初中数学中考复习 第09讲 四边形的存在性-2020年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》(全国通用)原卷板

硬核：狙击2020中考数学重点/难点/热点

中点坐标公式

如图1，在平面直角坐标系中，若点，，

且为线段中点，则点坐标为.

             图1                                             图2

证明如下：

如图2，分别过点A，C作y轴平行线，过点B作x轴平行线，

分别交于点D和点E，则由图可得：，

即，解得，

故点的坐标为，可巧记为“中点对应平均数”.

一、平行四边形四顶点的坐标关系

如图3，在平行四边形ABCD中，有，

即相对两顶点的横纵坐标之和相等；

或者也可记为，

即对边两顶点之间的水平距离与垂直距离分别相等； 图3

证明：如图4，因为M点既是AC中点，也是BD中点，

由中点坐标公式可得：

，，

故有成立，                                         图4

利用此关系可以在二次函数解答题中进行相关点坐标求解.

二、平行四边形点的存在性问题解法

第一步：写出或设出三个顶点的坐标；

第二步：以“哪两个顶点相对”为分类标准，分三类讨论，利用上述模型，求出第四个顶点的坐标；

第三步：将第四个顶点坐标代入相应的函数关系式即可。

【例题1】（贵阳中考）如图，经过点C（0，﹣4）的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（﹣2，0），B两点．

（1）a　　0，b2﹣4ac　　0（填“＞”或“＜”）；

（2）若该抛物线关于直线x＝2对称，求抛物线的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【例题2】已知如图，矩形OABC的长OA＝，宽OC＝1，将△AOC沿AC翻折得△APC．

（1）求∠PCB的度数；

（2）若P，A两点在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；

（3）（2）中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，与x轴相交于另外一点E，若点M是x轴上的点，N是y轴上的点，以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐标．

【例题3】（2020•河南模拟）如图，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝3ax2+10x+3c经过B，C两点，与x轴交于另一点A，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，过E作EF∥y轴交x轴于点F，交直线BC于点M．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求线段EM的最大值；

（3）在（2）的条件下，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由．

【例题4】如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象交于M，N两点，过点M作MC⊥y轴于点C，且CM＝1，过点N作ND⊥x轴于点D，且DN＝1．已知点P是x轴（除原点O外）上一点．

（1）直接写出M、N的坐标及k的值；

（2）将线段CP绕点P按顺时针或逆时针旋转90°得到线段PQ，当点P滑动时，点Q能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点Q的坐标；如果不能，请说明理由；

（3）当点P滑动时，是否存在反比例函数图象（第一象限的一支）上的点S，使得以P、S、M、N四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点S的坐标；若不存在，请说明理由．

【例题5】（2020•安阳模拟）如图，直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另一交点为C，连接BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO＝45°时，求点M的横坐标；

（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发沿线段BC由B向C运动，P，Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P，Q同时停止运动，问在坐标平面内是否存在点D，使P，Q运动过程中的某些时刻t，以C，D，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．

1．如图1，二次函数y＝ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；

2．如图1，已知直线y＝2x分别与双曲线y＝，y＝交于第一象限内P，Q两点，且OQ＝PQ．

（1）则P点坐标是　　；k＝　　．

（2）如图2，若点A是双曲线y＝在第一象限图象上的动点，AB∥x轴，AC∥y轴，分别交双曲线y＝于点B，C；

①连接BC，请你探索在点A运动过程中，△ABC的面积是否变化，若不变，请求出△ABC的面积；若改变，请说明理由；

②若点D是直线y＝2x上的一点，请你进一步探索在点A运动过程中，以点A，B，C，D为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由．

3．如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝﹣在第二象限内的图象相交于点A，与x轴的负半轴交于点B，与y轴的负半轴交于点C．

（1）求∠BCO的度数；

（2）若y轴上一点M的纵坐标是4，且AM＝BM，求点A的坐标；

（3）在（2）的条件下，若点P在y轴上，点Q是平面直角坐标系中的一点，当以点A、M、P、Q为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q的坐标．

5．已知抛物线经过点A（2，0），设顶点为P，与X轴的另一交点B．

（1）求b的值和点P、点B的坐标；

（2）在直线上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．

（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；

（2）求△ABC外接圆的半径；

（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．

6．（2020•山西模拟）综合与探究．

如图1，抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线交y轴于点E（0，2）．

（1）求A，B，C三点的坐标及直线BE的解析式．

（2）如图2，过点A作BE的平行线交抛物线于点D，点P是抛物线上位于线段AD下方的一个动点，连接PA，PD，求OAPD面积的最大值．

（3）若（2）中的点P为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

7．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF＝，求点Q的坐标；

（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．

8．（2017春•亭湖区校级期中）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+1交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B的横坐标是4，P为抛物线上一动点，过点P作PC⊥AB，垂足为点C，设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在直线AB上方的抛物线上，用含m的代数式表示线段PC的长，并求出线段PC的最大值及此时点P的坐标；

（3）若P是抛物线上任意一点，且满足0°＜∠PAB≤45°，请直接写出：

①点P的横坐标m的取值范围；

②纵坐标为整数的点P为“巧点”，求“巧点”的个数．