初中数学中考复习 第05讲 实数与二次根式（知识点梳理）（记诵版）-【学霸计划】2022年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）

这是一份初中数学中考复习 第05讲 实数与二次根式（知识点梳理）（记诵版）-【学霸计划】2022年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组），共7页。试卷主要包含了平方根，算数平方根，开平方等内容，欢迎下载使用。
第05讲  实数与二次根式知识点梳理考点01 平方根一、平方根1.平方根的概念：如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫作的平方根（或二次方根）。2.平方根的表示方法：正数的平方根可记作，读作：正负根号，读作根号，是被开方数。3.平方根的性质：若，那么，则也是的平方根，所以正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0；因为相同的两个数的乘积为正，所以任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根（即）。二、算数平方根1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫作的算术平方根。2.算术平方根的表示方法：正数的算术平方根可记作，读作：根号。3.算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。一个正数的正的平方根就是它的算术平方根。三、开平方1.求一个数（）的平方根的运算叫作开平方，其中叫作被开方数。开平方运算是已知指数和幂求底数。2.因为平方与开平方互为逆运算，所以可以通过平方来寻找一个数的平方根。3.正数、负数、0都可以进行平方运算，且平方的结果只有一个；但开平方只有正数和0可以，负数不能开平方。考点02  立方根 1.立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫作的立方根（或三次方根）。2.立方根的表示方法：的立方根可记作，读作：三次根号，其中“3”是根指数，是被开方数，注意根指数“3”不能省略。3.立方根的性质：（1）一个正数有一个正的立方根；（2）一个负数有一个负的立方根；（3）0的立方根是0；4.开立方：求一个数的立方根的运算叫作开立方。5.立方根中被开方数可以是正数、负数和0,；开立方运算与立方运算互为逆运算；求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根。6.立方根的化简公式：（1）；（2）；（3）。考点03  实数一、无理数1.无理数的概念：无限不循环小数叫作无理数。2.有理数与无理数的区别：（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；（2）任何一个有理数都可以化成分数的形式，而无理数不能化成分数形式；3.无理数近似值的估算方法：估算无理数的近似值通常用“夹逼法”，第一步：先确定被估算无理数的整数取值范围；第二步：以较小整数逐步开始加0.1，并求其平方，确定被估算数的十分位，以此类推下去可以求出无理数的近似值。4.无理数的常见类型：（1）特点结构的数。如0.2020020002……是无理数；（2）圆周率以及含的数；（3）开方开不尽的数的方根；二、实数1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数。2.实数的分类： 2.实数的性质：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。（1）相反数：实数的相反数是，0的相反数是0；（2）绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；（3）实数的绝对值可表示为，即的绝对值一定是一个非负数；（4）倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，即如果与互为倒数，则；反之，如果，则与互为倒数，0没有倒数。（5）实数大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立，所以我们可以得到比较实数大小的法则。正实数大于0，负实数小于0，正数大于一切非负实数。两个负实数，绝对值大的反而小。数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。6.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数和数轴上的点是一一对应的。7.实数的运算：（1）运算法则、运算率：有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。（2）运算顺序：在进行实数的混合运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方，开方，在算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行。考点04  二次根式一、二次根式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式。其中，“”叫作二次根号，叫作被开方数。2.是二次根式有意义的条件。二、二次根式的性质：（1）是一个非负数；既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以一定是非负数。即为二次根式的非负性。（2）（）；（3）；（4）的前提条件是，而中的为一切实数；，，是三个重要的非负数。考点05  二次根式的乘除1.二次根式的乘法法则：二次根式的乘法法则：二次根式的乘法就是把被开方数相乘，二次根号不变，即。2.积的算术平方根的性质：（1）；（2）用语言描述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积；（3）运用积的算术平方根的性质，可以将二次根式化简。3.二次根式的除法法则：（1）语言描述：两个二次根式相除，将它们的被开方数（式）相除，二次根号不变；（2）数学表达式：如果，那么；4.在二次根式的除法法则中，条件与二次根式乘法的条件是有区别的；因为分母不能为0，所以被除式可以是非负数，而除式只能是正数，否则除法法则不成立。5.商的算术平方根的性质（1）商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；（2）数学表达式：如果，那么；（3）运用商的算术平方根的性质，可以把二次根式化为最简形式。6.最简二次根式的概念：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫作最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开的尽方的因数或因式；（2）对最简二次根式的理解：①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1；③分母中不含根号；7.二次根式的乘除混合运算（1）运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式的乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的；（2）公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用；（3）运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用；8.在进行二次根式的运算时常见的错误：（1）忽略计算公式的条件；（2）不注意式子的隐含条件；（3）除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上；9.二次根式的化简：（1）如果被开方数是分数或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式；（2）如果被开方数是正数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来；10.化去分母中的根号：（1）化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式；（2）下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式：，，，；（3）化去分母中的根号时，分母要先化简；在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式。考点06  二次根式的加减1.二次根式的加减法则：二次根式进行加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并。2.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式。3.合并二次根式：只需把二次根式的系数相加减，根指数和被开方数不变。4.二次根式加减法的一般步骤：（1）将每一个二次根式化成最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式；5.二次根式的加减混合运算（1）二次根式的加减，就是合并同类二次根式；（2）合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似，合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数与被开方数不变；（3）进行二次根式的加减混合运算时，交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用。6.二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算的顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，要先算括号里面的。（2）运算过程中一定要注意符合，运算结果一定要化为最简形式。