初中数学北师大版九年级下册1 圆第2课时教案

教学目标

1.掌握圆周角定理的另外两个推论，会熟练运用这两个推论解决相关问题．

2.掌握圆的内接四边形的概念及性质，并能加以熟练运用．

教学重难点

重点：圆周角定理的两个推论及其应用．

难点：理解推论的“条件”和“结论”，灵活运用推论把问题进行转化．

教学过程

知识回顾

回忆：1.圆周角的定义.

2.圆周角具有哪些特征？

多媒体展示图片.

让学生找到图中的圆周角.

3.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.

设计意图：通过回忆前面所学知识，让学生找到自信，这样能充分调动学生的听课热情和积极性，激发学生的求知欲，培养学习兴趣．

探究新知

一、预习新知

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如图所示，BC是☉O的直径．

师：直径BC所对的圆周角指的是哪个角？

生：∠BAC.

师：猜想一下这个角的特点.

生：∠BAC是个直角.

师：拿出量角器来测量一下，你的猜测正确吗？

生：通过测量得到是直角.

师生共同得到结论：直径BC所对的圆周角等于90°．

教师点评：直径BC所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠BOC=180°，所以所对的圆周角∠BAC=90°．

圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角．

如图所示，圆周角∠A=90°，弦BC是直径吗？为什么？

教师引导学生思考：

1.能不能直接证明BC是直径？

2.作辅助线时，是要分别连接OB，OC，还是直接连接BC？

学生分组讨论，教师参与其中，及时给予指点，然后给出规范解法．

解：弦BC是直径．理由如下：

如图所示，连接OB，OC．

∵圆周角∠BAC=90°，∴ 圆心角∠BOC=180°，

即BOC是一条线段，∴ BC是☉O的一条直径．

教师提示：这里要分别连接OB，OC，而不是直接连接BC．

学生小结：圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径．

师生共同小结：圆周角定理的推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．

教师点评：运用圆周角定理的推论作辅助线的口诀记忆法：“见直径出直角”，“见直角连直径”．

设计意图：教师通过组织、点拨、引导，促进学生主动探索、积极思考、总结规律，充分发挥学生的主体作用．

巩固练习

小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形．下面所示的四种圆弧形，你能判断出哪个是半圆形吗？为什么？

答案：②

二、合作探究

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如图，A，B，C，D是☉O上的四点，AC为☉O的直径．

师：∠ABC与∠ADC有什么关系？

生：它们都是直径AC所对的圆周角，所以∠ABC＝∠ADC＝90°．

师：那∠BAD与∠BCD又有什么关系？

生：根据四边形内角和为360°得到∠BAD＋∠BCD＝180°．

教师继续多媒体展示图片.

师：现在点C的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系还成立吗？

让学生小组交流后得出结论，代表发言：

生：∵优弧BCD和劣弧BAD的度数和为360°，那么它们所对的圆心角的和也是360°，∴它们所对的圆周角∠BAD和∠BCD的和是180°．

教师点评：圆内接四边形的概念：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．

师生总结：圆周角定理的推论3：圆内接四边形的对角互补．（也就是圆内接四边形的性质）

设计意图：学生互相交流讨论，总结规律，教师通过把问题进一步深化，引导学生逐步得出探究问题的“由特殊到一般”的数学思想方法．

想一想：

如图，∠CBE是圆内接四边形ABCD的一个外角.

师：∠D与∠CBE的大小有什么关系？

生：由圆内接四边形的性质可得∠D＋∠CBA＝180°.

又∠CBA＋∠CBE＝180°，所以∠D＝∠CBE．

师生小结：圆内接四边形性质的推论：圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角)．

典型例题

【例】如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，求证：∠BAE＝∠CAD.

【问题探索】要证∠BAE＝∠CAD→由AD⊥BC，AE是直径，考虑在△ADC和△ABE中证明，利用圆周角定理的推论及等角的余角相等进行证明．

【证明】如图，连接BE.

∵AE是⊙O的直径，

∴∠ABE＝90°，

∴∠BAE＋∠E＝90°.[来源:Z.xx.k.Com]

∵AD是△ABC的高，

∴∠ADC＝90°，

∴∠CAD＋∠C＝90°.

∵＝，

∴∠E＝∠C.

∵∠BAE＋∠E＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，

∴∠BAE＝∠CAD.

【总结】涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题．

X.X.K]

课堂练习

1.如图，AB是⊙O的直径，∠BAD＝70°，则∠ACD的度数是(　　)

A.20°                       B.15°

C.35°                       D.70°

2.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一

点，已知∠BOD＝110°，则∠DCE的度数为（　　）

A.45°                       B.50°

C.55°                       D.75°

3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝　　°．

    4.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，∠ADB＝45°．求⊙O半径的长．

参考答案

1.A 　

2.C   

3.130

4.解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°．

∵∠ADB＝45°，∴∠ACB＝∠ADB＝45°．

∵AB＝2，∴BC＝AB＝2，

∴AC＝＝2，∴⊙O半径的长为．

课堂小结

(学生总结，老师点评)

1.圆周角定理的推论2．

2.圆内接四边形的概念．

3.圆周角定理的推论3（圆内接四边形性质）.

4.圆内接四边形性质的推论．

板书设计

第三章　圆

4　圆周角和圆心角的关系

第2课时圆周角定理的推论2、3

1.圆周角定理的推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．

2.圆内接四边形的概念：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆内接四边形．这个圆叫做四边形的外接圆．

3.圆周角定理的推论3（圆内接四边形性质）：圆内接四边形的对角互补．

4.圆内接四边形性质的推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角．

教学反思

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