初中数学7 切线长定理教学设计

教学目标

1.了解切线长的概念，并经历探索切线长定理的过程．

2.能运用切线长定理进行相关计算．

教学重难点

重点：切线长定理的推导过程及应用．

难点：综合运用切线长定理进行有关的证明和计算．

教学过程

导入新课

上节课我们认识了圆的切线，知道过⊙O上任一点A都可以作一条切线，并且只有一条．

已知⊙O外一点P，过点P作⊙O的切线，这样的切线可以作几条？你有几种方法？

学生小组合作，尝试作图，教师巡视指导，参与到学生的活动中，多数小组完成后，选个别小组展示交流作法，最后教师引导学生发现过圆外一点只能画2条切线．

设计意图：由学生作图，体验过圆外一点画圆的切线的方法和可作的切线条数，为下面的学习做好经验和事实铺垫．

紧接着教师提出问题：它们之间又有什么关系呢？

由此来引出本节要研究的课题．

探究新知

一、预习新知

多媒体展示图片

如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．

师：这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？

生：这个图形是轴对称图形，它的对称轴是点P，O所在的直线．

师：在这个图形中你能找到相等的线段吗？

生：能，因为这个图形是轴对称图形，根据其性质“对应线段相等”就可以得出PA＝PB．

教师点评：图中PA，PB是圆的切线，点P与A，B之间的线段长就叫做切线长．

师生总结：

切线长概念：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长．

设计意图：通过切线长概念的探究过程，不但了解了切线长的概念，而且通过对相等线段的判断，使学生初步感知了切线长定理的证明方法，为下面定理的证明打下良好的基础．

教师强调：

切线与切线长的区别：它们是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．

提出问题：除了刚才我们利用轴对称的性质证明切线长相等的方法外，你还有其他的方法证明PA＝PB吗?

教师分析：根据“见切点连半径”的思路，可以构造出两个直角三角形，再根据切线的性质证明两个三角形全等就可以得出PA＝PB．

教师要求学生先独立解答，然后小组内相互交流，最后小组代表板演展示．学生完成后，教师出示解答过程，供学生参考，规范他们的解题步骤．

已知：如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B是切点．

求证：PA＝PB．

证明：连接OA，OB．

∵ PA，PB分别是⊙O的切线，

∴ ∠PAO＝∠PBO＝90°．

在Rt△AOP和Rt△BOP中，

∵ OA＝OB，OP＝OP，

∴ Rt△AOP≌Rt△BOP．

∴ PA＝PB．

至此，我们得到了切线长定理．（教师板书）

教师强调：切线长定理为说明线段相等提供了新的方法．

教师追问：由Rt△AOP≌Rt△BOP我们还能得到哪些结论？

让学生观察图形直接回答．

拓展：

过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

设计意图：通过对切线长定理的证明，不但加深了对切线长定理的印象，还进一步掌握了切线的辅助线的作法，一举两得．

二、合作探究

想一想

如图所示，四边形ABCD的四条边都与☉O相切，图中的线段之间有哪些等量关系？与同伴进行交流．

为帮助学生更好地解决问题，教师出示下面的图形，引导学生进行分析．

学生仔细观察，独立思考，找出图中相等的线段后，找学生回答．

生：∵四边形ABCD为圆外切四边形，根据切线长定理可得：AH＝AE，BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH．

师：但是原图中并没有E，F，G，H四个点，显然题目的原意并不是要得出上面的四组线段相等，你还能得出线段之间的相等关系吗？

学生分组讨论，教师巡视并参与到学生的讨论中去，对感觉有困难的学生及时进行点拨、指正．每组代表把得到的结论写在黑板上，统一学生的答案，教师找学生说明理由．

师生共同总结：圆的外切四边形的两组对边之和相等．

设计意图：通过探究，使学生对切线长定理有了更深刻的理解，同时利用切线长定理的拓展也提高了学生分析问题、解决问题的综合能力．

典型例题

【例】如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝10，BC＝24，☉O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，求☉O的半径．

【问题探索】由AC，BC的值利用勾股定理可以求出AB的长度，根据“见切点连半径”作出辅助线，利用切线长定理或是三角形面积进行求解．

【解法1】如上图，连接OD，OE，OF，则OD＝OE＝OF，设OD＝r．

在Rt△ABC中，AC=10，BC=24，

∴AB＝＝＝26．

∵⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，

∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BD＝BE，AD＝AF，CE＝CF．

又∵∠C=90°，∴四边形OECF为正方形．

∴CE＝CF＝r，∴BE＝24－r， AF＝10－r，

∴AB＝BD＋AD＝BE＋AF＝24－r＋10－r＝34－2r，

而AB＝26，∴34－2r＝26，

∴r＝4，即⊙O的半径为4．

【解法2】如图，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，

在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝24，

∴AB＝＝＝26．

∵⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，

∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC．

设⊙O的半径为r，

∵S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC，

∴AC·BC＝AB·r＋BC·r＋AC·r，

∴r＝4，即⊙O的半径为4．

【总结】本节课的例题设计紧扣这堂课的知识点，通过对例题的解答，既巩固了本节课的重点，又培养了学生灵活应用切线长定理的能力．

课堂练习

1.如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，下列结论中，错误的是(　　)

A.∠APO =∠BPO B.PA = PB

C.AB ⊥OP D.PA = PO

2.如图，PA，PB，CD分别与⊙O相切于点A，B，E，若PA＝7，则△PCD的周长为(　　)

A.7         B.14

C.10.5        D.10

3.如图，AD，DC，BC都与⊙O相切，且AD∥BC，则∠DOC＝°．

4.如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，AB＝5，AC＝3，求BD的长．

参考答案

1.D　

2.B   

3.90

4.解：∵AC，AP为⊙O的切线，

∴AC＝AP．

∵BP，BD为⊙O的切线，

∴BP＝BD，

∴BD＝PB＝AB－AP＝5－3＝2．[来源:学|科

课堂小结

(学生总结，老师点评)

1.切线长的概念.

2.切线长定理.

板书设计

第三章　圆

*7　切线长定理

1.切线长的概念：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长．

2.切线长定理：过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等．

3.圆的外切四边形的两组对边之和相等．

教学反思

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