋PB的最小值等于A′B的长.
设A′B的解析式为y＝ax＋b，
把A′(－3，6)，B(6，3)代入，可得，解得.
∴A′B的解析式为y＝x＋5，
令x＝0，则y＝5，
∴点P的坐标为(0，5).
点睛：本题考查了用待定系数法求函数的解析式及用轴对称的性质求最小值，求直线与双曲线的交点坐标即是把直线的解析式与双曲线的解析式组成一个方程组，由方程组的解即可求得交点的坐标，已知两个定点A，B，在定直线l上找一点P，使PA＋PB最小时，可作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，与直线l的交点即为点P.
21. 某宾馆准备购进一批换气扇，从电器商场了解到：一台A型换气扇和三台B型换气扇共需275元；三台A型换气扇和二台B型换气扇共需300元．
（1）求一台A型换气扇和一台B型换气扇的售价各是多少元；
（2）若该宾馆准备同时购进这两种型号的换气扇共80台，并且A型换气扇的数量没有多于B型换气扇数量的3倍，请设计出最的购买，并说明理由．
【正确答案】（1）一台A型换气扇50元，一台B型换气扇的售价为75元；（2）最的是购进60台A型换气扇，20台B型换气扇．
【详解】分析：(1)设一台A型换气扇的售价为x元，一台B型换气扇的售价为y元，列二元方程组求解；(2)设购进A型换气扇z台，总费用为w元，根据“A型换气扇的数量没有多于B型换气扇数量的3倍，”，求z的取值范围，根据“同时购进这两种型号的换气扇共80台”求w与z的函数关系，由函数的性质确定.
详解：(1)设一台A型换气扇的售价为x元，一台B型换气扇的售价为y元.
根据题意得：解得：
答:一台A型换气扇的售价为50元，一台B型换气扇的售价为75元.
(2)设购进A型换气扇z台，总费用为w元，
则有z≤3(80－z)，解得:z≤60，
∵z为换气扇的台数，∴z≤60且z为正整数，
w＝50z＋75(80－z)＝－25z＋6000，
∵－25<0，∴w随着z的增大而减小，
∴当z＝60时，w＝25×60＋6000＝4500，
此时80－z＝80－60＝20.
答:最的是购进60台A型换气扇，20台B型换气扇.
点睛：本题考查了二元方程组和一元没有等式的应用，对于方程组和没有等式组相的选择类问题，通常的做法是先列方程组求出某些量的具体值，然后根据题目中的没有等关系列没有等式或没有等式组，求出某个量的取值范围，再函数的性质确定.
22. 【问题提出】
如图①，已知△ABC等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF
试证明：AB=DB+AF
【类比探究】
（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件没有变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由
（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件没有变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，没有必说明理由．
【正确答案】【问题提出】证明见解析；【类比探究】（1）AB=BD﹣AF；（2）AF=AB+BD．
【问题提出】根据旋转的性质得出△EDB与FEA全等的条件BE=AF，再已知条件和旋转的性质推出∠D=∠AEF，∠EBD=∠EAF=120°，得出△EDB≌FEA，所以BD=AF，等量代换即可得出结论．
（1）先画出图形证明△DEB≌△EFA，方法类似于【问题提出】；
（2）画出图形根据图形直接写出结论即可．
【详解】证明：DE=CE=CF，△BCE
由旋转60°得△ACF，
∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=CE，
∴DE=EF，∠CAF=∠BAC=60°，
∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，
∵∠DBE=120°，
∴∠EAF=∠DBE，
又∵A，E，C，F四点共圆，
∴∠AEF=∠ACF，
又∵ED=DC，
∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，
∴∠D=∠AEF，
∴△EDB≌FEA，
∴BD=AF，AB=AE+BF，
∴AB=BD+AF．
类比探究（1）DE=CE=CF，△BCE由旋转60°得△ACF，
∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=CE，
∴DE=EF，∠EFC=∠BAC=60°，
∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，
∴∠FCG=∠FEA，
又∠FCG=∠EAD
∠D=∠EAD，
∴∠D=∠FEA，
由旋转知∠CBE=∠CAF=120°，
∴∠DBE=∠FAE=60°
∴△DEB≌△EFA，
∴BD=AE，EB=AF，
∴BD=FA+AB．
即AB=BD-AF．
（2）AF=BD+AB（或AB=AF-BD）
如图③，
，
ED=EC=CF，
∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，
∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=EC，
又∵ED=EC，
∴ED=EF，
∵AB=AC，BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
又∵∠CBE=∠CAF，
∴∠CAF=60°，
∴∠EAF=180°-∠CAF-∠BAC
=180°-60°-60°
=60°
∴∠DBE=∠EAF,
∵ED=EC，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC，
又∵∠EDC=∠EBC+∠BED，
∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC，
∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC，
∴∠BDE=∠AEF，
在△EDB和△FEA中，
∴△EDB≌△FEA（AAS），
∴BD=AE，EB=AF，
∵BE=AB+AE，
∴AF=AB+BD，
即AB，DB，AF之间的数量关系是：AF=AB+BD．
23. 如图1，抛物线 与轴交于A,B两点，与轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PHEO，垂足为H.设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系是（没有必写出m的取值范围），并求出l的值；
（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的M的坐标；若没有存在，请说明理由.
【正确答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；（2）l=﹣（m+）2+ ，值为；（3）（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．
【分析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其值；
（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标．
【详解】解：（1）∵矩形OBDC的边CD=1，
∴OB=1，
∵AB=4，
∴OA=3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得
，
解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；
（2）在y=﹣x2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2，
∴E（﹣2，2），
∴直线OE解析式为y=﹣x，
由题意可得P（m，﹣m2﹣m+2），
∵PG∥y轴，
∴G（m，﹣m），
∵P在直线OE的上方，
∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，
∵直线OE解析式为y=﹣x，
∴∠PGH=∠COE=45°，
∴l=PG=[﹣（m+）2+]=﹣（m+）2+，
∴当m=﹣时，l有值，值为；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，
则∠ALF=∠ACO=∠FNM，
在△MFN和△AOC中
∴△MFN≌△AOC（AAS），
∴MF=AO=3，
∴点M到对称轴的距离为3，
又y=﹣x2﹣x+2，
∴抛物线对称轴为x=﹣1，
设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，
当x=2时，y=﹣，当x=﹣4时，y=，
∴M点坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）；
②当AC为对角线时，设AC的中点为K，
∵A（﹣3，0），C（0，2），
∴K（﹣，1），
∵点N对称轴上，
∴点N的横坐标为﹣1，
设M点横坐标为x，
∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，
∴M（﹣2，2）；
综上可知点M的坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．
考点：二次函数综合题．
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