渐近线综合问题 专项训练 2023届二轮复习

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专题109渐近线综合问题

一、单选题
1．【分析】根据题意列式求解，再结合双曲线的渐近线分析可得到直线的距离大于两平行线间距离，运算求解.
【详解】由已知得，解得，
故双曲线的方程为，，
∵直线的方程为，与一条渐近线平行，两平行线间距离，
所以到直线的距离，即的取值范围为，
又∵，所以面积，
故面积的取值范围为.
故选：D.

2．【分析】由题意，根据双曲线方程，可得渐近线方程，根据等边三角形的性质，可得渐近线的斜率与的值，联立方程，可得答案.
【详解】由方程，则双曲线的渐近线方程为，
不妨设在直线上，
由△OAF是边长为2的等边三角形，则可得，直线的倾斜角为，即，
联立，可得，故双曲线方程为.
故选：C.
3．【答案】B
【分析】由题意，根据双曲线方程，写出渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得答案.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即，由对称性不妨考虑点到直线的距离：，
故选：B.
4．【答案】C
【分析】利用离心率求得，然后由抛物线准线方程和双曲线渐近线方程联立可得A、B坐标，结合三角形面积可得p，再由面积公式可得.
【详解】由，可得，
所以双曲线的渐近线方程为
由得，由得，
∴，解得，
∴，，则的三边长分别为，，．
设的内切圆半径为，由，解得.
故选：C．

5．【答案】C
【分析】将双曲线渐近线方程与圆的方程联立可求得其在第一象限内的交点坐标，根据渐近线与圆的交点等分圆周可得渐近线斜率，由此可构造方程求得结果.
【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为，
双曲线的渐近线与圆的交点等分圆周，双曲线渐近线斜率为，
即，解得：.
故选：C.
6．【答案】B
【分析】由双曲线的方程可得点F坐标及渐近线方程，进而求得点P坐标，利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】解：由双曲线方程可得，点F坐标为，将代入双曲线方程，得，
由于点P在第一象限，所以点P坐标为，
双曲线的渐近线方程为，点P到双曲线的渐近线的距离为．
Q是双曲线渐近线上的动点，所以的最小值为．
故选：B．
7．【答案】C
【分析】求出双曲线渐近线方程，可判断A选项；利用勾股定理以及双曲线的定义可判断B选项；利用双曲线的定义可判断C选项；利用角平分线定理结合双曲线的定义可判断D选项.
【详解】在双曲线中，，，则，易知点、，
设，，
对于A选项，因为双曲线的渐近线方程为，
当点在第一象限内运动时，随着的增大，射线慢慢接近于直线，此时，
同理可知当点在第四象限内运动时，，
当点为双曲线的右顶点时，，
综上所述，的取值范围是，A对；
对于B选项，当时，，
，所以，，B对；
对于C选项，，
故过点时，光由到再到所经过的路程为
，C错；
对于D选项，若，由角平分线定理可得，
即，解得，D对.
故选：C.
8．【答案】A
【分析】先写出 的渐近线方程，根据点到直线距离公式求出b，再根据两双曲线渐近线相同，
求出 实轴与虚轴的关系即可求出其离心率.
【详解】设双曲线的半焦距为，则右焦点，其一条渐近线为，
根据点到直线距离公式有：，由于 ，解得 ；
设，其半焦距为，其渐近线方程为： ，
由题意知，所以，即，所以的离心率
；
故选：A.
9．【答案】A
【分析】由题意联立方程组求得、 的坐标，由向量等式得关于的方程，再求出即可.
【详解】解：由题意得：
由双曲线的方程，可知，
过双曲线的右焦点且斜率为的直线方程为
联立，得：
联立，得：
则 ，

，整理得：，解得：
故选：A
10．【答案】B
【分析】由双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，可得，再由焦距为，可得，由可求出，从而可求得双曲线的渐近线方程
【详解】双曲线的渐近线方程为，下焦点为，
因为双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，
所以，
因为焦距为，所以，
所以，
所以
所以双曲线的渐近线方程，
故选：B
11．【答案】C
【分析】求出双曲线的渐近线方程，由条件列方程求.
【详解】因为双曲线的方程为，所以，
所以双曲线的渐近线方程为，
又双曲线的两条渐近线互相垂直，
所以，所以，
故选：C.
12．【答案】B
【分析】由整理得，即，设结合，可得，代入双曲线方程运算整理．
【详解】∵，整理得：，即
∴
不妨设，根据结合比例易得
则，解得
∴
故选：B．

13．【答案】A
【分析】设出切线方程，与椭圆方程联立后利用根的判别式求出，求出切线方程，从而得到M点坐标，再联立渐近线得到N，Q的横坐标，利用中点得到方程，求出，从而求出离心率.
【详解】由题意得：渐近线方程为，
设切线方程为，联立得：
，
由得：，
解得：，
所以切线方程为，
令得：，所以，
联立与，解得：，
联立与，解得：，
因为N为MQ的中点，
所以，
解得：，
所以离心率为

故选：A
14．【答案】A
【分析】求出双曲线C渐近线的斜率，与已知直线斜率的乘积等于-1，即可求解.
【详解】由题意，双曲线的方程为： ，斜率为 和 ，
直线 的斜率为 ，因为两直线垂直，
则有 ，即 ，（ ，显然这是不可能的），
或 ， ；
故选：A.
15．【答案】A
【分析】根据椭圆的方程求出双曲线焦点坐标，点P是在原点为圆心，半径为焦半径的圆上，
求出P点的坐标，代入双曲线方程求解实半轴和虚半轴即可.
【详解】对于椭圆 ，易得椭圆的半焦距的平方 ，
即双曲线的半焦距的平方=8；
对于双曲线 ，有 …①，
，即P点是在以原点为圆心，半径为c的圆上，
设 ，则有 ，解得 ，
代入双曲线方程并与①联立： ，化简后得： ，
，解得 或9，由①可知： ， ，
双曲线的方程为： ，渐近线方程为 ；
故选：A.
16．【答案】C
【分析】根据可知为直角三角形，根据双曲线的对称性，即可得，代入双曲线方程中即可求解.
【详解】的准线方程为，由双曲线的对称性可知：,根据，可知为等腰直角三角形,故,将代入双曲线方程可得：，所以渐近线方程为.
故选：C

17．【答案】A
【分析】根据双曲线的几何性质列式可求出结果.
【详解】由题意得,解得，即.
故选：A.
18．【答案】B
【分析】根据离心率可得渐近线方程以及渐近线的夹角，结合Rt△求．
【详解】双曲线的离心率
的渐近线方程为：，两渐近线的夹角为，
不妨设与直线垂直，垂足为，
则．
故选: B．

19．【答案】D
【分析】根据双曲线渐近线的性质即可求解．
【详解】斜率为，
过点A的直线与双曲线只有一个公共点，
则该直线与双曲线的渐近线平行，且过双曲线右顶点(a，0)，
故=，且a-3=0，解得a=3，b=1，故c=，故焦距为2c=．
故选：D．
20．【答案】A
【分析】不妨设其中一条渐近线为 ，P在上，设的倾斜角为，由余弦定理求得，即可求得渐近线方程.
【详解】由题意可知 ，不妨设其中一条渐近线为 ，P在上，
设的倾斜角为 ，则 ,
故在中， ，
即 ，则 ，故 ，
故C的渐近线方程为，
故选：A
21．【答案】B
【分析】根据题意可得双曲线的渐近线方程为 ，根据一条渐近线与直线垂直，求得，继而求得，可得答案.
【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为 ，
因为双曲线的其中一条渐近线与直线垂直，故 ，
而 ，故 ，故双曲线的焦点坐标为，
故选：B
22．【答案】C
【分析】根据双曲线焦点到渐近线的距离求得，结合离心率求得，从而求得抛物线的标准方程.
【详解】双曲线的右焦点到渐近线的距离为，
离心率，
，
所以双曲线的右顶点为，
对于抛物线，，
所以抛物线方程为.
故选：C

二、多选题
23．【答案】BCD
【分析】对于，过与只有一个公共点的直线有3条，故可判断；
对于B，由题意可求得，取渐近线方程为，可求得关于渐近线的对称点为，代入的方程验证即可；
对于，当直线与轴垂直时，线段长度最小，即可判断；
对于D,双曲线为即，设，则，，解得，即可判断.
【详解】对于，过与只有一个公共点的直线，与渐近线平行的直线2条，与轴垂直的直线1条，共3条，则错误；
对于，所以，渐近线方程不妨取，即，设关于渐近线的对称点为，则，
解得，代入的方程，得，所以点关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线上，则B正确；
对于，过双曲线右焦点的直线与双曲线右支交于两点，当直线与轴垂直时，线段长度最小，故正确；
对于D,双曲线为等轴双曲线，即，设，则①，又，则②，联立①②解得，易得，故D正确．
故选:BCD．
24．【答案】AB
【分析】先由求得，即可求出渐近线判断A选项，由点到直线的距离公式即可判断B选项，由实轴长､虚轴长､焦距结合等比中项即可判断C选项，由双曲线定义结合的范围即可判断D选项.
【详解】易知双曲线的方程为，令得，故，解得，双曲线的渐近线方程为，即，故A正确；
双曲线的渐近线方程为，由双曲线的对称性，不妨取右顶点，右焦点，则顶点到两渐近线距离的积为，
焦点到渐近线距离的平方为，又，，故，B正确；
，，显然，C错误；
若，又由双曲线定义，解得，
故不存在点，满足，D错误.
故选：AB.
25．【答案】BCD
【分析】设出，得到方程组，求出，或，从而得到离心率，及渐近线方程，利用余弦定理及同角三角函数关系得到倾斜角的正切值，从而求出斜率.
【详解】以为直径的圆过右焦点，以为直径的圆：
设，则，，
∴
解得：，或，所以，即A错误，B正确.
渐近线方程C正确.
D选项，不妨设，且点B在第一象限，则

，此时同理可得：当时，
D正确，
故选：BCD.
26．【答案】CD
【分析】根据双曲线的几何性质，点到直线的距离公式，直线和双曲线的位置关系等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】双曲线焦点在轴上，且，渐近线为，
对于A选项，双曲线的离心率为，
焦半径为(其中为曲线上一点的横坐标)，所以A选项错误.
对于B选项，双曲线的渐近线为，
与曲线的渐近线不相同，故B选项错误.
对于C选项，双曲线的一条渐近线方程为，右焦点坐标为，
所以焦点到渐近线的距离为，故C选项正确.
对于D选项，直线，当时，直线与双曲线的交点可能是0个，也可能是2个；当且直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线的交点是1个，所以它们的公共点个数可能为，故D选项正确.
故选：CD
27．【答案】ABC
【分析】根据离心率求得，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】双曲线，
离心率，则，
双曲线的右顶点为，A选项正确.
双曲线的焦距为，B选项正确.
双曲线的渐近线方程为，C选项正确.
直线过原点，且斜率为，大于渐近线的斜率，所以直线与双曲线没有交点，D选项错误.
故选：ABC
28．【答案】BCD
【分析】根据共线向量的性质，结合双曲线的渐近线方程、离心率公式逐一判断即可.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
不妨设过点F的直线与直线平行，交于C于点A.
对于A：设双曲线半焦距为c，
过点F与直线平行的直线的方程为，与联立，解得
，由，设，所以，
可得，依题：
，得，故渐近线方程为，A错误；
对于B：由可得，B正确；
对于C：A到两渐近线距离的乘积，C正确
对于D：
故，
故，所以D正确．
故选：BCD
【点睛】关键点睛：求出两点坐标是解题的关键.
29．【分析】的渐近线方程为：，的渐近线方程为：.
【详解】A选项，的渐近线方程为，A正确；
B选项，的渐近线方程为：，B错误；
C选项，的渐近线方程为：，C错误；
D选项，的渐近线方程为：，D正确.
故选：AD
30．【答案】BCD
【分析】根据三角形两边之差小于第三边，可判断A;求出焦点关于双曲线C的渐近线的对称点的坐标,代入到双曲线方程中，化简求得离心率，可判断B;设，满足等轴双曲线方程，计算的值，即可判断C;利用C的结论，可推得，即可说明，从而判断D.
【详解】对于A,在中，根据三角形两边之差小于第三边，
故 ，故A错误；
对于B，焦点，渐近线不妨取 ，即，
设关于双曲线C的渐近线的对称点为 ，则 ，
即得 ，即关于双曲线C的渐近线的对称点为，
由题意该点在双曲线上，故 ，将 代入，
化简整理得： ，即 ，
所以 ，故 ，故B正确；
对于C,双曲线C为等轴双曲线，即,
设 ，则，则，
故 ，故C正确；
对于D, 双曲线C为等轴双曲线，即,
且,设，
则 ，
根据C的结论，即有 ，
在三角形中，只有两角互余时，它们的正切值才互为倒数，
故 ，故D正确；
故选：BCD
【点睛】本题综合考查了双曲线的相关知识，涉及到定义的理解，离心率的计算以及直线和双曲线的位置关系以及角度的问题，解答时难度并不是很大，但要能牢固掌握双曲线的基本知识才能正确解答.
31．【答案】AB
【分析】根据双曲线的渐近线即可求出b，根据焦点弦中通径最短即可判断B，根据焦点弦的范围可判断C，根据渐近线的性质可判断D.
【详解】由题知，a＝1，渐近线，c＝2，故A正确；
|PQ|为双曲线右支上的焦点弦，则其为通径，即与x轴垂直时最短，，故B正确；
根据双曲线定义知，∴当P为双曲线右顶点时，取最小值3，但此时与双曲线的右支没有两个交点，故C错误；
∵直线m和双曲线的渐近线平行，故双曲线上点P到直线m的距离没有最小值，故D错误.
故选：AB.
32．【答案】ACD
【分析】对于A：利用直接法求点的轨迹即可；对于B：利用渐近线与已知直线的位置关系以及渐近线性质即可判断；对于C：联立直线与曲线的方程，并结合韦达定理用表示出，进而求出，通过检验即可求解；对于D：利用圆心到渐近线的距离与圆的半径进行比较即可判断.
【详解】对于A：设点，由已知得，整理得，
所以点的轨迹曲线的方程为，故A正确；
对于B：曲线的渐近线为，直线与渐近线平行，且不经过，则有一个交点，故B不正确；
对于C：直线与曲线的方程联立，整理得，
设，，
，且
则有，，
所以，
要满足，则需，解得或，
当时，，，而曲线上：，从而不满足题意，
当时，直线不过和两点，故满足题意，
所以满足条件的直线有2条，故C正确；
对于D：圆的圆心到曲线的渐近线的距离为，
又圆的半径为1，故D正确.
故选：ACD.
33．【答案】AD
【分析】利用双曲线方程求解焦点坐标，离心率，渐近线方程，结合直线与双曲线的位置关系的判定和弦长，然后分析判断选项的正误，即可求解.
【详解】由双曲线的焦点在轴上，且，则，
其渐近线方程为，
对于A中，由双曲线C的离心率为，故A正确；
对于B中，由双曲线的渐近线方程为，与双曲线C的渐近线不相同，
所以B错误；
对于C中，由代入双曲线中，可得，
即交点的坐标为和，所以截得的弦长为，所以C错误；
对于D中，当时，此时直线与渐近线平行，且过原点，
可得直线与双曲线没有公共点，即交点的个数为0个；
当时，此时直线与渐近线平行，且不过原点，
可得直线与双曲线只有一个公共点，即交点的个数为1个；
当时，此时直线与渐近线不平行，可得直线与双曲线有2个公共点，即交点的个数为2个，
综上可得，直线与双曲线C的公共点个数可能为0，1，2，所以D正确.
故选：AD.
34．【答案】AC
【分析】A选项，求出渐近线方程，利用点到直线距离公式求出焦点到渐近线距离；B选项，把实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度后的离心率和变化前的离心率均求出来，用作差法进行比较即可；C选项，求出，相乘是否是定值；D选项，把直线斜率与渐近线斜率相比，数形结合得到结果.
【详解】对于A，因为双曲线的一个焦点，渐近线方程化为，
焦点到渐近线的距离为，故正确；
对于B，双曲线的离心率，若的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度，则，
所以新离心率，
即离心率变小，故B错误；
对于选项C，
，
，
又点在双曲线上，
，
，
（定值），故C正确；
对于D，双曲线的渐近线方程为，.根据双曲线图象可知直线若与双曲线有两个交点，这两个交点必在双曲线的同一支上，故D错误；
故选：AC
35．【答案】AB
【分析】根据双曲线定义及题干中的线段的长度关系，可以得到；利用余弦定理得到与的关系，进而得到离心率和渐近线，从求出的离心率可以得到D选项的正误.
【详解】设，则，
由双曲线的定义知，，即，
，即，∴，，
故选项A正确；
由余弦定理，知在中，，
在中，
，
化简整理得，∴离心率，故选项B正确；
双曲线的渐近线方程为，故选项C错误；
若原点在以为圆心，为半径的圆上，则，与不符，故选项D错误．
故选：AB
36．【答案】ABD
【分析】AB选项，代入的值，分别得出是什么类型的曲线，进而作出判断；C选项，要想使曲线表示双曲线要满足；D选项，求出曲线表示圆时m的值.
【详解】当时，曲线：，是焦点在y轴上的椭圆，且，所以交点坐标为，，A正确；当时，曲线：，是焦点在在y轴上的双曲线，则的渐近线为，B正确；当表示双曲线时，要满足：，解得：或，C错误；当，即时，，表示圆，D正确
故选：ABD
37．【答案】BC
【分析】当时可判断A；根据充分条件和必要条件的定义以及表示双曲线的等价条件可判断B；根据曲线表示椭圆的条件可得的范围，再讨论椭圆焦点在轴和轴上，由离心率公式列方程求得的值可判断C；根据曲线表示双曲线的条件可得的范围，再由焦点在轴和轴上由列方程求的值可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A，当时，曲线为，曲线表示圆，故选项A不正确；
对于B，曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，可得，
若，则，曲线表示焦点在轴上的双曲线，所以 “”是“曲线表示焦点在轴上的双曲线”的充分必要条件，故选项B正确；
对于C，假设存在实数，使得曲线的离心率为，
曲线表示椭圆，则，可得：，
若椭圆焦点在轴上，
由 ，可得，可得符合题意，
若椭圆焦点在轴上，
由，可得，可得符合题意，
所以存在或，使得曲线的离心率为，故选项C正确；
对于D，假设存在实数，使得曲线表示渐近线方程为的双曲线，
此时有，得或，
当时，，无解；当时，，无解，
所以满足题意的实数不存在，故选项D不正确．
故选：BC.
38．【答案】ABD
【分析】由题意可求得直线的方程，根据点到直线距离公式，即可判断A的正误；根据中位线的性质及双曲线定义，可判断C的正误；根据勾股定理及离心率公式，可判断B的正误；根据两角差的正切公式，计算求值，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】由题意得直线的斜率为，且，
所以直线的方程为，即，
所以原点到直线的距离，故A正确；
因为O为的中点，且，
所以到直线的距离为O到直线距离的2倍，即，
根据双曲线定义可得，
所以，故C错误；
因为，且，
所以，整理得，即
所以双曲线的离心率，故B正确；
设渐近线的倾斜角为，渐近线的倾斜角为，所求为，
则，
因为，且，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以双曲线的两条渐近线夹角余弦值为，故D正确；
故选：ABD
39．【答案】AD
【分析】不妨取点M为，第一象限的一个公共点，令根据两曲线有公共焦点,和圆锥曲线定义得到离心率的关系.即可求出.可以判断选项A、B；
由，解得：，求出渐近线方程，可以判断选项C、D.
【详解】不妨取点M为，第一象限的一个公共点，令则曲线的方程为,曲线的方程为.
又由两曲线有公共焦点,则,
由圆锥曲线定义可得:,
解得：.
又，所以，可得：,
整理得.
因为，所以.故A错误；B正确；
由，得：，解得：，所以渐近线方程为.
故C正确，D错误.
故选：AD
40．【答案】ACD
【分析】根据条件先求解出双曲线方程中的值，由此可求双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式即可判断选项A和选项B；根据椭圆的定义判断选项C；计算出椭圆和双曲线的交点坐标，由此可求四边形的面积.
【详解】如下图所示，设双曲线的焦距为，

由题意可知：，，所以的离心率为，故A正确；
的右焦点，方程中，所以的渐近线方程为，
不妨取渐近线，所以到的距离为，故B错误；
根据椭圆定义可知：，故C正确；
联立，所以，所以，故D正确；
故选：ACD.

三、填空题
41．【答案】
【分析】圆的半径和弦长已知，可求圆心到直线的距离，由点到直线距离公式解得的值
【详解】双曲线的渐近线方程为，即，
圆的圆心为，半径为，渐近线被圆所截的弦长为2，有圆心到渐近线距离，解得，
故答案为：
42．【答案】或(答案不唯一)
【分析】利用双曲线的渐近线与双曲线没有交点的性质可求解.
【详解】当双曲线的过一三象限渐近线的斜率小于等于2时,
双曲线与直线没有公共点,
若双曲线焦点在轴上,即,则有,即,
故可取,即双曲线方程为,
若双曲线焦点在轴上,即,则有,即,
故可取,即双曲线方程为,
故答案为:或(答案不唯一)
43．【答案】
【分析】求出双曲线的渐近线方程，从而得到，结合准线方程得到，求出，，得到双曲线方程.
【详解】的渐近线为，当时，，
所以，又准线方程为，
解得，，所以C的方程为．
故答案为：
44．【答案】
【分析】由已知可得，由过F2的直线斜率为，可得，进而由余弦定理可得c＝3a，可求双曲线C的渐近线方程．
【详解】由，得，
所以，故
由双曲线的定义知，，
因为直线的斜率为，所以，
即，结合，
因为，
可得，
由余弦定理得：，解得：c＝3a，
因为，所以，即，
可得，
∴双曲线C的渐近线方程为．
故答案为：．
45．【答案】.
【分析】取P2的对称点P3（x2，﹣y2），结合，可得，然后可得渐近线夹角∠MON≤90°，代入渐近线斜率计算即可求得．
【详解】设P2关于轴的对称点P3（x2，﹣y2）仍在双曲线右支，
由，得，即恒成立，
∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°，
∴其中一条渐近线的斜率，
∴a≥1，
所以实数a的取值范围为．

故答案为：[1，+∞）．
46．【答案】
【分析】[解法1]先根据题意求得两点的坐标，进而得到、，再由是正三角形得到的关系式，进而求得的比值，从而可求得双曲线C的渐近线方程.
[解法2]根据双曲线的定义，结合正三角形的性质，直接得到的关系，进而取值，并利用的平方关系得到的关系，进而得到渐近线的方程.
【详解】[解法1]根据题意，易知，双曲线C的渐近线方程为，
因为过且垂直于轴的直线与双曲线的右支交于A，两点，
所以不妨设，将代入双曲线方程得，解得，即，同理：，
所以，，
由双曲线的定义可知，即，
因为是正三角形，所以，即，得，即，
所以双曲线C的渐近线方程为.
故答案为：.
[解法2]
由题意为直角三角形，且,
故可设，则,如图所示：

由双曲线的定义得,
∴,∴,
∴,
∴双曲线的渐近线方程为，
故答案为：

四、解答题
47．【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程.
（2）联立直线的方程和双曲线的方程，化简写出根与系数关系，根据求得点的坐标，将点坐标代入双曲线的方程，对进行分类讨论，由此求得的取值范围.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，
因为双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为，
双曲线的一条渐近线为，右焦点，
右焦点到渐近线的距离为，
所以，
②代入①得：，所以求双曲线的方程为.
（2）设，，，
联立方程，得：，
，
，
因为，所以，
因为点在双曲线上，所以，
即，
所以，
即，
当时，等式左边=3，右边=0，因为左边右边，所以不满足题意；
当时，，所以不满足题意；
当时，，
所以，
综上所述：的取值范围为.
48．【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）根据题意，求出得到双曲线方程，设出直线方程，联立双曲线方程由韦达定理即可解得直线斜率的取值范围；
（2）由直线与渐近线联立可求出两点的坐标，再求出到两条渐近线的距离，，整体代入求出，分割利用韦达定理结合三角形面积公式，可求得，进而得到关于的函数关系式，即可得到答案.
【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，故，
由得，所以双曲线的方程为，，
设直线的方程为，联立双曲线方程得，
，解得，
即直线的斜率范围为；
（2）设，渐近线方程为，则到两条渐近线的距离，满足，

而，，
，
所以
由，
，
所以，，
∵，∴.
49．【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程，从而得到两点的坐标，得到三角形的面积为，列出方程，求出的值；
（2）设出直线方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，根据三点共线，得到斜率相等，列出方程，代入后求解出，求出直线所过的定点.
（1）
双曲线：的渐近线方程为，
不妨设，
因为三角形的面积为，所以，
所以，又，所以.
（2）
双曲线的方程为：，所以右焦点的坐标为，
若直线与轴交于点，故可设直线的方程为，
设，，则，
联立，得，
且，
化简得且，
所以，，
因为直线的斜率存在，所以直线的斜率也存在，
因为，，三点共线，所以，
即，即，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
化简得，所以经过轴上的定点.
【点睛】圆锥曲线相关的直线过定点问题，通常要设出直线方程，将直线与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再根据题干信息列出方程，代入两根之和和两根之积，求出定点.