七年级数学下册考点精练专题05 与三角形的中线有关的面积问题

这是一份七年级数学下册考点精练专题05 与三角形的中线有关的面积问题，共31页。
专题05 与三角形的中线有关的面积问题
【例题讲解】
已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：

（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积　 　△ACD的面积．（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝y由题意得：S△ABE＝S△ABC＝30，S△ADC＝S△ABC＝30，可列方程组为：，解得　 　，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为　 　．
（3）如图3，AD：DB＝1：3，CE：AE＝1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．
解：（1）如图1，过A作AH⊥BC于H，
∵AD是△ABC的BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴，，
∴S△ABD＝S△ACD，
故答案为：＝；
（2）解方程组得，∴S△AOD＝S△BOD＝10，
∴S四边形ADOB＝S△AOD+S△AOE＝10+10＝20，故答案为：，20；
（3）如图3，连接AO，
∵AD：DB＝1：3，∴S△ADO＝S△BDO，
∵CE：AE＝1：2，∴S△CEO＝S△AEO，
设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝3x，S△AEO＝2y，
由题意得：S△ABE＝S△ABC＝40，S△ADC＝S△ABC＝15，
可列方程组为：，解得：，
∴S四边形ADOE＝S△ADO+S△AEO＝x+2 y＝13．
【综合演练】
1．如图，点D、E在的边上，连接AD、BE交于点F．若，，，则图中两个阴影面积之差即等于（    ）．

A．8 B．4 C．2 D．1
2．如图，已知D、E分别是的边、的中点，是的中线，连接、、，若的面积为40，则阴影部分的面积为（    ）

A．10 B．5 C．8 D．4
3．如图,AD、BE、CF是△ABC三边的中线，若S△ABC=12，则图中的阴影部分的面积是(   )

A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE上的中点，且△ABC的面积为8cm2，则△CEF的面积为（     ）

A．0.5cm2 B．1cm2 C．2cm2 D．4cm2
5．如图，在△ABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，EF=2FC，若△ABC的面积为12 cm2，则△BEF的面积为（    ）

A． B． C． D．
6．如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积是8，则阴影部分的面积为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
7．如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（　　）

A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
8．如图，的面积为1．第一次操作：分别延，，至点，，使，，顺次连接，，得到第二次操作：分别延长，，至点，，使，，顺次连接，，，得到，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过多少次操作（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明

二、填空题(共0分)
9．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为____．

10．设、是边、上的点，线段、交于，已知，，的面积分别为5，9，9，则四边形的面积为___________．

11．如图，△ABC的面积为12，BD＝2DC，AE＝2EC，那么阴影部分的面积是_____．

12．如图，在中，，，，点E是AC的中点，BE、AD交于点F，四边形DCEF的面积的最大值是______．

13．如图，若S△ABC=1分别倍长(延长一倍)AB、BC、CA得到再分别延长得到……，按此规律，延长次后得到的的面积为_________.


三、解答题(共0分)
14．如图，中，，，，．若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒设运动的时间为秒．

(1)当______时，把的周长分成相等的两部分？
(2)当______时，把的面积分成相等的两部分？
(3)当为何值时，的面积为？
15．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度△ABC的顶点都在正方形两格的格点（网格线的交点）上
（1）画出△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的△
（2）画出△ABC的中线AD；
（3）画出△ABC 的AC边上的高BE；（要求只能通过连接格点方式作图）
（4）找△ABP（要求各顶点在格点上，P不与C点重合），使其面积等于△ABC的面积．满足这样条件的点P共 个．

16．已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：
（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积 　 　△ACD的面积（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，CD和BE交于点O．求四边形ADOE的面积可以用如下方法：
连接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，
设S△BDO＝x，S△CEO＝y，则S△ADO＝x，S△AEO＝y，
由题意得：S△ABE＝S△ABC＝　 　，S△ADC＝S△ABC＝　 　，可列方程组为：．解得　 　，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为　 　；
（3）如图3，若点D、点E分别在线段AB和AC上，满足AD：DB＝1：1，CE：AE＝1：2，CD和BE交于点O．请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．

17．【数学经验】三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积．
【经验发展】面积比和线段比的联系：
（1）如图1，M为△ABC的AB上一点，且BM=2AM．若△ABC的面积为a，若△CBM的面积为S，则S=_______(用含a的代数式表示)．
【结论应用】（2）如图2，已知△CDE的面积为1，，，求△ABC的面积．
【迁移应用】（3）如图3．在△ABC中，M是AB的三等分点()，N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积为________．

18．（1）【阅读理解】
如图（1），AD是△ABC的中线，作△ABC的高AH．
∵AD是△ABC的中线
∴BD＝CD
∵S△ABD＝•BD•AH，S△ACD＝CD•AH
∴S△ABD　 　S△ACD（填：＜或＞或＝）
（2）【结论拓展】
△ABC中，D是BC边上一点，若，则＝　 　
（3）【结论应用】
如图（3），请你将△ABC分成4个面积相等的三角形（画出分割线即可）
如图（4），BE是△ABC的中线，F是AB边上一点，连接CF交BE于点O，若，则＝　 　．说明你的理由

专题05 与三角形的中线有关的面积问题
【例题讲解】
已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：

（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积　 　△ACD的面积．（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝y由题意得：S△ABE＝S△ABC＝30，S△ADC＝S△ABC＝30，可列方程组为：，解得　 　，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为　 　．
（3）如图3，AD：DB＝1：3，CE：AE＝1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．
解：（1）如图1，过A作AH⊥BC于H，
∵AD是△ABC的BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴，，
∴S△ABD＝S△ACD，
故答案为：＝；
（2）解方程组得，∴S△AOD＝S△BOD＝10，
∴S四边形ADOB＝S△AOD+S△AOE＝10+10＝20，故答案为：，20；
（3）如图3，连接AO，
∵AD：DB＝1：3，∴S△ADO＝S△BDO，
∵CE：AE＝1：2，∴S△CEO＝S△AEO，
设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝3x，S△AEO＝2y，
由题意得：S△ABE＝S△ABC＝40，S△ADC＝S△ABC＝15，
可列方程组为：，解得：，
∴S四边形ADOE＝S△ADO+S△AEO＝x+2 y＝13．
【综合演练】
1．如图，点D、E在的边上，连接AD、BE交于点F．若，，，则图中两个阴影面积之差即等于（    ）．

A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【分析】利用，，求出，再利用求出，再根据，即可求出．
【详解】解：∵，．
∴．
∵．
∴，．
∵．
∴．
故选：B
【点睛】本题考查利用中线求三角形面积，解题的关键是找出．
2．如图，已知D、E分别是的边、的中点，是的中线，连接、、，若的面积为40，则阴影部分的面积为（    ）

A．10 B．5 C．8 D．4
【答案】B
【分析】连接DE，如图，先判断DG为△BCE的中位线，则DG∥AC，根据平行线之间的距离和三角形面积公式得到S△ADG=S△EDG，然后利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，再根据三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：连接DE，如图，

∵D为BC的中点，G为BE的中点，
∴DG为△BCE的中位线，
∴DG∥AC，
∴S△ADG=S△EDG，
∵E点为AC的中点，
∴S△BCE=S△ABC=×40=20，
∵D点为BC的中点，
∴S△BDE=S△EBC=×20=10，
∵G点为BE的中点，
∴S△EDG=S△BDE=×10=5．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S=×底×高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．也考查了三角形中位线性质．
3．如图,AD、BE、CF是△ABC三边的中线，若S△ABC=12，则图中的阴影部分的面积是(   )

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】先根据三角形中线的定义可得，，，，，设，则，，再根据建立方程可求出的值，由此即可得出答案．
【详解】解：是三边的中线，且，
，
同理可得：，，
，，
设，则，
，，
，
，
解得，
则图中的阴影部分的面积是，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中线，熟练掌握三角形中线与三角形面积的关系是解题关键．
4．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE上的中点，且△ABC的面积为8cm2，则△CEF的面积为（     ）

A．0.5cm2 B．1cm2 C．2cm2 D．4cm2
【答案】C
【分析】由点D为BC的中点，根据等高的两三角形面积的比等于底边的比得到S△ADC=S△ABC，S△EDC=S△EBC，同理由点E为AD的中点得到S△EDC=S△ADC，则S△EBC=2S△EDC=S△ABC，然后利用F点为BE的中点得到S△CEF=S△EBC=×S△ABC，再把△ABC的面积为8cm2代入计算即可．
【详解】解：如图，

∵点D为BC的中点，
∴S△ADC=S△ABC，S△EDC=S△EBC，
∵点E为AD的中点，
∴S△EDC=S△ADC，
∴S△EDC=S△ABC，
∴S△EBC=2S△EDC=S△ABC，
∵F点为BE的中点，
∴S△CEF=S△EBC=×S△ABC=××8=2（cm2）．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形面积：三角形面积等于底边与底边上的高的积的一半；等底等高的两三角形面积相等，等高的两三角形面积的比等于底边的比．
5．如图，在△ABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，EF=2FC，若△ABC的面积为12 cm2，则△BEF的面积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由点D是BC的中点，可得△ABD的面积=△ACD的面积=△ABC，由E是AD的中点，得出△ABE的面积=△D BE的面积=△ABC的面积，进而得出△BCE的面积=△ABC的面积，再利用EF=2FC，求出△BEF的面积.
【详解】点D是BC的中点，△ABD的面积=△ACD的面积=△ABC的面积= 6，
E是AD的中点，△ABE的面积=△DBE的面积=△ABC的面积= 3，
△ACE的面积=△DCE的面积=△ABC的面积= 3，
△BCE的面积=△ABC的面积= 6,
EF= 2FC，△BEF的面积=6=4.
故选C
【点睛】利用三角形中线将三角形分为两个面积相等的三角形这一性质，即可求解.
6．如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积是8，则阴影部分的面积为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可．
【详解】∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD=S△ACD=S△ABC，
∵点E是AD的中点，
∴S△ABE=S△ADE=S△ABD，S△CDE=S△CAE=S△ACD，
∵S△ABE=S△ABC，S△CDE=S△ABC，
∴S△ABE+S△CDE=S△ABC=×8=4；
∴阴影部分的面积为4，
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此题难度不大．
7．如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（　　）

A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
【答案】A
【详解】∵点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，
∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，AF是△ABE的中线，AG是△ACE的中线，
∴△AEF的面积=×△ABE的面积=×△ABD的面积=×△ABC的面积=，
同理可得△AEG的面积=，
△BCE的面积=×△ABC的面积=6，
又∵FG是△BCE的中位线，
∴△EFG的面积=×△BCE的面积=，
∴△AFG的面积=△AEF的面积+△AEG的面积+△EFG的面积=×3=4.5，
故选：A．
8．如图，的面积为1．第一次操作：分别延，，至点，，使，，顺次连接，，得到第二次操作：分别延长，，至点，，使，，顺次连接，，，得到，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过多少次操作（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】结合题意根据三角形的面积公式可知如果两个三角形等底同高，则它们面积相等，从而推出S△ABC＝S△A1BC，S△A1BC＝S△A1B1C，，进而得到S△A1B1C1＝S△A1B1B＋S△A1C1A＋S△B1C1C＋S△ABC＝7S△ABC，再以此类推进行求解即可．
【详解】解：如图，连接A1C，

∵AB＝A1B，S△ABC＝1
∴S△ABC＝S△A1BC，
∵BC＝B1C，
∴S△A1BC＝S△A1B1C，
∴S△A1B1B＝2S△ABC＝2，
同理，S△A1C1A＝2S△ABC，S△B1C1C＝2S△ABC，
∴S△A1B1C1＝S△A1B1B＋S△A1C1A＋S△B1C1C＋S△ABC＝7S△ABC＝7，
同理可得，第二次操作后S△A2B2C2＝7S△A1B1C1＝7×7＝49，
第三次操作后的面积为7×49＝343，
第四次操作后的面积为7×343＝2401，
故按此规律，要使到的三角形的面积超过2021，至少要经过4次操作．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的面积，解题的关键是根据三角形边的关系推出其面积的关系，从而结合图形进行求解．
9．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为____．

【答案】1
【分析】根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形得出，，进而求得，然后代入数据进行计算求解即可
【详解】解：∵点D、E分别是边BC、AD的中点
∴，
，
∴

∵点F是CE的中点




故答案为：1
【点睛】本题考查了三角形中线的性质和三角形面积的应用，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
10．设、是边、上的点，线段、交于，已知，，的面积分别为5，9，9，则四边形的面积为___________．

【答案】40
【分析】连接AD，设S△ADF＝x，S△ADE＝y，根据三角形的面积与三角形底边成比例，进而求出四边形AEDF的面积．
【详解】解：连接AD，如下图所示：

设S△ADF＝x，S△ADE＝y，
则＝＝＝，
＝＝＝，
解得x＝17.5，y＝22.5，
故四边形AEDF的面积＝x＋y＝17.5＋22.5＝40．
故答案为：40．
【点睛】本题主要考查三角形的面积的知识点，根据等高的三角形的面积与底边成比例进行解答，此题需要同学们熟练掌握．
11．如图，△ABC的面积为12，BD＝2DC，AE＝2EC，那么阴影部分的面积是_____．

【答案】2
【分析】连接CF，根据BD=2DC，AE=2EC可设△DFC的面积为x，△EFC的面积为y，则△BFD的面积为2x，△AEF的面积为y，再列出关于x、y的方程，求出x+y的值即可．
【详解】
解：连接CF，
∵BD=2DC，AE=2EC，
∴设△DFC的面积为x，△EFC的面积为y，则△BFD的面积为2x，△AEF的面积为2y，
∵△BEC的面积=S△ABC=4，
∴3x+y=4 ①，
∵△ADC的面积=S△ABC=4，
∴x+3y=4 ②
①+②，可得4x+4y=8．
∴x+y=2．
故答案为2
【点睛】本题考查的是三角形的面积，解题的关键是正确作出辅助线，利用三角形面积的性质求解．
12．如图，在中，，，，点E是AC的中点，BE、AD交于点F，四边形DCEF的面积的最大值是______．

【答案】
【分析】如图，连接CF，设S△BFD=a，根据，点E是AC的中点可分别表示出S四边形DCEF与S△ABC，根据AB⊥AC时S△ABC最大，即可得答案．
【详解】解：如图，连接CF，设S△BFD=a，
∵，点E是AC的中点，
∴S△CDF=3S△BDF=3a，S△BCE=S△BAE，S△CFE=S△AFE，
∴S△ABF=S△CBF=S△BDF+S△CDF=4a，
∴S△ABD=S△ABF+S△BDF=5a，
∴S△ADC=3S△ABD=15a，
∴S△ABC=S△ABD+S△ADC=20a，S△CFE=（S△ADC-S△CDF）=6a，
∴S四边形DCEF=S△CDF+S△CFE=9a，
∴S四边形DCEF=S△ABC，
∵AB=6，AC=8，
∴AC边上的高的最大值为6，
∴AB⊥AC时S△ABC最大，即S四边形DCEF的值最大，
∴S四边形DCEF的最大值=S△ABC=××6×8=，

故答案为：.
【点睛】本题考查三角形的面积及中线的性质，等高的三角形面积比等于它们的底边的比；三角形的中线把三角形分成两个面积相等的两个三角形；熟练掌握相关性质是解题关键．
13．如图，若S△ABC=1分别倍长(延长一倍)AB、BC、CA得到再分别延长得到……，按此规律，延长次后得到的的面积为_________.

【答案】
【分析】先根据图形特征找出延长各边后得到的三角形的面积是原三角形的面积的倍数的规律，再利用发现的规律求延长第n次后的面积．
【详解】△AA1C=3△ABC=3，
△AA1C1=2△AA1C=6，
所以△A1B1C1=6×3+1=19；
同理得△A2B2C2=19×19=361；
△A3B3C3=361×19=6859，
△A4B4C4=6859×19=130321，
△A5B5C5=130321×19=2476099，
从中可以得出一个规律，延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍，
所以延长第n次后，得到△AnBnCn，
则其面积为，
故答案为：
【点睛】本题考查图形的变化规律及三角形中线的性质，解题的关键是仔细分析所给图形的特征得到规律，再把这个规律应用于解题．

14．如图，中，，，，．若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒设运动的时间为秒．

(1)当______时，把的周长分成相等的两部分？
(2)当______时，把的面积分成相等的两部分？
(3)当为何值时，的面积为？
【答案】(1)6
(2)6.5
(3)当t为2或6.5时，的面积为

【分析】（1）先根据CP把的周长分成相等的两部分可知，此时点P在边AB上，再根据线段的和与动点的速度列出方程求解即可；
（2）先根据三角形的中线的性质确定点P的位置，从而可得AP的长，再根据线段的和差求出的长，由此即可得出答案；
（3）分点P在边AC上和点P在边AB上两种情况，然后分别利用三角形的面积公式列出等式求解即可．
【详解】（1）解：在中，
，
的周长为，
∴当CP把的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时．

∵运动速度为每秒2cm，

解得
故当t为6时，CP把的周长分成相等的两部分．

（2）解：∵当点P在AB中点时，CP把的面积分成相等的两部分，此时AP==5cm
∴，

解得，
故当t为6.5时，CP把的面积分成相等的两部分．
（3）解：分两种情况：
当点P在AC上时，
，




解得；
当点P在AB上时，
，
，
∴点P为AB的中点，

解得．
当t为2或6.5时，的面积为．
【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差、三角形的面积公式等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
15．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度△ABC的顶点都在正方形两格的格点（网格线的交点）上
（1）画出△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的△
（2）画出△ABC的中线AD；
（3）画出△ABC 的AC边上的高BE；（要求只能通过连接格点方式作图）
（4）找△ABP（要求各顶点在格点上，P不与C点重合），使其面积等于△ABC的面积．满足这样条件的点P共 个．

【答案】（1）见解析；（2）见解析部（3）见解析；（4）4
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）取BC的中点，连接AD即可．
（3）取格点M，作直线BM交AC于点E，直线BE即为所求．
（4）利用等高模型解决问题即可．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1；即为所求．
（2）如图，线段AD即为所求．
（3）如图，线段BE即为所求．
（4）满足条件的点P有4个，如图所示．
故答案为4．

【点睛】本题考查作图-平移变换，三角形的中线，高，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：
（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积 　 　△ACD的面积（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，CD和BE交于点O．求四边形ADOE的面积可以用如下方法：
连接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，
设S△BDO＝x，S△CEO＝y，则S△ADO＝x，S△AEO＝y，
由题意得：S△ABE＝S△ABC＝　 　，S△ADC＝S△ABC＝　 　，可列方程组为：．解得　 　，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为　 　；
（3）如图3，若点D、点E分别在线段AB和AC上，满足AD：DB＝1：1，CE：AE＝1：2，CD和BE交于点O．请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．

【答案】（1）＝；（2）30；30；；20；（3）25，理由见解析
【分析】（1）利用三角形的面积公式计算即可得出结论；
（2）利用题干所给解答方法解答即可；
（3）连接AO，利用（2）中的方法，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝2y，利用已知条件列出方程组，解方程组即可得出结论．
【详解】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，如图1，
∵AD是△ABC的BC边上的中线，
∴BD＝DC．
∵，
∴S△ABD＝S△ACD．
故答案为：＝．

（2）连接AO，如图2，
∵AD＝DB，
由（1）得：S△ADO＝S△BDO，
同理：S△CEO＝S△AEO，
设S△BDO＝x，S△CEO＝y，则S△ADO＝x，S△AEO＝y，
∵CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，
∴S△ABE＝S△BEC＝S△ABC＝30，S△ADC＝S△BDC＝S△ABC＝30，
∵S△ABE＝S△BDC+S四边形ADOE，S△ADC＝S△CEO+S四边形ADOE，
∴可列方程组为：
解得：
∴四边形ADOE的面积为：x+y＝20．
故答案为：30；30；；20；

（3）连接AO，如图3，

∵AD：DB＝1：1，
∴AD＝DB．
由（1）知：S△ADO＝S△BDO，
∵CE：AE＝1：2，
∴AE＝2CE．
∴
设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝2y，
∵AE＝2CE，
∴
∵AD＝BD，
∴
∵S△ABE＝S△BDO+S四边形ADOE，S△ACD＝S△CEO+S四边形ADOE，
∴可列方程组：
解得：
∴S四边形ADOE＝S△ADO+S△AEO＝x+2y＝25．
【点睛】本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，列二元一次方程组解决几何问题，等高三角形的面积的比等于底的比，熟练掌握这个结论是解题的关键．
17．【数学经验】三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积．
【经验发展】面积比和线段比的联系：
（1）如图1，M为△ABC的AB上一点，且BM=2AM．若△ABC的面积为a，若△CBM的面积为S，则S=_______(用含a的代数式表示)．
【结论应用】（2）如图2，已知△CDE的面积为1，，，求△ABC的面积．
【迁移应用】（3）如图3．在△ABC中，M是AB的三等分点()，N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积为________．

【答案】（1）a（2）12（3）
【分析】（1）根据三角形的面积公式及比例特点即可求解；
（2）连接AE，先求出△ACE的面积，再得到△ABC的面积即可；
（3）连接BD，设△ADM的面积为a，则△BDM的面积为2a,设△CDN的面积为b，则△BDN的面积为b，根据图形的特点列出方程组求出a,b,故可求解．
【详解】（1）设△ABC中BC边长的高为h，
∵BM=2AM．
∴BM=AB
∴S=BM×h=×AB×h=S△ABC=a
故答案为：a；
（2）如图2，连接AE，
∵
∴CD=AC
∴S△DCE=S△ACE =1
∴S△ACE =4，
∵
∴CE=CB
∴S△ACE=S△ABC =4
∴S△ABC=12；
（3）如图3，连接BD，设△ADM的面积为a，
∵
∴BM=2AM,BM=AB，
∴S△BDM=2S△ABM=2a, S△BCM=S△ABC=
设△CDN的面积为b，
∵N是BC的中点，
∴S△CDN=S△BDN=b，S△ABN=S△ABC=
∴，解得
∴四边形BMDN的面积为2a+b=
故答案为．

【点睛】此题主要考查三角形面积公式的应用，解题的关键是根据题意找到面积的之间的关系．
18．（1）【阅读理解】
如图（1），AD是△ABC的中线，作△ABC的高AH．
∵AD是△ABC的中线
∴BD＝CD
∵S△ABD＝•BD•AH，S△ACD＝CD•AH
∴S△ABD　 　S△ACD（填：＜或＞或＝）
（2）【结论拓展】
△ABC中，D是BC边上一点，若，则＝　 　
（3）【结论应用】
如图（3），请你将△ABC分成4个面积相等的三角形（画出分割线即可）
如图（4），BE是△ABC的中线，F是AB边上一点，连接CF交BE于点O，若，则＝　 　．说明你的理由
【答案】（1）＝；（2）;（3）3．
【分析】（1）结合中线的定义，根据等底同高的两个三角形面积相等可得结论；
（2）同理计算两三角形面积，并计算比值可得结论；
（3）根据三角形中线、中位线的性质可以解决分成4个面积相等的三角形问题．
如图4，连接AO，先根据三角形的中线平分三角形的面积得：S△ABE=S△CBE，S△AOE=S△COE，由差可得S△ABO=S△CBO，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得结论．
【详解】解：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵S△ABD＝•BD•AH，S△ACD＝CD•AH
∴S△ABD＝S△ACD，
故答案为＝；
（2）如图2，过A作AH⊥BC于H，

∵S△ABD＝•BD•AH，S△ACD＝CD•AH，
，
故答案为；
（3）如下图：
将△ABC的面积四等分的方法如图所示，（方法见图中说明）

如图4，结论：＝3；
理由是：如图4，连接AO，

∵BE是△ABC的中线，
∴S△ABE＝S△CBE，S△AOE＝S△COE，
∴S△ABO＝S△CBO，
∵，
∴，
设S△BFO＝x，则S△AFO＝2x，S△CBO＝3x，
，
．
故答案为3．
【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了三角形的中线，以及三角形的面积，关键是掌握三角形的中线可以平分三角形的面积．