七年级数学下册考点精练专题04 与三角形的高有关的计算

这是一份七年级数学下册考点精练专题04 与三角形的高有关的计算，共24页。
专题04 与三角形的高有关的计算
【例题讲解】
已知中，是边上的高，平分．若，，，则的度数等于（    ）
A． B． C． D．
解：（1）如图1所示：时，
∵CD是AB边上的高，
∴，，
∵，，
∴，∵CE平分，
∴，
在中，，
∴；
（2）如图2所示：时，
∵CD是AB边上的高，
∴，，
∵，，
∴，
∵CE平分，∴，
在中，，
∴；
综合（1）（2）两种情况可得：．故选：D．
【综合演练】
1．如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．

(1)画出的边上的高，垂足为；
(2)求出的面积为_________；
(3)图中，能使的格点，共有_________个．
2．画图并填空：
如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC向下平移2倍，再向右平移3格．
（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；
（2）在图中画出△的A′B′C′的高C′D′（标出点D′的位置）；
（3）如果每个小正方形边长为1，则△A′B′C′的面积=　　　．（答案直接填在题中横线上）

3．如图，在方格纸内将△ABC水平向右平移4个单位得到△A′B′C′．
（1）画出△A′B′C′；
（2）利用网格点和直尺画图：画出AB边上的高线CD；
（3）图中△ABC的面积是 ；
（4）△ABC与△EBC面积相等，点E是异于A点的格点，则这样的E点有 个．

4．如图，在方格纸内将△ABC 水平向右平移 4 个单位得到．

(1)补全，利用网格点和直尺画图；
(2)画出 BC 边上的高线 AD；
(3)若图中△ABE 是△ABC 面积的2倍，在格中描出所有满足条件的格点E， 并记为E1、E2、E3…
5．如图，在正方形网格中有一个，按要求进行作图（只用直尺）

(1)画出将向右平移6格，再向上平移3格后的；
(2)画出中AC边上的高；
(3)直接写出使的面积等于3的格点P（异于点A）有______个．
6．如图，△ABC中，AE是△ABC的角平分线，AD是BC边上的高．
（1）若∠B＝35°，∠C＝75°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B＝m°，∠C＝n°，（m＜n），则∠DAE＝　 　°（直接用m、n表示）．

7．如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．

（1）当AD为边BC上的中线时．若AE=4，△ABC的面积为24，求CD的长；
（2）当AD为∠BAC的角平分线时．
①若∠C =65°，∠B =35°，求∠DAE的度数；
②若∠C-∠B =20°，则∠DAE =　 　°．
8．如图，在中，是高，是角平分线，，．

（）求、和的度数．
（）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当，，则__________．
当，时，则__________．
当，时，则__________．
当，时，则__________．
（）若和的度数改为用字母和来表示，你能找到与和之间的关系吗？请直接写出你发现的结论．
9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，且CF∥AD．

（1）如图1，若△ABC是锐角三角形，∠B=30°，∠ACB=70°，则∠CFE=　 　度；
（2）若图1中的∠B=x，∠ACB=y，则∠CFE=　 　；（用含x、y的代数式表示）
（3）如图2，若△ABC是钝角三角形，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
10．如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝40°，∠C＝70°．
(1)求∠DAE的度数；
(2)如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数．

11．三角板是一种大家熟悉的绘图工具，很多数学题常常以其为背景．请看下面一道题目：已知与是一副三角板，其中，，，．若直线，点A在直线MN上，BC在直线CH上，三角板按照图1所示摆放．

(1)__________；
(2)固定不动，将沿直线AB平移．
①如图2，连接AD、BD得到，在平移的过程中与的大小关系是（    ）
A.    B.    C.    D.不确定
②若的顶点D在MN上，请在图3中补全示意图，并求的度数．


专题04 与三角形的高有关的计算
【例题讲解】
已知中，是边上的高，平分．若，，，则的度数等于（    ）
A． B． C． D．
解：（1）如图1所示：时，
∵CD是AB边上的高，
∴，，
∵，，
∴，∵CE平分，
∴，
在中，，
∴；
（2）如图2所示：时，
∵CD是AB边上的高，
∴，，
∵，，
∴，
∵CE平分，∴，
在中，，
∴；
综合（1）（2）两种情况可得：．故选：D．


【综合演练】
1．如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．

(1)画出的边上的高，垂足为；
(2)求出的面积为_________；
(3)图中，能使的格点，共有_________个．
【答案】(1)画图见解析
(2)8
(3)7

【分析】（1）根据三角形高的定义作图即可；
（2）用△ABC所在的长方形面积减去周围3个三角形面积再减去一个小长方形面积即可得到答案；
（3）利用格点和平行线间间距相等作图求解即可．
（1）
解：如图所示，线段CD即为所求；

（2）
解：，
故答案为：8；
（3）
解：如图所示，满足Q点的格点一共有7个，
故答案为：7；

【点睛】本题主要考查了求三角形面积，平行线的性质，画三角形的高，熟知相关知识是解题的关键．
2．画图并填空：
如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC向下平移2倍，再向右平移3格．
（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；
（2）在图中画出△的A′B′C′的高C′D′（标出点D′的位置）；
（3）如果每个小正方形边长为1，则△A′B′C′的面积=　　　．（答案直接填在题中横线上）

【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据三角形的高的定义作出即可；
（3）根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：（1）如图：

（2）如上图所示：高
（3）的面积=×3×3=
故答案为：．
3．如图，在方格纸内将△ABC水平向右平移4个单位得到△A′B′C′．
（1）画出△A′B′C′；
（2）利用网格点和直尺画图：画出AB边上的高线CD；
（3）图中△ABC的面积是 ；
（4）△ABC与△EBC面积相等，点E是异于A点的格点，则这样的E点有 个．

【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）图中△ABC的面积是8；
（4）这样的E点有3个．
【详解】试题分析: （1）根据网格结构找出点A、B、C向右平移4个单位的对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
(2)根据网格结构与高线的定义作出即可；
(3)根据底×高÷2计算得出.
(4)根据等底等高的三角形的面积相等过点A作BC的平行线，经过的格点即为所求．
试题解析:

(1)如图所示；
(2)高线CD如图所示；
(3)图中△ABC的面积是8；
(4)△ABC与△EBC面积相等，点E是异于A点的格点，格点E如图所示则这样的E点有 3个．
4．如图，在方格纸内将△ABC 水平向右平移 4 个单位得到．

(1)补全，利用网格点和直尺画图；
(2)画出 BC 边上的高线 AD；
(3)若图中△ABE 是△ABC 面积的2倍，在格中描出所有满足条件的格点E， 并记为E1、E2、E3…
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析

【分析】（1）利用平移变换的性质分别做出的对应点即为所求；
（2）根据三角形高的定义画出图形即可；
（3）利用等高模型解决问题即可．
【详解】（1）如图，即为所求；

（2）如图，线段AD即为所求；
（3）如图，由于△ABE 是△ABC 面积的2倍，且△ABE 是△ABC 的底同为AB，可得E1、E2、E3、E4、E5即为所求．
【点睛】本题考查作图—平移变换，三角形的高，三角形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
5．如图，在正方形网格中有一个，按要求进行作图（只用直尺）

(1)画出将向右平移6格，再向上平移3格后的；
(2)画出中AC边上的高；
(3)直接写出使的面积等于3的格点P（异于点A）有______个．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)


【分析】（1）先画出将△ABC的三个顶点向右平移6格，再向上平移3格后的对应点D、E、F，然后顺次连接这三个点即可；
（2）根据格点特点，过点B作出垂直AC的直线即可；
（3）根据，过点A作BC的平行线，此平行线所过的格点，与B、C组成的三角形面积与△ABC的面积相等，即为3，符合要求；在BC右侧，作BC的平行线，且到BC的距离与A到BC的距离相等时，此平行线所过的格点，符合要求．
【详解】（1）解：作出△ABC的三个顶点向右平移6格，再向上平移3格后的对应点D、E、F，然后顺次连接这三个点，即为所求，如图所示：

（2）过点B作出垂直AC的直线，交AC于点H，则BH即为所求，如图所示：

（3）因为，所以过点A作BC的平行线，此平行线所过的格点，与B、C组成的三角形面积与△ABC的面积相等，即为3，符合要求；在BC右侧，作BC的平行线，且到BC的距离与A到BC的距离相等时，此平行线所过的格点，符合要求，如图所示：

根据图可知，符合要求的点共有14个．
故答案为：14．
【点睛】本题考查了作图−平移变换，确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
6．如图，△ABC中，AE是△ABC的角平分线，AD是BC边上的高．
（1）若∠B＝35°，∠C＝75°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B＝m°，∠C＝n°，（m＜n），则∠DAE＝　 　°（直接用m、n表示）．

【答案】（1）20°；（2）
【分析】（1）根据∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC，求出∠EAC，∠DAC即可．
（2）计算方法与（1）相同．
【详解】解：（1）∵∠B＝35°，∠C＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣35°﹣75°＝70°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠CAB＝35°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣75°＝15°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝35°﹣15°＝20°．
（2）∵∠B＝m°，∠C＝n°，
∴∠BAC＝180°﹣m°﹣n°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠CAB＝90°﹣（m）°﹣（n）°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣n°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝（n﹣m）°，
故答案为：（n﹣m）．
【点睛】本题考查三角形内角和定理角平分线的定义，三角形的高的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．

（1）当AD为边BC上的中线时．若AE=4，△ABC的面积为24，求CD的长；
（2）当AD为∠BAC的角平分线时．
①若∠C =65°，∠B =35°，求∠DAE的度数；
②若∠C-∠B =20°，则∠DAE =　 　°．
【答案】（1）6 ；（2）①15°；②10．
【分析】（1）利用三角形的面积公式求出BC即可解决问题；
（2）①根据三角形内角和求出∠BAC和∠CAE的度数，然后根据角平分线的定义求得∠CAD的度数，从而求解；
②设∠C=x°，则∠B=（x+20）°，然后根据三角形内角和用含x的式子表示出∠BAC和∠CAE的度数，然后根据角平分线的定义求得∠CAD的度数，从而求解．
【详解】解：（1）由题意可知：AE⊥BC，AE=4，△ABC的面积为24，
∴×BC×AE=24，
∴×BC×4=24，
∴BC=12，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BC=6，
（2）①在△ABC中，∠BAC=180°-∠C-∠B =80°，
在△AEC中，∵AE⊥BC
∴∠CAE=180°-90°-∠C=25°
∵AD为∠BAC的角平分线
∴∠CAD=
∴∠DAE的度数为∠CAD -∠CAE =15°
②设∠C=x°，则∠B=（x+20）°
在△ABC中，∠BAC=180°-∠C-∠B =（160-2x）°，
在△AEC中，∵AE⊥BC
∴∠CAE=180°-90°-∠C=（90-x）°
∵AD为∠BAC的角平分线
∴∠CAD=
∴∠DAE的度数为∠CAE- ∠CAD =10°
故答案为：10．
【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中基础题．
8．如图，在中，是高，是角平分线，，．

（）求、和的度数．
（）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当，，则__________．
当，时，则__________．
当，时，则__________．
当，时，则__________．
（）若和的度数改为用字母和来表示，你能找到与和之间的关系吗？请直接写出你发现的结论．
【答案】（1）30°，70°，20°；（2）15°，5°，0°，5°；（3）当时，；当时，．
【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出和的度数，进而可求和的度数；
（2）先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出和的度数，则前三问利用即可得出答案，第4问利用即可得出答案；
（3）按照（2）的方法，将相应的数换成字母即可得出答案．
【详解】（1）∵，，
∴ ．
∵平分，
∴．
∵是高，
，
，
，
．
（2）当，时，
∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∵是高，
，
，
；
当，时，
∵，，
∴ ．
∵平分，
∴．
∵是高，
，
，
；
当，时，
∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∵是高，
，
，
；
当，时，
∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∵是高，
，
，
．
（3）当 时，即时，
∵，，
∴ ．
∵平分，
∴．
∵是高，
，
，
；
当 时，即时，
∵，，
∴ ．
∵平分，
∴．
∵是高，
，
，
；
综上所述，当时，；当时，．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形的角平分线，高，掌握三角形内角和定理和直角三角形两锐角互余是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，且CF∥AD．

（1）如图1，若△ABC是锐角三角形，∠B=30°，∠ACB=70°，则∠CFE=　 　度；
（2）若图1中的∠B=x，∠ACB=y，则∠CFE=　 　；（用含x、y的代数式表示）
（3）如图2，若△ABC是钝角三角形，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
【答案】（1）20；（2）y﹣x；（3）（2）中的结论成立．
【分析】（1）求∠CFE的度数，求出∠DAE的度数即可，只要求出∠BAE-∠BAD的度数，由平分和垂直易得∠BAE和∠BAD的度数即可；
（2）由（1）类推得出答案即可；
（3）类比以上思路，把问题转换为∠CFE=90°-∠ECF解决问题．
【详解】解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°
∴∠BAE=60°
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=60°﹣40°=20°，
∵CF∥AD，
∴∠CFE=∠DAE=20°；
故答案为20；
（2）∵∠BAE=90°﹣∠B，∠BAD=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠BCA），
∴∠CFE=∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=90°﹣∠B﹣（180°﹣∠B﹣∠BCA）=（∠BCA﹣∠B）=y﹣x．
故答案为 y﹣x；
（3）（2）中的结论成立．
∵∠B=x，∠ACB=y，
∴∠BAC=180°﹣x﹣y，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠BAC=90°﹣x﹣y，
∵CF∥AD，
∴∠ACF=∠DAC=90°﹣x﹣y，
∴∠BCF=y+90°﹣x﹣y=90°﹣x+y，
∴∠ECF=180°﹣∠BCF=90°+x﹣y，
∵AE⊥BC，
∴∠FEC=90°，
∴∠CFE=90°﹣∠ECF=y﹣x．

【点睛】本题考查的知识点是三角形内角和定理及三角形的外角性质，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质.
10．如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝40°，∠C＝70°．
(1)求∠DAE的度数；
(2)如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数．

【答案】（1）∠DAE=15°；（2）∠DFE＝15°
【分析】（1）求出∠ADE的度数，利用∠DAE=90°-∠ADE即可求出∠DAE的度数．
（2）求出∠ADE的度数，利用∠DFE=90°-∠ADE即可求出∠DAE的度数．
【详解】（1）∵∠B＝40°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝70°
∵CF平分∠DCE，
∴∠BAD＝∠CAD＝35°
∴∠ADE＝∠B＋∠BAD＝75°
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DAE＝90°－∠ADE＝15°．
（2）同（1），可得∠ADE＝75°
∵FE⊥BC，
∴∠FEB＝90°，
∴∠DFE＝90°－∠ADE＝15°
11．三角板是一种大家熟悉的绘图工具，很多数学题常常以其为背景．请看下面一道题目：已知与是一副三角板，其中，，，．若直线，点A在直线MN上，BC在直线CH上，三角板按照图1所示摆放．

(1)__________；
(2)固定不动，将沿直线AB平移．
①如图2，连接AD、BD得到，在平移的过程中与的大小关系是（    ）
A.    B.    C.    D.不确定
②若的顶点D在MN上，请在图3中补全示意图，并求的度数．
【答案】(1)15
(2)①B；②15°

【分析】（1）先求出，再根据，得出，根据，即可得出答案；
（2）①根据平移特点得出点D到直线AB的距离不变，再根据，即可得出答案；
②根据解析（1）先求出，再根据三角形的外角即可求出结果．
（1）
解：∵， ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：15．
（2）
解：①∵将沿直线AB平移，
∴在平移过程中，点D到直线AB的距离不变，设距离为h，
∴，，
∵，
∴，故B正确；
故选：B．
②补全示意图，如图所示：

∵根据解析（1）可知，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，三角板中的角度计算，平移的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等，是解题的关键．