【中考复习】苏科版初三数学 平行线中的几何综合(压轴题专项讲练)
展开专题 平行线中的几何综合
【典例1】将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置,已知PQ∥MN,∠ACB=∠EDF=90°,∠ABC=∠BAC=45°,∠DFE=30°,∠DEF=60°.
(1)若三角板如图1摆放时,则∠α= °,∠β= °.
(2)现固定△ABC位置不变,将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上,如图2所示,作∠PEA和∠MBC的角平分线交于点H,求∠EHB的度数;
(3)将(2)中的△DEF固定,在△ABC绕点A以每秒15°的速度顺时针旋转至AB与直线AN首次重合的过程中,当△ABC的某条边与△DEF的一条边平行时,请求出符合条件t的值.
【思路点拨】
(1)如图1中,过点E作EJ∥PQ,证明∠DEF=α+∠BAC,可得结论;
(2)如图2中,根据(1)可证∠EHB=∠PEH+∠MBH .利用角平分线的定义求出∠PEH,∠MBH,可得结论;
(3)分9种情形∶当AC∥DF时,当AC∥DE时,当AC∥EF时,当BC∥DF时,当BC∥ED时,当BC∥EF时,当AB∥DF时,当AB∥ED时,当AB∥EF时,分别讨论求出∠MBA的度数,可得结论.
【解题过程】
(1)解∶如图1中,过点E作EJ∥PQ,
∵PQ∥MN, PQ∥EJ,
∴EJ∥MN,
∴∠α=∠DEJ,∠JEA=∠BAC=45°,
∴∠DEF=α+∠BAC,
∵∠DEF=60°,
∴α=60°−45°=15°,
∵∠DFE=30°,β+∠DFE=180°,
∴β=180°−30°=150°,
故答案为∶ 45, 150 ;
(2)解:如图2中,
利用(1)可证∠EHB=∠PEH+∠MBH .
∵PQ∥MN,
∴∠QEA=∠BAC=45° ,
∴∠AEP=180°-45°=135°,
∵∠CBA=45°,
∴∠CBM=180°-45°= 135*,
∵HE, HB分别平分∠AEP,∠CBM,
∴∠PEH=12∠PEA=67.5°,∠MBH=12∠FBM=67.5°,
∴∠EHB=∠PEH+∠MBH=135°;
(3)解:①当AC∥DF时,如图1,
易得此时BC∥ED ,
∵AC∥DF,易知E,F,A三点共线,∠DFE= ∠FAC=30°,
∴∠FAB=∠BAC-∠FAC=45-30°= 15°,∠BAM=∠FAM-∠FAB=45°-15°=30°,即15t=30,解得t=2;
②当AC∥DE时,如图2,
易得此时BC∥DF.过点A作AH∥BC,则AH∥ BC∥DF,
∴∠EAB=∠EAH+∠BAH=∠EFD+∠ABC=30°+45°=75°,
∴∠MAB=∠MAE+∠EAB=45°+75°=120°.
∴15t=120,
∴t=8,
③当AC∥EF时,情况不存在;④当BC∥DF时,同②;⑤当BC∥ED时,同①;
⑥当BC∥EF时,如图3,
此∠MAB=90°,即15t= 90,解得t=6;
⑦当AB∥DF时,如图4,
∵AB∥DF
∴∠BAF=∠DFE=30°,
∴∠MAB=∠MAF+∠BAF= 45°+30°=75°,即15t=75,解得t=5;
⑧当AB∥ED时,
∵AB∥ED,
∴∠FAB=180°-∠DEF=180°-60°=120°,
∴∠MAB=∠MAF+∠FAB=120°+45°=165°,
∴15t=165,
解得t=11;
⑨当AB∥EF时,此情况不存在.
综上所述,t的值为2或5或6或8或11.
1.(2022春·湖北武汉·七年级统考期末)直线AB∥CE,BE—EC是一条折线段,BP平分∠ABE.
(1)如图1,若BP∥CE,求证:∠BEC+∠DCE=180°;
(2)CQ平分∠DCE,直线BP,CQ交于点F.
①如图2,写出∠BEC和∠BFC的数量关系,并证明;
②当点E在直线AB,CD之间时,若∠BEC=40°,直接写出∠BFC的大小.
2.(2022春·河南安阳·七年级统考期末)猜想说理:
(1)如图,AB∥CD∥EF,分别就图1、图2、图3写出∠A,∠C,∠AFC的关系,并任选其中一个图形说明理由:
拓展应用:
(2)如图4,若AB∥CD,则∠A+∠C+∠AFC= 度;
(3)在图5中,若A1B∥AnD,请你用含n的代数式表示∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n的度数.
3.(2022春·四川广元·七年级统考期末)已知直线l1∥l2,直线l3和l1,l2分别交于C,D两点,点A,B分别在直线l1,l2上,且位于直线l3的右侧,动点P在直线l3上,且不和点C,D重合.
(1)如图1,当动点P在线段CD上运动时,求证:∠APB=∠CAP+∠DBP.
(2)如图2,当动点P在点C上方运动时(P,A,B不在同一直线上),请写出∠APB,∠CAP,∠DBP之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图3,当动点P在点D下方运动时(P,A,B不在同一直线上),直接写出∠APB,∠CAP,∠DBP之间的数量关系.
4.(2022春·全国·七年级期末)已知:如图,AB∥CD,BG、FG 分别是∠AEF和∠CFE的角平分线,BG、FG交于点G.
(1)求证:∠BGF=90°;
(2)点M是直线AB上的动点,连接MG,过点G作GN⊥MG,交直线CD于点N,画出图形直线,写出∠MGE和∠NGF的数量关系 ;
(3)在(2)的条件下,当∠MGE=20°,∠AEG=40°时,求∠CNG的度数.
5.(2022春·重庆永川·七年级统考期末)已知:如图,AB∥CD.
(1)如图1,猜想并写出∠B、∠D、∠E之间的数量关系.以下图2、图3、图4是三种不同角度思考采用的不同添加辅助线的方式,请你选择其中的两种方式说明理由.
(2)在图4中,如果BE、DE分别平分∠ABD,∠CDB,则∠E的度数是多少?(直接写出答案)
(3)根据以上推理,直接写出图5、图6、图7中的∠B、∠D、∠E之间的数量关系.
6.(2022春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习)如图,直线AB∥CD,直线EF与AB、CD分别交于点G、H,∠EHD=α(0°<α<90°).一个含30°角的直角三角板PMN中∠MPN=90°,∠PMN=60°.
(1)小安将直角三角板PMN按如图①放置,使点N、M分别在直线AB、CD上,且在点G、H的右侧,证明:∠PNB+∠PMD=∠MPN;
(2)若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O,点N、M分别在直线AB、CD上,如图②.
①当NO∥EF,PM∥EF时,求α的度数;
②小安将三角板PMN保持PM∥EF并向左平移,请直接写出在平移的过程中∠MON的度数:∠MON=______(用含α的式子表示).
7.(2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习)已知AB∥CD,点M为平面内的一点,∠AMD=90°.
(1)当点M在如图1的位置时,求∠MAB与∠D的数量关系(写出说理过程);
(2)当点M在如图2的位置时,则∠MAB与∠D的数量关系是 (直接写出答案);
(3)在(2)条件下,如图3,过点M作ME⊥AB,垂足为E,∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G,回答下列问题(直接写出答案):图中与∠MAB相等的角是 ,∠FMG= 度.
8.(2022春·河北石家庄·七年级统考期中)【问题情景】(1)如图1,AB∥CD,∠PAB=140°,∠PCD=135°,求∠APC的度数;
【问题迁移】(2)如图2,已知∠MON,AD∥BC,点P在射线OM上运动,当点P在A,B两点之间运动时,连接PD,PC,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β,求∠CPD与∠α,∠β之间的数量关系,并说明理由;
【知识拓展】(3)在(2)的条件下,若将“点P在A,B两点之间运动”改为“点P在A,B两点外侧运动(点P与点A,B,O三点不重合)”其他条件不变,请直接写出∠CPD与∠α,∠β之间的数量关系.
9.(2022春·辽宁大连·七年级校联考期中)已知直线AB∥CD,点E在直线AB、CD之间,点M、N分别在直线AB、CD上.
(1)如图1,直线GH过点E,分别与直线AB、CD交于点G、H,∠AME=∠GND,求证:∠NGH+∠MEH=180°;
(2)如图2,点F在直线CD上,ME、NE分别平分∠AMF、∠MNF,若∠FMN=2∠MEN,求∠MEN的度数;
(3)如图3,MQ平分∠AME,MH平分∠BME,GN平分∠ENC.直线GN与MH交于点H,NK平分∠END,NF∥MQ.求证:∠MHG=∠KNF.
10.(2022春·北京·七年级校考期中)“一带一路”让中国和世界联系更紧密,“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯.如图所示,灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转,灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°,灯B转动的速度是每秒1°.假定主道路是平行的,即PQ∥MN,且∠BAM:∠BAN=2:1.
(1)填空:∠BAN=______°;
(2)若灯B射线先转动30秒,灯A射线才开始转动,在灯B射线到达BQ之前,A灯转动几秒,两灯的光束互相平行?
(3)若两灯同时开始转动,两灯射出的光束交于点C,且∠ACB=120°,则在灯B射线到达BQ之前,转动的时间为______秒.
11.(2022春·浙江金华·七年级校联考阶段练习)如图1,已知MN∥PQ,,B在MN上,C在PQ上,A在B的左侧,D在C的右侧,DE平分∠ADC,BE平分∠ABC,直线DE,BE交于点E,∠CBN=120°.
(1)若∠ADQ=100°,求∠BED的度数;
(2)在图1中过点D作∠ADQ的角平分线与直线BE相交于点F,如图2,试探究∠DEB与∠DFE的关系;
(3)若改变线段AD的位置,使得点D在点C的左侧,其他条件不变,若∠ADQ=n°,过点D作∠PDA的角平分线与直线BE相交于点G,求∠BED+∠DGE的和是多少度?(用含n的代数式表示)
12.(2022春·北京海淀·七年级校考阶段练习)已知直线AB∥CD,点E,F分别在直线AB,CD上,∠EFD=α.点P是直线AB上的动点(不与E重合),连接PF,∠PEF和∠PFC的平分线所在直线交于点H.
(1)如图1,若EF⊥CD,点P在射线EB上.则当∠EPF=40°时,
∠EHF= °;
(2)如图2,若α=120°,点P在射线EA上.
①补全图形;
②探究∠EPF与∠EHF的数量关系,并证明你的结论.
(3)如图3,若0°<α<90°,直接写出∠EPF与∠EHF的数量关系(用含α的式子表示).
13.(2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习)如图1,AB∥CD,直线AB外有一点M,连接AM,CM.
(1)证明:∠M+∠A=∠C;
(2)如图2,延长MA至点E,连接CE,CM平分∠ECD,AF平分∠EAB,且AF与CM交于点F,求∠E与∠AFC的数量关系;
(3)如图3,在2的条件下,∠E=100°,FA⊥AN,连接CN,且∠M=2∠N,∠MCN=30°,求∠M的度数.
14.(2022秋·吉林长春·七年级长春市第四十五中学校考期末)已知AM∥CN,点B在直线AM、CN之间,∠ABC=88°.
(1)如图1,请直接写出∠A和∠C之间的数量关系:__________.
(2)如图2,∠A和∠C满足怎样的数量关系?请说明理由.
(3)如图3,AE平分∠MAB,CH平分∠NCB,AE与CH交于点G,则∠AGH的度数为__________.
15.(2022春·江西宜春·七年级江西省万载中学校考期中)在数学综合实践活动课上,老师让同学们以“两条平行直线AB,CD和一块含45°的直角三角板EFG(∠EFG=90°)”为背景,开展数学探究活动.如图,将三角板的顶点G放置在直线AB上.
(1)如图①,在GE边上任取一点P(不同于点G,E),过点P作CD//AB,且∠2=4∠1,求∠1的度数;
(2)如图②,过点E作CD//AB,请探索并说明∠AGF与∠CEF之间的数量关系;
(3)将三角板绕顶点G旋转,过点E作CD//AB,并保持点E在直线AB的上方.在旋转过程中,探索∠AGF与∠CEF之间的数量关系,并说明理由.
16.(2022秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末)已知,AB∥CD,直线FE交AB于点E,交CD于点F,点M在线段EF上,过M作射线MR、MP分别交射线AB、CD于点N、Q.
(1)如图1,当MR⊥MP时,求∠MNB+∠MQD的度数.
(2)如图2,若∠DQP和∠MNB的角平分线交于点G,求∠NMQ和∠NGQ的数量关系.
(3)如图3,当MR⊥MP,且∠EFD=60°,∠EMR=20°时,作∠MNB的角平分线NG.把一三角板OKI的直角顶点O置于点M处,两直角边分别与MR和MP重合,将其绕点O点顺时针旋转,速度为5°每秒,当OI落在MF上时,三角板改为以相同速度逆时针旋转.三角板开始运动的同时∠BNG绕点N以3°每秒的速度顺时针旋转,记旋转中的∠BNG为∠B'NG',当NG'和NA重合时,整个运动停止.设运动时间为t秒,当∠B'NG'的一边和三角板的一直角边互相平行时,请直接写出t的值.
17.(2022秋·重庆·七年级重庆南开中学校考期末)已知,AE∥BD,∠A=∠D.
(1)如图1,判断AB与CD的位置关系,并说明理由;
(2)作∠BAE的平分线交CD于点F,点G为线段AB上一点,连接FG,∠CFG的平分线FM交线段AG于点H.如图2,若∠ECF=120°,∠AFH=20°,∠CFG=110°,求∠E的度数;
(3)如图3,连接AC,在(2)的条件下,将射线FG绕点F以5°每秒的速度逆时针旋转,旋转时间为t秒(0
18.(2022春·辽宁大连·七年级统考期末)如图1,AB∥CD,点P,Q分别在AB,CD上,点E在AB,CD之间.连接PE,QE,PE⊥QE.
(1)直接写出∠BPE与∠DQE的数量关系为____________________;
(2)如图2,∠APE的平分线PG和∠CQE的平分线QH的反向延长线相交于点G,求∠G的度数;
(3)如图3,M为线段PE上一点,连接QM,∠BPE和∠MQD的平分线相交于点N,直接写出∠PNQ和∠MQE的数量关系为____________________.
19.(2022春·四川成都·七年级校考期中)“一带一路”让中国和世界更紧密,“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A,D两座可旋转探照灯.假定主道路是平行的,即PQ//CN,A,B为PQ上两点,AD平分∠CAB交CN于点D,E为AD上一点,连接BE,AF平分∠BAD交BE于点F.
(1)若∠C=20°,则∠EAP=_______;
(2)作AG交CD于点G,且满足∠1=13∠ADC,当∠2+65∠GAF=180∘时,试说明:AC//BE;
(3)在(1)问的条件下,探照灯A、D照出的光线在铁路所在平面旋转,探照灯射出的光线AC以每秒5度的速度逆时针转动,探照灯D射出的光线DN以每秒15度的速度逆时针转动,DN转至射线DC后立即以相同速度回转,若它们同时开始转动,设转动时间为t秒,当DN回到出发时的位置时同时停止转动,则在转动过程中,当AC与DN互相平行或垂直时,请直接写出此时t的值.
20.(2022·全国·七年级假期作业)如图,直线PQ//MN,一副直角三角板△ABC,△DEF中,∠EDF=90°,∠ABC=∠BAC=45°,∠DFE=30°,∠DEF=60°.
(1)若△DEF如图1摆放,当ED平分∠PEF时,证明:FD平分∠EFM.
(2)若△ABC,△DEF如图2摆放时,则∠PDE=
(3)若图2中△ABC固定,将△DEF沿着AC方向平移,边DF与直线PQ相交于点G,作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H(如图3),求∠GHF的度数.
(4)若图2中△DEF固定,(如图4)将△ABC绕点A顺时针旋转,2分钟转半圈,旋转至AC与直线AN首次重合的过程中,当线段BC与△DEF的一条边平行时,请求出旋转的时间.
1.(2022春·湖北武汉·七年级统考期末)直线AB∥CE,BE—EC是一条折线段,BP平分∠ABE.
(1)如图1,若BP∥CE,求证:∠BEC+∠DCE=180°;
(2)CQ平分∠DCE,直线BP,CQ交于点F.
①如图2,写出∠BEC和∠BFC的数量关系,并证明;
②当点E在直线AB,CD之间时,若∠BEC=40°,直接写出∠BFC的大小.
【思路点拨】
(1)延长DC交BE于K,交BP于T,由AB∥CD,BP平分∠ABE,可得∠BTK=∠TBK,又BP∥CE,故∠KCE=∠KEC,即可得∠BEC+∠DCE=180°;
(2)①延长AB交FQ于M,延长DC交BE于N,设∠ABP=∠EBP=α,∠DCQ=∠ECQ=β,可得∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-(α+β),∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-(180°-2β)-(180°-2α)=2(α+β)-180°,故∠E+2∠F=180°;②由∠E+2∠F=180°,即可得∠F=70°.
【解题过程】
(1)解:证明:延长DC交BE于K,交BP于T,如图:
∵AB∥CD,
∴∠ABT=∠BTK,
∵BP平分∠ABE,
∴∠ABT=∠TBK,
∴∠BTK=∠TBK,
∵BP∥CE,
∴∠BTK=∠KCE,∠TBK=∠KEC,
∴∠KCE=∠KEC,
∵∠KCE+∠DCE=180°,
∴∠KEC+∠DCE=180°,即∠BEC+∠DCE=180°;
(2)
①∠E+2∠F=180°,证明如下:
延长AB交FQ于M,延长DC交BE于N,如图:
∵射线BP、CQ分别平分∠ABE,∠DCE,
∴∠ABP=∠EBP,∠DCQ=∠ECQ,
设∠ABP=∠EBP=α,∠DCQ=∠ECQ=β,
∴∠FBM=∠ABP=α,∠MBE=180°-2α,
∠NCE=180°-2β,∠FCN=∠DCQ=β,
∵AB∥DC,
∴∠CNE=∠MBE=180°-2α,
∴∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-(α+β),
∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-(180°-2β)-(180°-2α)=2(α+β)-180°,
∴∠E+180°=2(180°-∠F),
∴∠E+2∠F=180°;
②由①知∠E+2∠F=180°,
∵∠BEC=40°,
∴∠F=70°.
2.(2022春·河南安阳·七年级统考期末)猜想说理:
(1)如图,AB∥CD∥EF,分别就图1、图2、图3写出∠A,∠C,∠AFC的关系,并任选其中一个图形说明理由:
拓展应用:
(2)如图4,若AB∥CD,则∠A+∠C+∠AFC= 度;
(3)在图5中,若A1B∥AnD,请你用含n的代数式表示∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n的度数.
【思路点拨】
(1)根据平行线的性质可直接得到结论;
(2)过点F作AB的平行线,利用平行线的性质,计算出∠A+∠C+∠AFC的度数;
(3)过点E作AB的平行线,过点F作AB的平行线,利用平行线的性质,计算出∠A+∠AEF+∠EFC+∠C度数;通过前面的计算,找出规律.利用规律得到有n个折点的结论;
【解题过程】
解:(1)如图1:∠A+∠C=∠AFC,
如图2:∠A−∠C=∠AFC,
如图3:∠C−∠A=∠AFC,
如图1说明理由如下:
∵AB∥CD∥EF,
∴∠A=∠AFE,∠C=∠EFC,
∴∠A+∠C=∠AFE+∠EFC,
即∠A+∠C=∠AFC;
(2)如下图:
过F作FH∥AB,
∴∠A+∠AFH=180°,
又∵AB∥CD,
∴CD∥FH,
∴∠C+∠CFH=180°,
∴∠A+∠AFH+∠C+∠CFH=360°,
即∠A+∠C+∠AFC=360°;
故答案为:360;
(3)如下图:AB∥CD,
过E作EG∥AB,过F作FH∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥EG∥FH∥CD,
∴∠A+∠AEG=180°,∠GEF+∠EFH=180°,∠HFC+∠C=180°,
∴∠A+∠AEG+∠GEF+∠EFH+∠HFC+∠C=180°×3,
即∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°;
综上所述:
由当平行线AB与CD间没有点的时候,∠A+∠C=180°,
当A、C之间加一个折点F时,∠A+∠AFC+∠C=2×180°;
当A、C之间加二个折点E、F时,则∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=3×180°;
以此类推,如图5,A1B∥AnD,
当A1、A5之间加三个折点A2、A3、A4时,
则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=4×180°;
…
当A1、An之间加n个折点A2、A3、…An−1时,
则∠A1+∠A2+∠A3+…∠An=(n-1)×180°,
即∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n的度数是(n-1)×180°.
3.(2022春·四川广元·七年级统考期末)已知直线l1∥l2,直线l3和l1,l2分别交于C,D两点,点A,B分别在直线l1,l2上,且位于直线l3的右侧,动点P在直线l3上,且不和点C,D重合.
(1)如图1,当动点P在线段CD上运动时,求证:∠APB=∠CAP+∠DBP.
(2)如图2,当动点P在点C上方运动时(P,A,B不在同一直线上),请写出∠APB,∠CAP,∠DBP之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图3,当动点P在点D下方运动时(P,A,B不在同一直线上),直接写出∠APB,∠CAP,∠DBP之间的数量关系.
【思路点拨】
(1)过点P作PE∥l1,即可得PE∥l2,即有∠CAP=∠APE,∠DBP=∠BPE,结合∠APB=∠APE+∠BPE,即可证明;
(2)过点P作PE∥l1,即可得PE∥l2,即有∠CAP=∠APE,∠DBP=∠BPE,结合∠APB=∠BPE−∠APE,即可证明;
(3)过点P作PE∥l1,即可得PE∥l2,即有∠CAP=∠APE,∠DBP=∠BPE,结合∠APB=∠APE−∠BPE,即可证明 .
【解题过程】
解:(1)证明:过点P作PE∥l1,如图1,
∵l1∥l2,PE∥l1,
∴PE∥l2,
∴∠CAP=∠APE,∠DBP=∠BPE,
又∵∠APB=∠APE+∠BPE,
∴∠APB=∠CAP+∠DBP;
(2)∠APB=∠DBP−∠CAP,理由如下:
过点P作PE∥l1,如图2,
∵l1∥l2,PE∥l1,
∴PE∥l2,
∴∠CAP=∠APE,∠DBP=∠BPE.
∵∠APB=∠BPE−∠APE,
∴∠APB=∠DBP−∠CAP;
(3)∠APB=∠CAP−∠DBP,理由如下:
过点P作PE∥l1,如图3,
∵l1∥l2,PE∥l1,
∴PE∥l2,
∴∠CAP=∠APE,∠DBP=∠BPE.
∵∠APB=∠APE−∠BPE,
∴∠APB=∠CAP−∠DBP.
4.(2022春·全国·七年级期末)已知:如图,AB∥CD,BG、FG 分别是∠AEF和∠CFE的角平分线,BG、FG交于点G.
(1)求证:∠BGF=90°;
(2)点M是直线AB上的动点,连接MG,过点G作GN⊥MG,交直线CD于点N,画出图形直线,写出∠MGE和∠NGF的数量关系 ;
(3)在(2)的条件下,当∠MGE=20°,∠AEG=40°时,求∠CNG的度数.
【思路点拨】
(1)过点G作GP∥AB,根据平行线的性质,即可得出∠AEF+∠CFE=180°,∠AEG=∠EGP,∠CFG=∠FGP,再根据角平分线的定义,即可得到∠EGF=∠AEG+∠CFG=90°;
(2)分两种情况进行讨论:当点M在射线EA上时,由∠MGN=∠EGF=90°,可得∠MGE=∠NGF;当点M在射线EB上时,由∠MGN=∠EGF=90°,可得∠MGE=∠NGF;
(3)分两种情况进行讨论,根据角的和差关系以及两直线平行,内错角相等进行计算,即可得出∠CNG的度数.
【解题过程】
解:(1)如图,过点G作GP∥AB,
∵AB∥CD,
∴GP∥CD,
∴∠AEF+∠CFE=180°,∠AEG=∠EGP,∠CFG=∠FGP,
∵EG、FG分别是∠AEF和∠CFE的角平分线,
∴∠AEG=12∠AEF,∠CFG=12∠CFE,
∴∠AEG+∠CFG=12∠AEF+12∠CFE=12(∠AEF+∠CFE)=12×180°=90°,
∵∠EGF=∠EGP+∠FGP,
∴∠EGF=∠AEG+∠CFG=90°;
(2)如图,当点M在射线EA上时,由∠MGN=∠EGF=90°,可得∠MGE+∠NGF=180°;
当点M在射线EA上时,由∠MGN=∠EGF=90°,可得∠MGE=∠NGF;
当点M在射线EB上时,由∠MGN=∠EGF=90°,可得∠MGE=∠NGF;
故答案为:相等或互补;
(3)当点M在射线EA上时,
∵∠MGE=∠NGF,∠MGE=20°,
∴∠EGN=∠MGN-∠MGE=90°-20°=70°,
∵AB∥GP,∠AEG=40°,
∴∠PGE=∠AEG=40°,
∴∠PGN=∠EGN-∠PGE=70°-40°=30°,
∵GP∥CD,
∴∠CNG=∠PGN=30°;
当点M在射线EB上时,
∵∠MGE=∠NGF,∠MGE=20°,
∴∠NGF=20°,
∴∠EGN=∠MGN+∠MGE=90°+20°=110°,
∵AB∥GP,∠AEG=40°,
∴∠PGE=∠AEG=40°,
∴∠PGN=∠EGN-∠PGE=110°-40°=70°,
∵GP∥CD,
∴∠CNG=∠PGN=70°,
综上所述:当∠MGE=20°,∠AEG=40°时,∠CNG=30°或70°.
5.(2022春·重庆永川·七年级统考期末)已知:如图,AB∥CD.
(1)如图1,猜想并写出∠B、∠D、∠E之间的数量关系.以下图2、图3、图4是三种不同角度思考采用的不同添加辅助线的方式,请你选择其中的两种方式说明理由.
(2)在图4中,如果BE、DE分别平分∠ABD,∠CDB,则∠E的度数是多少?(直接写出答案)
(3)根据以上推理,直接写出图5、图6、图7中的∠B、∠D、∠E之间的数量关系.
【思路点拨】
(1)①过E作EF∥AB,根据平行线的性质推出即可;②连接BD,根据平行线的性质推出即可;③延长BE交CD于Q,根据平行线的性质和三角形外角性质得出即可;
(2)根据平行线的性质得出∠ABD+∠CDB=180°,求出∠EBD+∠EDB=9O°,根据三角形外角性质得出即可;
(3)根据平行线的性质和图形得出即可.点评
【解题过程】
解:(1)结论:∠B+∠D=∠E.
如图2,过点E作EF∥AB.
∴∠B=∠BEF.
∵AB∥CD,EF∥AB,
∴EF∥CD.
∴∠D=∠DEF.
∵∠BED=∠BEF+∠DEF,
∴∠BED=∠B+∠D.
如图3,延长DE交AB于点G.
∵AB∥CD,
∴∠D=∠BGE.
∵∠BED+∠BEG=180°,∠B+∠BGE+∠BEG=180°,
∴∠BED=∠B+∠BGE.
∴∠BED=∠B+∠D.
如图4,连接BD.
∵AB∥CD,
∴∠ABD+∠BDC=180°.
∴∠ABE+∠DBE+∠BDE+∠CDE=180°.
又∵∠DBE+∠BDE+∠BED=180°,
∴∠BED=∠ABE+∠CDE.
(2)∠BED=90°,理由是:
如图4
∵AB∥CD,
∴∠ABD+∠CDB=180°,
∵BE、DE分别平分∠ABD、∠CDB,
∴∠EBD=12∠ABD,∠BDE=12∠CDB,
∴∠EBD+∠DBE=90°,
∴∠BED=180°-90°=90°;
(3)图5中过点E作EF∥AB,则EF∥CD,
∵EF∥AB,则EF∥CD,
∴∠B+∠1 =180°,∠D+∠2 =180°,
∴∠B+∠1 +∠D+∠2 =360°,
即∠B +∠D+∠BED =360°;(原图中∠B +∠D+∠E =360°)
图6中过点E作EF∥AB,则EF∥CD,
∵EF∥AB,则EF∥CD,
∴∠B+∠BEF =180°,∠D+∠DEF =180°,
∴∠B+∠BEF−∠D+∠DEF=0°,
∴∠D−∠B=∠BEF−∠DEF=∠BED,
∴∠B+∠BED=∠D;(原图中∠B+∠E=∠D)
图7中同理可得:∠D+∠E=∠B.
6.(2022春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习)如图,直线AB∥CD,直线EF与AB、CD分别交于点G、H,∠EHD=α(0°<α<90°).一个含30°角的直角三角板PMN中∠MPN=90°,∠PMN=60°.
(1)小安将直角三角板PMN按如图①放置,使点N、M分别在直线AB、CD上,且在点G、H的右侧,证明:∠PNB+∠PMD=∠MPN;
(2)若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O,点N、M分别在直线AB、CD上,如图②.
①当NO∥EF,PM∥EF时,求α的度数;
②小安将三角板PMN保持PM∥EF并向左平移,请直接写出在平移的过程中∠MON的度数:∠MON=______(用含α的式子表示).
【思路点拨】
(1)过P点作PQ∥AB,根据平行线的性质可得∠PNB=∠NPQ,∠PMD=∠QPM,进而可求解;
(2)①由平行线的性质可得∠ONM=∠PMN=60°,结合角平分线的定义可得∠ANO=∠ONM=60°,再利用平行线的性质可求解;②可分两种情况:点N在G的右侧时,点N在G的左侧时,利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解.
【解题过程】
(1)证明:过P点作PQ∥AB,
∴∠PNB=∠NPQ,
∵AB∥CD,
∴PQ∥CD,
∴∠PMD=∠QPM,
∴∠PNB+∠PMD=∠NPQ+∠QPM=∠MPN;
(2)解:①∵NO∥EF,PM∥EF,
∴NO∥PM,
∴∠ONM=∠NMP,
∵∠PMN=60°,
∴∠ONM=∠PMN=60°,
∵NO平分∠MNO,
∴∠ANO=∠ONM=60°,
∵AB∥CD,
∴∠NOM=∠ANO=60°,
∴α=∠NOM=60°;
②点N在G的右侧时,如图②,
∵PM∥EF,∠EHD=α,
∴∠PMD=α,
∴∠NMD=60°+α,
∵AB∥CD,
∴∠ANM=∠NMD=60°+α,
∵NO平分∠ANM,
∴∠ANO=12∠ANM=30°+12α,
∵AB∥CD,
∴∠MON=∠ANO=30°+12α;
点N在G的左侧时,如图,
∵PM∥EF,∠EHD=α,
∴∠PMD=α,
∴∠NMD=60°+α,
∵AB∥CD,
∴∠BNM+∠NMO=180°,∠BNO=∠MON,
∵NO平分∠MNG,
∴∠BNO=12 [180°-(60°+α)]=60°-12α,
∴∠MON=60°-12α,
综上所述,∠MON的度数为30°+12α或60°-12α.
故答案为:30°+12α或60°- 12α.
7.(2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习)已知AB∥CD,点M为平面内的一点,∠AMD=90°.
(1)当点M在如图1的位置时,求∠MAB与∠D的数量关系(写出说理过程);
(2)当点M在如图2的位置时,则∠MAB与∠D的数量关系是 (直接写出答案);
(3)在(2)条件下,如图3,过点M作ME⊥AB,垂足为E,∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G,回答下列问题(直接写出答案):图中与∠MAB相等的角是 ,∠FMG= 度.
【思路点拨】
(1)在题干的基础上,通过平行线的性质可得结论;
(2)仿照(1)的解题思路,过点M作MN∥AB,由平行线的性质可得结论;
(3)利用(2)中的结论,结合角平分线的性质可得结论.
【解题过程】
(1)解:如图①,过点M作MN∥AB,
∵AB∥CD,
∴MN∥AB∥CD(如果一条直线和两条平行线中的一条平行,那么它和另一条也平行).
∴∠D=∠NMD.
∵MN∥AB,
∴∠MAB+∠NMA=180°.
∴∠MAB+∠AMD+∠DMN=180°.
∵∠AMD=90°,
∴∠MAB+∠DMN=90°.
∴∠MAB+∠D=90°;
(2)解:如图②,过点M作MN∥AB,
∵MN∥AB,
∴∠MAB+∠AMN=180°.
∵AB∥CD,
∴MN∥AB∥CD.
∴∠D=∠NMD.
∵∠AMD=90°,
∴∠AMN=90°﹣∠NMD.
∴∠AMN=90°﹣∠D.
∴90°﹣∠D+∠MAB=180°.
∴∠MAB﹣∠D=90°.
即∠MAB与∠D的数量关系是:∠MAB﹣∠D=90°.
故答案为:∠MAB﹣∠D=90°.
(3)解:如图③,
∵ME⊥AB,
∴∠E=90°.
∴∠MAE+∠AME=90°
∵∠MAB+∠MAE=180°,
∴∠MAB﹣∠AME=90°.
即∠MAB=90°+∠AME.
∵∠AMD=90°,
∴∠MAB=∠AMD+∠AME=∠EMD.
∵MF平分∠EMA,
∴∠FME=∠FMA=12∠EMA.
∵MG平分∠EMD,
∴∠EMG=∠GMD=12∠EMD.
∵∠FMG=∠EMG﹣∠EMF,
∴∠FMG=12∠EMD﹣12∠EMA=12(∠EMD﹣∠EMA).
∵∠EMD﹣∠EMA=90°,
∴∠FMG=45°.
故答案为:∠MAB=∠EMD;45.
8.(2022春·河北石家庄·七年级统考期中)【问题情景】(1)如图1,AB∥CD,∠PAB=140°,∠PCD=135°,求∠APC的度数;
【问题迁移】(2)如图2,已知∠MON,AD∥BC,点P在射线OM上运动,当点P在A,B两点之间运动时,连接PD,PC,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β,求∠CPD与∠α,∠β之间的数量关系,并说明理由;
【知识拓展】(3)在(2)的条件下,若将“点P在A,B两点之间运动”改为“点P在A,B两点外侧运动(点P与点A,B,O三点不重合)”其他条件不变,请直接写出∠CPD与∠α,∠β之间的数量关系.
【思路点拨】
(1)过点P作PE与AB平行,继而根据的性质进行推导即可得;
(2)过P作PE∥AD交CD于E,推出AD∥PE∥BC,根据平行线的性质得出∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,即可得出答案;
(3)画出图形(分两种情况①点P在BA的延长线上,②点P在AB的延长线上),根据平行线的性质得出∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,即可得出答案.
【解题过程】
解:(1)过点P作PE∥AB,
如图所示:
∵AB∥CD,
∴PE∥CD,(平行于同一条直线的两条直线平行)
∴∠A+∠APE=180°,∠C+∠CPE=180°,(两直线平行同旁内角互补)
∵∠PAB=140°,∠PCD=135°,
∴∠APE=40°,∠CPE=45°,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=85°.
(2)∠CPD=∠α+∠β,理由如下:
如图2所示,过P作PE∥AD交CD于E,
∵AD∥BC,
∴AD∥PE∥BC,
∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β;
(3)当P在BA延长线时,如图3所示:
过P作PE∥AD交CD于E,
同(2)可知:∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,
∴∠CPD=∠β−∠α;
当P在AB延长线时,如图4所示:
同(2)可知:∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,
∴∠CPD=∠α−∠β.
综上所述,∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系为:∠CPD=∠β−∠α或∠CPD=∠α−∠β.
9.(2022春·辽宁大连·七年级校联考期中)已知直线AB∥CD,点E在直线AB、CD之间,点M、N分别在直线AB、CD上.
(1)如图1,直线GH过点E,分别与直线AB、CD交于点G、H,∠AME=∠GND,求证:∠NGH+∠MEH=180°;
(2)如图2,点F在直线CD上,ME、NE分别平分∠AMF、∠MNF,若∠FMN=2∠MEN,求∠MEN的度数;
(3)如图3,MQ平分∠AME,MH平分∠BME,GN平分∠ENC.直线GN与MH交于点H,NK平分∠END,NF∥MQ.求证:∠MHG=∠KNF.
【思路点拨】
(1)先证明GN∥MQ,再利用平行线的性质、邻补角的定义即可证明结论;
(2)设∠AME=∠FME=x°,∠MNE=∠ENF=y°,推出∠MEN=(x+y)°,由已知得到∠FMN=(2x+2y)°,利用平角的定义得到2x+2(x+y)+2y=180,据此求解即可;
(3)设∠AMQ=x°,∠GNC=y°,推出∠MEN=(2x+2y)°,由平行线的性质推出∠MHS=∠BMH=90°−x°,∠ENF=∠FNH=90°−y°,在△NLP中,得到∠LNP=180°−∠NLP−∠LPN=x°,据此通过计算即可证明∠MHG=∠KNF.
【解题过程】
(1)证明:延长ME交CD于点Q,如图,
∵AB∥CD,
∴∠AME=∠MQD,
∵∠AME=∠GND,
∴∠MQD=∠GND,
∴GN∥MQ,
∴∠NGH=∠GEM,
∵∠GEM+∠MEH=180°,
∴∠NGH+∠MEH=180°;
(2)解:过E作EQ∥AB,如图.
∵ME平分∠AMF,EN平分∠MNF,
∴设∠AME=∠FME=x°,∠MNE=∠ENF=y°.
∵EQ∥AB,AB∥CD.
∴EQ∥CD,
∵EQ∥AB.
∴∠MEQ=∠AME=x°.
∵EQ∥CD.
∴∠NEQ=∠ENF=y°.
∴∠MEN=∠MEQ+∠NEQ=(x+y)°.
∵∠FMN=2∠MEN,
∴∠FMN=(2x+2y)°,
∵AB∥CD,
∴∠BMN=∠MNF=2y°.
∵∠AMF+∠FMN+∠BMN=180°,
∴2x+2(x+y)+2y=180,
∴x+y=45,
∴∠MEN=45°;
(3)证明:过E作EO∥AB,EJ∥QM,过H作HS∥CD,如图.
∵MQ平分∠AME,GN平分∠ENC,
设∠AMQ=x°,∠GNC=y°,
由(2)方法可得∠MEN=(2x+2y)°,
∵HS∥CD,
∴HS∥AB∥CD,
∴∠GHS=∠GNC=y°,∠MHS=∠BMH=12(180°−2x°)=90°−x°,
∴∠MHG=∠MHS−∠GHS=90°−x°−y°,
∵NF平分∠END,
∴∠ENF=∠FNH=12∠END=90°−y°,
∵AB∥CD,
∴∠LPN=∠BMH=90°−x°,
∵QM∥NF,
∴∠MLH=∠QMH=∠QME+∠EMH=x°+90°−x°=90°,
在△NLP中,∠LNP=180°−∠NLP−∠LPN=180°-90°-(90°-x°)=x°,
∴∠KNF=∠KNP−∠FNP=90°−y°−x°,
∴∠MHG=∠KNF.
10.(2022春·北京·七年级校考期中)“一带一路”让中国和世界联系更紧密,“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯.如图所示,灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转,灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°,灯B转动的速度是每秒1°.假定主道路是平行的,即PQ∥MN,且∠BAM:∠BAN=2:1.
(1)填空:∠BAN=______°;
(2)若灯B射线先转动30秒,灯A射线才开始转动,在灯B射线到达BQ之前,A灯转动几秒,两灯的光束互相平行?
(3)若两灯同时开始转动,两灯射出的光束交于点C,且∠ACB=120°,则在灯B射线到达BQ之前,转动的时间为______秒.
【思路点拨】
(1)设∠BAN=x°,则∠BAM=2x°,根据∠BAN+∠BAM=180°,可列出关于x的等式,解出x即可求解;
(2)设A灯转动t秒,两灯的光束互相平行,分两种情况进行讨论:当0
(1)设∠BAN=x°,则∠BAM=2x°,
∵∠BAN+∠BAM=180°,即x°+2x°=180°,
∴x=60,
∴∠BAN=60°.
故答案为:60;
(2)设A灯转动t秒,两灯的光束互相平行,
由题意可知∠CAM=(2t)°,∠CAM=(t+30)°.
①当0
∵PQ∥MN,
∴∠PBD=∠BDA.
∵AC∥BD,
∴∠CAM=∠BDA,
∴∠CAM=∠PBD.
∴2t=30+t,
解得 t=30;
②当90
∵PQ∥MN,
∴∠PBD+∠BDA=180°.
∵AC∥BD,
∴∠CAN=∠BDA,
∴∠PBD+∠CAN=180°.
∵∠CAM=(2t)°,
∴∠CAN=(2t−180)°,
∴30+t+2t−180=180,
解得 t=110.
综上所述,当30秒或110秒时,两灯的光束互相平行;
(3)设灯A射线转动时间为t秒,
①当0
∵PQ∥MN,
∴PQ∥MN∥CK,
∴∠CBP=∠BCK,∠CAN=∠ACK,
∴∠ACB=∠BCK+∠ACK=∠CBP+∠CAN,
∵∠CAN=(180−2t)°,∠CBP=t°,
又∵∠ACB=120°,
∴t+(180−2t)=120,
解得:t=60,
∴∠CAN=60°,此时AC与AB共线,不符合题意;
②当90
解得:t=100;
如图4中,当∠ACB=120°时,
同①可知∠ACB=∠MAC+∠QBC.
因为此时∠MAC=(360−2t)°,∠QBC=(180−t)°,
∴120=(360−2t)+(180−t),
解得:t=140.
综上可知,t的值为100或140.
故答案为:100或140.
11.(2022春·浙江金华·七年级校联考阶段练习)如图1,已知MN∥PQ,,B在MN上,C在PQ上,A在B的左侧,D在C的右侧,DE平分∠ADC,BE平分∠ABC,直线DE,BE交于点E,∠CBN=120°.
(1)若∠ADQ=100°,求∠BED的度数;
(2)在图1中过点D作∠ADQ的角平分线与直线BE相交于点F,如图2,试探究∠DEB与∠DFE的关系;
(3)若改变线段AD的位置,使得点D在点C的左侧,其他条件不变,若∠ADQ=n°,过点D作∠PDA的角平分线与直线BE相交于点G,求∠BED+∠DGE的和是多少度?(用含n的代数式表示)
【思路点拨】
(1)如图1中,延长DE交MN于H.利用∠BED=∠EHB+∠EBH,即可解决问题;
(2)根据角平分线以及邻补角的定义得∠EDF=∠ADE+∠ADF=12(∠ADC+∠ADQ)=90°,根据直角三角形的两锐角互余即可得出结论;
(3)分3种情形讨论即可解决问题.
【解题过程】
(1)解:如图1中,延长DE交MN于H.
∵∠ADQ=100°,DE平分∠ADC,
∴∠PDH=12∠PDA=12(180°﹣100°)=40°,
∵MN∥PQ,,
∴∠EHB=∠PDH=40°,
∵∠CBN=120°,EB平分∠ABC,
∴∠EBH=12∠ABC=12(180°﹣120°)=30°,
∴∠BED=∠EHB+∠EBH=70°.
(2)解:如图,
∵DE平分∠ADC,DF平分∠ADQ,
∴∠ADE=12∠ADC,∠ADF=12∠ADQ,
∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=12(∠ADC+∠ADQ)=90°,
∴∠DEB+∠DFE=90°.
(3)解:分3种情形
如图,当点E在直线MN与直线PQ之间时.延长DE交MN于H.
∵PQ∥MN,
∴∠QDH=∠DHA=12∠ADQ=12n°,
∴∠BED=∠EHB+∠EBH=180°﹣12n°+30°=210°﹣12n°,
∵∠ADQ=n°,DG平分∠PDA,
∴∠ADG=12∠ADP,
∴∠GDH=12∠ADP+12∠ADQ=90°,
∴∠BED=90°+∠DGE,
∴∠DGE=210°﹣12n°﹣90°=120°﹣12n°,
∴∠BED+∠DGE=210°﹣12n°+120°﹣12n°=330°﹣n°;
当点E在直线MN的下方时,如图,设DE交MN于H.
∵∠HBE=∠ABG=30°,∠ADH=∠CDH=12n°,
又∵∠DHB=∠HBE+∠HEB,
∴∠BED=12n°﹣30°,
∵∠GDH=12∠ADP+12∠ADQ=90°,
∴∠DGE=90°﹣∠BED=90°﹣(12n°﹣30°)=120°﹣12n°,
∴∠BED+∠DGE=12n°﹣30°+120°﹣12n°=90°;
当点E在PQ上方时,
∵∠GDF=12∠ADP+12∠ADQ=90°,
∴∠DGE+∠BED=90°,
综上所述,∠BED+∠DGE=330°﹣n°或∠BED+∠DGE=90°.
12.(2022春·北京海淀·七年级校考阶段练习)已知直线AB∥CD,点E,F分别在直线AB,CD上,∠EFD=α.点P是直线AB上的动点(不与E重合),连接PF,∠PEF和∠PFC的平分线所在直线交于点H.
(1)如图1,若EF⊥CD,点P在射线EB上.则当∠EPF=40°时,
∠EHF= °;
(2)如图2,若α=120°,点P在射线EA上.
①补全图形;
②探究∠EPF与∠EHF的数量关系,并证明你的结论.
(3)如图3,若0°<α<90°,直接写出∠EPF与∠EHF的数量关系(用含α的式子表示).
【思路点拨】
(1)根据图形1,由平行线的性质,角平分线的定义和三角形的内角和定理计算即可;
(2)①先根据(1)中作法补全图形;②根据平行线的性质,角平分线的定义和三角形的内角和定理得出∠EPF与∠EHF的数量关系;
(3)分点P在射线EB上和点P在射线EA上两种情况,平行线的性质,角平分线的定义和三角形的内角和定理计算即可.
【解题过程】
(1)解:∵EF⊥CD,点P在射线EB上,∠EPF=40°,AB∥CD,
∴∠PEF=∠CFE=90°,∠PFD=∠EPF=40°,
∴∠PFC=180°−∠PFD=140°,
∵EM、FH分别平分∠PEF,∠PFC,
∴∠FEM=12∠PEF=45°,∠CFH=∠PFC=70°,
∴∠EFH=∠CFE−∠CFH=20°,
∵∠FEM=∠EFH+∠EHF,
∴∠LEHF=∠FEM−∠EFH=45°−20°=25°.
故答案为:25;
(2)①若α=120°,点P在射线EA上,
补全图形,如图所示:
②∠EPF与∠EHF的数量关系是∠EHF=12∠EPF+60°,证明如下:
∵AB∥CD,
∴∠PEF=∠EFD=α=120°,∠EPF=∠PFC,
∵EM,FH分别平分∠PEF,∠PFC,
∴∠FEM=12∠PEF=60°,∠CFH=12∠PFC,
∴∠CFH=12∠EPF,
∵∠EFM=180°−α=60°,
∴∠FMH=180°−∠FEM−∠EFM=60°,
∵∠EHF=∠CFH+∠FMH,
∴∠EHF=12∠EPF+60°;
(3)若0°<α<90°,则∠EPF与∠EHF的数值关系是:
∠EPF+2∠EHF=α或2∠EHF−∠EPF=α.
点P在射线EB上时,
∵AB∥CD,
∴∠PEF+∠EFD=180°,∠EPF=∠PFD,
∴∠PEF=180°−∠EFD=180°−α,∠PFC=180°−∠PFD=180°−∠EPF,
∵EM,FH分别平分∠PEF,∠PFC,
∴∠FEM=12∠PEF=90°−12α,∠PFH=12∠PFC=90°−12∠EPF,
∴∠EFH=∠PFD+∠PFH−∠EFD=∠EPF+90°−12∠EPP−α=90°+12∠EPF−α,
∵∠FEM=∠EFH+∠EHF,
∴90°−12α=90°+12∠EPF−α+∠EHF,
∴∠EPF+2∠EHF=α;
点P在射线EA上时,
∵AB∥CD,
∴∠PEF=∠EFD=α,∠EPF=∠PFC,
∵EM,FH分别平分∠PEF,∠PFC,
∴∠FEM=12∠PEF=12α,∠CFH=12∠PFC,
∴∠CFH=12∠EPF,
∵∠EFM=180°−α,
∴∠FMH=180°−∠FEM−∠EFM=12α,
∵∠EHF=∠CFH+∠FMH,
∴∠EHF=12∠EPF+12α,
∴2∠EHF−∠EPF=α,
综上所述,∠EPF与∠EHF的数值关系是∠EPF+2∠EHF=α或2∠EHF−∠EPF=α.
13.(2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习)如图1,AB∥CD,直线AB外有一点M,连接AM,CM.
(1)证明:∠M+∠A=∠C;
(2)如图2,延长MA至点E,连接CE,CM平分∠ECD,AF平分∠EAB,且AF与CM交于点F,求∠E与∠AFC的数量关系;
(3)如图3,在2的条件下,∠E=100°,FA⊥AN,连接CN,且∠M=2∠N,∠MCN=30°,求∠M的度数.
【思路点拨】
(1)过点M作MN∥AB,根据平行线性质即可得到角度关系,即可求证;
(2)过点E作EP∥AB,过点F作QF∥AB根据平行线性质得到角度关系即可得到答案;
(3)过点N做NY∥AB,过点M作MX∥AB,根据平行线性质得到角度关系即可得到答案.
【解题过程】
(1)证明:过点M作MN∥AB,
∵AB∥CD,MN∥AB,
∴MN∥CD∥AB
∴∠A+∠NME+∠AME=180°,∠NME+∠MEB=180°,∠MEB=∠C,
∴∠A+∠AME=∠MEB,
∴∠A+∠AMC=∠C;
(2)解:∵CM平分∠ECD,设∠ECM=∠MCD=a,
又∵AF平分∠EAB,设∠EAF=∠FAB=b,
∴∠ECD=2∠ECM=2a,∠EAB=2∠EAF=2b,
过点E作EP∥AB,
∵AB∥CD,
∴EP∥CD,
∴∠EAB+∠AEP=180°,∠ECD+∠CEP=180°,
∴∠AEP=180°−∠EAB=180°−2b,∠CEP=180°−∠ECD=180°−2a,
∴∠AEC=∠AEP+∠CEP=360−2b−2a=360−2(a+b),
过点F作QF∥AB,
∴QF∥CD,
∴∠AFQ=∠FAB,∠QFC=∠MCD,
∴∠AFC=∠QFA+∠QFC=a+b
∴∠AEC=360°−2∠AFC;
(3)设∠NAB=r,∠NCD=y
过点N做NY∥AB,
∵AB∥CD,NY∥CD,
∴∠YNA=∠NAB,∠YNC=∠NCD,
∴∠ANC=∠NCD−∠NAB=y−r,
∵∠M=2∠N,
∴∠M=2y−2r,
过点M作MX∥AB,
∴MX∥CD,
∴∠XMA=∠MAB,∠XMC=∠MCD,
∴∠XMA=∠XMC−∠AMC,
∴∠AMC=∠XMC−∠XMA=∠MCD−∠MAB,
∵∠MAB=2r,∠MCD=2y,
∴∠MCN=∠MCD−∠NCD=y,
∵∠MCN=30°,
∴y=30°,
∴∠MCD=2y=60°,
∵∠AEC=100°,∠AEC=360°−2∠AFC,
∴∠AFC=360°−∠AFC =130°,
由(2)知∠BAF+∠FCD=∠AFC,
∴∠BAF=∠AFC−∠MCD=70°,
∵FA⊥AN,
∴∠FAN=90°,
∴∠NAB=∠FAN−∠BAF=20°,
∴r=20°,
∴∠MAB=2r=40°,
∴∠AMC=∠MCD−∠MAB=60°−40°=20°.
14.(2022秋·吉林长春·七年级长春市第四十五中学校考期末)已知AM∥CN,点B在直线AM、CN之间,∠ABC=88°.
(1)如图1,请直接写出∠A和∠C之间的数量关系:__________.
(2)如图2,∠A和∠C满足怎样的数量关系?请说明理由.
(3)如图3,AE平分∠MAB,CH平分∠NCB,AE与CH交于点G,则∠AGH的度数为__________.
【思路点拨】
(1)过点B作BE∥AM,利用平行线的性质即可求得结论;
(2)过点B作BE∥AM,利用平行线的性质即可求得结论;
(3)利用(2)的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论.
【解题过程】
(1)过点B作BE∥AM,如图,
∵BE∥AM,
∴∠A=∠ABE.
∵BE∥AM,AM∥CN,
∴BE∥CN.
∴∠C=∠CBE.
∵∠ABC=88°.
∴∠A+∠C=∠ABE+∠CBE=∠ABC=88°.
故答案为:∠A+∠C=88°;
(2)∠C−∠A=92°.
理由:
过点B作BE∥AM,如图,
∵BE∥AM,
∴∠A=∠ABE.
∵BE∥AM,AM∥CN,
∴BE∥CN.
∴∠C+∠CBE=180°.
∴∠CBE=180°−∠C.
∵∠ABC=88°,
∴∠ABE+∠CBE=∠ABC=88°.
∴∠A+180°−∠C=88°.
∴∠C−∠A=92°.
(3)设CH与AB交于点F,如图,
∵AE平分∠MAB,
∴∠GAF=12∠MAB.
∵CH平分∠NCB,
∴∠BCF=12∠BCN.
∵∠ABC=88°,
∴∠BFC=92°−∠BCF.
∵∠AFG=∠BFC,
∴∠AFG=92°−∠BCF.
∵∠AGH=∠GAF+∠AFG,
∴∠AGH=12∠MAB+92°−12∠BCN=92°−12∠BCN−∠MAB.
由(2)知:∠BCN−∠MAB=92°,
∴∠AGH=92°−46°=46°.
故答案为:46°.
15.(2022春·江西宜春·七年级江西省万载中学校考期中)在数学综合实践活动课上,老师让同学们以“两条平行直线AB,CD和一块含45°的直角三角板EFG(∠EFG=90°)”为背景,开展数学探究活动.如图,将三角板的顶点G放置在直线AB上.
(1)如图①,在GE边上任取一点P(不同于点G,E),过点P作CD//AB,且∠2=4∠1,求∠1的度数;
(2)如图②,过点E作CD//AB,请探索并说明∠AGF与∠CEF之间的数量关系;
(3)将三角板绕顶点G旋转,过点E作CD//AB,并保持点E在直线AB的上方.在旋转过程中,探索∠AGF与∠CEF之间的数量关系,并说明理由.
【思路点拨】
(1)根据平行线的性质可知∠1=∠EGB,依据∠2+∠FGE+∠EGB=180°,可求出∠1的度数;
(2)过点F作FP//AB,得到FP//AB//CD,通过平行线的性质把∠AGF和∠CEF转化到∠EFG上即可;
(3)分三种情形:①如图3−1中,当点F在直线CD的上方时,②当点F在直线AB与直线CD之间时,∠AGF+∠CEF=90°.③当点F在直线AB的下方时,分别利用平行线的性质解决问题即可.
【解题过程】
解:(1)如图1中,
∵AB//CD,
∴∠1=∠EGB,
∵∠2+∠FGE+∠EGB=180°,∠2=4∠1,
∴4∠1+45°+∠1=180°,
解得∠1=27°.
(2)∠AGF+∠CEF=90°,理由如下:
如图,过点F作FP//AB,
∵CD//AB,
∴FP//AB//CD,
∴∠AGF=∠PFG,∠CEF=∠PFE,
∴∠PFG+∠PFE=∠AGF+∠CEF=∠EFG,
∵∠EFG=90°,
∠AGF+∠CEF=90°;
(3)①如图3−1中,当点F在直线CD的上方时,过点F作MN//AB.
∵MN//AB,AB//CD,
∴MN//CD//AB,
∴∠AGF=∠NFG,∠CEF=∠NFE,
∵∠NFG−∠NFE=∠GFE=90°,
∴∠AGF−∠CEF=90°.
②当点F在直线AB与直线CD之间时,∠AGF+∠CEF=90°,
如下图:
∵MN//CD,MN//AB,
∴∠CEF=∠NFE,∠AGF=∠NFG,
∵∠GFE=∠NFE+∠NFG=90°,
∴∠AGF+∠CEF=90°;
③当点F在直线AB的下方时,过点F作MN//AB.
∵MN//AB,AB//CD,
∴MN//CD//AB,
∴∠AGF=∠NFG,∠CEF=∠NFE,
∵∠NFE−GFN=∠GFE=90°,
∴∠CEF−∠AGF=90°.
综上所述,①当点F在直线CD的上方时,∠AGF−∠CEF=90°.②当点F在直线AB与直线CD之间时,∠AGF+∠CEF=90°.③当点F在直线AB的下方时,∠CEF−∠AGF=90°.
16.(2022秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末)已知,AB∥CD,直线FE交AB于点E,交CD于点F,点M在线段EF上,过M作射线MR、MP分别交射线AB、CD于点N、Q.
(1)如图1,当MR⊥MP时,求∠MNB+∠MQD的度数.
(2)如图2,若∠DQP和∠MNB的角平分线交于点G,求∠NMQ和∠NGQ的数量关系.
(3)如图3,当MR⊥MP,且∠EFD=60°,∠EMR=20°时,作∠MNB的角平分线NG.把一三角板OKI的直角顶点O置于点M处,两直角边分别与MR和MP重合,将其绕点O点顺时针旋转,速度为5°每秒,当OI落在MF上时,三角板改为以相同速度逆时针旋转.三角板开始运动的同时∠BNG绕点N以3°每秒的速度顺时针旋转,记旋转中的∠BNG为∠B'NG',当NG'和NA重合时,整个运动停止.设运动时间为t秒,当∠B'NG'的一边和三角板的一直角边互相平行时,请直接写出t的值.
【思路点拨】
(1)过点M作MH∥AB,利用平行线的性质可得∠BMN+∠NMH+∠HMQ+∠MQ=360°,进而可求∠MNB+∠MQD=270°;
(2)过点M作MH∥AB,过点G作GL∥AB,设∠DQG=y,则∠DQP=2y,设∠DQG=y,则∠DQP=2y,求出∠NMQ=180°−2x+2y,进而可得∠NMQ=180°−2∠NGQ;
(3)分5种情况求解即可.
【解题过程】
解:(1)如图过点M作MH∥AB
∴∠BMN+∠NMH=180°
∵AB∥CD
∴MH∥CD
∴∠HMQ+∠MQD=180°
∴∠BMN+∠NMH+∠HMQ+∠MQD=360°
∵MR⊥MP
∴∠NMQ=90°
∴∠MNB+∠MQD=270°
(2)如图过点M作MH∥AB,过点G作GL∥AB
设∠BNG=x,则∠BNM=2x
∵MH∥AB
∴∠NMH=180°−2x
设∠DQG=y,则∠DQP=2y
∵AB∥CD
∴GL∥CD
∴∠QGL=y
则∠NGQ=y−x,∠HMQ=2y
∴∠NMQ=180°−2x+2y
∴∠NMQ=180°−2∠NGQ
(3)①OI到达MF前,OI∥NG'时
5t+90+(140−70−3t)=180
t=10
②OI返回,OI∥NG'时
160−5(t−14)+(140−70−3t)=180
t=15
③当OI∥NB'时
160−5(t−14)+140−3t=180
t=954
④当OK∥NG'时
160−90−5(t−14)=3t−70
t=1054
⑤当OK∥NB'时
140−3t=90−[160−5(t−14)]
t=35
综上可知,t的值为10,15,954,1054,35
17.(2022秋·重庆·七年级重庆南开中学校考期末)已知,AE∥BD,∠A=∠D.
(1)如图1,判断AB与CD的位置关系,并说明理由;
(2)作∠BAE的平分线交CD于点F,点G为线段AB上一点,连接FG,∠CFG的平分线FM交线段AG于点H.如图2,若∠ECF=120°,∠AFH=20°,∠CFG=110°,求∠E的度数;
(3)如图3,连接AC,在(2)的条件下,将射线FG绕点F以5°每秒的速度逆时针旋转,旋转时间为t秒(0
(1)根据AE∥BD,得到∠A+∠B=180°,进一步可得∠D+∠B=180°,所以AB∥CD;
(2)延长CD交AE于点N,求出∠ECN=60°,再求出∠ENC=70°,即可求出∠E=180°−70°−60°=50°;
(3)分情况讨论,作出图形,结合图形分析,求出旋转的角度即可求出t的值.
【解题过程】
(1)解:AB∥CD,理由如下:
∵AE∥BD,
∴∠A+∠B=180°,
∵∠A=∠D,
∴∠D+∠B=180°,
∴AB∥CD;
(2)解:延长CD交AE于点N,
∵∠ECF=120°,
∴∠ECN=180°−120°=60°,
∵∠CFG=110°,FM平分∠CFG,
∴∠CFH=∠GFH=55°,
∵∠AFH=20°,
∴∠CFA=∠CFH−∠AFH=35°,
∵AB∥CD,
∴∠CFA=∠FAB=35°,
∵AF平分∠BAE,
∴∠BAE=70°,
∵AB∥CD,
∴∠ENC=∠BAE=70°,
∴∠E=180°−70°−60°=50°;
(3)解:第一种情况:当FG转到FG',FM'∥AC时,
∵∠CAB=65°,FM'∥AC,
∴∠FH'B=∠CAB=65°,
∵AB∥CD,
∴∠FH'B=∠CFH'=65°,
∵FH'平分∠CFG',
∴∠CFG'=130°,
∵由(2)可知旋转前:∠CFG=110°,
∴旋转角度为:130°−110°=20°,
故旋转时间为:20°÷5°=4s;
第二种情况:当FG转到FG',FM'∥AE时,
由(2)可知:∠EAB=70°,
∵FM'∥AE,
∴∠FH'B=∠EAB=70°,
∵AB∥CD,
∴∠FH'B=∠CFH'=70°,
∵FH'平分∠CFG',
∴∠CFG'=140°,
∵由(2)可知旋转前:∠CFG=110°,
∴旋转角度为:140°−110°=30°,
故旋转时间为:30°÷5°=6s;
第三种情况:当FG转到FG',FM'∥EC时,
∵FM'∥EC,
∴∠CFM'=∠ECD=120°,
∵FH'平分∠CFG',
∴∠H'FG'=120°,
∵FH'平分∠CFG',
∴∠CFG'=240°,
∵由(2)可知旋转前:∠CFG=110°,
∴旋转角度为:240°−110°=130°,
故旋转时间为:130°÷5°=26s;
综上所述:t的取值可以为:4秒,6秒,26秒.
18.(2022春·辽宁大连·七年级统考期末)如图1,AB∥CD,点P,Q分别在AB,CD上,点E在AB,CD之间.连接PE,QE,PE⊥QE.
(1)直接写出∠BPE与∠DQE的数量关系为____________________;
(2)如图2,∠APE的平分线PG和∠CQE的平分线QH的反向延长线相交于点G,求∠G的度数;
(3)如图3,M为线段PE上一点,连接QM,∠BPE和∠MQD的平分线相交于点N,直接写出∠PNQ和∠MQE的数量关系为____________________.
【思路点拨】
(1)延长PE交CD于点F,利用平行线的性质得∠BPE=∠PFC,利用三角形外角的性质得∠PEQ=∠PFC+∠DQE=90°,等量代换可得∠BPE+∠DQE=90°;
(2)过E点作EF∥AB,过G点作GM∥AB,利用平行线的性质可得∠PEF=180°−∠APE,∠MGP=180°−∠APG,∠MGH=∠CQH,∠FEQ=180°−∠CQE,∠APE=2∠APG=2α,∠CQE=2∠CQH=2β,通过等量代换可得∠PEQ=180°−2α+180°−2β=360°−2α−2β=90°,推出α+β=135°,进而可得∠HGP=∠MGP−∠MGH=180°−α−β=45°;
(3)利用角平分线的定义可得∠BPE=2∠BPN,∠MQN=∠DQN,利用并参照(1)的结论可得∠BPE+∠DQE=90°,∠BPN+∠DQN=∠PNQ,进而可得2∠BPN+∠DQN+∠EQN=90°,再通过等量代换、角的和差关系可推导出2∠PNQ−∠MQE=90°.
【解题过程】
(1)解:如图,延长PE交CD于点F,
∵ PE⊥QE,
∴∠PEQ=90°,
∵ AB∥CD,
∴∠BPE=∠PFC,
∵ ∠PEQ是ΔQEF的一个外角,
∴∠PEQ=∠PFC+∠DQE=90°,
∴∠BPE+∠DQE=90°.
故答案为:∠BPE+∠DQE=90°.
(2)解:如图,过E点作EF∥AB,过G点作GM∥AB,
∴∠APE+∠PEF=180°,∠MGP+∠APG=180°.
∴∠PEF=180°−∠APE,∠MGP=180°−∠APG.
∵AB∥CD,
∴EF∥CD,GM∥CD,
∴∠FEQ+∠CQE=180°,∠MGH=∠CQH.
∴∠FEQ=180°−∠CQE
又∵PG、QH平分∠APE和∠CQE,
∴设∠APE=2∠APG=2α,∠CQE=2∠CQH=2β.
∴∠PEF=180°−2α,∠FEQ=180°−2β,∠MGP=180°−α.
∵∠PEQ=∠PEF+∠FEQ,
∴∠PEQ=180°−2α+180°−2β=360°−2α−2β.
∵PE⊥QE,
∴∠PEQ=90°,
∴360°−2α−2β=90°,
∴α+β=135°.
又∵∠HGP=∠MGP−∠MGH.
∴∠HGP=180°−α−β=45°.
(3)解:∵∠BPE和∠MQD的平分线相交于点N,
∴∠BPE=2∠BPN,∠MQN=∠DQN,
由(1)得∠BPE+∠DQE=90°,
∴2∠BPN+∠DQN+∠EQN=90°,
同(1)可证∠BPN+∠DQN=∠PNQ,
又∵∠EQN=∠MQN−∠MQE,
∴∠PNQ+∠BPN+∠MQN−∠MQE=90°,
∴∠PNQ+∠BPN+∠DQN−∠MQE=90°,
∴∠PNQ+∠PNQ−∠MQE=90°,
∴2∠PNQ−∠MQE=90°,
故答案为:2∠PNQ−∠MQE=90°.
19.(2022春·四川成都·七年级校考期中)“一带一路”让中国和世界更紧密,“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A,D两座可旋转探照灯.假定主道路是平行的,即PQ//CN,A,B为PQ上两点,AD平分∠CAB交CN于点D,E为AD上一点,连接BE,AF平分∠BAD交BE于点F.
(1)若∠C=20°,则∠EAP=_______;
(2)作AG交CD于点G,且满足∠1=13∠ADC,当∠2+65∠GAF=180∘时,试说明:AC//BE;
(3)在(1)问的条件下,探照灯A、D照出的光线在铁路所在平面旋转,探照灯射出的光线AC以每秒5度的速度逆时针转动,探照灯D射出的光线DN以每秒15度的速度逆时针转动,DN转至射线DC后立即以相同速度回转,若它们同时开始转动,设转动时间为t秒,当DN回到出发时的位置时同时停止转动,则在转动过程中,当AC与DN互相平行或垂直时,请直接写出此时t的值.
【思路点拨】
(1)利用平行线的性质和角平分线的性质可解;
(2)通过计算,利用内错角相等,两直线平行进行判定即可;
(3)分五种情况画图,列出关于t的式子即可解答.
【解题过程】
解:(1)∵PQ//CN,
∴∠CAB+∠C=180°,∠PAC=20°.
∵∠C=20°,
∴∠CAB=160°.
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=80°.
∴∠EAP=∠DAC+∠PAC=100°.
故答案为:100°.
(2)∵PQ//CN,
∴∠ADC=∠BAD.
∵∠1=13∠ADC,
∴∠1=13∠BAD.
∵AF平分∠BAD,
∴∠BAD=2∠EAF.
∴∠1=23∠EAF.
∴∠GAF=∠1+∠EAF=53∠EAF.
∵∠2+65∠GAF=180°,
∴∠2+2∠EAF=180°.
∴∠2+∠BAD=180°.
∵∠2+∠AEB=180°,
∴∠BAD=∠AEB.
∵∠BAD=∠CAD,
∴∠CAD=∠AEB.
∴AC//BE.
(3)360°÷15°=24(s).
当AC//DN时,则∠ACD=∠HDN,如图,
∵PB//CH,
∴∠PAC=∠ACD.
∴∠PAC=HDN.
由题意,∠PAC=20+5t,∠HDN=15t
∴20+5t=15t.
∴t=2s.
当AC⊥DN时,则∠CND=90°,如图,
∵PA//CD,
∴∠ACD=∠PAC=20+5t.
∵∠NDH=15t,
∴∠NDC=180−15t.
∴20+5t+180−15t=90.
∴t=11s.
当AC⊥DN时,则∠CND=90°,如图,
∵PA//CD,
∴∠ACD=∠PAC=20+5t.
∵∠NDC=15t−180,
∴20+5t+15t−180=90.
∴t=12.5s.
当ND//AC时,则∠NDC=∠ACH,如图,
由题意,∠MDN=15t−180,∠PAC=20+5t.
∴∠NDC=180°−∠MDN=360−15t.
∵PA//CD,
∴∠ACH=∠PAC=20+5t.
∴20+5t=360−15t.
∴t=17s.
当DN⊥AC时,∠DNC=90°,如图,
∵∠NDC=360−15t.
∴∠NDC+∠DCN=90°.
∵∠NCD=180−(20+5t),
∴360−15t+180−(20+5t)=90.
∴t=21.5s.
综上,t的值为2s或11s或12.5s或17s或21.5s.
20.(2022·全国·七年级假期作业)如图,直线PQ//MN,一副直角三角板△ABC,△DEF中,∠EDF=90°,∠ABC=∠BAC=45°,∠DFE=30°,∠DEF=60°.
(1)若△DEF如图1摆放,当ED平分∠PEF时,证明:FD平分∠EFM.
(2)若△ABC,△DEF如图2摆放时,则∠PDE=
(3)若图2中△ABC固定,将△DEF沿着AC方向平移,边DF与直线PQ相交于点G,作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H(如图3),求∠GHF的度数.
(4)若图2中△DEF固定,(如图4)将△ABC绕点A顺时针旋转,2分钟转半圈,旋转至AC与直线AN首次重合的过程中,当线段BC与△DEF的一条边平行时,请求出旋转的时间.
【思路点拨】
(1)运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论;
(2)如图2,过点E作EK//MN,利用平行线性质即可求得答案;
(3)如图3,分别过点F、H作FL//MN,HR//PQ,运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案;
(4)设旋转时间为t秒,由题意旋转速度为1分钟转半圈,即每秒转1.5°,分三种情况:①当BC//DE时,②当BC//EF时,③当BC//DF时,分别求出旋转角度后,列方程求解即可.
【解题过程】
(1)解:如图1,在△DEF中,∠EDF=90°,∠DFE=30°,∠DEF=60°,
∵ED平分∠PEF,
∴∠PEF=2∠PED=2∠DEF=2×60°=120°,
∵PQ//MN,
∴∠MFE=180°−∠PEF=180°−120°=60°,
∴∠MFD=∠MFE−∠DFE=60°−30°=30°,
∴∠MFD=∠DFE,
∴FD平分∠EFM;
(2)解:如图2,过点E作EK//MN,
∵∠BAC=45°,
∴∠KEA=∠BAC=45°,
∵PQ//MN,EK//MN,
∴PQ//EK,
∴∠PDE=∠DEK=∠DEF−∠KEA,
又∵∠DEF=60°.
∴∠PDE=60°−45°=15°,
故答案为:15°;
(3)解:如图3,分别过点F、H作FL//MN,HR//PQ,
∴∠LFA=∠BAC=45°,∠RHG=∠QGH,
∵FL//MN,HR//PQ,PQ//MN,
∴FL//PQ//HR,
∴∠QGF+∠GFL=180°,∠RHF=∠HFL=∠HFA−∠LFA,
∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H,
∴∠QGH=12∠FGQ,∠HFA=12∠GFA,
∵∠DFE=30°,
∴∠GFA=180°−∠DFE=150°,
∴∠HFA=12∠GFA=75°,
∴∠RHF=∠HFL=∠HFA−∠LFA=75°−45°=30°,
∴∠GFL=∠GFA−∠LFA=150°−45°=105°,
∴∠RHG=∠QGH=12∠FGQ=12(180°−105°)=37.5°,
∴∠GHF=∠RHG+∠RHF=37.5°+30°=67.5°;
(4)解:设旋转时间为t秒,由题意旋转速度为2分钟转半圈,即每秒转1.5°,
分三种情况:
①当BC//DE时,如图5,此时AC//DF,
∴∠CAE=∠DFE=30°,
∴1.5t=30,
解得:t=20;
②当BC//EF时,如图6,
∵BC//EF,
∴∠BAE=∠B=45°,
∴∠BAM=∠BAE+∠EAM=45°+45°=90°,
∴1.5t=90,
解得:t=60;
③当BC//DF时,如图7,延长BC交MN于K,延长DF交MN于R,
∵PQ//MN,∠PDE=15°,∠EDF=90°,
∴∠DRM+(∠PDE+∠EDF)=180°
∴∠DRM=75°,
∵BC//DF,
∴∠BKA=∠DRM=75°,
∵∠ACK=180°−∠ACB=90°,
∴∠CAK=90°−∠BKA=90°−75°=15°,
∴∠CAE=180°−∠EAM−∠CAK=180°−45°−15°=120°,
∴1.5t=120,
解得:t=80.
综上所述:△ABC绕点A顺时针旋转的时间为20s或60s或80s时,线段BC与△DEF的一条边平行.
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