七年级数学下册考点精练专题14 与幂运算有关的规律性问题

这是一份七年级数学下册考点精练专题14 与幂运算有关的规律性问题，共20页。

专题14 与幂运算有关的规律性问题
【例题讲解】
阅读下面的文字回答后面的问题：求的值
解：令①
将等式两边同时乘以5到：②
②-①得：
∴即
问题：求的值；
【答案】
【分析】根据题目解题过程进行求解即可；
【详解】解：令①
将等式两边同时乘以2到：②
②-①得：
∴，即．
【点睛】本题主要考查有理数混合运算的应用，正确理解题意，根据题目方法步骤进行求解是解题的关键．
【综合解答】

1．计算（n为正整数）的结果可以写成（　　）
A．3 B．n C．3n﹣1 D．n•3n
2．为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22011+22012，则2S=2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S=22013﹣1，所以1+22+23+…+22012=22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是(   )
A．52013﹣1 B．52013+1 C． D．
3．代数式（个相加，为正整数）化简的结果是______．
4．通过计算发现：，，……，则______．
5．阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②﹣1的奇数次幂都等于﹣1；③﹣1的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1，试根据以上材料探索使等式（2x+3）x+2016＝1成立的x的值为_____．
6．为了求的值，可令，则，因此，所以，请仿照以上推理计算：的值是 ___________ ．
7．大于的正整数的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如：，，，，若“分裂”后，其中有一个奇数是，则的值是______．
8．观察下列等式的规律，解答下列问题：
①；
②；
③；
（1）按此规律，第n个等式为_______________；（用含n的代数式表示，n为正整数）
（2）按此规律，计算：__________．
9．阅读材料：如果欲求的值，可以按照如下步骤进行：
令‧‧‧‧‧‧①
等式两边同时乘以2，得
‧‧‧‧‧②
由②式减去①式，得
参考以上解答过程可得， ____，其中m为正整数．（结果请用含m的代数式表达）
10．计算7的正整数次幕：，，…．归纳各计算结果中的个位数字规律，可得的个位数字为___________
11．规定两数，之间的一种运算记作，如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：________，________；
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的证明：
设，则，即，
所以，即，
所以．
请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：；
②猜想：________※________（结果化成最简形式）．
12．如果，那么我们规定（a，b）＝c，如：因为，所以（2，8）＝3．
(1)根据上述规定，填空：（3，27）＝ ，（4，1）＝ ，（2，0.25）＝ ；
(2)记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：c－b＝a．
13．（1）阅读并填空：，
，
，
…
＝ （n为正整数）．
（2）计算：① ；
② ．
（3）计算：．
14．观察下列各式：




根据上面各式的规律可得（        ）；
利用规律完成下列问题：
（1）______；
（2）求的值．
15．观察下列各式：
①32－12＝4×2；
②42－22＝4×3；
③52－32＝4×4；
……
（1）探索以上式子的规律，写出第n个等式 （用含n的字母表示）；  
（2）若式子a2－b2＝2020满足以上规律，则a＝ ，b＝ ；  
（3）计算：20＋24＋28＋……＋100．
16．已知下列等式：
①32－12＝8，
②52－32＝16，
③72－52＝24，
…
(1)请仔细观察，写出第5个式子；
(2)根据以上式子的规律，写出第n个式子，并用所学知识说明第n个等式成立．
17．阅读理解并解答：
为了求1+2+22+23+24+…+22009的值．
可令S＝1+2+22+23+24+…+22009
则2S＝2+22+23+24+…+22009+22010
因此2S﹣S＝（2+22+23+24+…+22009+22010）﹣（1+22+23+24+…+22009）＝22010﹣1
所以S＝22010﹣1即1+2+22+23+24+…+22009＝22010﹣1
请依照此法，求：1+5+52+53+54+…+52020的值．
18．（1）填一填
21-20=2( )
22-21=2( )
23-22=2( )
¼
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立；
（3）计算20+21+22+¼+22019．
19．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，类比有理数的乘方，把记作，读作“2的圈3次方”．一般地，把 （）记作，读作“a的圈n次方” ．
【初步探究】
(1)直接写出计算结果：＝　 　；
【深入思考】我们知道，有理数的除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

(2)仿照上面的算式，将运算结果直接写成幂的形式：＝　 　；
(3)将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是 　 　；
(4)计算：．
【拓展延伸】求的值．
为解决上面的数学问题，我们可以运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来．
如计算．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
根据第n次分割图可得等式：＝．

(5)求的值，请你在面积为1的正方形（备用图）上画出分割图，并在图上标注阴影部分面积．


专题14 与幂运算有关的规律性问题
【例题讲解】
阅读下面的文字回答后面的问题：求的值
解：令①
将等式两边同时乘以5到：②
②-①得：
∴即
问题：求的值；
【答案】
【分析】根据题目解题过程进行求解即可；
【详解】解：令①
将等式两边同时乘以2到：②
②-①得：
∴，即．
【点睛】本题主要考查有理数混合运算的应用，正确理解题意，根据题目方法步骤进行求解是解题的关键．
【综合解答】

1．计算（n为正整数）的结果可以写成（　　）
A．3 B．n C．3n﹣1 D．n•3n
【答案】B
【分析】根据乘方的意义即可得到结果．
【详解】解：原式＝＝n．
故选：B．
【点睛】本题考查乘方的意义解题关键是熟练掌握乘方定义和运算法则．
2．为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22011+22012，则2S=2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S=22013﹣1，所以1+22+23+…+22012=22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是(   )
A．52013﹣1 B．52013+1 C． D．
【答案】D
【详解】令S=1+5+5²+5+…+，
则5S=5+5 ²++…++5，
5S−S=−1+5，
4S=5−1，
则S=.
故选D.
3．代数式（个相加，为正整数）化简的结果是______．
【答案】
【分析】根据合并同类项的法则，系数相加，字母和字母的指数不变，乘法是加法的简便运算，然后根据幂的意义得出答案．
【详解】】解：原式=aa.a
=aa+1．
故答案为：aa+1．
【点睛】本题考查了合并同类项的法则，同底数幂乘法，牢记合并同类项的法则是解题的关键．
4．通过计算发现：，，……，则______．
【答案】-2
【分析】根据所给的等式可得：，再利用这一规律进行求解即可．
【详解】解：，
∴，
∴
=
=
=-2，
故答案为：-2．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
5．阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②﹣1的奇数次幂都等于﹣1；③﹣1的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1，试根据以上材料探索使等式（2x+3）x+2016＝1成立的x的值为_____．
【答案】﹣1或﹣2或﹣2016
【分析】根据1的乘方，﹣1的乘方，非零的零次幂，可得答案．
【详解】解：①当2x+3＝1时，解得：x＝﹣1，
此时x+2016＝2015，则（2x+3）x+2016＝12015＝1，
所以x＝﹣1．
②当2x+3＝﹣1时，解得：x＝﹣2，此时x+2016＝2014，
则（2x+3）x+2016＝（﹣1）2014＝1，
所以x＝﹣2．
③当x+2016＝0时，x＝﹣2016，此时2x+3＝﹣4029，
则（2x+3）x+2016＝（﹣4029）0＝1，
所以x＝﹣2016．
综上所述，当x＝﹣1，或x＝﹣2，或x＝﹣2016时，代数式（2x+3）x+2016的值为1．
故答案为：﹣1或﹣2或﹣2016．
【点睛】本题考查的是乘方运算，特别是乘方的结果为的情况，分类讨论的思想是解题的关键．
6．为了求的值，可令，则，因此，所以，请仿照以上推理计算：的值是 ___________ ．
【答案】
【分析】根据题意设，则，相减即可得出答案．
【详解】设，
则，
因此，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是理解清楚题中的解答方式并运用．
7．大于的正整数的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如：，，，，若“分裂”后，其中有一个奇数是，则的值是______．
【答案】45
【分析】根据题目中的式子，可以发现“分裂”后式子的特点，然后即可写出“分裂”后第一个奇数为，再根据“分裂”后，其中有一个奇数是，即可得到的值．
【详解】解：，，，，
可以分解为个连续奇数的和，且第一个奇数为，
“分裂”后，其中有一个奇数是，当时，，当时，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现“分裂”后式子的特点．
8．观察下列等式的规律，解答下列问题：
①；
②；
③；
（1）按此规律，第n个等式为_______________；（用含n的代数式表示，n为正整数）
（2）按此规律，计算：__________．
【答案】         
【分析】（1）观察已知等式，找到等式和序号的对应关系即可求解．
（2）利用错位相减的方法求解．
【详解】解：（1）第1个式子，
第2个式子，
第3个式子，
……
以此类推，第n个式子为：；
（2）

．
故答案为：（1）；（2）．
【点睛】本题考查数字类规律探索，根据已知式子找出规律是解题的关键．
9．阅读材料：如果欲求的值，可以按照如下步骤进行：
令‧‧‧‧‧‧①
等式两边同时乘以2，得
‧‧‧‧‧②
由②式减去①式，得
参考以上解答过程可得， ____，其中m为正整数．（结果请用含m的代数式表达）
【答案】
【分析】模仿例题解决问题即可．
【详解】解：设••••••①
∴••••••②，
①②得到，，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，以及有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．
10．计算7的正整数次幕：，，…．归纳各计算结果中的个位数字规律，可得的个位数字为___________
【答案】9
【分析】通过观察所给的运算结果，发现每四次运算后结果的尾数循环出现一次，从而得到的个位数字与的个位数字相同，即可求解．
【详解】解：∵，，，…，
∴每四次运算后结果的尾数循环出现一次，
∵……2，
∴的个位数字与的个位数字相同，
∴的个位数字为9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的算式，探索出运算结果的尾数的循环规律是解题的关键．
11．规定两数，之间的一种运算记作，如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：________，________；
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的证明：
设，则，即，
所以，即，
所以．
请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：；
②猜想：________※________（结果化成最简形式）．
【答案】(1)4，
(2)①证明见详解；②

【分析】（1）利用新定义，直接求得即可；
（2）①设间接未知数，利用新定义推导即可；
②利用前面的结论，直接运算即可．
(1)
∵2c=16=24，
∴2※16=4，
∵a※36=-2，
∴a-2=36，
∴，
∴a=±．
故答案为：4；±．
(2)
①∵设5※7=x，5※9=y，
∴5x=7，5y=9，
∴5x×5y=7×9=63，
∴5x+y=63，
∴5※63=x+y，
即5※7+5※9=5※63；
②∵3n※4n=3※4，
∴（x-2）n※（y+1）n+（x-2）n※（y-3）n
=（x-2）※（y+1）+（x-2）※（y-3）
=（x-2）※[（y+1）（y-3）]
=（x-2）※（y2-2y-3）．
故答案为：
【点睛】本题考查的是幂的新定义，解题关键是了解新定义的运算规则．
12．如果，那么我们规定（a，b）＝c，如：因为，所以（2，8）＝3．
(1)根据上述规定，填空：（3，27）＝ ，（4，1）＝ ，（2，0.25）＝ ；
(2)记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：c－b＝a．
【答案】(1)3，0，-2；
(2)见解析

【分析】（1）根据如果，那么我们规定（a，b）＝c，即可求解；
（2）根据题意可得，再由同底数幂相除的逆运算，即可求证．
【详解】（1）解：∵， ，，
∴（3，27）=3，（4，1）＝0，（2，0.25）＝-2；
故答案为：3，0，-2；
（2）解：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．
∴，
∴


，
∴c－b＝a．
【点睛】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
13．（1）阅读并填空：，
，
，
…
＝ （n为正整数）．
（2）计算：① ；
② ．
（3）计算：．
【答案】（1），；（2），0；（3）
【分析】（1）利用乘方的含义与分配律的应用可得答案；
（2）利用乘方的含义与乘法的分配律的应用可得答案；
（3）利用（1）中的规律进行运算即可．
【详解】解：（1）
；
故答案为：
（2）①

②

故答案为：；0
（3）原式＝
＝
【点睛】本题考查的是乘方的含义，乘法分配律的应用，掌握“乘方的含义与分配律的应用”是解本题的关键．
14．观察下列各式：




根据上面各式的规律可得（        ）；
利用规律完成下列问题：
（1）______；
（2）求的值．
【答案】；（1）；（2）（或）
【分析】先观察给出的各运算式的特点，再总结出规律，再表示即可；
（1）直接利用规律写出结果即可；
（2）先在运算式后面加上 再减去 再直接利用规律解题即可.
【详解】解：由上面各式的规律可得：
，
故答案为：
（1）由规律可得：

故答案为：
（2）




【点睛】本题考查的是运算规律的总结，表达与应用，根据已有的运算总结出规律并运用规律是解题的关键.
15．观察下列各式：
①32－12＝4×2；
②42－22＝4×3；
③52－32＝4×4；
……
（1）探索以上式子的规律，写出第n个等式 （用含n的字母表示）；  
（2）若式子a2－b2＝2020满足以上规律，则a＝ ，b＝ ；  
（3）计算：20＋24＋28＋……＋100．
【答案】（1）(n＋2)2－n2＝4(n＋1)；（2）506，504；（3）1260
【分析】（1）根据观察得出规律，进而解答即可；
（2）通过观察可知，得出含n的方程，解出即可．
（3）解题的关键在于，根据（1）（2）所给算式归结总结出一般规律，结合其规律将原式变形为4×5+4×6+4×7+...+4×25．
【详解】解：（1）（n+2）2-n2=4（n+1）；
故答案为（n+2）2-n2=4（n+1）；
（2）∵2020=4×505=4（n+1），
∴n=504，
a=n+2=506，
b=n=504，
故答案为：506，504．
506，504；
（3）解：原式=4×5+4×6+4×7+……+4×24+4×25
=62-42+72-52+82-62+……+252-232+262-242
=-42-52+252+262
=252-52+262-42
=30×20+30×22
=1260．
【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律解决问题．
16．已知下列等式：
①32－12＝8，
②52－32＝16，
③72－52＝24，
…
(1)请仔细观察，写出第5个式子；
(2)根据以上式子的规律，写出第n个式子，并用所学知识说明第n个等式成立．
【答案】(1) 112－92=40； (2) (2n+1)2－(2n－1)2=8n，证明详见解析
【分析】（1）根据所给式子可知：
，
，
，由此可知第5个式子；
（2）根据题（1）的推理可得第n个式子，利用完全平方公式可证得结果；
【详解】（1）∵第1个式子为：

第2个式子为：

第3个式子为：

∴第5个式子为：

即第5个式子为：
（2）根据题（1）的推理可得：
第n个式子：
∵左边＝＝右边
∴等式成立．
【点睛】本题考查数式规律的探索，解题的关键仔细观察所给的式子，正确找出式子的规律．
17．阅读理解并解答：
为了求1+2+22+23+24+…+22009的值．
可令S＝1+2+22+23+24+…+22009
则2S＝2+22+23+24+…+22009+22010
因此2S﹣S＝（2+22+23+24+…+22009+22010）﹣（1+22+23+24+…+22009）＝22010﹣1
所以S＝22010﹣1即1+2+22+23+24+…+22009＝22010﹣1
请依照此法，求：1+5+52+53+54+…+52020的值．
【答案】
【分析】根据题目信息，设S＝1+5+52+53+…+52020，求出5S，然后相减计算即可得解．
【详解】解：设S＝1+5+52+53+…+52020，
则5S＝5+52+53+54…+52021，
两式相减得：5S﹣S＝4S＝52021﹣1，
则
∴1+5+52+53+54+…+52020的值为．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．
18．（1）填一填
21-20=2( )
22-21=2( )
23-22=2( )
¼
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立；
（3）计算20+21+22+¼+22019．
【答案】（1）0，1，2（2）（3）22020-1
【分析】（1）根据乘方的运算法则计算即可；
（2）根据式子规律可得，然后利用提公因式法可以证明这个等式成立；
（3）设题中的表达式为a，再根据同底数幂的乘法得出2a的表达式相减即可.
【详解】（1），，，
故答案为：0，1，2；
（2）第n个等式为：，
∵左边=，右边=，
∴左边=右边，
∴；
（3）20+21+22+××××××+22019=21-20+22-21+××××××+22020-22019=22020-1
∴.
【点睛】此题主要考察了探寻数列规律问题，认真观察，总结出规律，并能正确的应用规律是解答此题的关键.
19．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，类比有理数的乘方，把记作，读作“2的圈3次方”．一般地，把 （）记作，读作“a的圈n次方” ．
【初步探究】
(1)直接写出计算结果：＝　 　；
【深入思考】我们知道，有理数的除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

(2)仿照上面的算式，将运算结果直接写成幂的形式：＝　 　；
(3)将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是 　 　；
(4)计算：．
【拓展延伸】求的值．
为解决上面的数学问题，我们可以运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来．
如计算．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
根据第n次分割图可得等式：＝．

(5)求的值，请你在面积为1的正方形（备用图）上画出分割图，并在图上标注阴影部分面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)图见解析，

【分析】（1）根据除方定义直接计算即可；
（2）根据除方定义直接计算即可；
（3）根据以上计算结果的规律即可解答；
（4）根据有理数的混合运算法则和除方运算法则求解即可；
（5）利用类比的方法仿照例子求解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：根据（1）（2）可知，
一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是，
故答案为：；
（4）解：


；
（5）解：第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
如图所示：

根据第n次分割图可得等式：＝．
则，
∴

．
【点睛】本题考查有理数的混合运算、数字类规律探究，理解题意，熟练掌握有理数的乘方运算和除方运算，会利用数形结合思想和类比的思想方法解决问题是解答的关键．