七年级数学下册考点精练专题13 幂的逆运算

专题13 幂的逆运算

【类型一  幂的乘法逆运算】

1．已知则=____________.

2．已知则=_______．

3．已知，（为正整数），则______．

4．已知am＝6，an＝2，则am+n的值等于（   ）

A．8 B．3 C．64 D．12

5．计算：的结果是（    ）

A． B． C． D．

6．中学数学中，我们知道加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算，如式子可以变形为，也可以变形为；现把式子表示为，请你用来表示，则（    ）

A． B． C． D．

7．（1）填空: ,， ，…

（2）探索（1）中式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立:

（3）计算: .

8．爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若，且，、都是正整数），则，例如：若，则．小明将这个发现与老师分享，并得到老师确认是正确的，请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的问题：

(1)如果，求x的值；

(2)如果，求x的值．

【幂的乘方的逆运算】

9．若3x+2y﹣2=0，则等于_____．

10．若，则_____.

11．已知，则____.

12．（1）已知2x+4y﹣3＝0，求4x×16y的值．

（2）已知x2m＝2，求（2x3m）2﹣（3xm）2的值．

13．设，，为了比较与的大小，小明想到了如下方法：，即25个16相乘的积；，即25个27相乘的积，显然，现在设，，请你用小明的方法比较与的大小．

14．已知9x＝32y+4，23y＝，求x2019+y2020．

15．(1)已知m＋4n-3=0，求2m16n的值．

(2)已知n为正整数，且x2n＝4，求(x3n)2－2(x2)2n的值．

16．阅读下列材料:

若，则a，b的大小关系是a_____ b (填“<”或“>”).

解:因为，所以，

所以.

解答下列问题:

(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_                

A．同底数幂的乘法      B．同底数幂的除法         C．幂的乘方      D．积的乘方

(2)已知，试比较x与y的大小．

【积的乘方逆运算】

17．计算0.1252021×(-8)2022=________．

18．计算的结果是 ______．

19．计算：__________．

20．计算： =____．

21．（﹣0.25）11×（﹣4）12=​_________

22．已知，求的值．

23．计算：

（1）(0.25)100×4100；

（2）0.24×0.44×12.54．

24．(1)若求的值；

(2)若，则将用含的代数式表示．

【幂的除法逆运算】

25．已知，，则等于______．

26．若，则的值为__．

27．已知，，则的值是_____．

28．已知，，则的值是_________．

29．已知，，求下列各式的值：

(1)；

(2)；

(3)．

30．已知：．

(1)求的值；

(2)求的值．

31．已知，求的值.

32．已知：．

(1)求的值．

(2)求的值．

(3)直接写出字母a、b、c之间的数量关系．

专题13 幂的逆运算

【类型一  幂的乘法逆运算】

1．已知则=____________.

【答案】6

【分析】利用进行计算．

【详解】∵

∴．

故答案为：6．

【点睛】考查了同底数幂乘法计算法则，解题关键是逆向运用进行计算．

2．已知则=_______．

【答案】16；

【详解】分析：根据同底数幂的乘法，可得答案．

详解：am+n=am•an=8×2=16．

    故答案为16．

点睛：本题考查了同底数幂的乘法，能逆用公式是解题的关键．

3．已知，（为正整数），则______．

【答案】72

【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则结合幂的乘方运算法则求出即可．

【详解】∵，，

∴．

故答案为：72．

【点睛】此题主要考查了幂的乘方以及同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题的关键．

4．已知am＝6，an＝2，则am+n的值等于（   ）

A．8 B．3 C．64 D．12

【答案】D

【分析】逆用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可．

【详解】解：∵am＝6，an＝2，

∴，故D正确．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了同底数幂的运算，熟练掌握同底数幂的运算法则，是解题的关键．

5．计算：的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据乘方公式，逆用同底数幂的乘法公式进行计算即可．

【详解】解：

故选：A．

【点睛】本题主要考查了乘方的运算和同底数幂的乘法公式，熟练掌握同底数的乘法公式，是解题的关键．

6．中学数学中，我们知道加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算，如式子可以变形为，也可以变形为；现把式子表示为，请你用来表示，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据观察式子23=8可以变形为3=log28，2=log525也可以变形为52=25，可发现规律，根据同底数幂的乘法，可得答案．

【详解】解：由y=log318，得3y=18,

3x=2，32=9,

32×3x=32+x=18,

3y=18=32+x 所以y=2+x．故选B.

【点睛】本题考查了幂的运算逆运用，解决本题的关键是要理解题意,发现规律.

7．（1）填空: ,， ，…

（2）探索（1）中式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立:

（3）计算: .

【答案】（1）0，1，2；（2）第n个等式为：，（3）

【分析】（1）根据乘方的运算法则计算即可；

（2）根据式子规律可得，然后利用提公因式可以证明这个等式成立；

（3）设题中的表达式为a，再根据同底数幂的乘法得出2a的表达式，相减即可．

【详解】解：（1），，．

故答案为：0，1，2；

（2）第n个等式为：

．

∵右边，右边，

∴左边=右边，

∴；

（3）设．①

则②

由②-①得，

∴．

【点睛】此题主要考查了探寻数列规律问题，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：成立．

8．爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若，且，、都是正整数），则，例如：若，则．小明将这个发现与老师分享，并得到老师确认是正确的，请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的问题：

(1)如果，求x的值；

(2)如果，求x的值．

【答案】(1)x=5

(2)x=2

【分析】（1）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，从而可求解；

（2）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，即可求解．

【详解】（1）因为2×4x×32x=236，

所以2×22x×25x=236，

即21+7x=236，

所以1+7x=36，

解得：x=5；

（2）因为3x+2+3x+1=108，

所以3×3x+1+3x+1=4×27，4×3x+1=4×33，

即3x+1=33，

所以x+1=3，

解得：x=2．

【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．

【幂的乘方的逆运算】

9．若3x+2y﹣2=0，则等于_____．

【答案】4

【分析】将3x+2y﹣2=0化简得3x+2y=2，再利用幂的乘方运算法则将变形得23x+2y，进而得出答案．

【详解】由3x+2y﹣2=0可得：3x+2y=2，

所以=23x+2y=22=4．

故答案为：4．

【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算和同底数幂的乘法运算，熟练应用幂的乘方运算法则是解题关键．

10．若，则_____.

【答案】16.

【分析】利用幂的乘方的运算法则及同底数幂相乘的运算法则把化为，再整体代入计算即可.

【详解】∵，

∴=.

故答案为16.

【点睛】本题考查了幂的乘方的运算法则及同底数幂相乘的运算法则的逆用，利用幂的乘方的运算法则及同底数幂相乘的运算法则把化为是解决问题的关键.

11．已知，则____.

【答案】8

【分析】根据幂的乘方与同底数幂的乘法的逆运算即可解答.

【详解】解：∵

∴，

∴=(23）m4)n=23m+4n=23=8.

故答案为8.

【点睛】本题考查幂的乘方与同底数幂的乘法，解题关键是熟练掌握幂的运算性质.

12．（1）已知2x+4y﹣3＝0，求4x×16y的值．

（2）已知x2m＝2，求（2x3m）2﹣（3xm）2的值．

【答案】（1）8；（2）14．

【分析】（1）先把4x×16y化成同底数幂相乘，再得出指数为3求解即可；

（2）先把（2x3m）2﹣（3xm）2变形为4×（x2m）3﹣9x2m，代入数值计算即可．

【详解】解：（1）由2x+4y﹣3＝0可得2x+4y＝3，

∴4x×16y

＝22x•24y

＝22x+4y

＝23

＝8；

（2）∵x2m＝2，

∴（2x3m）2﹣（3xm）2

＝4x6m﹣9x2m

＝4×（x2m）3﹣9x2m

＝4×23﹣9×2

＝4×8﹣18

＝32﹣18

＝14．

【点睛】本题考查了幂的运算的应用，解题关键是熟练运用幂的运算法则进行变形，整体代入求值．

13．设，，为了比较与的大小，小明想到了如下方法：，即25个16相乘的积；，即25个27相乘的积，显然，现在设，，请你用小明的方法比较与的大小．

【答案】x<y

【分析】根据x=430=（43）10=6410，y=340=（34）10=8110，判断出x、y的大小关系即可．

【详解】解：x=430=（43）10=6410，y=340=（34）10=8110，

∵64<81，

∴6410<8110，

∴x<y．

【点睛】此题主要考查了幂的乘方的逆用，以及有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（am）n=amn（m，n是正整数）．

14．已知9x＝32y+4，23y＝，求x2019+y2020．

【答案】2.

【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形进而得出x，y的值进而得出答案．

【详解】∵23y＝，

∴23y＝2﹣3，

∴3y＝﹣3，

解得：y＝﹣1，

∵9x＝32y+4，

∴32x＝32y+4，

∴2x＝2y+4，

解得：x＝1，

∴x2019+y2020＝1+1＝2．

【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．

15．(1)已知m＋4n-3=0，求2m16n的值．

(2)已知n为正整数，且x2n＝4，求(x3n)2－2(x2)2n的值．

【答案】（1）8；（2）32

【分析】（1）根据幂的运算法则变形后，代入已知即可得到结论；

（2）原式变形后代入计算即可求出值．

【详解】解：（1）∵m＋4n-3=0，

∴m＋4n=3，

2m×16n====8；

（2）原式== =64﹣2×16=64﹣32=32．

【点睛】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

16．阅读下列材料:

若，则a，b的大小关系是a_____ b (填“<”或“>”).

解:因为，所以，

所以.

解答下列问题:

(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_                

A．同底数幂的乘法      B．同底数幂的除法         C．幂的乘方      D．积的乘方

(2)已知，试比较x与y的大小．

【答案】＞ （1）C  （2）

【分析】（1）根据幂的乘方进行解答即可；

（2）根据题目所给的求解方法，进行比较．

【详解】， 所以，

所以a>b，故答案为 >;

(1)上述求解过程中，逆用了幕的乘方，故选C;

(2) ，

，

.

【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，根据题目所给的运算方法进行比较是解题的关键．

【积的乘方逆运算】

17．计算0.1252021×(-8)2022=________．

【答案】8

【分析】先把，再由积的乘方的逆运算运算求解即可

【详解】解：原式

故答案为：8

【点睛】本题考查了积的乘方运算，解题的关键是把表示出来．

18．计算的结果是 ______．

【答案】

【分析】根据代数式的恒等变形及积的乘方运算的逆用，即可求得其结果．

【详解】解：

．

故答案为：．

【点睛】本题考查了代数式的恒等变形及积的乘方运算的逆用，熟练掌握和运用代数式的恒等变形及积的乘方运算的逆运算是解决本题的关键．

19．计算：__________．

【答案】4

【分析】利用同底数幂乘法的逆用以及积的乘方的逆用进一步变形求解即可.

【详解】原式=，

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用以及积的乘方的逆用，熟练掌握相关方法是解题关键.

20．计算： =____．

【答案】3

【分析】根据同底数幂的运算法则和积的乘方的运算法则计算可得．

【详解】解：原式=

=

=1×3

=3，

故答案为：3．

【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握同底数幂的乘法和幂的乘方与积的乘方的运算法则．

21．（﹣0.25）11×（﹣4）12=​_________

【答案】-4

【详解】(-0.25) 11×(-4) 12=(-0.25) 11×(-4) 11 ×（-4）=[(-0.25)×(-4)] 11 ×（-4）=-4，

故答案为-4.

【点睛】本题考查了幂的乘方及积的乘方，属于基础题，关键是掌握运算法则．

22．已知，求的值．

【答案】8

【分析】先把和都化为以2为底数的幂的形式，然后求解．

【详解】解：∵2x+3y-3=0，

∴2x+3y=3，

则

．

【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方的逆用，掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则是解答本题关键．

23．计算：

（1）(0.25)100×4100；

（2）0.24×0.44×12.54．

【答案】（1）1（2）1

【分析】（1）根据积的乘方的逆运算进行计算即可；

（2）根据积的乘方的逆运算进行计算即可．

【详解】解：（1）

=1；

（2）

=1．

【点睛】本题考查积的乘方的逆运算，掌握积的乘方等于各因式分别乘方的逆用是解题关键．

24．(1)若求的值；

(2)若，则将用含的代数式表示．

【答案】(1)128 ；(2)

【分析】（1）利用同底数幂乘法的逆运算进行计算即可；

（2）先对4m+1利用积的乘方的逆运算，再代入进行计算．

【详解】解：(1)

，

 (2)∵，

∴，

∴

【幂的除法逆运算】

25．已知，，则等于______．

【答案】1

【分析】根据同底数幂的除法和幂的乘方法则，即可解答．

【详解】解：=．

故答案为：1．

【点睛】本题考查了同底数幂的除法和幂的乘方，解题的关键是熟记同底数幂的除法公式．

26．若，则的值为__．

【答案】8

【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方的逆运算计算即可．

【详解】解：∵，，

∴=．

故答案为8．

【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂除法的逆运算；熟练掌握运算法则是解题关键．

27．已知，，则的值是_____．

【答案】

【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，和幂的乘方，底数不变，指数相乘，直接变形计算即可.

【详解】由题意可得：.

故答案为：

【点睛】本题考查了同底数幂除法，幂的乘方，熟练掌握同底数幂除法，幂的乘方法则是解决此类题的关键．

28．已知，，则的值是_________．

【答案】

【分析】根据同底数幂的乘除法计算法则进行计算即可．

【详解】解：，

∵，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】此题考查同底数幂的乘除法．同底数幂相乘或相除，底数不变，指数相加或相减．

29．已知，，求下列各式的值：

(1)；

(2)；

(3)．

【答案】(1)15

(2)675

(3)

【分析】（1）先根据同底数幂的乘法进行变形，再代入求出即可；

（2）先根据幂的乘方进行变形，再代入求出即可；

（3）先根据同底数幂的除法进行计算，再根据幂的乘方进行变形，最后代入求出即可．

(1)

(2)

4m×8n=（22）m×（23）n

=（2m）2×（2n）3

=25×27

=675

(3)

2m-2n=2m÷22n

=2m÷（2n）2

=

【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法等知识点，能熟记法则的内容是解此题的关键．

30．已知：．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)25

(2)32

【分析】（1）逆用幂的乘方，把22b变形为(2b)2，把2b=5代入计算即可；

（2）逆用同底数幂相乘和相除法则把变形为2c÷22b×2a，再代入计算即可．

（1）

解：∵2b=5，

∴22b=(2b)2=52=25；

（2）

解：∵2a=10，2c=80，

又由(1)知：22b=25，

∴=2c÷22b×2a

=80÷25×10

=32．

【点睛】本题考查幂的乘方与同底数幂相乘和相除运算法则，熟练掌握幂的乘方与同底数幂相乘和相除运算法则的逆用是解题的关键．

31．已知，求的值.

【答案】m=2

【分析】将变形为以2为底的幂进行比较列出方程计算即可；

【详解】解：∵

又∵

∴

∴

∴

【点睛】本题考查了幂的运算，灵活进行幂之间的转化是解题的关键.

32．已知：．

(1)求的值．

(2)求的值．

(3)直接写出字母a、b、c之间的数量关系．

【答案】(1)9

(2)27

(3)c=2a+b

【分析】（1）根据幂的乘方法则解答即可；

（2）根据同底数幂的乘、除法则进行解答即可；

（3）根据 ，结合幂的乘方，同底数相乘法则即可得出结论．

（1）

解：∵=3，

∴；

（2）

解：∵=3，=8，=72

∴；

（3）

解：∵，

∴，

即c=2a+b．

【点睛】本题考查了同底数的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法等知识，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．