数学九年级下册第三章 圆6 直线与圆的位置关系第1课时教案

教学目标

1．经历探索直线和圆的位置关系的过程．

2．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．

3．了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系．

教学重难点

重点：理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．

难点：了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系．

教学过程

导入新课

1.我们已经学过了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有哪几种？

（1）点在圆外；（2）点在圆上；（3）点在圆内．

2.观察三幅太阳升起的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的?

这个自然现象反映出直线与圆的位置关系有哪几种？

让学生逐一回答，然后教师给予肯定和鼓励.

由这一问题来引入本节课要研究的课题.

设计意图：结合生活图示回答问题，由于比较简单，学生在回答过程中比较容易找到自信，这样就能增加学生学习的兴趣，有利于本节课的学习.

探究新知

1.作一个圆,把直尺边缘看成一条直线.固定圆,平移直尺.

从直线与圆的交点个数这一角度进行思考，如何对直线与圆的位置关系进行分类？

（1）直线和圆有两个交点；（2）直线和圆有一个交点；（3）直线和圆没有交点．

当直线与圆有唯一公共点时，这时直线与圆相切；

当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交；

当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离．

2.直线和圆有唯一公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点.

设计意图：由生活中太阳升起这一自然现象引入，通过观察、动手操作、合作研究发现规律，抽象出直线与圆的三种位置关系，借助学生对太阳升起情景的认知经验为下文的“直线与圆的位置关系”知识的认识与构建做准备.

3.类比探究：前面我们用量化（d与r的大小关系）的方法判定了点与圆的位置关系，类似地，我们能不能用量化的方法判定直线与圆的位置关系呢？

总结：①若d>r，则直线与圆相离；

②若d＝r，则直线与圆相切；

③若d<r，则直线与圆相交.

总结：判定直线与圆的位置关系的方法有两种：

(1)根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断；

(2)根据性质,由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断.

设计意图：由于学生已经具备点与圆之间的位置关系及相应的分类方法，因此在这部分设计中，让学生自己观察，亲自动手实验，大胆猜想，对直线和圆的位置关系进行分类，激发了学生的学习热情，从而概括出判定直线和圆位置关系的两种判定方法.

4.探索切线的性质

（1）下面的三个图形是轴对称图形吗?如果是,你能画出它们的对称轴吗?你能由此悟出什么？

（2）如图,直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD有怎样的位置关系?说说你的理由.

设计意图：设计（1）是为了在（2）中使用“对称性”证明作铺垫.学生可以用对称性或反证法说理.根据学生的实际情况，采取层层引导，在学生已有的知识基础和对有关图形的基本认识上，进行自主学习、展示成果，关键是通过三种语言认识、理解切线的性质定理，让学生感受用好定理的关键就是图形语言和符号语言的结合.

切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径

几何语言：∵CD是⊙O的切线,A是切点,OA是⊙O的半径,

∴CD⊥OA.

5.例题讲解

例1：如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝8 cm，AC＝4 cm.

(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？

(2)以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？

提示：(1)要使AB与⊙C相切，则过点C作AB的垂线，垂足为D，求出CD的长即可；(2)根据直线与圆的位置关系进行判断．

解：（1）过点C作AB的垂线，垂足为D（图略）.

∵AC＝4 cm，AB＝8 cm，∴BC＝＝4（cm）.

∵S△ABC＝AC×BC＝AB×CD，∴CD＝＝2（cm），

∴当半径长为2 cm时，AB与⊙C相切．

(2)由(1)可知，圆心C到AB的距离d＝2 cm，当r＝2 cm时，d>r，⊙C与AB相离；当r＝4 cm时，d＜r，⊙C与AB相交．

总结：此题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系可以根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断．

例2：如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.已知∠A＝34°，求∠C的度数.

提示：已知切线，连接切点与圆心，能得到什么结论？要求∠C，观察发现在等腰△OCB中，利用三角形的哪些性质来求得∠C的度数？

解：连接OB，如图．∵AB与⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∴∠AOB＝90°－∠A＝90°－34°＝56°.∵∠AOB＝∠C＋∠OBC，∴∠C＋∠OBC＝56°.又∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC，∴∠C＝×56°＝28°.

总结：运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．

例3：设⊙O的圆心O到直线的距离为d，半径为r，且直线与⊙O相切．已知d，r是一元二次方程(m＋9)x2－(m＋6)x＋1＝0的两根，求m的值．

提示：题目中“直线与⊙O相切”→d＝r，再由“d，r是一元二次方程的两根”→Δ＝0→求出m的值．

解：∵⊙O的圆心O到直线的距离为d，半径为r，且直线与⊙O相切，∴d＝r.∵d，r是一元二次方程(m＋9)x2－(m＋6)x＋1＝0的两根，∴Δ＝0，即[－(m＋6)]2－4(m＋9)·1＝0，解得m＝0或－8.当m＝－8时，x＝－1，不符合题意，舍去，∴m＝0.

总结：将直线与圆的位置关系和一元二次方程根的判别式综合，由直线与圆相切可判定d＝r，再由两根相等，得到一元二次方程的判别式Δ＝0，进而得解．体现了数形结合的思想方法．

课堂练习

1．已知直径为10的圆，其圆心到直线的距离是10，此时直线和圆的位置关系是(　　)

A．相离     B．相切    C．相交     D．无法确定

2.已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为（　　）

A．0       B．1        C．2       D．无法确定

3.已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是（）

       ABCD

4.已知⊙O的半径r＝3，点O到直线l的距离为d，且d是方程x2－5x＋6＝0的一个根，则l与⊙O的位置关系是.

参考答案

1.A  2.C  3.B  4.相切或相交

课堂小结

(学生总结，老师点评)

1.直线与圆的三种位置关系.

2.判定直线与圆的位置关系的方法.

3.切线的性质定理.

板书设计

第三章　圆

6　直线和圆的位置关系

第1课时　直线与圆的位置关系及切线的性质

1.直线与圆的三种位置关系：

相交、相切、相离.

2.判定直线与圆的位置关系的方法：

d＜r直线与圆相交直线与圆有两个交点；

d＝r直线与圆相切直线与圆有一个交点；

d＞r直线与圆相离直线与圆无交点.

3.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.

教学反思

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