山东省潍坊市2023届高三上学期1月期末考试数学试题 word版含答案

试卷类型：A

高三数学               2023.1

本试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集，集合，，则集合（    ）

A. B. C. D.

2.若复数满足，则（    ）

A. B. C. D.

3.已知函数则（    ）

A. B. C. D.

4.若一组样本数据，，…，的平均数为10，另一组样本数据，，…，的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（    ）

A.17，54 B.17，48 C.15，54 D.15，48

5.宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，我们发现，当，2，3，4时，圆球总个数分别为1，4，10，20，则时，圆球总个数为（    ）

A.30 B.35 C.40 D.45

6.已知正三棱锥的侧棱长为，点，分别在线段，（不包括端点）上，且，，若点为三棱锥的外接球的球面上任意一点，则点到平面距离的最大值为（    ）

A. B. C.2 D.

7.已知为坐标原点，，是抛物线上的动点，且，过点作，垂足为，下列各点中到点的距离为定值的是（    ）

A. B. C. D.

8.已知定义在上的函数满足，对，，有，则（    ）

A. B. C. D.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.关于下列命题中，说法正确的是（    ）

A.已知，若，，则

B.数据91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的45%分位数为78

C.已知，若，则

D.某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人.

10.在棱长为1的正方体中，点为线段（包括端点）上一动点，则（    ）

A.异面直线与所成的角为60° B.三棱锥的体积为定值

C.不存在点，使得平面 D.的最小值为

11.已知函数，其中为实数，则（    ）

A.的图象关于对称

B.若在区间上单调递增，则

C.若，则的极大值为1

D.若，则的最小值为

12.若数列满足，则称数列为“差半递增”数列，则（    ）

A.正项递增数列均为“差半递增”数列

B.若数列的通项公式为，则数列为“差半递增”数列

C.若数列为公差大于0的等差数列，则数列为“差半递增”数列

D.若数列为“差半递增”数列，其前项和为，且满足，则实数的取值范围为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.如图所示，，，，是正弦函数图象上四个点，且在，两点函数值最大，在，两点函数值最小，则______.

14.已知函数，且对任意恒成立，若角的终边经过点，则______.

15.写出一个同时满足下列三个性质的函数______.

①是奇函数；②在单调递增；③有且仅有3个零点.

16.设双曲线的右顶点为，过点且斜率为2的直线与的两条渐近线分别交于点，.若线段的中点为，，则的离心率______.

四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知正项数列满足，.

（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求.

18.（12分）

在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，已知.

（1）求的最小值；

（2）若，，求.

19.（12分）

一个不透明箱子中有除颜色外其它都相同的四个小球，其中两个红球两个白球的概率为，三个红球一个白球的概率为.

（1）从箱子中随机抽取一个小球，求抽到红球的概率；

（2）现从箱子中随机一次性抽取两个或三个小球，已知抽到两个小球的概率为，抽到三个小球的概率为，所抽到的小球中，每个红球记2分，每个白球记分，用表示抽到的小球分数之和，求的分布列及数学期望.

20.（12分）

已知三棱台中，底面，，，，，分别是，的中点，是棱上的点.

（1）求证：；

（2）若是线段的中点，平面与的交点记为，求二面角的余弦值.

21.（12分）

已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，点在上.

（1）是上一动点，求的取值范围；

（2）过的右焦点，且斜率不为零的直线交于，两点，求的内切圆面积的最大值.

22.（12分）

已知函数.

（1）若，求证；函数的图象与轴相切于原点；

（2）若函数在区间，各恰有一个极值点，求实数的取值范围.

高三数学参考答案及评分标准

2023.1

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

1.C  2.D  3.B  4.A  5.B  6.C  7.B  8.A

二、多项选择题（每小题5分，共20分）

9.BCD 10.AB 11.ACD 12.BCD

三、填空题（每小题5分，共20分）

13. 14.3 15.（答案不唯一）16.

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

解：（1）因为，……1分

因为已知，所以，……2分

所以，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，……4分

所以，即.……5分

（2）结合（1）知，……7分

所以当为偶数时，.

当为奇数时，.

所以数列的前项和……10分

18.（12分）

解：（1）由已知得，

整理得，因为，所以，……2分

又因为，所以，

即，……4分

，

当且仅当时等号成立，故的最小值为.……6分

（2）因为，从而，又因为，所以或，8分

当时，，由正弦定理得，……10分

当时，，由正弦定理得.

综上，或.……12分

19.（12分）

解：（1）记事件表示“抽取一个小球且为红球”，表示“箱子中小球为两红两白”，表示“箱子中小球为三红一白”，

则.……4分

（2）由题意得的取值可以为，0，1，3，4，6，

，……5分

，……6分

，……7分

，……8分

，……9分

.……10分

随机变量的分布列为：

……11分

.……12分

20.（12分）

（1）证明：取线段的中点，连接，，易得，所以，，，四点共面.

因为，，所以，又因为底面，平面，

所以，因为，所以平面，……2分

因为，分别是，的中点，所以，所以平面，

因为平面，所以……3分

因为，，

又因为，所以四边形是正方形，所以，……5分

又因为，所以平面，因为平面，所以. ……6分

（2）解：延长与相交于点，连接，则与的交点即为.

由，分别为和的中点知为线段的三等分点，且，……8分

由（1）知，所以、、两两垂直，以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系.

，，，，

设平面的法向量，则取，则……10分

易得平面的一个法向量，……11分

设二面角为，，

所以二面角的余弦值为.……12分

21.（12分）

（1）解：由题意知，所以.……1分

将点代入，解得，所以椭圆的方程为：.……2分

设点，则.……3分

又因为，所以的取值范围是.……4分

（2）解：依题意可设直线的方程为，，.

联立得.……5分

所以，，……6分

所以，……8分

又因为，……9分

当且仅当时等号成立.所以.……10分

又因为三角形内切圆半径满足.……11分

所以的内切圆面积的最大值为.……12分

22.（12分）

（1）证明：因为，，；……1分

又，……2分

所以，所以在点处的切线方程为，

所以函数的图象与轴相切于坐标原点.……4分

（2）解：，令，

，令，，

当时，，……5分

故在上为减函数，因为，所以当，即时，，……6分

所以为增函数，故，

所以为减函数，故函数在无极值点；……7分

当时，当，因为为减函数，，

，

故必存在，使得，当时，，为增函数，

当时，，为减函数，而，故，

又因为

所以必存在，，且当，，为减函数，

当，，为增函数，故在区间上有一个极小值点，……9分

因为，所以在上单调递增，

又因为，，所以总存在使，

且当时，，单调递减，时，，单调递增，

当，，且，

故必存在，使得，

，，为减函数，，，为增函数，

因为，所以当，，即，

又因为

故存在，使得，

且当，，为减函数，

当，，为增函数，

故在区间有一个极小值点，……11分

所以若函数在区间，各恰有一个极值点，.……12分