初中数学中考复习 第05讲 实数与二次根式（易错点梳理+微练习）（解析版）-【学霸计划】2022年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）

第05讲  实数与二次根式易错点梳理

易错点01  混淆平方根与算术平方根

对于正数来说，表示的平方根，表示的算术平方根。

易错点02  混淆平方根与立方根的性质

正数的平方根有两个，它们互为相反数；负数没有平方根，实数的立方根只有一个，无论是正数、负数还是0。

易错点03  二次根式概念理解错误

对二次根式的定义理解不透，认为只要带二次根号即为二次根式，忽视了二次根式中的条件，所以在平时做题中必须特别注意理解二次根式的被开方数是非负数。

易错点04  二次根式运算顺序出错

由于乘除是同一级运算，因此按顺序哪个在前，要先算哪个运算。

易错点05  错用二次根式的性质

二次根式的性质有；，切记不存

在。

易错点06  解题时忽视限制条件

应用二次根式的运算性质，时，必须要满足括号里的条件。

考向01  平方根

例题1：（2021·四川凉山·中考真题）的平方根是（    ）

A．9 B．9和﹣9 C．3 D．3和﹣3

【答案】D

【思路分析】先化简，再根据平方根的地红衣求解．

【解析】解：∵=9，∴的平方根是，故选D．

【点拨】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的平方根，记作．

例题2：（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）下列计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【思路分析】根据平方根，幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式及合并同类项的运算法则分别对每一个选项进行分析，即可得出答案．

【解析】A、，正确，故该选项符合题意；B、,错误，故该选项不合题意；C、，错误，故该选项不合题意；D、与不是同类项，不能合并，故该选项不合题意；故选：A．

【点拨】本题考查了平方根、幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式以及合并同类项，熟练掌握平方根的定义、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式以及合并同类项的运算法则是解题关键．

考向02  立方根

例题3：（2021·辽宁大连·中考真题）下列计算正确的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【思路分析】根据二次根式的运算及立方根可直接进行排除选项．

【解析】解：A、，错误，故不符合题意；B、，正确，故符合题意；C、，错误，故不符合题意；D、，错误，故不符合题意；故选B．

【点拨】本题主要考查二次根式的运算及立方根，熟练掌握二次根式的运算及立方根是解题的关键．

例题4：（2021·江苏南京·中考真题）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（    ）

A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是

C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大

【答案】C

【思路分析】根据题意n次方根，列举出选项中的n次方根，然后逐项分析即可得出答案．

【解析】A. ，16的4次方根是，故不符合题意；B.，，32的5次方根是2，故不符合题意；C.设则 且

当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故符合题意；D.由的判断可得：错误，故不符合题意．故选．

【点拨】本题考查了新概念问题，n次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键．

考向03  实数

例题5：（2021·山东日照·中考真题）在下列四个实数中，最大的实数是（　　）

A．-2 B． C． D．0

【答案】B

【思路分析】根据实数的大小比较方法进行比较即可．

【解析】解：正数大于0，负数小于0，正数大于负数，，故选：B．

【点拨】本题考查了实数的大小比较，理解“正数大于0，负数小于0，正数大于负数”是正确判断的关键．

例题6：（2021·贵州毕节·中考真题）下列各数中，为无理数的是（    ）

A． B． C．0 D．

【答案】A

【思路分析】根据无理数的定义逐项判断即可．

【解析】A、是无理数，符合题意；B、小数点后的是无限循环的，则是有理数，不符题意；C、0是整数，属于有理数，不符题意；D、是有理数，不符题意,故选：A．

【点拨】本题考查了无理数的定义，熟记定义是解题关键．

考向04  二次根式的概念与性质

例题7：（2021·湖北襄阳·中考真题）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【思路分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解．

【解析】∵二次根式在实数范围内有意义，∴x+3≥0，即：，故选A．

【点拨】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方式是非负数，是解题的关键．

例题8：（2021·浙江杭州·中考真题）下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【思路分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．

【解析】解：，故A正确，C错误；，故B、D错误；故选：A．

【点拨】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断．

考向05  二次根式的乘除

例题9：（2021·湖南株洲·中考真题）计算：（    ）

A． B．－2 C． D．

【答案】A

【思路分析】将化简，然后根据乘法法则运算即可．

【解析】解：，故选：A．

【点拨】本题考查了二次根式的乘法运算，熟悉相关性质是解题的关键．

例题10：（2021·广西桂林·中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【思路分析】要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．由被选答案可以用排除法可以得出正确答案．

【解析】A、被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、是有理数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确．故选：D．

【点拨】本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．

考向06  二次根式的加减

例题11：（2021·广西梧州·中考真题）下列计算正确的是（　　）

A．3 B． C． D．（）2＝2

【答案】D

【思路分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法法则和除法法则逐一进行计算，从而得出答案；

【解析】解：，选项A错误；与不是同类二次根式，不能合并，选项B错误；，选项C错误；（）2＝2，选项D正确；故选：D

【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键

例题12：（2021·江苏泰州·中考真题）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　）

A．与 B．与 C．与 D．与

【答案】D

【思路分析】把每个选项中的不是最简二次根式化为最简二次根式即可作出判断．

【解析】A、，与不是同类二次根式，故此选项错误；B、，与不是同类二次根式，故此选项错误；C、与不是同类二次根式，故此选项错误；D、，，与3是同类二次根式，故此选项正确．故选：D．

【点拨】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的识别等知识，注意二次根式必须化成最简二次根式．

一、单选题

1．（2021·重庆八中二模）30的算术平方根介于（    ）

A．6与7之间 B．5与6之间 C．4与5之间 D．3与4之间

【答案】B

【分析】解：∵，

∴，

∴30的算术平方根介于5与6之间．故选：B．

2．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）下列计算：①，②，③，④，正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】解：①，故①错误；

②，故②正确；

③，故③正确；

④，故④错误；

故正确的有②，③，共个，故选：B．

3．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模）估计的值应在（    ）

A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间

【答案】B

【分析】解：∵＜＜，

∴5＜＜6，

∴的值在5和6之间；故选B．

4．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）下列四个实数中，最小的数是（    ）

A． B． C．0 D．

【答案】A

【分析】解：∵-5＜0＜＜，

∴所给的四个实数中，最小的数是-5． 故选A．

5．（2021·广东·珠海市九洲中学三模）下列各数中无理数是（    ）

A． B． C．3.1415926 D．

【答案】B

【分析】解：A.是分数，属于有理数；B.是无理数；C.3.1415926是有限小数，属于有理数；D.是整数，属于有理数；故选：B．

6．（2021·重庆·西南大学附中模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是（    ）

A． B． C．且 D．且

【答案】C

【分析】解：根据题意得：，解得：x≥−1且x≠2．故选：C．

7．（2021·山东兰陵·一模）实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简的结果是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解：由数轴可知，a＜0＜b，
∴a-b＜0

∴；故选：A

8．（2021·江苏建邺·二模）若，则满足的条件是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】∵∴ ∴ 故选：D．

9．（2021·内蒙古包头·三模）下列说法中，真命题有（    ）

①若式子有意义，则；

②已知，则的补角是；

③已知是方程的一个实数根，则的值为8；

④在反比例函数中，若时，随的增大而增大，则的取值范围是．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】解：①若式子有意义，则，故错误；②已知，则的补角是，故正确；

③已知是方程的一个实数根，则22-12+c=0，解得c=8，故正确；④在反比例函数中，若时，随的增大而增大，则k-2＜0，则的取值范围是，故错误；故选：B．

10．（2021·重庆·字水中学三模）估计的值应在（    ）

A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间．

【答案】C

【分析】解:

即介于7和8之间，故选：C．

11．（2021·广西·南宁十四中三模）下列属于最简二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】A. 开方数是分数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；B. 是最简二次根式，故此选项符合题意；C.含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；D. 被开方数是分数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；故选B

12．（2021·甘肃庆阳·二模）一矩形的长为，宽为，则该矩形的面积为（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】D

【分析】解：；故选：D

13．（2021·福建·厦门市第九中学二模）下列二次根式中能与合并的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】A.，不能与合并，故该选项不符合题意；B.，不能与合并，故该选项不符合题意；C.，不能与合并，故该选项不符合题意；D. ，能与合并，故该选项符合题意．

故选D．

14．（2021·广东·江门市第二中学二模）下列运算正确的是（　　）

A．+＝  B．4×3＝12 

C．x5•x6＝  D．（x2）5＝

【答案】C

【分析】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；B、4×3＝12a，故B选项错误；C、x5•x6＝，故C选项正确；D、（x2）5＝，故D选项错误，故选：C．

15．（2021·福建南平·二模）下列运算正确的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解：A：，选项正确，符合题意；B：选项错误，不符合题意；C：选项错误，不符合题意；D：选项错误，不符合题意；故答案选A．

二、填空题

16．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）请写出一个比小的正整数______．

【答案】1或2．

【分析】解：∵

∴，

∴比小的正整数有1，2，故答案为：1或2．

17．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）化简：______________．

【答案】2

【分析】解：原式==2，故答案为：2．

18．（2021·宁夏·银川唐徕回民中学一模）计算：﹣（3﹣）0+|﹣|＝__．

【答案】3

【分析】解：原式＝4﹣1+＝3．故答案为：3．

19．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）计算：____________．

【答案】

【分析】解：原式．故答案为．

20．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学三模）化简：_______．

【答案】

【分析】解：原式．故答案为：．

21．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）计算：______．

【答案】2

【分析】解：，故答案为：2．

22．（2021·山东·济宁学院附属中学三模）已知，_______．

【答案】2

【分析】，

，

解得，

，

．故答案为：2．

23．（2021·山东省诸城市树一中学三模）已知，，则__________．

【答案】

【分析】解：，

∵，，

∴，，，

∴，故答案为：.

三、解答题

24．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）计算：．

【答案】4

【分析】解：原式＝3﹣3+4＝4．

25．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）计算：

【答案】

【分析】解：原式==

26．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）计算：．

【答案】

【分析】解：．

27．（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）计算：．

【答案】

【分析】解：，．