初中数学北师大版九年级下册7 切线长定理教学设计

3.7 切线长定理

教学目标：

1. 使学生理解切线长定义. 

2. 使学生掌握切线长定理，并能初步运用.

3. 通过本节教学，进一步培养学生的动手操作能力和创新意识.

4. 学生在猜想、探索、验证切线长定理活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.

5. 通过分析问题、解决问题的过程，激发学生学数学的兴趣，使学生积极参与、体验成功.

教学设计

第一环节创设情景，引入新课

活动内容：

问题:有一天,同学们去王老师家做客,王老师正在洗锅,就问:谁能测出这个锅盖的半径,就可以得到一根雪糕,同学们都跃跃欲试,但老师家里只有一个曲尺,到底谁能得到这根雪糕呢?

这里让学生们小组讨论,那么,该如何测量这个锅盖的半径呢?学生们众说纷纭,可能会利用90°的圆周角所对的弦是直径来作答,也有可能会利用曲尺的两边与圆构造正方形来解答, 哪一种方法更好呢?

教师引导学生发现A、B分别为⊙O与PA、PB的切点，连结OB,OA,

则四边形OBAP是正方形,所以，圆的半径为A点或B点的刻度，PA=PB.

如果这根尺子的夹角不是90°，是否还能得到PA=PB？

第二环节合作学习，探究新知

（一）、切线长定义

1、板书定义：从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和切点之间线段的长度叫做圆的切线长

2、剖析定义：

（1）找出中心词，把定义进行缩句.（线段的长叫做切线长）

（2）定义中的“线段”具有什么特征？

①在圆的切线上；②两个端点一个是切点，一个是圆外已知点.

3、在图形中辨别：（1）已知：如图1，PC和⊙O相切于点A ，点P到⊙O的切线长可以用哪一条线段的长来表示？（线段PA）

（2）已知：如图2，PA和PB分别与⊙O相切于点A、B ，点P到⊙O的切线长可以用哪一条线段的长来表示？（线段PA或线段PB）

（3）如图2，思考：点P到⊙O的切线长可以用三条或三条以上不同的线段的长来表示吗？这样的线段最多可以有几条？为什么？

（4）既然点P到⊙O的切线长可以用两条不同的线段的长来表示，那么这两条线段之间一定存在着某种关系，是什么关系呢？我们来探索一下，出示探索问题1，从而进入定理教学.

（二）、切线长定理：

1、探索问题1：从⊙O外一点P引⊙O的两条切线，切点分别为A、B，那么线段PA和PB之间有何关系？

探索步骤：

（1）根据条件画出图形；

（2）度量线段PA和PB的长度；

（3）猜想：线段PA和PB之间的关系；

（4）寻找证明猜想的途径；

（5）在图3中还能得出哪些结论？并把它们归类.                

（6）上述各结论中，你想把哪个结论作为切线长的性质？

请说明理由.

2、剖析定理：

（1）指出定理的题设和结论；

（2）用符号语言表示定理：

∵PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点，（PA、PB分别与⊙O相切于点A、B）

∴PA=PB，∠APO=∠BPO.

(3)切线和切线长区别.

切线是到圆心距离等于圆的半径的直线，而切线长是线段，指过圆外一点做圆的切线，该点到切点的距离.

活动目的：此处通过学生思考得出结论，再次加深学生对概念的理解，也使学生了解切线长与切线的关系，

3、拓展：

（1）图3是轴对称图形吗？如图4，连结图3中的两个切点AB交OP于点C，OP所在的直线交⊙O于点D、E，又能得出什么结论？并把它们分类.

（2）如图5，已知⊙O的两条切线互相平行，A、B 两点为切点，如果连接两切点AB，则AB是⊙O 的直径吗？数学来源于生活，又应用于生活，请同学们再思考下，它们在我们的日常生活中各有什么应用？

（三）圆的外切四边形的性质.

请同学们先在草稿本中作出有关已知圆O 的四条切线，再互相交流与讨论你的发现与结论并加以验证.

结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.

第三环节应用新知，体验成功

活动内容：

   (一)例题学习

1、例题：已知如图，Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24，⊙O是△ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F，求⊙O的半径.

变式训练：由于切线长定理的运用是本节的难点，为了化解难点，在例题完成后，将例题加以变式训练，将Rt△ABC变为一般△ABC.

即：课本96页知识技能第2题已知：如图5，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA,AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长.

（二）巩固练习

1.填空：如图10，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，

（1）若PB=12，PO=13，则AO=

（2）若PO=10，AO=6，则PB= ；

（3）若PA=4，AO=3，则PO= ；PD= ；

2.已知,如图10，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO与⊙O相交于点D，且PA=4cm,PD=2cm.求半径OA的长.

现在让我们回到锅盖的半径问题上，如何解决这个问题呢？

3.为了测量一个圆形锅盖的半径，某同学采用了如下办法：将锅盖平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按图中所示的方法得到相关数据，进而可求得锅盖的半径，若测得PA=5cm，则锅盖的半径长是多少？

（引导学生连结OA、OB、OP，利用切线长定理解答）

第四环节梳理小结，盘点收获

活动内容：

1、你的学习心得、体会是什么？

2、你有哪些好的经验可推广？

3、你还存在哪些困难、疑问？

提醒学生注意由切线长可得到一个等腰三角形．这一点和圆心的连线不但平分两切线的夹角，还垂直平分两切点间的线段．让学生自由提问，同时也可利用这个机会，辅导有困难的学生，从而使每个学生都能达标.

第五环节延伸思考，提升层次

活动内容：

这节课我们所探索的有关切线长的知识是在给出圆的两条切线的情况下得出的，那么要是圆的三条切线两两相交，又会有什么样的结论呢？如果有四条切线呢？这些问题有待于我们课后去研究 .