七年级数学下册考点精练专题07 平行与旋转问题

这是一份七年级数学下册考点精练专题07 平行与旋转问题，共39页。

专题07 平行与旋转问题
【模型讲解】
如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起：如图2，其中∠ACB=30°，∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE=ɑ（0°＜ɑ＜180°）
(1)当ɑ为________度时，.
(2)当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，求出时间t的所有值.
解：（1）当α=15°时，，如图：



故答案为15；
（2）①当ADBC时，α=15°，t=3；②当DEAB时，α=45°，t=9；
③当DEBC时，α=105°，t=21；④当DEAC时，α=135°，t=27；
⑤当AEBC时，α=150°，t=30；
综上，t=3或9或21或27或30．









【模型演练】
1．如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条按图所示方向旋转的度数至少是 __．

2．如图，已知，点A，B分别在MN，PQ上，射线AC自射线AN的位置开始，以每秒4°的速度绕点A逆时针旋转至AM便立即顺时针回转当和AN重合时停止运动，射线BD自射线BP的位置开始，以每秒1°的速度绕点B逆时针旋转至BQ后停止运动．若射线BD先转动30秒，射线AC才开始转动，当射线AC与BD互相平行时，射线BD的旋转时间为______秒．

3．如图，，点，分别是，上的一点，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒度，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒度，旋转至与重合便立即回转，当射线旋转至与重合时，与都停止转动．若射线先转动秒，射线才开始转动，则射线转动__________秒后，与平行．

4．有一道题目“一副直角三角尺如图所示叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动180°，在旋转的过程中，当三角尺ABC的边BC与三角尺ADE的边平行时，求∠BAD．”嘉嘉的结果是∠BAD为60°或105°；淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠BAD还有另一个不同的值．”下列判断正确的是（    ）

A．淇洪说的对，且∠BAD的另一个值为15°
B．嘉嘉的结果完全正确
C．嘉嘉求的结果不对，∠BAD为30°或105°
D．两人都不对，∠BAD应5有个不同的值
5．两块不同的三角板按如图1所示摆放，边重合，，．接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点C按顺时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间______________秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．


6．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒，灯转动的速度是每秒．假定主道路是平行的，即，且．

(1)填空：______；
(2)若灯射线先转动秒，灯A射线才开始转动，在灯射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点，且，则在灯射线到达之前，转动的时间为______秒．
7．长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图1），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，连结，且．灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是1度/秒，灯转动的速度是3度/秒．

(1)若两灯同时转动，在灯射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点．
①如图1，当两灯光线同时转动50秒时，求的度数．
②如图2，过作交于点，则在转动过程中，求与的比值，并说明理由．
(2)若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线第一次转到之前，灯转动几秒，两灯的光线互相平行？
8．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了，两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．

(1)若，求的大小；
(2)作交于点，且满足，当时，试说明：；
(3)在（1）问的条件下，探照灯、照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒度的速度逆时针转动，光线转至射线后立即以相同速度顺时针回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当光线回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，为何值时光线与光线互相平行或垂直，请直接写出的值．
9．如图1，将一副直角三角板放在同一条直线 AB上，它们的一边分别与直线AB重合，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°，将图1中的三角板OMN绕点O按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转．（0°＜＜180°）．

(1)当∠AOM＝105°时，求旋转角的度数．
(2)当两块三角板中至少有一组边互相平行时，求旋转的时间．
(3)将图1中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转得到图2，MN与CD相交于点E，若∠CEN=时，试探究的数量关系，并直接写出结论．
10．如图，在△ABC中，点D、E是边BC上两点，点F是边AB上一点，将△ADC沿AD折叠得到△ADG，DG交AB于点H；将△EFB沿EF折叠得到△EFH．

(1)如图1，当点G与点H重合时，请说明；
(2)当点G落在△ABC外，且，
①如图2，请说明；
②如图3，若，将△EFH绕点H顺时针方向旋转一个角度，则在这个旋转过程中，当△EFH的其中一边与△AHG的某一边平行时，直接写出旋转角的度数
11．在平行的两岸河堤即PQMN，各安置了一探照灯A和B，且∠BAN＝45°，如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a，b满足．

(1)求a，b的值；
(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系．
12．如图，已知ABCD，直线MN交AB于点M，交CD于点N．点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MA，NC上，连接PE，QE，PF平分∠MPE，QF平分∠CQE．

（1）如图1，若PE⊥QE，∠EQN＝64°，则∠MPE＝ °，∠PFQ＝ °．
（2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当PE⊥QE时，若∠APE＝150°，∠MND＝110°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H．将直线MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△，当直线MN首次落到CD上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线恰好平行于△的一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．
13．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a-3|+（b-1）2=0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQMN，且∠BAN=45°．

(1)求a、b的值；
(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，= ．
14．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN＝30°．

(1)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；
(2)将图1中的三角尺绕点O按每秒6°的速度绕点O沿顺时针方向旋转一周，OC也以每秒1°的速度绕点O顺时针方向旋转，当三角尺停止运动时，OC也停止运动．
①在旋转的过程中，问运动几秒时，边MN恰好与射线OC平行；
②将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系（直接写出结果）．
15．如图，直线PQMN，一副直角三角板△ABC、△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°．

(1)若△DEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，则∠DFM=　 　．
(2)若图2中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H（如图3），求∠GHF的度数．
(3)若图2中△DEF固定，（如图4）将△ABC绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．（单位必须化成秒）
专题07 平行与旋转问题
【模型讲解】
如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起：如图2，其中∠ACB=30°，∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE=ɑ（0°＜ɑ＜180°）
(1)当ɑ为________度时，.
(2)当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，求出时间t的所有值.
解：（1）当α=15°时，，如图：



故答案为15；
（2）①当ADBC时，α=15°，t=3；②当DEAB时，α=45°，t=9；
③当DEBC时，α=105°，t=21；④当DEAC时，α=135°，t=27；
⑤当AEBC时，α=150°，t=30；
综上，t=3或9或21或27或30．









【模型演练】
1．如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条按图所示方向旋转的度数至少是 __．

【答案】30°
【分析】根据同位角相等，两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．
【详解】解：如图：

∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA//b，即a//b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是80°﹣50°＝30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．
2．如图，已知，点A，B分别在MN，PQ上，射线AC自射线AN的位置开始，以每秒4°的速度绕点A逆时针旋转至AM便立即顺时针回转当和AN重合时停止运动，射线BD自射线BP的位置开始，以每秒1°的速度绕点B逆时针旋转至BQ后停止运动．若射线BD先转动30秒，射线AC才开始转动，当射线AC与BD互相平行时，射线BD的旋转时间为______秒．

【答案】0或40或96或180
【分析】根据题意，设射线BD的旋转时间为秒，则，分六种情况讨论，①t=0时，ACBD；②当0＜t≤30，③当30＜t≤75，④当75＜t≤120，⑤当120 【详解】∵射线AC自射线AN的位置开始，以每秒4°的速度绕点A逆时针旋转至AM便立即顺时针回转当和AN重合时停止运动，
∴射线AC自射线AN的位置旋转至AM，用了（秒），由AM顺时针回转至AN用了（秒），
∵射线BD自射线BP的位置开始，以每秒1°的速度绕点B逆时针旋转至BQ后停止运动，
设射线BD的旋转时间为秒，则，
①∵射线BD先转动30秒，射线AC才开始转动，
∴当t=0时，ACBD；
②当0＜t≤30，射线AC与BD不能互相平行；
③当30＜t≤30＋45即30＜t≤75时，∠CAN=[4(t-30)]°，若射线AC与BD
互相平行，则∠PBD=∠CAN，即t=4(t-30)，
解得：t=40；
④当30＋45＜t≤75＋45即75＜t≤120时，
∠CAN = [180×2-4(t-30)]°=（480-4t）°，
若射线AC与BD互相平行，则∠PBD=∠CAN，即t=480-4t，
解得：t=96；
⑤当120 ⑥当t=180时，ACBD，
综上所述，当射线AC与BD互相平行时，射线BD的旋转时间为0或40或96或180秒．
故答案为：0或40或96或180．
【点睛】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键．
3．如图，，点，分别是，上的一点，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒度，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒度，旋转至与重合便立即回转，当射线旋转至与重合时，与都停止转动．若射线先转动秒，射线才开始转动，则射线转动__________秒后，与平行．

【答案】30或110
【分析】设射线QC转动t秒，两射线互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜90时，根据平行线的性质得出方程，解方程即可求解．
【详解】设QC转动后与AB交于点M，PB转动后与CD交于点N，
当0＜t＜90时，如图1，

∵ABCD，
∴∠BPN=∠PNC，
∵PNMQ，
∴∠CQM=∠PNC，
∴∠CQM=∠BPN  
∴2t=1•（30+t），
解得 t=30；
②当90＜t＜150时，如图2，
∵ABCD，
∴∠BPN+∠PND=180°，
∵PNQM，
∴∠MQD=∠PND
∴∠BPN+∠MQD=180°
∴1•（30+t）+（2t-180）=180，
解得  t=110，
综上所述，射线QC转动30或110秒，两射线互相平行；
故答案为：30或110．
【点睛】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，根据题意分类讨论是解题的关键．
4．有一道题目“一副直角三角尺如图所示叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动180°，在旋转的过程中，当三角尺ABC的边BC与三角尺ADE的边平行时，求∠BAD．”嘉嘉的结果是∠BAD为60°或105°；淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠BAD还有另一个不同的值．”下列判断正确的是（    ）

A．淇洪说的对，且∠BAD的另一个值为15°
B．嘉嘉的结果完全正确
C．嘉嘉求的结果不对，∠BAD为30°或105°
D．两人都不对，∠BAD应5有个不同的值
【答案】A
【分析】分三种情况：若，若，若，由平行线的性质可得出答案．
【详解】解：若，
∴∠CFE=∠E=90°，
又∵∠C=30°，
∴，

∴∠DAB=45°-30°=15°；
若，

；
若，

，
．
综上所述，为或或．
故选：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，正确画出图形是解题的关键．
5．两块不同的三角板按如图1所示摆放，边重合，，．接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点C按顺时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间______________秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．

【答案】2或3或5
【分析】分三种情况：①当AB时，②当AC时，③当AB时，分别根据平行线的性质求出∠的度数，进而解答即可．
【详解】解：分三种情况：
①当AB时，如图：

∴∠＝∠BAC＝45°，
∴15t＝45，
∴t＝3；
②当AC时，如图，

∴∠＝∠＝30°，
∴15t＝30，
∴t＝2；
③当AB时，如图，过点C作CEAB，则CEAB，

∴∠ACE＝∠A，∠＝∠，
∴∠＝∠ACE＋∠＝∠A＋∠＝75°，
∴15t＝75，
∴t＝5．
综上所述，当旋转时间t＝2或3或5秒时，三角板有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行．
故答案为：2或3或5．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
6．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒，灯转动的速度是每秒．假定主道路是平行的，即，且．

(1)填空：______；
(2)若灯射线先转动秒，灯A射线才开始转动，在灯射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点，且，则在灯射线到达之前，转动的时间为______秒．
【答案】(1)60
(2)秒或秒
(3)或

【分析】（1）设，则，根据，可列出关于x的等式，解出x即可求解；
（2）设A灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当时，根据，可得；当时，根据，可得 ；
（3）分类讨论当时和当时，画出图形，分别根据平行线的性质结合题意构建方程解决问题即可．
（1）
设，则，
∵，即，
∴，
∴．
故答案为：60；
（2）
设A灯转动秒，两灯的光束互相平行，
由题意可知，．
当时，如图，

，
．
，
，
．
，
解得 ；
当时，如图，

，
．
，
，
．
∵，
∴，
，
解得  ．
综上所述，当30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）
设灯A射线转动时间为秒，
当时，
过点作，

，
，
，，
，
，，
又，
∴，
解得：，
∴，此时与共线，不符合题意；
当时，同的图可得，
则，
解得：；
如图中，当时，

同可知．
因为此时，
，
解得：．
综上可知，t的值为100或140．
故答案为：100或140．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行公理及推论，一元一次方程的应用．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
7．长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图1），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，连结，且．灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是1度/秒，灯转动的速度是3度/秒．

(1)若两灯同时转动，在灯射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点．
①如图1，当两灯光线同时转动50秒时，求的度数．
②如图2，过作交于点，则在转动过程中，求与的比值，并说明理由．
(2)若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线第一次转到之前，灯转动几秒，两灯的光线互相平行？
【答案】(1)①；②比值为，详见解析
(2)灯转动15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行

【分析】（1）①当转动50秒时，有，即有，根据，即可得解；②过点作，得到，，即有，，根据，可得，再根据，可得，即问题得解；
（2）设A灯转动秒，两灯的光束互相平行，A灯先转动30秒，则AQ转到AP还需要180-30=150（秒）即，①当B射线第一次垂直MN时，用时90÷3=30（秒），此时A射线共计运动30+30=60秒，即，即在灯射线到达之前，先证明，即有：，即可求解；②在灯射线到达之后，回到前，根据①中，同理有：，即有：，即可求解；③在灯射线回到后，第二次到前，由题意得：，即可求解，即问题得解．
（1）
两灯速度为：灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒．
①当转动50秒时，，
∴，
∴，
故答案为：15°；
②比值为：，理由如下，
如图2，过点作，

∵，
∴，
设两灯转动时间为秒，则，，
∴，，
∴，
即，
又∵，
即，
而，
∴
．
∴．
即比值为：；
（2）
两灯速度为：灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒．
设A灯转动秒，两灯的光束互相平行，
A灯先转动30秒，则AQ转到AP还需要180-30=150（秒）
即，
①当B射线第一次垂直MN时，用时90÷3=30（秒），
此时A射线共计运动30+30=60秒，即，
即在灯射线到达之前，如图3所示，

∵，，
∴，，
∴，
∴，
即有：，
解得：（秒）；
②如图4，在灯射线到达之后，回到前，

根据①中，同理有：
∵
即有：，
解得：．
③如图5，在灯射线回到后，第二次到前，

由题意得：
，解得：（舍去）．
综上所述，灯转动15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系，厘清角度之间的关系并注意分类讨论是解答本题的关键．
8．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了，两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．

(1)若，求的大小；
(2)作交于点，且满足，当时，试说明：；
(3)在（1）问的条件下，探照灯、照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒度的速度逆时针转动，光线转至射线后立即以相同速度顺时针回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当光线回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，为何值时光线与光线互相平行或垂直，请直接写出的值．
【答案】(1)110°
(2)见解析
(3)t的值为5s或s或s或20s或s

【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的性质可解；
（2）通过计算，利用内错角相等，两直线平行进行判定即可；
（3）分五种情况画图，列出关于的式子即可解答．
（1）
解：∵，，
，，
，
平分，
，
；
（2）
解: ∵，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴；
（3）
解: ，
当时，则，如图，

∵，
，
，
由题意，，，
，
；
当时，则，如图，

∵，
，
，
，
，
；
当时，则，如图，

∵，
，
，
，
；
当时，则，如图，

由题意，，，
，
∵，
，
，
；
当时，，如图，

，
，
，
．

综上，的值为或或或或
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定定理有：同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，反之亦然．
9．如图1，将一副直角三角板放在同一条直线 AB上，它们的一边分别与直线AB重合，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°，将图1中的三角板OMN绕点O按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转．（0°＜＜180°）．

(1)当∠AOM＝105°时，求旋转角的度数．
(2)当两块三角板中至少有一组边互相平行时，求旋转的时间．
(3)将图1中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转得到图2，MN与CD相交于点E，若∠CEN=时，试探究的数量关系，并直接写出结论．
【答案】(1)15°；
(2)2s或3s或5s或11s；
(3)+=255

【分析】（1）找到旋转角，根据平角的定义即可求解；
（2）分为MNOC、ONCD、MNCD、MNOD和MOCD几种情况讨论，求出旋转角的大小，即可求出旋转时间；
（3）用含的式子表示出∠DON，即可得到∠DOM，根据对顶角相等得到∠DEM=∠CEN=，根据四边形内角和为360°，代入数据整理即可．
（1）
解：如图所示，∠AOM＝105°时，

∠MOB=180°-105°=75°，
∵∠MON=60°，
∴∠BON=75°-60°=15°，
即旋转角为15°；
（2）
如图，

当MNOC时，
∠COM=∠M=90°，
∠BON=180°﹣∠AOM﹣∠MON=30°，
此时t=30÷15=2s；
当ONCD时，
∠BON=∠OCD=45°，  
此时t=45÷15=3s；
当MNCD时，

∴∠D=∠OMN=90°，
∴此时点M在OD上，∠BON=180°﹣∠AOM﹣∠MON=75°，
此时t=75÷15=5s；
如图，设CD与MN相交于点E，

当MNOD时，
∠DEM=∠D=90°，
∴∠DOM=360°﹣∠D﹣∠DEM﹣∠M =90°，
∴四边形DEMO为矩形，
∴MOCD，
∵∠DON=∠DOM﹣∠NOM =90°﹣60°=30°，
∴∠AON=∠COD﹣∠DON =45°﹣30°=15°，
∴∠BON=180°﹣∠AON=165°，
此时t=165÷15=11s；
∴当两块三角板中至少有一组边互相平行时，旋转的时间为2s或3s或5s或11s．
（3）
由图可得，∠BON为旋转角，即∠BON=，
∵∠COD=45°，
∴∠DOB=135°，
∴∠DON=﹣135°，
∵∠MON=60°，
∴∠DOM=60°+﹣135°=﹣75°，
∵∠DEM+∠D +∠DOM +∠M=360°，∠DEM=∠CEN=，
∴+90°+90°+﹣75°=360°，
∴+=255．
【点睛】本题是旋转综合题，考查平行线的性质和四边形内角和，注意数形结合思想的应用．
10．如图，在△ABC中，点D、E是边BC上两点，点F是边AB上一点，将△ADC沿AD折叠得到△ADG，DG交AB于点H；将△EFB沿EF折叠得到△EFH．

(1)如图1，当点G与点H重合时，请说明；
(2)当点G落在△ABC外，且，
①如图2，请说明；
②如图3，若，将△EFH绕点H顺时针方向旋转一个角度，则在这个旋转过程中，当△EFH的其中一边与△AHG的某一边平行时，直接写出旋转角的度数
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②满足条件的旋转角为或或或

【分析】（1）利用翻折变换的性质以及三角形内角和定理证明即可；
（2）①由，可以假设，，证明即可；
②分四种情形：如图中，当时．如图中，当时．如图中，当时．如图中，当时，分别求解即可．
（1）
证明：如图1中，

由翻折变换的性质可知，，，
，，
；
（2）
①证明：如图2中，

，
设，，
，
，
，，
，
，
；
②解：由题意，，
，
，
，
，
，
，
如图中，当时，旋转角．

如图中，当时，旋转角．

如图中，当时，旋转角．

如图中，当时，旋转角，

综上所述，满足条件的旋转角为或或或．
【点睛】本题考查翻折变换，旋转变换，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
11．在平行的两岸河堤即PQMN，各安置了一探照灯A和B，且∠BAN＝45°，如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a，b满足．

(1)求a，b的值；
(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系．
【答案】(1)a＝3，b＝1
(2)当t＝10秒或85秒时，两灯的光束互相平行
(3)2∠BAC＝3∠BCD

【分析】（1）根据，可得a−3＝0，且b −1＝0，进而得出a、b的值；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN之前，②在灯A射线转到AN之后，分别求得t的值即可；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝45°−（180°−3t）＝3t−135°，∠BCD＝90°−∠BCA＝90°−（180°−2t）＝2t−90°，可得∠BAC与∠BCD的数量关系．
（1）
∵，
∴a＝3，b＝1；
（2）
设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜60时，
3t＝（20+t）×1，
解得t＝10；
②当60＜t＜120时，
3t﹣3×60+（20+t）×1＝180°，
解得t＝85；
③当120＜t＜160时，
3t﹣360＝t+20，
解得t＝190＞160，（不合题意）
综上所述，当t＝10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；
（3）
设A灯转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣3t，
∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，
又∵PQMN，
∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，
而∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，
∴∠BAC：∠BCD＝3：2，
即2∠BAC＝3∠BCD．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0．
12．如图，已知ABCD，直线MN交AB于点M，交CD于点N．点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MA，NC上，连接PE，QE，PF平分∠MPE，QF平分∠CQE．

（1）如图1，若PE⊥QE，∠EQN＝64°，则∠MPE＝ °，∠PFQ＝ °．
（2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当PE⊥QE时，若∠APE＝150°，∠MND＝110°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H．将直线MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△，当直线MN首次落到CD上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线恰好平行于△的一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．
【答案】（1）26；135；（2）2∠PFQ-∠PEQ=180°，理由见解析；（3）t=或或．
【分析】（1）延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，设∠MPE=2α，则∠FPE=∠BPE=α，根据ABCD可表示出∠PGQ，进而根据三角形内角和推论表示出∠EQC，进而表示出∠EQH，然后结合△EQH和△PFH内角和得出关系式，进一步得出结果；
（2）类比（1）的方法过程，得出结果；
（3）分为△的三边分别与平行，分别画出图形求解即可．
【详解】解：（1）如图1，

延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，
设∠BPE=2α，则∠FPE=∠BPE=α，
∵AB∥CD，
∴∠PGQ=∠BPE=2α，
∵PE⊥QE，
∴∠QEH=QEG=90°，
∴∠EQC=∠QEG+∠PGQ=90°+2α，
∴∠EQH=∠EQC=45°+α，
∵∠EQN=64°，
∴∠EGQ=26°，
∴∠BPE=26°．
在△EQH和△PFH中，
∵∠HEQ+∠HQE+∠EHQ=180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH=180°，∠PHF=∠EHQ，
∴∠HEQ+∠HQE=∠FPH+∠PFH，
即：90°+45°+α=α+∠PFH，
∴∠PFH=135°，
故答案为：26；135；
（2）2∠PFQ-∠PEQ=180°，理由如下：
如图1，延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，
设∠BPE=2α，则∠FPE=∠BPE=α，
∵ABCD，
∴∠PGQ=∠BPE=2α，
∵∠GEQ=180°-∠PEQ，
∴∠EQC=∠QEG+∠PGQ=180°-∠PEQ+2α，
∴∠HQE=∠EQC=90°+α-∠PEQ，
在△EQH和△PFH中，
∵∠PEQ+∠HQE+∠EHQ=180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH=180°，∠PHF=∠EHQ，
∴∠PEQ+∠HQE=∠FPH+∠PFH，
即：∠PEQ+90°+α-∠PEQ=α+∠PFQ
∴2∠PFQ-∠PEQ=180°；
（3）根据题意，需要分三种情况：

∵∠APE=150°，∴∠BPE=30°，
∵PF平分∠MPE，∴∠FPE=∠BPF=15°，
由（2）得2∠PFQ-∠PEQ=180°，
又∠PEQ=90°，
∴∠PFQ =135°，
∴∠HPF=45°，
∴∠HPB=30°，
由题意得∠=10t，则∠=30+10t，
∠=5t，则∠=110-5t，
设与AB的交点为I，则∠=∠，
如图3（1），当时，
∠=∠=∠，
110-5t=30+10t，
∴t=，
如图3（2），当时，
∠=10t，则∠=30+10t，
∴∠=∠-∠=90-（180-10t-30），
同理∠=∠，
∴90-（180-10t-30）=110-5t，
∴t=，
如图3（3），当时，
∠=10t，则∠=5t-15，
∴∠=∠，
∴110-5t=10t-15，
∴t=，
综上所述：t=或或．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理及其推论，四边形内角和等知识，解决问题的关键是正确分类，并找出相等关系列方程．
13．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a-3|+（b-1）2=0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQMN，且∠BAN=45°．

(1)求a、b的值；
(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，= ．
【答案】(1)a=3，b=1
(2)当x=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行
(3)3：2

【分析】（1）根据非负数的性质即可得答案；
（2）设A灯转动x秒，两灯的光束互相平行．分三种情况讨论：①在灯A射线转动到AN之前，②在灯A射线转动到AN之后，未到AM之前，③在灯A射线转动到AM之后，未到AN之前．分别建立方程求得x的值即可．
（3）设A灯转动x秒，根据∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°，∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，可得∠BAC与∠BCD的关系．
（1）
∵，
又，
∴
∴a=3，b=1．
（2）
设A灯转动x秒，两灯的光束互相平行．
①当0＜x＜60时（60为灯A转到AN需要的时间，单位s），
3x=（20+x）×1，解得：x=10；
②当60＜x＜120时，
3x-60×3+（20+x）×1=180，解得：x=85；
③当120＜x＜160时，
3x-360=x+20，解得：x=190＞160（不合题意，舍去）．
综上所述，当x=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行．
（3）
设A灯转动时间为t秒，
∵∠CAN=180°-3t，
∴∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°，
∵PQMN，
∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°-3t=180°-2t，
而∠ACD=90°，
∴∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，
∴∠BAC：∠BCD=（3t-135°）：（2t-90°）=3：2．
故答案为：3：2．
【点睛】本题考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的运算，解题的关键在于运用分类讨论的数学思想进行求解，特别注意非负数的和为零，则这两个非负数皆为零．
14．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN＝30°．

(1)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；
(2)将图1中的三角尺绕点O按每秒6°的速度绕点O沿顺时针方向旋转一周，OC也以每秒1°的速度绕点O顺时针方向旋转，当三角尺停止运动时，OC也停止运动．
①在旋转的过程中，问运动几秒时，边MN恰好与射线OC平行；
②将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系（直接写出结果）．
【答案】(1)∠CON＝150°
(2)①18s或54s
②5∠AOM=6∠NOC

【分析】（1）根据邻补角的定义求出∠BOC=120°，再根据角平分线的定义求出∠COM，然后根据∠CON=∠COM+90°解答；
（2）①根据∠COM=30°或∠CON=30°时是可以满足MNOC，即（90°+60°-60°）÷（6°-1°）=18s或（180°+60°+30°）÷（6°-1°）=54s．
②设运动的时间为t，则∠AOM=180°-6t=6（30°-t），∠NOC=60°+t-（90°-180°+6t）=5（30°-t），即可得出结论．
（1）
解：∵∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
又∵OM平分∠BOC，
∴∠COM＝∠BOC＝60°，
∴∠CON＝∠COM+90°＝150°；
（2）
解：①∵∠OMN＝30°，
∴∠COM=30°或∠CON=30°时是可以满足MNOC，
即（90°+60°-60°）÷（6°-1°）=18s，
（180°+60°+30°）÷（6°-1°）=54s，
故答案为：18s或54s．
②设运动的时间为t，则
∠AOM=180°-6t=6（30°-t），
∠NOC=60°+t-（90°-180°+6t）=5（30°-t），
故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：5∠AOM=6∠NOC．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，读懂题目信息并熟练掌握各性质是解题的关键，难点在于（2）要分情况讨论．
15．如图，直线PQMN，一副直角三角板△ABC、△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°．

(1)若△DEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，则∠DFM=　 　．
(2)若图2中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H（如图3），求∠GHF的度数．
(3)若图2中△DEF固定，（如图4）将△ABC绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．（单位必须化成秒）
【答案】(1)30°
(2)67.5°
(3)绕点顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时，线段与的一条边平行．

【分析】（1）利用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；
（2）分别过点，作FLMN，HRPQ，利用平行线性质和角平分线定义即可得出答案；
（3）设旋转时间为秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转，分三种情况：①当BCDE时，②当BCEF时，③当BCDF时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可．
（1）
解：∵平分，，
∴，
∵PQMN，，
∴，
，
∴．
故答案为：30°
（2）
解：如图3，分别过点，作FLMN，HRPQ，

∴，，
∵FLMN，HRPQ，PQMN，
∴FLPQHR，，
∴，，
∵，
∴，
∵和的角平分线、相交于点，
∴，
∴，
∴，
∴∠QGF＝180°－∠GFL＝75°，
∴，
∴；
（3）
解：设旋转时间为秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转，
分三种情况：
当BCDE时，如图5，

此时ACDF，
，
，
解得：；
②当BCEF时，如图6，

∵BCEF，
，
，
，
解得：；
③当BCDF时，如图7，

延长交于，延长交于，
，
，
，
，
，
，
解得：，
综上所述，绕点顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时，线段与的一条边平行．
【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键．