七下数学专题 图形的平移、三角形、多边形内角和与外角和（考点突破）

这是一份七下数学专题 图形的平移、三角形、多边形内角和与外角和（考点突破），共42页。
图形的平移、三角形、多边形内角和与外角和
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目录
【典型例题】 1
【考点一 生活中的平移现象】 1
【考点二 利用平移的性质求解】 2
【考点三 利用平移解决实际问题】 4
【考点四 三角形的稳定性】 5
【考点五 构成三角形的条件及求第三边的范围】 7
【考点六 三角形的中线】 8
【考点七 三角形的角平分线】 10
【考点八 三角形的高线】 12
【考点九 多边形内角和问题】 13
【考点十 多边形截角后的内角和问题】 14
【考点十一 多边形的外角和问题】 15
【过关检测】 17

【典型例题】
【考点一 生活中的平移现象】
例题：（2022秋·北京西城·七年级北师大实验中学校考期末）下列现象是平移的是（　　）
A．电梯从底楼升到顶楼 B．卫星绕地球运动
C．纸张沿着它的中线对折 D．树叶从树上落下

【变式训练】
1．（2022·全国·七年级专题练习）今年4月，被称为“猪儿虫”的璧山云巴正式运行．云巴在轨道上运行可以看作是（    ）

A．对称 B．旋转 C．平移 D．跳跃

2．（2022秋·浙江湖州·七年级统考期末）下列现象中属于平移的是（    ）
①方向盘的转动；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④汽车雨刷的运动
A．①② B．②③ C．①②④ D．②


【考点二 利用平移的性质求解】
例题：（2022春·上海·七年级专题练习）如图，将周长为8cm的沿方向平移1cm得到，则四边形的周长为________cm．


【变式训练】
1．（2022秋·广东东莞·七年级东莞市中堂中学校考期中）如图，中，，，将平移至的位置，若四边形的面积为20，且，则__．


2．（2022春·黑龙江大庆·八年级校考阶段练习）如图，将沿方向平移得到，若，，，平移的距离为，则阴影部分的面积______．



【考点三 利用平移解决实际问题】
例题：（2022春·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校校考期末）如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，若小路的宽为2m，则绿化面积为___________？


【变式训练】
1．（2022秋·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯，其侧面如图所示，则需地毯 __米．



【考点四 三角形的稳定性】
例题：（2022春·广西钦州·八年级校考期中）如图，木工师傅做窗框时，常常如图中那样钉上两条斜拉的木条起到稳固作用，这样做的数学原理是（    ）

A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短 D．三角形的稳定性

【变式训练】
1．（2022春·河南信阳·八年级统考期中）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是（　　）

A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短

2．（2022春·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是________．



【考点五 构成三角形的条件及求第三边的范围】
例题：（辽宁省大连市高新园区2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题）下列各长度的木棒首尾相接可以组成三角形的是（    ）
A．1，2，3 B．3，4，6 C．2，3，5 D．2，2，5

【变式训练】
1．（2022春·辽宁大连·八年级校考期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ）
A．3，4，8 B．5，6，7 C．5，6，11 D．5，5，10

2．（2022春·北京怀柔·八年级统考期末）一个三角形的三边长都是整数，其中两边长分别为1，2，则这个三角形的第三边长为_____．

3．（2022春·北京东城·八年级东直门中学校考期中）已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是_____．


【考点六 三角形的中线】
例题：（2022春·广东云浮·八年级新兴实验中学校考期中）如图，中，，，是边上的中线，若的周长为36，则的周长是______________．


【变式训练】
1．（2022春·山西大同·八年级大同市第三中学校校考阶段练习）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多4，，则AC的长为__________．


2．（2022春·安徽宣城·八年级校考期中）在中，点D是边上的中点，如果厘米，厘米，则和的周长之差为____，面积之差为____．


【考点七 三角形的角平分线】
例题：（2022春·安徽亳州·八年级校联考期中）如图，在中，，分别是，的平分线，，则的度数为（    ）．

A． B． C． D．

【变式训练】
1．（2022春·山东济宁·八年级统考期中）如图，已知中，，平分，，垂足为D，E为上一点，．则的度数为（    ）

A． B． C． D．

2．（2022春·八年级课时练习）如图，是的角平分线，，交AC于点F，已知，求的度数．



【考点八 三角形的高线】
例题：（2022春·北京海淀·八年级校考期中）如图所示，中边上的高线画法正确的是（    ）
A． B． C． D．

【变式训练】
1．（2022春·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）如图，用三角板画，边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（    ）.
A． B． C． D．

2．（2022春·天津西青·八年级校考期中）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C均在小正方形的顶点上．

(1)画出中边上的高；
(2)直接写出的面积为___．



【考点九 多边形内角和问题】
例题：（2022秋·河南安阳·八年级统考期中）一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是（   ）
A．10 B．11 C．9 D．8

【变式训练】
1．（2022秋·广东江门·八年级统考期末）已知一个多边形的内角和为，则这个多边形是（    ）
A．八边形 B．七边形 C．六边形 D．五边形

2．（2022秋·广东江门·八年级校考阶段练习）一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的边数是（    ）
A．4 B．5 C．6 D．不确定


【考点十 多边形截角后的内角和问题】
例题：（2022秋·四川绵阳·八年级统考阶段练习）一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1440°，则原来多边形的边数可能是（　　）
A．9，10，11 B．12，11，10 C．8，9，10 D．9，10

【变式训练】
1．（2021秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）已知一个多边形被截取一个角后，内角和变为1620°，则原多边形的边数为________．

2．（2022秋·全国·八年级期末）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为 ______________．


【考点十一 多边形的外角和问题】
例题：（2022秋·天津西青·八年级校考期中）若一个正多边形的内角和为1800°，则边数为___，它的每一个外角等于___．

【变式训练】
1．（2022秋·山东滨州·八年级校考期末）一个正n边形的每个外角都为，则边数n为______．内角和度数为__________．

2．（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，小明从点A出发沿直线前进8米到达点B后向左旋转角度，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转角度，…照这样走下去，第一次回到出发地点A时，他共走了72米，则每次旋转的角度为___________度；小明所走路线形成的多边形的内角和为___________ 度．






【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·山西吕梁·七年级统考期末）下列生活现象中，属于平移现象的是（    ）
A．树梢随着微风摆动 B．投到湖中的石子激起一阵波纹
C．升降电梯的运动 D．行驶中的车轮滚动
2．（北京市通州区2022一2023学年八年级上学期期末质量检测数学试卷）下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是（    ）
A． B． C． D．
3．（2021秋·广东江门·七年级江门市第二中学校考期中）如图，△ABC沿着由点B到点E的方向平移，得到△DEF，若BC＝4，EC＝1，那么平移的距离为（    ）

A．7 B．6 C．4 D．3
4．（2021秋·福建龙岩·八年级校考期中）一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形的边数为（    ）
A．10 B．8 C．6 D．4
5．（2022春·北京怀柔·八年级统考期末）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，若，则的角度是（    ）

A． B． C． D．
6．（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）如图，将直角三角形沿着斜边的方向平移到的位置（A、D、C、F四点在同一条直线上）．直角边交于点G．如果，的面积等于4，下列结论：①；②三角形平移的距离是4；③；④四边形的面积为16；其中正确的是（ 　   ）

A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
7．（2022春·安徽·八年级统考期中）如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用它观看视频，这样做的数学道理是_________．

8．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期末）如图，公园里长为20米宽为10米的长方形草地内修建了宽为1米的道路，则草地面积是________平方米．

9．（2022春·北京朝阳·八年级校考期中）小朦同学从四根长为，，，的木条中挑选三根组成三角形，她已经取了和两根木棍，那么第三根木棍不可能取___________．
10．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则_____度．

11．（2022秋·湖北黄石·七年级统考期末）如图，在三角形中，，将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接，则下列结论：①AC//DF；②AC=CE；③；④四边形的周长为30；⑤AD//BC．其中正确的结论有________（填序号）．

12．（2022秋·山东日照·八年级统考期中）一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为，则原多边形边数为____；其中边数最少的原多边形从一顶点出发，能做_______条对角线．
三、解答题
13．（2022秋·福建厦门·七年级厦门外国语学校校考阶段练习）如图，△ABC 中，BC=4cm，将△ABC 以 0.2cm/s 的速度沿 BC 所在直线向右平移，所得图形对应为△DEF，设运动时间为t 秒．

(1)若∠ADE=60°，求∠B 的度数?
(2)当 t 为何值时，EC=1cm？







14．（2022秋·广东汕头·七年级统考期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，现将三角形ABC平移，使点A移动到点D，点E、F分别是B、C的对应点．

(1)请画出平移后的三角形DEF；
(2)连接AD、BE，直接写出线段AD与线段BE的关系：______．






15．（2022春·安徽淮南·八年级统考期中）如图，在 中，已知 是角平分线， ．

(1)求 的度数；
(2)若 于点 ，求 的度数．





16．（2022秋·河南新乡·七年级统考阶段练习）如图，在直角三角形中，，将沿射线方向平移得到，，，的对应点分别是，，．

(1)若，求的度数．
(2)若，当时，则______．





17．（2022春·陕西西安·八年级校考期中）如图，已知，与外角的角平分线相交于点O．

(1)若时，求的度数；
(2)请探究和之间的数量关系，并说明理由．






18．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）中，AD平分．

(1)如图1，将沿BC方向平移，得，使得点与点C重合，交AC于点E．求证：；
(2)如图2，将沿着AC方向平移，得到，使得经过点D，求证：平分．



19．（2022秋·天津河西·八年级统考期中）探究一：已知：如图1，与分别为的两个外角．
试探究与的数量关系_____(即列出一个含有，，的等式，直接写出答案即可)；
探究二：已知：如图2，在中，分别平分和，求：与的数量关系；
探究三：若将探究2中的改为任意四边形呢？
即：如图3，在四边形中，分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系．



【考点一 生活中的平移现象】
例题：（2022秋·北京西城·七年级北师大实验中学校考期末）下列现象是平移的是（　　）
A．电梯从底楼升到顶楼 B．卫星绕地球运动
C．纸张沿着它的中线对折 D．树叶从树上落下
【答案】A
【分析】平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动，根据平移的定义分析即可．
【详解】解：A、电梯从底楼升到顶楼为平移现象，故该选项符合题意；
B、卫星绕地球运动为旋转现象，故该选项不符合题意；
C、纸张沿着它的中线对折是轴对称现象，故该选项不符合题意；
D、树叶从树上落下既不是旋转也不是平移，故该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了平移现象，熟练根据平移的定义联系实际生活是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·七年级专题练习）今年4月，被称为“猪儿虫”的璧山云巴正式运行．云巴在轨道上运行可以看作是（    ）

A．对称 B．旋转 C．平移 D．跳跃
【答案】C
【分析】根据平移与旋转定义判断即可．
【详解】解：云巴在轨道上运行可以看作是数学上的平移．
故选：C．
【点睛】本题考查对平移与旋转的理解及在实际当中的运用．平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动；旋转是物体运动时，每一个点离同一个点（可以在物体外）的距离不变的运动，称为绕这个点的转动，这个点称为物体的转动中心．所以，它并不一定是绕某个轴的．正确理解平移与旋转的定义是解题的关键．
2．（2022秋·浙江湖州·七年级统考期末）下列现象中属于平移的是（    ）
①方向盘的转动；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④汽车雨刷的运动
A．①② B．②③ C．①②④ D．②
【答案】D
【分析】直接根据平移的定义分别判断．
【详解】解：①方向盘的转动是旋转，故不符合题意；
②打气筒打气时，活塞的运动是平移，故符合题意；
③钟摆的摆动是旋转，故不符合题意；
④汽车雨刷的运动是旋转，故不符合题意；
综上分析可知，属于平移的是②，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解答本题的关键． 平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动．平移不改变图形的形状和大小，只是改变位置．

【考点二 利用平移的性质求解】
例题：（2022春·上海·七年级专题练习）如图，将周长为8cm的沿方向平移1cm得到，则四边形的周长为________cm．

【答案】10
【分析】根据平移的基本性质，得出四边形的周长为即可得出答案．
【详解】解：根据题意，将周长为8cm的沿向右平移1cm得到，
；
又cm，
∴四边形的周长为cm．
故答案为：10．
【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·广东东莞·七年级东莞市中堂中学校考期中）如图，中，，，将平移至的位置，若四边形的面积为20，且，则__．

【答案】4
【分析】根据平移的性质可知：，，，根据题中图形关系得到，设，则，即，解方程求得的值即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：

由平移至得，，，
，，
，
，四边形的面积为20，
，
设，则，即，解得，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查平移的性质、有关图形的面积关系，求出各个相关图形面积的表示是解决问题的关键．
2．（2022春·黑龙江大庆·八年级校考阶段练习）如图，将沿方向平移得到，若，，，平移的距离为，则阴影部分的面积______．

【答案】
【分析】根据平移的性质得到，根据计算即可．
【详解】解：由平移的性质可知，，，，
，，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是平移的性质，判断出是解题的关键．

【考点三 利用平移解决实际问题】
例题：（2022春·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校校考期末）如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，若小路的宽为2m，则绿化面积为___________？

【答案】560
【分析】将小路平移后绿化部分即是长，宽的长方形，根据长方形的面积求解即可．
【详解】解：根据题意，得，
故答案为：560．
【点睛】此题主要考查了生活中的平移现象，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而列式求出答案．．
【变式训练】
1．（2022秋·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯，其侧面如图所示，则需地毯 __米．

【答案】8
【分析】根据平移的性质，即可求出大厅主楼梯上铺设红色地毯的长．
【详解】解：由平移的性质可知，
所需要的地毯的长度为，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．

【考点四 三角形的稳定性】
例题：（2022春·广西钦州·八年级校考期中）如图，木工师傅做窗框时，常常如图中那样钉上两条斜拉的木条起到稳固作用，这样做的数学原理是（    ）

A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短 D．三角形的稳定性
【答案】D
【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
【详解】解：这样做的数学原理是：三角形的稳定性．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
【变式训练】
1．（2022春·河南信阳·八年级统考期中）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是（　　）

A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】A
【分析】根据三角形的稳定性即可得到答案．
【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这样就形成了一个三角形，
所以所运用的几何原理是三角形的稳定性，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形稳定性在实际生活中的应用问题，解题关键是掌握三角形稳定性的几何原理．
2．（2022春·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是________．

【答案】三角形具有稳定性
【分析】学校门口设置的移动拒马做成三角形的形状，利用三角形不变形即三角形的稳定性，从而可得答案．
【详解】解：学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
【点睛】本题考查的是三角形的稳定性是实际应用，掌握“三角形具有稳定性”是解本题的关键．

【考点五 构成三角形的条件及求第三边的范围】
例题：（辽宁省大连市高新园区2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题）下列各长度的木棒首尾相接可以组成三角形的是（    ）
A．1，2，3 B．3，4，6 C．2，3，5 D．2，2，5
【答案】B
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边进行判断．
【详解】解：A．，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B．，能构成三角形，故此选项符合题意；
C．，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D．，不能组成三角形，故此选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握一般用两条较短的线段相加，如果大于最长那条线段就能够组成三角形．
【变式训练】
1．（2022春·辽宁大连·八年级校考期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ）
A．3，4，8 B．5，6，7 C．5，6，11 D．5，5，10
【答案】B
【分析】由较短的两边相加，若大于较长的边，则可构成三角形，据此判断．
【详解】解：A、∵，∴此三条线段不能构成三角形；
B、∵，∴此三条线段能构成三角形；
C、∵，∴此三条线段不能构成三角形；
D、∵，∴此三条线段不能构成三角形；
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的构成条件：较短的两边的和大于第三边，熟练掌握三角形的构成条件是解题的关键．
2．（2022春·北京怀柔·八年级统考期末）一个三角形的三边长都是整数，其中两边长分别为1，2，则这个三角形的第三边长为_____．
【答案】2
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边，解答此题即可．
【详解】解：∵第三边，
∴第三边，
∵三边长都是整数，
∴这个三角形第三边长是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，关键是求出三角形第三边的取值范围，熟练掌握三角形三边关系，是解答此题的关键．
3．（2022春·北京东城·八年级东直门中学校考期中）已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是_____．
【答案】
【分析】利用三角形三边关系求出m的取值范围，从中找出最大的整数即可．
【详解】解：三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，
则，
即，
因此整数m的最大值是7．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

【考点六 三角形的中线】
例题：（2022春·广东云浮·八年级新兴实验中学校考期中）如图，中，，，是边上的中线，若的周长为36，则的周长是______________．

【答案】30
【分析】根据三角形中线的定义可得，由的周长为36，，求出，进而得出的周长．
【详解】解：∵是边上的中线，
∴，
∵的周长为36，，
∴，
∴，
∵，
∴的周长．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了三角形的中线：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据中线的定义得出以及利用周长的定义求出是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·山西大同·八年级大同市第三中学校校考阶段练习）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多4，，则AC的长为__________．

【答案】
【分析】由的周长比的周长多4可得，，然后问题可求解．
【详解】解：∵是边上的中线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线得到相等的线段是解题的关键．
2．（2022春·安徽宣城·八年级校考期中）在中，点D是边上的中点，如果厘米，厘米，则和的周长之差为____，面积之差为____．
【答案】     2厘米##     0
【分析】根据三角形中线的性质可知，则，再根据三角形周长公式进行求解即可．
【详解】解：如图所示：∵点D是边上的中点，厘米，厘米，
∴，
∴和的周长之差为：厘米，，即面积之差为：0．
故答案为：2厘米，0．

【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．

【考点七 三角形的角平分线】
例题：（2022春·安徽亳州·八年级校联考期中）如图，在中，，分别是，的平分线，，则的度数为（    ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义得出，，求出，最后根据三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：，
，
，分别是，的平分线，
，，
，
，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【变式训练】
1．（2022春·山东济宁·八年级统考期中）如图，已知中，，平分，，垂足为D，E为上一点，．则的度数为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平分，求得，由平行线的性质得的度数，再根据垂直的意义得的度数，然后由求解即可．
【详解】解：平分，，
，
，
，
，
，
，
；
故选：D．
【点睛】此题考查了角平分线的意义、平行线的性质、垂直的意义以及周角的概念等知识，熟练掌握平行线的性质与角平分线的意义是解答此题的关键．
2．（2022春·八年级课时练习）如图，是的角平分线，，交AC于点F，已知，求的度数．

【答案】
【分析】根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形角平分线的定义，根据平行线的性质求出是解题的关键．

【考点八 三角形的高线】
例题：（2022春·北京海淀·八年级校考期中）如图所示，中边上的高线画法正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】中边上的高线是过点作的垂线，据此判断即可．
【详解】解：中边上的高线是过点作的垂线，只有D选项正确，符合题意，
故选D
【点睛】本题主要考查了三角形高线的作法，正确把握相关定义是解题关键，经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高．
【变式训练】
1．（2022春·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）如图，用三角板画，边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（    ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形作高的方法逐项判断即可．
【详解】解：选项A作的是边上的高，符合题意；
选项B作的是边上的高，不符合题意；
选项C中三角板未过点C，故作的不是高，不符合题意；
选项D作的是边上的高，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形高的作法，作边边的高，应从顶点A向作垂线段，垂足落在直线上，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2022春·天津西青·八年级校考期中）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C均在小正方形的顶点上．

(1)画出中边上的高；
(2)直接写出的面积为___．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）结合网格图，直接利用三角形高线作法得出答案；
（2）结合网格图，直接利用三角形的面积求法得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；

（2）解：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了应用设计与作图以及三角形面积求法，正确得出三角形高线的位置是解题关键．

【考点九 多边形内角和问题】
例题：（2022秋·河南安阳·八年级统考期中）一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是（   ）
A．10 B．11 C．9 D．8
【答案】D
【分析】n边形的内角和为，列出方程解出n的值即可．
【详解】解：多边形的内角和是，
，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了求n边形的内角和公式，解决本题的关键是熟记求n边形的内角和公式．
【变式训练】
1．（2022秋·广东江门·八年级统考期末）已知一个多边形的内角和为，则这个多边形是（    ）
A．八边形 B．七边形 C．六边形 D．五边形
【答案】C
【分析】设这个多边形是n边形，则它的内角和是，得到关于n的方程组，就可以求出边数n．
【详解】解：设这个多边形是n边形，由题意知，
，
∴，
∴该多边形的边数是六边形．
故选：C．
【点睛】本题考查多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．
2．（2022秋·广东江门·八年级校考阶段练习）一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的边数是（    ）
A．4 B．5 C．6 D．不确定
【答案】B
【分析】n边形的内角和公式为，由此列方程求边数n．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
则，
解得，
∴这个多边形的边数为5，
故选：B．
【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解题关键在于熟练掌握公式．

【考点十 多边形截角后的内角和问题】
例题：（2022秋·四川绵阳·八年级统考阶段练习）一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1440°，则原来多边形的边数可能是（　　）
A．9，10，11 B．12，11，10 C．8，9，10 D．9，10
【答案】A
【分析】首先求得内角和为的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
【详解】解：设内角和为的多边形的边数是则，
解得：．
∵一个多边形截取一个角后，变成的多边形可能比原来少一边，也可能相同，也可能多一边；
∴原来多边形的边数可能是9或10或11
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键．
【变式训练】
1．（2021秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）已知一个多边形被截取一个角后，内角和变为1620°，则原多边形的边数为________．
【答案】10或11或12
【分析】根据多边形的内角和公式，先计算出截取之后的边数，再进行分类讨论即可．
【详解】解：设截取后多边形的边数为n，
，解得：，
，．
故答案为：10或11或12．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式以及掌握一个多边形截取一个角后边的数量可能会增加一条，可能不变，也可能减少一条．
2．（2022秋·全国·八年级期末）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为 ______________．
【答案】5或6或7
【分析】首先求得内角和为的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
【详解】解：设内角和为的多边形的边数是n，
则，
解得：．
∵一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变，
∴原多边形的边数可能为5或6或7．
故答案是：5或6或7．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，知道一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变，是解题的关键．

【考点十一 多边形的外角和问题】
例题：（2022秋·天津西青·八年级校考期中）若一个正多边形的内角和为1800°，则边数为___，它的每一个外角等于___．
【答案】     12     30°
【分析】根据题意求得正多边形的边数，进而求得答案
【详解】解：∵一个正多边形的内角和为1800°，即
∴
由
故答案为：  
【点睛】本题考查了正多边形的内角和和外角和公式，根据内角和公式求得边数是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·山东滨州·八年级校考期末）一个正n边形的每个外角都为，则边数n为______．内角和度数为__________．
【答案】     9     ##1260度
【分析】根据多边形的外角和为，正多边形每个外角都相等，即可求出n的值，再根据多边形的内角和为，即可进行解答．
【详解】解：∵该正多边形的每个外角都为，
∴，
∴该多边形的内角和为：，
故答案为：9，．
【点睛】本题主要考查了正多边形的外角和以及内角和，解题的关键是掌握多边形的外角和为，正多边形每个外角都相等；多边形的内角和为．
2．（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，小明从点A出发沿直线前进8米到达点B后向左旋转角度，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转角度，…照这样走下去，第一次回到出发地点A时，他共走了72米，则每次旋转的角度为___________度；小明所走路线形成的多边形的内角和为___________ 度．

【答案】     40    
【分析】根据共走了72米，每前进8米左转一次可求得左转的次数，则已知多边形的边数，再根据外角和及内角和公式，计算左转的角度及内角和即可．
【详解】解：向左转的次数 (次)，
则左转的角度是，
这个多边形是9边形，
内角和为：

故答案是：40，1260．
【点睛】本题考查了多边形的外角和定理与内角和公式，熟练掌握和运用多边形的外角和定理与内角和公式是解决本题的关键．




【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·山西吕梁·七年级统考期末）下列生活现象中，属于平移现象的是（    ）
A．树梢随着微风摆动 B．投到湖中的石子激起一阵波纹
C．升降电梯的运动 D．行驶中的车轮滚动
【答案】C
【分析】根据平移现象的定义，即平移现象是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离的图形运动，进行判断即可．
【详解】解：A、树梢的移动方向在不断改变，故不是平移现象，不符合题意；
B、波纹向多个方向移动，故不是平移现象，不符合题意；
C、升降电梯的运动时沿着某个方向移动一定的距离的运动，故是平移现象；
D、车轮滚动是转动现象，不是平移现象，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查平移现象，能够掌握平移现象的定义并根据定义判断运动是否属于平移现象是解决本题的关键．
2．（北京市通州区2022一2023学年八年级上学期期末质量检测数学试卷）下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形三边关系，“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，对选项逐个判断即可．
【详解】解：，A选项不能构成三角形，不符合题意；
，B选项不能构成三角形，不符合题意；
，C选项不能构成三角形，不符合题意；
，D选项能构成三角形，符合题意；
故选：D
【点睛】此题考查了三角形三边关系，解题的关键熟练掌握三角形三边关系．
3．（2021秋·广东江门·七年级江门市第二中学校考期中）如图，△ABC沿着由点B到点E的方向平移，得到△DEF，若BC＝4，EC＝1，那么平移的距离为（    ）

A．7 B．6 C．4 D．3
【答案】D
【分析】先根据平移的性质可得平移的距离为的长，再根据即可得．
【详解】解：，
，
即平移的距离为3，
故选：D．
【点睛】本题考查了平移，熟练掌握平移的性质是解题关键．
4．（2021秋·福建龙岩·八年级校考期中）一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形的边数为（    ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】D
【分析】设这个多边形的边数为n，根据内角和等于外角和列方程解答即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，则
，
解得，
故选：D．
【点睛】此题考查了多边形内角和与外角和的计算，熟练掌握多边形内角和公式及外角和是解题的关键．
5．（2022春·北京怀柔·八年级统考期末）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，若，则的角度是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据三角形外角性质求出的度数，进而可求出的度数，再根据三角形的外角性质即可求出．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质定理．
6．（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）如图，将直角三角形沿着斜边的方向平移到的位置（A、D、C、F四点在同一条直线上）．直角边交于点G．如果，的面积等于4，下列结论：①；②三角形平移的距离是4；③；④四边形的面积为16；其中正确的是（ 　   ）

A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】由平移的性质得到BE∥AC，AB∥DE，BC=EF，BE=CF，故③正确；根据图形的平移得到∠EDC=∠A，∠EDC=∠BED，故∠A=∠BED，故①正确；根据直角三角形斜边大于直角边得到△ABC平移的距离＞4，故②错误；根据三角形的面积公式得到GE=2，根据梯形的面积公式得到四边形GCFE的面积=（6+10）×2=16，故④正确．
【详解】解：∵△DEF的是直角三角形ABC沿着斜边AC的方向平移后得到的，且A、D、C、F四点在同一条直线上，
∴BE∥AC，AB∥DE，BC=EF，BE=CF，故③正确；
由图形的平移知，ED∥AB，AC∥BE，
∴∠EDC=∠A，∠EDC=∠BED，
∴∠A=∠BED，故①正确；
∵BG=4，
∴AD=BE＞BG，
∴△ABC平移的距离＞4，故②错误；
∵EF=10，
∴CG=BC-BG=EF-BG=10-4=6，
∵△BEG的面积等于4，
∴BG•GE=4，
∴GE=2，
∴四边形GCFE的面积=（6+10）×2=16，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了平移的性质，面积的计算等，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题
7．（2022春·安徽·八年级统考期中）如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用它观看视频，这样做的数学道理是_________．

【答案】三角形具有稳定性
【分析】三角形手机支架利用了三角形的稳定性，形状稳定，不晃动，方便观看手机视频．
【详解】∵三角形具有稳定性，
∴三角形手机支架形状不变形，手机放上稳定不晃动，可以非常方便地观看视频．
故答案为：三角形具有稳定性．
【点睛】本题主要考查了三角形稳定性的应用，解决问题的关键是熟练掌握三角形的稳定性．
8．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期末）如图，公园里长为20米宽为10米的长方形草地内修建了宽为1米的道路，则草地面积是________平方米．

【答案】162
【分析】利用平移的性质得到草地部分的图形为一个长方形，利用公式计算即可．
【详解】解：草地部分的面积为152（平方米），
故答案为：162．
【点睛】此题考查了利用平移的性质解决实际问题，正确理解平移的性质是解题的关键．
9．（2022春·北京朝阳·八年级校考期中）小朦同学从四根长为，，，的木条中挑选三根组成三角形，她已经取了和两根木棍，那么第三根木棍不可能取___________．
【答案】
【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，确定出第三根木棍的取值范围，即可求解．
【详解】解：已经取了和两根木棍，则第三根木棍的范围为，
而不在范围内，故不可能取，
故答案为：
【点睛】此题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形三边关系，确定出第三边的取值范围．
10．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则_____度．

【答案】
【分析】根据正五边形的性质求出，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】解：∵五边形是正五边形，
∴，
∵是的外角，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是正多边形，掌握多边形内角和定理、正多边形的性质、三角形的外角性质是解题的关键．
11．（2022秋·湖北黄石·七年级统考期末）如图，在三角形中，，将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接，则下列结论：①AC//DF；②AC=CE；③；④四边形的周长为30；⑤AD//BC．其中正确的结论有________（填序号）．

【答案】①③④⑤
【分析】根据平移的性质可得AC//DF，AD//BC，AB//DE，AC=DF，AD=BE=CF=3，据此对各结论逐一判断即可得答案．
【详解】∵将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接，，
∴AC//DF，AD//BC，AB//DE，AC=DF，AD=BE=CF=3，故①⑤正确，
∵BC=10，
∴CE=BC-BE=7，BF=BC+CF=13，
∵AC=8，
∴AC≠CE，故②错误，
∵AB//DE，∠BAC=90°，
∴，故③正确，
∵AB=6，AC=8，
∴四边形ABFD的周长=AB+BF+DF+AD=AB+BF+AC+AD=6+13+8+3=30，故④正确，
综上所述：正确的结论有①③④⑤，
故答案为：①③④⑤
【点睛】本题考查平移的性质，正确理解“平移前后对应线段平行且相等”是解题关键．
12．（2022秋·山东日照·八年级统考期中）一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为，则原多边形边数为____；其中边数最少的原多边形从一顶点出发，能做_______条对角线．
【答案】     15，16或17    
【分析】先求出新多边形的边数，再根据截去一个角后的多边形与原多边形的边数相等，多1，少1三种情况进行讨论；根据n边形，从一个顶点出发可以引条对角线解答即可．
【详解】设新多边形的边数为n，
则，
解得，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
所以多边形的边数可以为15，16或17．
从十五边形的一顶点出发，能作的对角线的条数为：（条）．
故答案为：15，16或17；12．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理、多边形的对角线，解题的关键在于截去一个角后的多边形与原多边形的边数相等，多1，少1，有这么三种情况．
三、解答题
13．（2022秋·福建厦门·七年级厦门外国语学校校考阶段练习）如图，△ABC 中，BC=4cm，将△ABC 以 0.2cm/s 的速度沿 BC 所在直线向右平移，所得图形对应为△DEF，设运动时间为t 秒．

(1)若∠ADE=60°，求∠B 的度数?
(2)当 t 为何值时，EC=1cm？
【答案】(1)60°；
(2)当t为 15秒时，EC=1cm．
【分析】（1）由平移的性质及平行线的性质即可求解；
（2）连接AD，则AD=BE=CF，BE=0.2t，由BC=4cm，EC=1cm，得方程1+0.2t=4，解方程即可得解．
（1）
解：如下图，连接AD，

∵将△ABC 以 0.2cm/s 的速度沿 BC 所在直线向右平移，所得图形对应为△DEF，
∴AB∥DE，AD∥BE，，
∴∠ADE=∠DEC，∠B=∠DEC，
∵∠ADE=60°，
∴∠B=60°，
（2）
解：如下图，连接AD，则AD=BE=CF，BE=0.2t，

∵BC=4cm，EC=1cm，
∴1+0.2t=4，解得t=15，
∴当t为 15秒时，EC=1cm．
【点睛】本题主要考查了图形的平移，掌握图形平移的性质是解题的关键．
14．（2022秋·广东汕头·七年级统考期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，现将三角形ABC平移，使点A移动到点D，点E、F分别是B、C的对应点．

(1)请画出平移后的三角形DEF；
(2)连接AD、BE，直接写出线段AD与线段BE的关系：______．
【答案】(1)见解析
(2)平行且相等
【分析】（1）根据点A和D，先找出点B、C的对应点E、F，顺次连接D、E、F即可得出结果；
（2）根据平移的性质进行判断即可．
(1)
解：根据点A的对应点D，确定平移方式，找出点A和B的对应点E、F，顺次连接D、E、F，则△DEF为所求作的图形，如图所示：

(2)
∵平移前后，对应点的连线平行且相等，
∴线段AD与线段BE的关系是平行且相等．
故答案为：平行且相等．
【点睛】本题主要考查了平移作图和平移的性质，熟练掌握平移前后对应点的连线平行且相等，是解题的关键．
15．（2022春·安徽淮南·八年级统考期中）如图，在 中，已知 是角平分线， ．

(1)求 的度数；
(2)若 于点 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知 的度数，可求出三角形 中 的度数， 又是 的角平分线，可以求得 的值，从而在三角形 中即可求 的度数．
（2）由（1）可求得 若 ，则在直角三角形中可以求得的度数．
【详解】（1）解：（1）在 中， ， ，
，
．
是 的角平分线，

在 中， ， ，
．
（2），
又 ，
在 中， ，
．
【点睛】本题综合考查了三角形的内角和，角平分线，及角的互余关系，关键是利用有关角的关系定理进行计算．
16．（2022秋·河南新乡·七年级统考阶段练习）如图，在直角三角形中，，将沿射线方向平移得到，，，的对应点分别是，，．

(1)若，求的度数．
(2)若，当时，则______．
【答案】(1)56°
(2)4cm
【分析】（1）先根据平移的性质得到AC∥DF，再利用平行线的性质得到∠ACB=∠F，由AD∥BF得到∠ACB=∠DAC，然后利用等量代换得到结论；
（2）根据平移的性质得到AD=BE=CF，设AD=x，则CE=x，BE=CF=x，则利用BC=6得到x+x=6，然后解方程即可．
（1）
解：∵△ABC沿射线BC方向平移，得到△DEF，
∴AC∥DF，AD∥BF，
∴∠ACB=∠F，
∴∠ACB=∠DAC，
∴∠DAC=∠F=∠DAC=56°；
（2）
∵△ABC沿射线BC方向平移，得到△DEF，
∴AD=BE=CF，
设AD=x，
则BE=CF=x，
∵AD=2EC，
∴CE=x，
∵BC=6，
∴x+x=6，
解得x=4，
即AD的长为4cm．
【点睛】本题考查平移的基本性质和平行线的性质，掌握：经过平移，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对应线段平行且相等是解决问题的关键．
17．（2022春·陕西西安·八年级校考期中）如图，已知，与外角的角平分线相交于点O．

(1)若时，求的度数；
(2)请探究和之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）由补角的定义可得，由角平分线的定义可求得，，再利用三角形的外角性质即可求的度数；
（2）由三角形外角的性质可得，再由角平分线的定义可得，，则可求得，从而可得到与的关系．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，平分，，
∴，，
∵是的外角，
∴；
（2），理由如下：
∵是的外角，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵是的外角，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
18．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）中，AD平分．

(1)如图1，将沿BC方向平移，得，使得点与点C重合，交AC于点E．求证：；
(2)如图2，将沿着AC方向平移，得到，使得经过点D，求证：平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平移的性质得到A1B1∥AB，∠A1=∠BAD，从而得到∠B1EC=∠BAC，然后根据AD平分∠BAC得到∠BAC=2∠BAD，从而得到∠B1EC=2∠A1；
（2）根据平移的性质得到A2B2∥AB，∠B2A2D2=∠BAD，进一步得到∠B2A2C=∠BAC，然后根据AD平分∠BAC得到∠BAC=2∠BAD，从而得到∠B2A2C=2∠B2A2D2．
（1）
解：证明：∠B1EC=2∠A1，其理由是：
∵△A1B1D1是由△ABD平移而来，
∴A1B1∥AB，∠A1=∠BAD，
∴∠B1EC=∠BAC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD，
∴∠B1EC=2∠A1．
（2）
∵△A2B2D2是由△ABD平移而来，
∴A2B2∥AB，∠B2A2D2=∠BAD．
∴∠B2A2C=∠BAC．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD．
∴∠B2A2C=2∠B2A2D2．
∴A2D2平分∠B2A2C．
【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是了解平移前后对应点的连线平行且相等，难度不大．
19．（2022秋·天津河西·八年级统考期中）探究一：已知：如图1，与分别为的两个外角．
试探究与的数量关系_____(即列出一个含有，，的等式，直接写出答案即可)；
探究二：已知：如图2，在中，分别平分和，求：与的数量关系；
探究三：若将探究2中的改为任意四边形呢？
即：如图3，在四边形中，分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系．

【答案】探究一：；探究二：；探究三：
【分析】探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再根据三角形内角和定理整理即可得解；
探究二：根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解
探究三：根据四边形的内角和定理表示出，然后同理探究二解答即可．
【详解】解：探究一：∵，，
∴；
故答案为：；
探究二：∵分别平分和，
∴，，
∴



；
探究三：∵分别平分和，
∴，，
∴



．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用三角形内角和定理解决问题．